Tài liệu Luận văn các phương pháp tính toán trong sự báo chuỗi thời gian mờ

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH HỌC VIÊN: TRẦN XUÂN HƢNG NGƢỜI HƢỚNG DẪN: ĐỀ TÀI: TS. NGUYỄN CÔNG ĐIỀU CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRONG SỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN MỞ THÁI NGUYÊN, 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1 ................................................................................................................ 5 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ ................................................ 5 1.1 Lý thuyết tập mờ ................................................................................................ 5 1.1.1 Định nghĩa tập mờ ....................................................................................... 5 1.2.2 Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ ................................................................ 17 1.3.1 Bộ mờ hoá ................................................................................................ 22 1.3.2 Hệ luật mờ............................................................................................... 22 1.3.4 Bộ giải mờ................................................................................................ 24 CHƢƠNG 2 .............................................................................................................. 26 MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ VÀ CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN .......... 26 2.1 Các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian ........................................................... 26 2.1.2 Tính chất của chuỗi thời gian .................................................................... 26 2.1.2.1 Tính dừng ........................................................................................... 26 2.1.2.2 Tuyến tính........................................................................................... 27 2.1.2.3 Tính xu hướng .................................................................................... 28 2.1.2.4 Tính mùa vụ........................................................................................ 28 2.1.3 Phân loại chuỗi thời gian ........................................................................... 28 2.1.3.1 Chuỗi thời gian tuyến tính .................................................................. 29 2.1.3.2 Chuỗi thời gian phi tuyến ................................................................... 29 2.1.3.3 Chuỗi thời gian đơn biến .................................................................... 29 2.1.3.4 Chuỗi thời gian đa biến ...................................................................... 30 2.1.3.5 Chuỗi thời gian hỗn loạn .................................................................... 30 2.1.4 Mô hình chuỗi thời gian ........................................................................... 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iii 2.2 Chuỗi thời gian mờ ......................................................................................... 31 2.2.1 Khái niệm................................................................................................. 31 2.2.2 Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ ................................ 32 2.3 Một số thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ ....................................... 33 2.3.1 Các phương pháp chia khoảng .................................................................. 33 2.3.1.1 Phương pháp lựa chọn ngẫu nhiên .................................................... 34 2.3.1.2 Phương pháp độ dài dựa trên sự phân bố giá trị ............................... 34 2.3.1.3 Phương pháp độ dài dựa trên giá trị trung bình ................................ 35 2.3.1.4 Phương pháp dựa trên mật độ ........................................................... 35 2.3.2 Mô hình thuật toán của Song và Chissom ..................................................... 35 2.3.3 Mô hình thuật toán của Chen......................................................................... 36 2.3.4 Mô hình chuỗi thời gian mờ đơn giản của Singh .......................................... 37 2.3.5 Mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao của Singh ............................................. 40 CHƢƠNG 3 .............................................................................................................. 44 ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM ............................................ 44 3.1 Ứng dụng trong dự báo ................................................................................... 44 3.1.1 Dự báo mức tiêu thụ điện bằng mô hình đơn giản của Singh .................... 44 3.1.2 So sánh kết quả dự báo của phương pháp Singh đơn giản và bậc cao với các phương pháp khác .............................................................................................. 51 3.2 Đồ thị so sánh kết quả . ................................................................................... 53 3.2.1 Đồ thị so sánh của Chen và Singh đơn giản ............................................... 53 3.2.2 Đồ thị so sánh Chen với Singh bậc cao ..................................................... 55 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56 PHỤ LỤC ................................................................................................................. 58 Chƣơng trình: .......................................................................................................... 58 Singh đơn giản ....................................................................................................... 58 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iv Singh bậc cao ......................................................................................................... 62 Tài liệu tham khảo ................................................................................................... 69 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Hàm thuộc μA(x) có mức chuyển đổi tuyến tính............................................. 6 Hình 1.2 Hàm thuộc của tập B. ................................................................................... 7 Hình 1.3 Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A. ............................................... 8 Hình 1.4 Biểu diễn tập mờ chiều cao. ......................................................................... 9 Hình 1.5 Tập bù của tập mờ A. ............................................................................... 10 Hình 1.6 Hợp hai tập mờ có cùng tập vũ trụ. ............................................................. 11 Hình 1.7 Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ. ............................................................ 11 Hình 1.8 Biểu diễn theo biểu đồ Sagittal .................................................................... 16 Hình 1.9 Cấu hình cơ bản của hệ mờ ......................................................................... 22 DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1 Biểu diễn tập mờ A....................................................................................... 7 Bảng 1.2 Một số phép kéo theo mờ thông dụng .......................................................... 13 Bảng 2.1 Ánh xạ cơ sở ............................................................................................... 34 Bảng 3.1 Số liệu mức độ tiêu thụ điện tại trường Cao đẳng Y tế Phú Thọ .................. 44 Bảng 3.2 Phân bố giá trị trong từng khoảng .............................................................. 46 Bảng 3.3 Phân khoảng ............................................................................................... 47 Bảng 3.4 Mối quan hệ mờ .......................................................................................... 48 Bảng 3.5 Nhóm mối quan hệ mờ ............................................................................... 49 Bảng 3.6 Kết quả dự báo của Chen ............................................................................ 50 Bảng 3.7 Bảng so sánh kết quả dự báo ...................................................................... 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn v DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh 1 .................................................................................... 54 Biểu đồ 3.2 Biểu đồ so sánh 2 .................................................................................... 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để phân tích số liệu trong kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan trọng của phân tích chuỗi thời gian, rất nhiều tác giả đã đề xuất các công cụ phân tích chuỗi thời gian để trích xuất ra những thông tin quan trọng tờ trong các dãy số liệu. Trước đây, phương pháp chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian là sử dụng các công cụ của thống kê như hồi qui, phân tích Fourie và một vài công cụ khác. Nhưng hiệu quả nhất có lẽ là phương pháp sử dụng mô hình ARIMA của Box-Jenkins. Mô hình này đã cho một kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu và đang được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế. Tuy nhiên trong một số lĩnh vực nhất là trong kinh tế, mô hình ARIMA chưa thể hiện tính hiệu quả vì chuỗi số liệu diễn biến mang tính chất phi tuyến. Do đó để dự báo chuỗi thời gian trong kinh tế, người ta phải có những cải biên như sử dụng mô hình ARCH. Tuy vậy vẫn còn khá nhiều hạn chế khi áp dụng mô hình này khi chuỗi số liệu ngắn và có nhiều biến động mang tính chất phi tuyến. Để vượt qua được những khó khăn trên, gần đây nhiều tác giả đã sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ. Khái niệm tập mờ được Zadeh đưa ra từ năm 1965 và ngày càng tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong điều khiển và trí tuệ nhân tạo. Trong lĩnh vực phân tích chuỗi thời gian, Song và Chissom [1-3] đã đưa ra khái niệm chuỗi thời gian mờ không phụ thuộc vào thời gian (chuỗi thời gian dừng) và phụ thuộc vào thời gian (không dừng) để dự báo. Chen [4] đã cải tiến và đưa ra phương pháp mới đơn giản và hữu hiệu hơn so với phương pháp của Song và Chissom. Trong phương pháp của mình, thay vì sử dụng các phép tính tổ hợp Max-Min phức tạp, Chen đã tính toán bằng các phép tính số học đơn giản để thiết lập các mối quan hệ mờ. Phương pháp của Chen cho hiệu quả cao hơn về mặt sai số dự báo và giảm độ phức tạp của thuật toán. 2 Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ được xuất hiện năm 1993, hiện nay mô hình này đang được sử dụng để dự báo trong rất nhiều lĩnh vực của kinh tế hay xã hội như giáo dục để dự báo số sinh viên nhập trường [2], [4] hay trong lĩnh vực dự báo thất nghiệp, dân số , chứng khoán và trong đời sống như dự báo mức tiêu thụ điện, hay dự báo nhiệt độ của thời tiết... Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, các thuật toán trên cho kết quả chưa cao. Để nâng cao độ chính xác của dự báo, một số thuật toán cho mô hình chuỗi thời gian mờ liên tiếp được đưa ra. Chen [5] đã sử dụng mô hình bậc cao của chuỗi thời gian mờ để tính toán. Sah và Degtiarev thay vì dự báo chuỗi thời gian đã sử dụng chuỗi thời gian là hiệu số bậc nhất để nâng cao độ chính xác và làm giảm độ phi tuyến. Trong thời gian gần đây có khá nhiều cải tiến được các nhà nghiên cứu trên thế giới đưa ra để cải tiến độ chính xác của mô hình theo nhiều hướng khác nhau. Chen (2002) dựa trên mô hình trước đây đã đưa ra mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao và ứng dụng trong dự báo. Huarng (2001) đã nghiên cứu ảnh hưởng của độ dài khoảng lên độ chính xác của mô hình và đã đề xuất ra hai phương pháp chia khoảng là phân chia dựa trên phân bố và dựa trên giá trị trung bình. Tiếp theo hướng phát triên này, Huarng và Yu (2006), Chen và Chung (2006), Kuo (2008) đã tập trung vào việc phân chia khoảng để nâng cao độ chính xác của mô hình. Chen và Chung (2006) đã sử dụng giải thuật gen để điều chỉnh độ dài của khoảng cho mô hình bậc một và bậc cao của chuỗi thời gian mờ. Li và Cheng (2008) đã sử dụng thuật toán c-mean mờ cũng cho mục đích này. Cuối cùng là Kuo và các tác giả khác (2008) đã đề xuất thuật toán dựa trên phương pháp tối ưu đám đông để cải tiến cách xây dựng độ dài của khoảng. Một hướng khác là sử dụng các cấu trúc khác nhau về mối quan hệ logic mờ để xây dựng các luật dự báo. Yu (2005) đã chú ý đến tính lặp lại của các tập mờ trong nhóm quan hệ logic mờ để gán tầm quan trọng của chúng bằng 3 các giá trị trọng số của mỗi lần lặp. Dieu N.C. (2010) đã chú ý đến yếu tố thời gian trong nhóm quan hệ logic mờ của Yu và đề xuất khái niệm nhóm quan hệ logic mờ phụ thuộc thời gian và ứng dụng trong dự báo. Như đã trình bày ở trên, mô hình chuỗi thời gian mờ đang có nhiều ứng dụng trong công tác dự báo. Tuy nhiên kết quả dự báo của các phương pháp đề xuất còn chưa cao. Do đó việc tìm tòi các mô hình có độ chính xác cao hơn và thuật toán đơn giản hơn đang là một ưu tiên. Trong những năm gần đây một số công trình đã được hoàn thành theo hướng nâng cao độ chính xác và giảm khối lượng tính toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ như các công trình của Chen và Hsu, Huarng, Singh,... Mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao đã được xem xét nhiều và được coi là một công cụ đắc lực để nâng cao hiệu quả tính toán. Cách tiếp cận khác là sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao hai nhân tố đã được một số tác giả nghiên cứu hứa hẹn thu được nhiều kết quả tốt. Trong số các phương pháp cải tiến, mô hình của Singh đáng quan tâm chủ yếu đơn giản trong thuật toán nhưng cho hiệu quả cao trong thực tế. Đặc biệt các thuật toán đưa ra trong mô hình này rất thuận tiện cho việc lập trình. Với mục tiêu tìm hiểu về việc sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ trong dự báo, em đã lựa chọn đề tài “Các phƣơng pháp tính toán trong dự báo chuỗi thời gian mờ” mà trọng tâm là các mô hình tính toán của Singh. Các mô hình này đặt trọng tâm là xây dựng các công cụ tính toán khá đơn giản để dự báo và mô hình được xét cả mô hình chuỗi thời gian mờ bậc nhất và bậc cao. Sau đó em sử dụng các mô hình này để dự báo “mức độ tiêu thụ điện tại trƣờng cao đẳng Y tế Phú Thọ” làm minh họa cho tính hiệu quả của các mô hình đã đề xuất trong luận văn tốt nghiệp của mình. Với Mục tiêu trên, nội dung của đề tài là tìm hiểu và nghiên cứu những khái niệm, tính chất và thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ và đặt trọng tâm vào tìm hiểu Các phƣơng pháp tính toán trong dự báo chuỗi 4 thời gian mờ của Singh và thử nghiệm tính hiệu quả của mô hình trong dự báo mức độ tiêu thụ điện tại trƣờng cao đẳng Y tế Phú Thọ. Luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1: Một số khái niệm về lý thuyết tập mờ. Chương 2: Mô hình chuỗi thời gian mờ và các thuật toán cơ bản. Chương 3: Ứng dụng trong tính toán thử nghiệm. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Công Điều, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong các thầy cô giáo và bạn đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. 5 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ Trong các bộ môn toán cơ bản, suy luận logic nguyên thuỷ hay logic rõ với hai giá trị đúng/sai hay 1/0 đã rất quen thuộc. Tuy nhiên, các suy luận này không đáp ứng được hầu hết các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tế như những bài toán trong lĩnh vực điều khiển tối ưu, nhận dạng hệ thống,… mà các dữ liệu không đầy đủ, không được định nghĩa một cách rõ ràng. Trong những năm cuối thập kỷ 20, một ngành khoa học mới đã được hình thành và phát triển mạnh mẽ đó là hệ mờ. Đây là hệ thống làm việc với môi trường không hoàn toàn xác định, với các tham số, các chỉ tiêu kinh tế kỹ thuật, các dự báo về môi trường sản xuất kinh doanh chưa hoặc khó xác định một cách thật rõ ràng, chặt chẽ. Khái niệm logic mờ được giáo sư Lofti A.Zadeh đưa ra lần đầu tiên vào năm 1965 tại Mỹ. Từ đó lý thuyết mờ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi. Chương này tập trung trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ mờ có liên quan tới mô hình chuỗi thời gian mờ sẽ được đề cập tới ở chương sau. 1.1 Lý thuyết tập mờ 1.1.1 Định nghĩa tập mờ Tập mờ A xác định trên tập vũ trụ X là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp các giá trị (x,μA(x)), trong đó x  X và μA là ánh xạ: μA : X  [0,1] Ánh xạ μA đƣợc gọi là hàm thuộc hoặc hàm liên thuộc (hoặc hàm thành viên - membership function) của tập mờ A. Tập X được gọi là cơ sở của tập mờ A. 6 μA(x) là độ phụ thuộc, sử dụng hàm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó, có hai cách:  Tính trực tiếp nếu μA(x) ở dạng công thức tường minh.  Tra bảng nếu μA(x) ở dạng bảng. Kí hiệu: A = { (μA(x)/x) : x  X } Các hàm thuộc μA(x) có dạng “trơn” được gọi là hàm thuộc kiểu S. Đối với hàm thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn μA(x) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lớn. Trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường, các hàm thuộc kiểu S thường được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn. Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính. Hình 1.1 Hàm thuộc μA(x) có mức chuyển đổi tuyến tính. Hàm thuộc như trên với m1 = m2 và m3 = m4 chính là hàm thuộc của một tập vũ trụ Ví dụ 1.1 Một tập mờ B của các số tự nhiên nhỏ hơn 5 với hàm thuộc μB(x) có dạng như Hình 1.2 định nghĩa trên tập vũ trụ X sẽ chứa các phần tử sau: 7 B = {(1,1),(2,1),(3,0.95),(4,0.7)} Hình 1.2 Hàm thuộc của tập B. Các số tự nhiên 1, 2, 3 và 4 có độ phụ thuộc như sau: μB(1) = μB(2) = 1, μB(3) = 0.95, μB(4) = 0.7 Những số không được liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng 0. Ví dụ 1.2 Xét X là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, X = {1, 2, …, 10}. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể được biểu thị bằng tập mờ A sau: A = 0.1/4 + 0.2/5 + 0.4/6 + 0.7/7 + 0.9/8 + 1.0/9 +1.0/10 Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ ở dạng bảng. Chẳng hạn, đối với tập mờ A ở trên ta có bảng như sau: Bảng 1.1 Biểu diễn tập mờ A X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 0 0 0 0.1 0.2 0.4 0.7 0.9 1.0 1.0 1.1.2 Một số khái niệm cơ bản của tập mờ 8 Miền xác định: Biên giới tập mờ A, ký hiệu là supp(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A lớn hơn 0. supp(A) = { x | μA(x) > 0 } Miền tin cậy: Lõi tập mờ A, ký hiệu là core(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A bằng 1. core(A) = { x | μA(x) = 1} Hình 1.3 Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A. h(A)=Sup μA(x) x X Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ A, ký hiệu: h(A), là mức độ phụ thuộc cao nhất của x vào tập mờ A. Một tập mờ có ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc, tức là h(A) = 1, ngược lại một tập mờ A với h(A) < 1 được gọi là tập mờ không chính tắc. 1.1.3 Biểu diễn tập mờ Tập mờ A trên tập vũ trụ X là tập mà các phần tử x X với mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A tương ứng. Có ba phương pháp biểu diễn tập mờ: phương pháp ký hiệu, phương pháp tích phân và phương pháp đồ thị. 9 Phương pháp ký hiệu: Liệt kê các phần tử và các thành viên tương ứng theo ký hiệu. Cho X = {x1, x2, …,xn} là tập hữu hạn: Phương pháp tích phân: với X là tập vô hạn ta thường dùng ký hiệu sau: Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng  và phép lấy tích phân đều không có nghĩa theo quy ước thông thường. Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này. Phương pháp đồ thị: Hình 1.4 Biểu diễn tập mờ chiều cao. 1.1.4 Các phép toán trên tập mờ 1.1.4.1 Phần bù của một tập mờ Cho tập mờ A trên tập vũ trụ X, tập mờ bù của A là tập mờ được tính từ hàm thuộc μA(x) , hàm thuộc 10 Hình 1.5 Tập bù của tập mờ A. a) Hàm thuộc của tập mờ A. b) Hàm thuộc của tập mờ . Một cách tổng quát để tìm từ μA(x), ta dùng hàm bù c :[0,1] [0,1] như sau: 1.1.4.2 Hợp của các tập mờ Cho tập mờ A, B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là C = A B . Theo phép chuẩn ta có μC(x)từ các hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μC(x) = μA B(x) = max[μA(x), μB(x)], xX 11 Hình 1.6 Hợp hai tập mờ có cùng tập vũ trụ. Một cách tổng quát ta dùng hàm hợp u : [0,1]x[0,1] [0,1]. Hàm thành viên μC(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x) , μB(x) như sau: μC(x) = u(μA(x), μB(x)) 1.1.4.3 Giao của các tập mờ Cho A, B là hai tập mờ trên tập vũ trụ X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu: I = A B . Theo phép giao chuẩn ta có μI(x) từ các hàm thành viên μA(x) , μB(x): μI(x) = μA B(x) = min[μA(x), μB(x)], xX Hình 1.7 Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ. Một cách tổng quát ta dùng hàm giao i : [0,1]x[0,1] [0,1]. Hàm thành viên μI(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x) , μB(x)như sau: μI(x) = i(μA(x), μB(x)) 12 1.1.4.4 Tích Descartes các tập mờ Cho Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi, i = 1, 2, …, n. Tích Descartes của các tập mờ Ai , ký hiệu là A1 × A2 ×…× An hay , là một tập mờ trên tập vũ trụ X1 ×X2 ×…× Xn được định nghĩa như sau: A1 × A2 ×…× An= Ví dụ 1.3 Cho X1 = X2 = {1, 2, 3} và 2 tập mờ A = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 và B = 1,0/1 + 0,6/2 Khi đó: A × B = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) + 0,6/(2,3) Một ví dụ ứng dụng của tích Descartes là kết nhập (aggregation) các thông tin mờ về các thuộc tính khác nhau của một đối tượng. Ví dụ trong các hệ luật của các hệ trợ giúp quyết định hay hệ chuyên gia, hệ luật trong điều khiển thường có các luật dạng sau đây: Nếu x1 là A1 và x2 là A2 và… và xn là An thì y là B Trong đó, các xi là các biến ngôn ngữ (vì giá trị của nó là các ngôn ngữ được xem như là nhãn của các tập mờ) và Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi của biến xi. Hầu hết các phương pháp giải liên quan đến các luật “nếu - thì” trên đều đòi hỏi việc tích hợp các dữ liệu trong phần tiền tố “nếu” nhờ toán tử kết nhập, một trong những toán tử như vậy là lấy tích Descartes A1 × A2 ×…×An . 1.1.4.5 Phép kéo theo Cho (T, S, n) là một bộ ba DeMorgan với n là phép phủ định, phép kéo theo lS(x,y) hay xy được xác định trên khoảng [0,1]2 được định nghĩa bằng biểu thức sau đây: ls(x,y) = S(T(x,y),n(x)) 13 Bảng dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử dụng nhất : Bảng 1.2 Một số phép kéo theo mờ thông dụng Tên STT Biểu thức xác định 1 Early Zadeh xy = max(1-x,min(x,y)) 2 Lukasiewicz xy = min(1,1- x+y) 3 Mandani xy = min(x,y) 4 Larsen xy = x.y 5 6 7 xy =  xy =  Standard Strict Godel Gaines 1 if x  y 0 other 1 if x  y y other 1 xy =  y x if x y other 8 Kleene – Dienes xy = max(1 –x,y) 9 Kleene – Dienes –Lukasiwicz xy = 1- x + y 10 Yager xy = yx 1.1.4.6 Tính chất của các phép toán trên tập mờ Như các phép toán trên tập rõ, các phép toán trên tập mờ cũng có một số tính chất sau đối với các tập mờ A, B, C trên tập vũ trụ X: Giao hoán: A  B= B  A 14 A  B= B  A Kết hợp: A ( B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Phân bố: A ( B  C) =( A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Đẳng trị: AA=A AA=A Đồng nhất: AX=A A= Hấp thụ: A= AX=X Cuộn xoắn: Bắc cầu: A  B, B  C  A  C 1.2 Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ 1.2.1 Quan hệ mờ 1.2.1.1 Định nghĩa quan hệ mờ 15 Quan hệ mờ R trên các tập X và Y là một tập mờ xác định trên tập tích của các tập vũ trụ X ×Y . Các phần tử (x, y) của tập X ×Y có các mức độ thành viên lên quan hệ khác nhau. Ta có: µR:X × Y  [0,1] Mức độ thành viên µR (x, y) chỉ mức quan hệ giữa các phần tử x và y của các tập vũ trụ X và Y lên quan hệ R hay mức độ quan hệ của các phần tử x và y theo ý nghĩa quan hệ đã định. Quan hệ mờ có thể được biểu diễn dưới các dạng: hàm thành viên, ma trận quan hệ, biểu đồ Sagittal. Ví dụ 1.4 Cho tập X gồm các thành phố NewYork – N, Paris – P: X = N, P Cho tập Y gồm các thành phố NewYork – N, Bắc kinh – B, London – L: Y = N, B, L Gọi R là quan hệ mờ “rất xa” giữa các thành phố của tập X và các thành phố của tập Y, được biểu diễn theo hàm thành viên: Quan hệ có thể liệt kê như sau: R(X, Y) =1/ + 0/ +0.6/ + 0.9/(P, B> + 0.7/ 0.3/ Biểu diễn theo ma trận quan hệ: R = [r x, y]