Tài liệu Luận án tiến sĩ về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con schmidt đối với siêu mặt di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Văn Tấn Hà Nội, 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan các kết quả trình bày trong luận án này là mới và trung thực, đã được đăng tải trên các tạp chí Toán học uy tín trong nước và quốc tế, được các đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án và chưa từng công bố trong công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Sơn ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất của mình tới GS. Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên Lam Sơn đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể chuyên tâm học tập, nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn nghiên cứu sinh của Bộ môn Hình học và Tô pô đã có những trao đổi, góp ý bổ ích về học thuật, các đồng nghiệp trong Ban giám hiệu và tổ Toán trường chuyên Lam Sơn đã động viên, trợ giúp tôi trong công việc để tôi có thể sớm hoàn thành luận án này. Cuối cùng, tôi xin gửi tặng những thành quả đạt được của mình đến gia đình và người thân thay lời cảm ơn cho những sự hy sinh, vất vả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu của tôi. Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục các quy ước và kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 1 Tổng quan 4 1.1 Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Định lí không gian con Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu 2.1 11 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . 17 iv 2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên . . . . . . . . 28 2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu . . . . 30 2.3.1 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội . . . . . . . 30 3 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa 38 tạp đại số xạ ảnh 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 Định giá trên trường số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số . . . . 43 3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kết luận và kiến nghị 68 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 70 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Các kí hiệu sau được thống nhất trong toàn bộ luận án. ˆ Pn (C): không gian xạ ảnh phức n chiều. ˆ ∥z∥ = |z1 |2 + · · · + |zm |2
1/2 với z = (z1 , . . . , zm ) ∈ Cm
1/2 với (f0 : · · · : fn ) ∈ Pn (C) là một biểu diễn rút ˆ ∥f ∥ = |f0 |2 + · · · + |fn |2 gọn của f . ˆ o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. ˆ O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞. ˆ O(1): hàm bị chặn đối với r. ˆ log+ x = max{log x, 0}, x > 0. ˆ “ ∥ P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập con Borel E của [0, +∞) thoả mãn R E dr < +∞. ˆ #S : lực lượng của tập hợp S . ˆ BCN N {d1 , . . . , dq }: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương d1 , . . . , dq . ˆ deg D: bậc của đa thức thuần nhất xác định siêu mặt D. ˆ PM (k): không gian xạ ảnh M -chiều trên trường k . ˆ Mk : tập tất cả các lớp tương đương các định giá trên trường k . ˆ ∥.∥v : chuẩn hóa của định giá v trên k . ˆ h(x): độ cao logarit của x, với x ∈ k . ˆ λHj ,v : hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj và định giá v . ˆ NS (Hj , x): hàm đếm (tương ứng với hàm đếm trong lí thuyết Nevanlinna). ˆ f # : đạo hàm cầu của f . ˆ Hol(X, Y ): tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y . ˆ E : Hàm độ dài trên đa tạp X . vi Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hình thành từ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna [24] về sự phân bố giá trị của hàm phân hình một biến phức công bố vào năm 1925. Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mở rộng sang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A. Bloch [6] xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết quả của Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức; H. Weyl , J. Weyl [44] và Ahlfors [4] đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll [37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh... Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặc trưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnh của ánh xạ với một mục tiêu. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Ở đó, Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm, còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu. Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thể nhìn nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểu biết thỏa đáng về nó. Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mới chỉ được thiết lập cho không nhiều trường hợp. Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lập chủ yếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức. Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa 1 Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ công trình của Osgood [27] công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm. Năm 1987, trong bài báo [43], Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta. Theo đó, Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai lí thuyết trên còn có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề. Sự bổ trợ qua lại đó đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bật trong giai đoạn từ đầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu là các siêu mặt. Tiêu biểu là các kết quả của Corvaja-Zannier [10], Evertse-Ferretti [15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29]. Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động. 2. Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu và ứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong. Tiếp theo, luận án thiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Diophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh. 4. Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kế thừa và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ 2 Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơ bản thứ hai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody. Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, nghiên cứu. 6. Cấu trúc luận án Luận án được trình bày thành ba chương chính. Trong đó, chương thứ nhất dành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến nội dung đề tài. Hai chương còn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài. Chương I. Tổng quan. Chương II. Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu. Chương III. Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh. Luận án được viết dựa theo kết quả nghiên cứu của tác giả và các đồng tác giả công bố trong ba bài báo đăng trên các tạp chí khoa học trong nước và quốc tế. 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 3 Chương 1 Tổng quan Năm 1925, trong bài báo [24], R. Nevanlinna công bố kết quả nghiên cứu về sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Kết quả này khởi đầu mở ra một trong những lí thuyết đẹp của Giải tích phức sau này mang tên ông, còn gọi là Lí thuyết phân bố giá trị. Có thể nhìn Lí thuyết Nevanlinna như là một sự mở rộng tinh tế các Định lí Picard bé, Borel, Weierstrass, Định lí cơ bản của Đại số. Lí thuyết này nhanh chóng được nhiều nhà toán học như Bloch, Cartan, H. Weyl, J.Weyl, Ahlfors nghiên cứu mở rộng sang trường hợp chiều cao và liên tục phát triển trong gần 100 năm qua. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí nói về mối quan hệ giữa các hàm đếm, hàm đặc trưng và hàm xấp xỉ, thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Định lí cơ bản thứ nhất nói rằng hàm đặc trưng bằng tổng của hàm đếm và hàm xấp xỉ, từ đó cho ta một đánh giá chặn dưới hàm đặc trưng bởi hàm đếm. Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một đánh giá chặn trên hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu cho trước nào đó. Trong khi đánh giá của Định lí cơ bản thứ nhất luôn đạt được nhờ vào định nghĩa các khái niệm thì đánh giá của Định lí cơ bản thứ hai mới chỉ đạt được cho không nhiều trường hợp các mục tiêu. Chính vì lẽ đó, Lí thuyết Nevanlinna vẫn tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Không chỉ có những ứng dụng đẹp trong Giải tích phức và Hình học phức, Lí thuyết Nevanlinna còn có mối liên hệ sâu sắc với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. Mối liên hệ này được Osgood phát hiện và nêu ra trong một công trình của ông 4 công bố năm 1981. Điều này tiếp tục được làm rõ bởi Vojta cùng các chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực này. Năm 1987, Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực, thường gọi là từ điển Vojta, theo đó Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. 1.1 Định lí cơ bản thứ hai Trong suốt thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai chủ yếu được thiết lập cho mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức. Kết quả của Nevanlinna cho trường hợp một chiều đã được Cartan [7] mở rộng sang trường hợp chiều cao vào năm 1933 như sau. Định lí 1.1.1 (Định lí cơ bản thứ hai Cartan). Cho f là một đường cong nguyên, không suy biến tuyến tính (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào) trong Pn (C). Giả sử H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn (C) (nghĩa là n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Khi đó q X [n] (q − n − 1)Tf (r) ≤ N (r, Hj ) + o(Tf (r)). f j=1 Năm 1983, Nochka [25] tiếp tục mở rộng được kết quả trên của Cartan sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình khác hằng bất kì (thay vì không suy biến tuyến tính). Định lí 1.1.2 (Định lí cơ bản thứ hai Nochka). Cho f là một đường cong nguyên khác hằng trong Pn (C). Giả sử H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn (C), không chứa ảnh của f . Khi đó q X [k] (q − 2n + k − 1)Tf (r) ≤ N (r, Hj ) + o(Tf (r)), f j=1 ở đó k là số chiều của không gian xạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của f. Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cho ta một hệ quả quan trọng đó là định lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh. Theo nguyên lí Bloch, mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn 5 tắc các ánh xạ chỉnh hình và các dạng Bổ đề Zalcman là công cụ quan trọng cho phép ta thực hiện ý tưởng của Bloch. Năm 1991, Ru-Stoll [33] đã mở rộng tiếp được kết quả của Cartan nói trên sang trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là các hệ số trong các siêu phẳng được thay bằng các hàm chỉnh hình). Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từ đầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu mặt. Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti, Corvaja-Zannier [15, 16, 10] đã thiết lập thành công các Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt. Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó, năm 2004, Ru [31] đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartan sang trường hợp siêu mặt. Định lí 1.1.3 (Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt cố định, [31]). Cho f là một đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu mặt nào) trong Pn (C). Giả sử D1 , . . . , Dq (q ≥ n + 1) là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn (C) (nghĩa là n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có q X (q − n − 1 − ε)Tf (r) ≤ j=1 1 Nf (r, Dj ). deg Dj Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho không gian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-Trần Văn Tấn [11, 12], Ru [32] thiết lập thành công. Các Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái [13], Lê Giang [19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An [30], Sĩ Đức Quang [29]. Gần đây, Trần Văn Tấn [41, 42] đã thiết lập được một dạng mạnh của Định lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu phẳng mục tiêu. Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh 6 hình. Hướng nghiên cứu thứ nhất của luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận của Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt. Chương 2 của luận án trình bày hướng nghiên cứu thứ nhất với kết quả chính đạt được là Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu như sau. Định lí 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho V ⊂ Pn (C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong Pn (C), ở vị trí N -dưới tổng quát trên V (có nghĩa là N + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng với V có giao bằng rỗng). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1 , . . . , deg Dq . Xét f là một đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tại siêu mặt đại số trong Pn (C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V ). Kí hiệu f # là đạo hàm cầu của ánh xạ f và HV là hàm Hilbert của đa tạp V . Giả sử V ̸⊂ Dj (j = 1, . . . , q), với f # = 0 trên ∪qj=1 f −1 (Dj ). Khi đó,   (2N − k + 1)HV (d) Tf (r) q− k+1  X q ≤ 1− 1 (k + 1)(HV (d) − 1) j=1 1 [κ] N (r, Dj ) + o(Tf (r)), deg Dj f với κ = ∞ nếu HV (d) = 2 và κ = HV (d) − 1 nếu HV (d) ≥ 3. Từ định lí trên chúng tôi đã thiết lập được Định lí Picard tương ứng như sau. Định lí 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn (C), n ≥ 2. Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg D1 , . . . , deg Dq . Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn (C) sao cho với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj , hoặc f # = 0 trên f −1 (Dj ). Khi
đó q ≤ 3n n+d − n. n Sử dụng Định lí Picard trên, kết hợp với Bổ đề Zalcman, chúng tôi tiếp tục thiết lập được một tiêu chuẩn về tính Brody cho đường cong nguyên như sau. Định lí 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn (C), n ≥ 2. Giả sử các siêu mặt D1 , . . . , Dq ở vị trí tổng quát trong 7 Pn (C) sao cho f # bị chặn trên ∪qj=1 f −1 (Dj ). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của
# deg D1 , . . . , deg Dq . Khi đó, nếu q > 3n n+d n −n, thì f bị chặn trên toàn C, nghĩa là, f là một đường cong Brody. 1.2 Định lí không gian con Schmidt Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai Cartan. Định lí 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt, [36]). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho các siêu phẳng H1 , . . . , Hq trong Pn (k), ở vị trí tổng quát. Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có (q − n − 1 − ε)h(x) ≤ q X NS (Hj , x), j=1 với mọi x thuộc Pn (k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong Pn (k). (Ở đây, Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k , h(x) là hàm độ cao Logarit của x, và NS (Hj , x) là hàm đếm của x ứng với S và siêu phẳng Hj .) Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cũng đã được Ru-Wong [35] thiết lập năm 1991. Năm 1997, Ru-Vojta [34] tiếp tục thiết lập được Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là hệ số của siêu phẳng là các hàm trên một tập chỉ số). Kết quả này của Ru-Vojta tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động. Định lí 1.2.2 (Ru-Vojta [34], 1997). Cho k là một trường số và S là một tập con hữu hạn các định giá của k , chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho Λ là một tập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H1 , . . . , Hq } là họ các siêu phẳng di động trong PM (k), đánh chỉ số trên Λ. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → PM (k) là một điểm di động. Giả sử (i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với bất kỳ tập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H thì x0 |A , . . . , xM |A là độc lập tuyến tính trên RA,H ), 8 (ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta có h(Hj (α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mọi δ > 0 bất kỳ, h(Hj (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tập con hữu hạn. Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi α ∈ A, X v∈S max K X λHj (α),v (x(α)) ≤ (M + 1 + ε)h(x(α)). j∈K Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, . . . , q}, #K = M + 1 sao cho các siêu phẳng Hj (α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi α ∈ Λ; λHj (α),v là hàm Weil ứng với đa thức Hj (α). Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của DethloffTrần Văn Tấn [11] đã được Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [9] thiết lập vào năm 2015. Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trong không gian xạ ảnh được Sĩ Đức Quang nghiên cứu trong [29, 28]. Các Định lí không gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh. Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn [12]. Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thu được như sau. Định lí 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V là một điểm di động. Giả sử (i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3); (ii) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi δ > 0, h(Qj (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn). 9 Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho q XX 1 v∈S j=1 dj λQj (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) đúng với mọi α ∈ A. Đặc biệt, khi V = Pn (k), kết quả trên trùng với kết quả của Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [8]. Trong [28], Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang, Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổng quát. Cũng trong [28] và trong [29], Sĩ Đức Quang đã đề xuất kỹ thuật ước lượng (đánh giá) để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổng quát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Kết hợp kỹ thuật của chúng tôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lí trên có thể dễ dàng thay thế bởi bất đẳng thức sau trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vị trí m-dưới tổng quát trên V (tức là, tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số, theo nghĩa, ngoài một tập hữu hạn chỉ số, m + 1 siêu mặt bất kì trong họ Q đều có giao bằng rỗng trên V ) q XX 1 v∈S j=1 dj λQj (α),v (x(α)) ≤ ((m − n + 1)(n + 1) + ε)h(x(α)). (1.1) Khi V = Pn (k), bất đẳng thức trên chính là kết quả của Sĩ Đức Quang [28]. Quan sát các Định lí cơ bản của Nochka và của Eremenko-Sodin cho mục tiêu lần lượt là các siêu phẳng, siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, chúng tôi tin rằng, trong tương lai, (1.1) cũng như đánh giá trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng sẽ có thể được thay thế bởi những đánh giá tốt hơn đáng kể. Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quả của chúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang [19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang [28] (cho trường hợp không gian xạ ảnh) nằm ở chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vành Cohen-Macauley như đối với trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh. 10 Chương 2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu Chương này được viết dựa trên kết quả của các bài báo [2] và [3] (trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị Lí thuyết phân bố giá trị được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo, phần này được viết dựa trên các tài liệu [17, 26, 1, 2, 3]. 2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna a) Hàm đếm của hàm phân hình và công thức Jensen. Định nghĩa 2.1.1 (Hàm đếm của một divisor). Cho ν là một divisor trên mặt phẳng phức C. Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi Zr X n(t, ν) dt, (r > 1), ở đó n(t, ν) := ν(z). N (r, ν) = t |z| 1), ở đó n[k] (t, ν) := min{ν(z), k}. t N [k] (r, ν) = |z| 1, ta có 1 Nf (r) − N 1 (r) = f 2π Z2π 1 log|f (reiθ )|dθ − 2π 0 Z2π log|f (eiθ )|dθ. 0 b) Các hàm cơ bản cho ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ ảnh. Cho f : C −→ Pn (C) là một ánh xạ chỉnh hình. Trong Pn (C) ta cố định một mục tiêu xạ ảnh và giả sử (f0 : · · · : fn ) là một biểu diễn rút gọn của f ứng với mục tiêu đó. Gọi D là một siêu mặt trong Pn (C) xác định bởi đa thức thuần nhất Q(x0 , . . . , xn ) ∈ C[x0 , . . . , xn ], deg Q = deg D. Giả sử D không chứa ảnh của f (tức là f (C) ̸⊂ D hay Q(f ) := Q(f0 , . . . , fn ) ̸≡ 0). Định nghĩa 2.1.3. Hàm đếm các giao điểm của siêu mặt D với ảnh của f có bội được ngắt bởi số nguyên dương k (hoặc +∞) định nghĩa là [k] [k] Nf (r, D) := NQ(f ) (r) = N [k] (r, (Q(f0 , . . . , fn ))0 ). Khi k = +∞ ta bỏ kí hiệu [k] trong hàm đếm. Định nghĩa 2.1.4. Hàm đặc trưng của ánh xạ f được định nghĩa bởi 1 Tf (r) := 2π Z2π 1 log∥f (reiθ )∥dθ − 2π 0 Z2π log∥f (eiθ )∥dθ, (r > 1), 0 ở đó chuẩn được tính theo một trong hai dạng tương đương sau 1 ∥f ∥ = (|f0 |2 + · · · + |fn |2 ) 2 hoặc ∥f ∥ = max {|f0 |, . . . , |fn |}. 0≤i≤n Định nghĩa 2.1.5. Hàm xấp xỉ của ánh xạ f ứng với siêu mặt D được định nghĩa bởi 1 mf (r, D) := 2π Z2π deg Q log ∥f (reiθ )∥ ∥Q∥ dθ, |Q(f (reiθ ))| 0 ở đó ∥Q∥ là tổng của mô-đun các hệ số của Q. 12 Từ các định nghĩa hàm đếm, hàm đặc trưng và từ công thức Jensen đối với hàm đếm, ta có đẳng thức sau, thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất. Định lí 2.1.6 (Định lí cơ bản thứ nhất đối với ánh xạ chỉnh hình). Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn (C) và D là một siêu mặt trong Pn (C) không chứa ảnh của f . Khi đó, deg D.Tf (r) = Nf (r, D) + mf (r, D) + O(1). Nhận xét 2.1.7. Do mf (r, D) ≥ 0 nên từ đẳng thức trong định lí trên ta thu được bất đẳng thức sau, cũng được gọi là Định lí cơ bản thứ nhất Nf (r, D) ≤ deg D.Tf (r) + O(1). 2.1.2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình Để mở rộng Bổ đề đạo hàm Logarit tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình, ta cần định nghĩa sau. Định nghĩa 2.1.8. Với g0 , . . . , gn là các hàm phân hình trên C, ta gọi là toán tử Wronski của g0 , . . . , gn , kí hiệu bởi W (g0 , . . . , gn ), xác định như sau    g0 g1 . . . gn     ′ ′ ′   g0 g1 . . . gn   W (g0 , . . . , gn ) :=  . .. ..  . . . . . . . .    (n) (n)  (n)  g g . . . gn 0 1 Nhận xét. Toán tử Wronski có các tính chất sau. 1) W (hg0 , . . . , hgn ) = hn+1 W (g0 , . . . , gn ) với h là một hàm phân hình tùy ý. 2) W (H0 (g0 , . . . , gn ), . . . , Hn (g0 , . . . , gn )) = det(aji ).W (g0 , . . . , gn ), với mọi dạng tuyến tính Hj (x0 , . . . , xn ) = aj0 x0 + · · · + ajn xn ∈ C[x0 , . . . , xn ], j = 0, 1, . . . , n. Với f : C −→ Pn (C) là một ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn (f0 : · · · : fn ). Ta kí hiệu W (f ) := W (f0 , . . . , fn ) và gọi là toán tử Wronski của f . Nếu ta thay biểu diễn rút gọn (f0 : · · · : fn ) của f bởi một biểu diễn rút gọn khác (uf0 : · · · : ufn ) (trong đó u là một hàm nguyên không có không điểm), thì toán tử Wronski của f thay đổi một hệ số nhân là un+1 . Nếu ta thay mục tiêu xạ ảnh 13