Tài liệu Luận văn bao hàm thức tựa biến phân pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN ANH SƠN BAO HÀM THỨC TựA BIEN PHÂN PARETO HỗN H0P VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC PHAN ANH SƠN Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 BAO HÀM THỨC TựA BIEN PHÂN PARETO HỗN H0P VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội - 2015 LCJl CAM ON Trudc khi trinh bay noi dung chinh cua luan van, toi xin bay to long biet On sau sac tdi GS. TSKH. Nguyin Xuan Tan ngiidi da tan tinh hudng di,n de toi co the hoan thanh de tai nay. Toi cung xin bay to long biet On chan thanh t(3i toan the cac thay co giao trong khoa Toan, phong Sau Dai hoc Trildng Dai hoc Sii pham Ha Noi 2 da giup dS toi trong suot qua trinh hoc tap va nghien ctiu. Nhan dip nay toi cung xin duoc gijfi ldi cam On chan thanh tdi gia dinh, ban be da luon dong vien, giup d0 toi trong suot qua trinh hoc tap va thiic hien de tai nghien ciiu nay. Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien Phan Anh Sdn Luan van Thac si Toan hoc "Bao ham thufc ttfa bi§n phan Pareto h6n hdp va mot so van de lien quan " diiOc hoan thanh do sir co gang, nQ luc tim hieu, nghien ciiu cua ban than cung vdi sU giup dQ tan tinh cua GS. TSKH. Nguyfin Xuan Tan. Toi xin cam doan luan van nay khong trimg lap vdi ket qua cua tac gia khac. LCJl CAM DOAN Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien Phan Anh Scfn Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt 3 Mở đầu 1 Kiến thức 5 bổ trợ từ giải tích đa trị 10 1.1 Nón và ánh xạ đa trị..................................................................... 11 1.1.1 Nón.................................................................................. 11 1.1.2 Ánh xạ đa trị.................................................................... 15 1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị .......................................... 16 1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị......................................................................... 20 1.4 Một số định lý điểm bất động của 24 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến ánh xạ đa trị.................. phân Paretohỗn hợp 27 2.1 Đặt bài toán............................................................................................. 29 2.2 Sự tồn tại nghiệm.................................................................................... 2.2.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp trên - trên ................................................................... 2.2.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto Bài toán bao hàm - 2.2.4 thức tựa biến thức tựa biến 40 phân Pareto dưới trên.................................................................................... Bài toán bao hàm 33 hỗn hợp trên - dưới................................................................... 2.2.3 33 phân Pareto 41 hỗn hợp dưới - dưới................................................................. 43 2.3 Một số vấn đề liên quan........................................................................... 45 2.3.1 Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto...................... 45 2.3.2 Bài toán tựa cân bằng Pareto hỗn hợp................................. 49 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 BẢNG KÍ HIỆU VÀ VIẾT TAT Trong luận văn này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định dưới đây: N*: tập hợp các số tự nhiên khác không Q : tập hợp các số hữu tỷ R : tập hợp các số thực M+ : tập hợp các số thực không âm M_ : tập hợp các số thực không dương : không gian vector Euclid n - chiều : tập hợp các vector có các thành phần không âm củakhông gian R” : tập hợp các vector có các thành phần không dương của không gian Mn X* : không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X 2 X : tập các tập con của tập hợp X (£, X) : giá trị của £ e X* tại X G X i = 1, n i = 1, 2,n {a;a} : dãy suy rộng x n —¥ X : x n Mn hội t ụ yếu tới X 0 : tập rỗng F : X —>■ 2y : ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y domF : miền định nghĩa của ánh xạ F GrF : đồ thị của ánh xạ đa trị F C' : nón đối ngẫu của nón c C'+ : nón đối ngẫu chặt của nón c C'~ : nón đối ngẫu yếu của nón c A ç B : A là tập con của B A<Ệ-B\A không là tập con của B Au B : hợp của hai tập hợp A và B A n B : giao của hai tập hợp A và B A\B : hiệu của hai tập hợp A và B A + B : tổng đại số của hai tập hợp A và B A X B : tích Descartes của hai tập hợp A và B co A : bao lồi của tập A cone^4 : bao nón lồi của tập hợp A CỈA : bao đóng tôpô của tập hợp A int^4 : phần trong tôpô của tập hợp A MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Brouwer - Minty đã phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Brouwer - Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số. Cho D c K n , T : D —> • Mn. Tìm X sao cho (T(x),x — x) > 0, Va; ẽ D. Bài toán này được mở rộng cho không gian vô hạn chiều và ánh xạ đa trị. Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian vô hạn chiều này sang không gian đối ngẫu của nó và thứ tự sinh ra bởi nón. Khái niệm ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển toán học và các lĩnh vực khác. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhiều nhà toán học nghiên cứu trong những năm gần đây và gọi chúng là bài toán bao hàm thức biến phân. Ví dụ, ta xét các bài toán sau: Cho X , Y, z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff, D c X , K c z là các tập khác rỗng, c c Y là nón lồi đóng nhọn. Cho các ánh xạ: s: F :K X D D X X K -> 2 D , T : D y D -> 2 . X K 2K, pup2 : D 2D, Q : K X D - > 2*, 1, Bài toán: Tìm (x,y) £ D X K a) X e S(x,ỹ)] b) ỹ£ T(Ẽ,ỹ); c) F(ỹ, ã, z) c F(ỹ, X, ĩ) + ơ, tương ứng, (F(ỹ,x,x) n F(ỹ,x,x) + c/ 0), Va? e S(x,ỹ) được gọi là bài toán bao hàm thức tưa biến phân lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 1. 2, Bài toán: Tìm X e D sao cho a) X e P\ (x); b) F(y,x,x) c F(y,x,x) + C(y,x), (tương ứng, (F(y,x,x) n F(y,x,x) + C(y,x) 7^ 0)), với mọi X € P2(^)j y € Q(^, a?) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (dưới) hỗn hợp là bài toán bao gồm cả 2 bài toán trên. 3, Bài toán: Tìm (x, ỹ) e D a) X€ X K sao cho: S(x,ỹ)\ b) ỹ e T(x,ỹ); c) F(ỹ,x,x) <£. F(ỹ,x,x-C\{ 0}), (F(ỹ,x,x)nF(ỹ,x,x)-C\{ 0} = 0) ,Vx G S(x,ỹ) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dưới) loại 1. Tương tự, ta có bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 và bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp trên (dưới). Tương tự, như vậy ta cũng phát triển các loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân loại 1,2 và hỗn hợp cho trường hợp thực sự và yếu. Các bài toán này tổng quát các bài toán đã biết như cân bằng, tối ưu đa trị. Như vậy, trong trường hợp đa trị ta có 9 loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân khác nhau. Các loại bài toán đã được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và nghiên cứu rất nhiều có thể kể đến như GS. TSKH. Đinh Thế Lục, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh, GS. Lai Jill Lin, ... Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, cùng sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài"Bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan " làm luận văn Thạc sĩ của mình. 2. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm 2 chương: 1. Chương 1: Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị 1.1 Nón và ánh xạ đa trị 1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị 1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị 2. Chương 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Sự tồn tại nghiệm 2.3 Một số vấn đề liên quan 3. Mục đích nghiên cứu + Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân. + Đi sâu vào bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên, dưới, hỗn hợp. + Giới thiệu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của chúng và các vấn đề liên quan. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đến ánh xạ đa trị. 4- Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp, xét sự tồn tại nghiệm của nó và các bài toán liên quan. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa trị cụ thể là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và sự tồn tại nghiệm của nó. + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên quan đến bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và một số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị. 6. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức cơ bản của giải tích đa trị: khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị, kiến thức về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp. + Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích đa trị để tiếp cận vấn đề. 7. Dự kiến đóng góp mới + Luận văn trình bày các kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết tới ưu. + Nghiên cứu sâu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp. Chương 1 Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị Ánh xạ đa trị được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ lâu do nhu cầu phát triển của toán học và nhiều ngành khoa học khác. Để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị ta cần phải nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đa trị. Trong chương này ta xét một số khái niệm của ánh xạ đa trị. Dựa trên các khái niệm này, ta tìm các điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên, liên tục dưới. Một số kết quả về mối liên quan giữa tính liên tục trên và dưới của ánh xạ đa trị lồi (lõm) cũng được đưa ra. Phần cuối của chương trình bày về tính lồi theo nón, mói liên quan giữa tính c - tựa lồi thực sự, c - tựa lồi trên của ánh xạ đa trị với tính lồi của hàm vô hướng. Kiến thức của chương này sẽ được sử dụng cho việc nghiên cứu các phần của chương sau. 1 0 1.1 Nón và ánh xạ đa trị Trong toán học và trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán liên quan đến phép tương ứng một điểm của tập hợp này với một tập con của tập hợp kia. Một phép tương ứng như vậy được gọi là ánh xạ đa trị. Để xác định thứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có giá trị là vector hoặc ánh xạ đa trị, người ta đưa ra khái niệm nón. Từ đó, ta mở rộng được khái niệm đã biết của không gian số thực hoặc số phức cho không gian tôpô tuyến tính. Mục này dành cho các khái niệm, tính chất của nón, ánh xạ đa trị và các khái niệm có liên quan. Các kiến thức của mục này được tham khảo từ cuốn sách của GS. Nguyễn Xuân Tấn và PGS. Nguyễn Bá Minh ([2]). 1.1.1 Nón Để đưa vào thứ tự từng phần trong không gian tuyến tính người ta đưa vào khái niệm nón. Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và c c Y. Ta nói rằng c là nón có đỉnh tại gốc (gọi tắt là nón) trong Y nếu tc € c, Vc €E c, t> 0. Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, c là nón trong Y, ta kí hiệu CỈC, intc, coneC lần lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón c. Ta thường quan tâm tới các loại nón sau: i) . Nón c là nón lồi (nón đóng) nếu tập c là tập lồi (tập đóng); ii). Ta kí hiệu 1(C) = c n (-C) là phần trong tuyến tính của nón c. Nón c được gọi là nón nhọn nếu 1(C) = 0; Với nón c cho trước, ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trong Y như sau: 1) . Va;, y G Y, X y Cy nếu X — y £ c, (có thể viết X >z y nếu không sợ nhầm 1 1 lẫn); 2) . \/x, 3) . y € Y, kí hiệu X y y nếu X — y G C\l(C); \/x, y G Y, kí hiệu X y nếu I-Ị/Ễ inte. Nếu c là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y. Hơn trên có tính chất phản nữa, nếu c là nón nhọn thìquan đối xứng, có nghĩa là nếu X y y và X ^ thì x = y. Ví dụ 1.1.1. 1. Cho Y — = {x — (xi,x 2 ,. ■ ■ ,x n )\xj G R,Vj = l,n},tập c = M” = { x = {xi,x2 ,. .. ,xn) £ Mn Ịxj > 0= 1 , n}, là nón lồi, đóng, nhọn. Trên c ta xác định quan hệ thứ tự như sau: X = { x u x 2 , . . . , x n ) , y = (2/1,2/2, • • • , y n ) thuộc Mn X > y khi và chỉ khi Xj > yj, với mọi j = 1, n. Nón c = M" được gọi là nón Orthant dương trong M71. 2. Cho Y = R n c = {x = {x u x 2 ,.. .,x n )\x n > 0} c là nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì 1(C) = {x = (x u x 2,..., Zn-1,0) e Mn} Ỷ {0}Định nghĩa 1.1.2. Cho Y là không gian tuyến tính, Y* là không gian tôpô đối ngẫu của Y,< £,y > là giá trị của £ e Y* tại y e Y. Nón đối ngẫu C’ và nón đối ngẫu chặt c l + của c lần lượt dược định nghĩa là ơ = {£ G Y* : (£, c) > 0, với mọi c € C}, C' + = G Y* : (^, c) > 0, với mọi c € C\l(C)}. 1 2 hệ y Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón, ta có thể định nghĩa được điểm hữu hiệu của một tập hợp bất kì, cụ thể như sau: Định nghĩa 1.1.3. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón c, A là tập con của Y. 1) . Điểm X G điíơc goi let điGĩĩi hĩỄu hieu ly tiJ/CfTLQ cua tap đoi VCJ1 nón c nếu y — X € c với mọi y € A. Tập điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón c kí hiệu là IMin(AịC). 2) . Điểm X G A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập Ả đối với nón c nếu không tồn tại y € A, y Ỷ x để x-ye C\l(C.) Tập điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c kí hiệu là PMin(AịC) hoặc đơn giản hơn là Min(AịC). 3) . Điểm X G A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của tập A đối với nón c (trong trường hợp ỉntc ^ 0 và c ^ Y ) nếu X G Min(A\ỉntC\J{0}). Tức là X là điểm hữu hiệu Pareto của tập A đối với nón (¿níơu{0}). Tập điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón c kí hiệu là WMin(A\C) hay WMin(A). 4) . Điểm X e A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón c nếu tồn tại nón lồi c khác hoàn toàn không gian và chứa C\l(C) trong phần trong của nó sao cho X £ Min(AịC). Tập điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón c kí hiệu là PrMin(AịC). Từ định nghĩa trên ta có IMin(AịC) Ç PrMin(AịC) ç Min(A\C) Ç WMin{A\C). Ví dụ 1.1.2. Trong M2 lấy hai tập 1 3 A = {(x , y ) G M 2 |(x-l) 2 +(y-l) 2 < 1 , y < l}u{(a:,y) G R 2 |a; > 1 , y e [0,1]} B= {(0,0)}. a)Lấy thứ tự sinh bởi nón c = Mị, ta có IM in A = 0, PrMinA = {(æ,î/) e M2 : (x — ĩ) 2 + (y — l)2 = 1,X < 1, y < 1}, M i n A =PrM ỉ n A u {(0,1), (1,0)}, W M i n A = M ỉ n A u {(æ, y ) : y = o, X > 1}, IMinB =Pr MỉnB=MỉnB = WMinB = {(0,0)}. b) Lấy thứ tự sinh bởi nón c = (M1,0) ç M2, ta có IM in A = 0, Pr MinA = Min A = w Min A = A, IMinB = 0, Pr MinB = MinB = WMinB = B. 1.1.2 Ánh xạ đa trị Cho hai tập hợp Ầ, y, Ö ç X là tập con. Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ F : D —»• Y biến mỗi điểm X £ D thành một tập con F(x) của Y, (F(x) có thể bằng rỗng), được gọi là ánh xạ đa trị. Ta kí hiệu 2y là họ các tập con của Y và F : D —> 2 Y là ánh xạ đa trị từ tập D vào tập Y. Nếu với mỗi X G X, F(x) chỉ gồm một phần tử thì F gọi là ánh xạ đơn trị, ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X —»■ Y. Định nghĩa 1.1.5. Cho D ç X, ta gọi miền xác định và đồ thị của ánh xạ G : D —> 2 Y tương ứng là các tập hợp 1 4 domG = {x € D\G(x) 7^ 0}, Gr(G) = {(x,y)£DxY\y£G(x)}. 1) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu đồ thị Gr(G) của nó là tập con đóng (mở) trong không gian X X Y. 2) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ compact, nếu bao đóng CỈG(D) của G(D) là một tập compact trong không gian Y. 3) Ánh xạ G gọi là có nghịch ảnh mở, nếu với mọi y e Y, tập G~ 1 (y) = {x G D\y G G(x)} là mở. Nếu G(x) là tập đóng (compact) với mọi X G D thì ta nói ánh xạ G có giá trị đóng (tương ứng, có giá trị compact). Từ Định nghĩa ta thấy, i) G là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng {æa} Ç D.{y a } cy,ĩa4 x,y a - Xem thêm -