Tài liệu Luận án nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------------------------------ NGUYỄN DUY CƯỜNG NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGHỆ AN - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------------------------------ NGUYỄN DUY CƯỜNG NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN Chuyên ngành: QUANG HỌC Mãsố: 9440110 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Đinh Xuân Khoa 2. GS.TSKH. Marek Trippenbach NGHỆ AN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan nội dung của luận án này làcông trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đinh Xuân Khoa và GS.TSKH. Marek Trippenbach. Các kết quả trong luận án làtrung thực và được công bố trên các tạp chí chuyên ngành ở trong nước và quốc tế. Tác giả Nguyễn Duy Cường LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TS. Đinh Xuân Khoa và GS.TSKH. Marek Trippenbach là những Thầy đã định hướng nghiên cứu, cung cấp các tài liệu quan trọng, nhiều lần thảo luận góp ý vàtận tì nh chỉ dẫn cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn đến quýThầy giáo GS.TSKH. Cao Long Vân, TS. Bùi Đình Thuận, TS. Nguyễn Việt Hưng vàcác Thầy côgiáo Ngành Vật lý thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên cùng nhóm Nghiên cứu sinh chuyên ngành Quang học đã giúp đỡ, nhiệt tình giảng dạy các kiến thức chuyên ngành, chỉ dẫn các kỹ năng nghiên cứu, cónhiều đóng góp ýkiến quýbáu vàgiải đáp các thắc mắc về mặt khoa học trong quátrì nh tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, tận tình hướng dẫn vàgiúp đỡ kịp thời các thủ tục hành chính trong thời gian tôi học tập vànghiên cứu. Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp Vinh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian cho tôi trong việc học tập và nghiên cứu trong những năm qua. Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, người thân vàbạn bè đã quan tâm động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận án này. Trân trọng cảm ơn! Tác giả luận án MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ TỔNG QUAN ...................................................................................................... 1 1. Lýdo chọn đề tài............................................................................................... 1 2. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................... 4 3. Đối tượng vàphạm vi nghiên cứu ..................................................................... 5 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 5 5. Bố cục của luận án ............................................................................................ 6 Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN ................... 7 1.1. Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý...................................... 7 1.2. Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học .............................................................................................................. 9 1.2.1. Hiệu ứng phi tuyến Kerr.............................................................................. 9 1.2.2. Hiện tượng hấp thụ hai photon .................................................................. 12 1.2.3. Phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học ............. 13 1.3. Solitons vàlời giải solitons .......................................................................... 14 1.4. Một số phương pháp số để tính toán phương trình Schrödinger phi tuyến . 16 1.4.1. Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến ......................................................................................... 17 1.4.2. Phương pháp Split - Step Fourier (SSF) ................................................... 19 1.5. Một số phương pháp dùng để xét tí nh chất ổn định của các trạng thái ....... 23 1.5.1. Phương pháp tuyến tí nh hóa trị riêng của mode nhiễu loạn ..................... 23 1.5.2. Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov - Kolokolov (V-K) .................................... 27 1.6. Sự phávỡ đối xứng tự phát .......................................................................... 28 1.6.1. Khái niệm về sự phávỡ đối xứng tự phát ................................................. 28 1.6.2. Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn ....................................... 29 1.6.3. Trạng thái hỗn loạn vàmột số kịch bản dẫn đến hỗn loạn ....................... 31 1.7. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 34 Chương 2. SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TOÀN....................................................... 36 2.1. Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép ........ 36 2.1.1. Mô hình và phương trình mô tả hệ........................................................... 36 2.1.2. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ vàthế tuyến tí nh kép ................... 39 2.1.3. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự phân kỳ vàthế tuyến tính kép ................ 46 2.2. Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến tính ....................................................................................................................... 48 2.2.1. Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu .................................... 48 2.2.2. Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của các trạng thái ............................................................................................................. 49 2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................ 53 Chương 3. SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG CỘNG HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT .................... 54 3.1. Môhình nghiên cứu vàhệ phương trình mô tả ............................................ 54 3.2. Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng vòng quang ................................................................................................................... 57 3.2.1. Trạng thái dừng vàsự phávỡ đối xứng .................................................... 58 3.2.2. Trạng thái dao động................................................................................... 63 3.2.3. Trạng thái hỗn loạn ................................................................................... 65 3.3. Sự phávỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép .............................. 68 3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phávỡ đối xứng của hệ............ 69 3.3.2. Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phávỡ đối xứng của hệ......... 77 3.3.3. Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phávỡ đối xứng của hệ ............. 83 3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................ 85 KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................ 87 CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ .............................................................. 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 90 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN Viết đầy đủ Từ viết tắt Nghĩa tiếng việt Sự phávỡ đối xứng tự phát SSB Spontaneous Symmetry Breaking NLSE Nonlinear Schrödinger Equation BEC Bose - Einstein condensation AI Artificial Intelligence V-K Vakhitov - Kolokolov SSF Split - Step Fourier Re Real Phần thực Im Image Phần ảo Phương trình Schrödinger phi tuyến Hệ ngưng tụ Bose - Einstein Trítuệ nhân tạo Tên của hai nhà khoa học Vakhitov vàKolokolov Tên của phương pháp số Split - Step Fourier DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 1.2 1.3 Nội dung Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) tự điều biến pha và (b) điều biến pha chéo [33]. Lan truyền của các solitons sau một chu kỳ: (a) soliton bậc nhất và(b) soliton bậc bốn. Lan truyền của xung qua bước nhỏ ℎ theo phương pháp Split Step bậc hai. Trang 10 15 22 Phổ ổn định tuyến tí nh của các trạng thái solitons của phương 1.4 trì nh Schrödinger phi tuyến (1.84) với hằng số lan truyền 𝜇 = 26 1, tương ứng với ba trường hợp phi tuyến (1.84a)-(1.84c). Hình (a) là đường cong công suất trạng thái solitons (1.85); (b, 1.5 c) làphổ ổn định tuyến tí nh của trạng thái solitons tại hai giá 27 trị 𝜇 = 1 và𝜇 = 3 tương ứng với các điểm tròn ở hì nh (a). 1.6 1.7 1.8 1.9 Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng. Sự rẽ nhánh trên tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hì nh một chiều [44]. Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hì nh hai chiều [45]. Quỹ đạo của hệ Lorenz khi các giátrị tham số ρ = 28, σ = 10, β = 8/3. 1.10 Ba kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn. 2.1 Thế tuyến tính Gauss kép được chuẩn hóa 𝑈(𝑥)⁄|𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥 theo tọa độ không gian 𝑥. 28 30 31 32 33 37 Trạng thái soliton bất đối xứng trái (a) vàbất đối xứng phải (b) (các đường nét liền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường nét 2.2 đứt). Các tham số: độ rộng của hàm thế Gauss kép là𝑎 = 0.5, 38 công suất xung là𝑁 = 2, trường hợp này làphi tuyến tự hội tụ 𝜎 = −1. Các trạng thái solitons của hệ vàthế Gauss kép lần lượt tương 2.3 ứng các đường màu xanh và màu đỏ nét đứt: (a) trạng thái soliton đối xứng, (b) trạng thái soliton bất đối xứng. 39 2.4 Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng số lan truyền 𝜇, vàcông suất xung 𝑁. 40 Hình (a) làcông xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền; hì nh (b) là tiến triển trong không gian trạng thái soliton đối 2.5 xứng với 𝑁 = 0.5, 𝑎 = 0.5; hì nh (c), (d) lần lượt làtiến triển 41 trạng thái soliton đối xứng vàtrạng thái soliton đối xứng khi 𝑁 = 2, 𝑎 = 0.5. Hình (a), (b), (c) tương ứng làhì nh dạng solitons của các trạng 2.6 thái ứng với các điểm A, B, C (hoặc D). Các hì nh (a1), (b1), (c1) tương ứng làphổ trị riêng của các mode nhiễu loạn khi tiến triển 43 các solitons ứng với (a), (b), (c) trong không gian thực. Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng 2.7 được tí nh theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và công suất xung 𝑁 ứng với trường hợp độ rộng của thế Gauss 44 kép 𝑎 = 0.2. Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng 2.8 được tí nh theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và công suất của xung vào 𝑁 ứng với trường hợp độ rộng của thế 44 Gauss kép 𝑎 = 1.0. Hình (a) công suất xung vào ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ 2.9 rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền 45 ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn). Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong 2.10 trường hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tính Gauss 46 kép 𝑎 = 1.0. Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng 2.11 khác nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất 𝑁=2 47 và hình (b) tương ứng với a =1.0, công suất 𝑁=2. Tiến triển trong không gian thực các trạng thái solitons, hì nh 2.12 (a) ứng với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung 𝑁=2, hì nh (b) ứng với trường hợp độ rộng a =1.0, công suất xung 𝑁=2. 47 Các loại trạng thái solitons: hình (a) là trạng thái đối xứng, 2.13 hì nh (b) trạng thái phản đối xứng vàhì nh (c) trạng thái không đối xứng của hệ trong trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = 1 vàhằng 50 số lan truyền 𝜇 = 4. Hình (a) miêu tả công suất xung và hì nh (b) miêu tả năng 2.14 lượng của các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối 51 xứng theo hằng số lan truyền 𝜇. Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng  được định nghĩa theo 2.15 biểu thức (2.25) theo hằng số lan truyền 𝜇 và tổng công suất 52 𝑁. Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với 3.1 sự có mặt của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên 55 kết tuyến tính với nhau [31]. 3.2 3.3 Một số loại trạng thái cuối cùng của hệ khi liên kết giữa hai vòng là hằng số, tham số mất mát cố định Γ = 1 [31]. Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với các tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1. 58 59 Các trạng thái dừng trong trường hợp liên kết Gauss đơn, các 3.4 tham số 𝛾 = 3, 𝛤 = 1 và𝑎 = 1, với cường độ liên kết khác nhau là 𝐽0 = 1, 𝐽0 = 2, 𝐽0 = 3. Hình (a) là kết quả tính toán 60 của luận án, (b) là kết quả của công trình [48]. Trạng thái dừng đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm 3.5 sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số 61 Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và𝛾 = 0.55 [50, 51]. Trạng thái dừng phản đối xứng, hình (a) là mô đun của các 3.6 hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham 61 số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và𝛾 = 1.1 [50, 51]. Trạng thái dừng bất đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm 3.7 sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số 62 Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và𝛾 = 0.60 [50, 51]. 3.8 Trạng thái không đồng nhất trong trường hợp liên kết hằng số, các tham số Γ = 1, 𝛾 = 1.5 và𝑐 = 1.75 [31]. 63 Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số. Hình (a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo 3.9 thời gian [31], (b) làbiến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là 64 tiến triển của hàm sóng theo thời gian và (d) là mô đun của các hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và𝑐 = 1.25. Sự tiến triển của hàm sóng theo thời gian trong một vòng 3.10 quang học của hệ trong trường hợp liên kết Gauss đơn với các tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 1; hình (a) ứng với cường độ liên 65 kết 𝐽0 = 4, hình (b) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 5 [48]. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên nh nhỏ của hì nh vẽ (a) làkết quả của 3.11 kết hằng số (trong đó hì 66 [31]), khi các tham số đặc trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và𝑐 = 2. Biến đổi Fourier của tổng công suất trong hai vòng của hệ mô 3.12 tả kịch bản dẫn đến hỗn loạn. Hình (a) ứng với hằng số liên kết 𝑐 ∈ [1.74,1.82], hì nh (b) chi tiết vùng nhỏ khung vuông màu 67 đỏ ứng với 𝑐 ∈ [1.790,1.810] [52]. Mô đun của các hàm sóng ứng với các giá trị khác nhau của 3.13 cường độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với cường 70 độ liên kết 𝐽0 = 0.9, 𝐽0 = 0.95, 𝐽0 = 1.0 và𝐽0 = 1.1. 3.14 Trạng thái dao động ứng với ba trường hợp khác nhau của cường độ liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6 và𝐽0 = 2.61. 71 Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt tương ứng với các tham số cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84, 𝐽0 = 3.15 3.19 và𝐽0 = 3.20; hì nh (a1-b1) một trạng thái hỗn loạn, (a2-b2) 73 trạng thái dao động nhiều tần số, (a3-b3) trạng thái dao động với một tần số. Sơ đồ rẽ nhánh sự chuyển đổi trạng thái của hệ khi các tham số 3.16 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 0.01 theo cường độ liên kết 𝐽0 ∈ 74 [1.97, 3.57]. 3.17 3.18 Mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng ứng với các giátrị khác nhau của cường độ liên kết. Sơ đồ rẽ nhánh mô tả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng cường độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. 75 76 3.19 Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các tham số cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và𝛾 thay đổi. 77 Mô đun của các hàm sóng trong hai vòng quang học hì nh (a) 3.20 khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.12 mô tả trạng thái dừng đối xứng vàhì nh (b) khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.22 mô tả trạng 78 thái không đối xứng. Tổng công suất của hệ mô tả trạng thái dao động, trạng thái 3.21 hỗn loạn của hệ, hì nh (a1-b1) biểu diễn trạng thái dao động ứng với tham số khuếch đại 𝛾 = 2.42, hình (a2-b2) biểu diễn trạng 79 thái hỗn loạn ứng với tham số khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62. Mô đun của các hàm sóng, hì nh (a) và(b) lần lượt môtả trạng 3.22 thái phản đối xứng vàtrạng thái bất đối xứng ứng với các tham 80 số khuếch đại là𝛾 = 3.06 và𝛾 = 3.65. 3.23 Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực học của hệ, khi các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = 1. 81 Biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ miêu tả các trạng 3.24 thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số vàtrạng thái hỗn loạn. Các hì nh (a), (b), (c) và(d) lần lượt tương ứng với 82 các tham số 𝛾 = 0.16, 𝛾 = 2.65, 𝛾 = 4.75 và𝛾 = 5.03. Giản đồ rẽ nhánh của quátrì nh biến đổi trạng thái của hệ khi 3.25 cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mất 83 mát phi tuyến Γ thay đổi. Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi 3.26 các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi. 84 DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ Sơ đồ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Nội dung Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. Trang 69 74 77 81 83 85 TỔNG QUAN 1. Lýdo chọn đề tài Sự phávỡ đối xứng tự phát (Spontaneous Symmetry Breaking - SSB) làhiện tượng thường thấy trong tự nhiên vàtrong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau như: vật lý hạt cơ bản với Mô hì nh chuẩn [1], vật liệu từ và hệ ngưng tụ Bose Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC), v.v… Tuy nhiên, theo định nghĩa chung SSB làmột số trạng thái cơ bản của hệ vật lý nào đó bị “phá vỡ” đối xứng khi tham số điều khiển vượt quágiátrị nhất định (gọi làgiátrị tới hạn), vídụ như trong môhì nh chiếc mũ Mexico [2]. Trong quang học, sự phávỡ đối xứng cóthể được hiểu như là kết quả của sự tương tác giữa các số hạng phi tuyến với các cấu trúc ống dẫn sóng. Khi thành phần phi tuyến mạnh, nó sẽ triệt tiêu các liên kết tuyến tí nh giữa các lõi trong ống dẫn sóng song song, vídụ trong môi trường Kerr tự hội tụ [2]. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học, SSB làsự cạnh tranh giữa hiệu ứng tuyến tính vàhiệu ứng phi tuyến, vídụ như giữa khuếch đại tuyến tí nh vàmất mát phi tuyến, dẫn tới xuất hiện trạng thái không đối xứng, thậm chí dẫn tới trạng thái hỗn loạn [3]. SSB trong quang học có nhiều ứng dụng trong công nghệ quang tử. Hiệu ứng chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh cóthể được sử dụng làm cơ sở cho việc thiết kế các thiết bị chuyển mạch toàn quang [4, 5] vàcác ứng dụng khác, chẳng hạn như bộ khuếch đại phi tuyến [6], ổn định trong mạch phân chia bước sóng [7], cổng logic [8] vàtruyền dẫn lưỡng ổn định [9]. Bộ ghép hai sợi quang phi tuyến dùng để nén solitons hiệu quả bằng cách tạo độ tán sắc khác nhau trong hai sợi [10]. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học cũng có nhiều ứng dụng trong các thiết bị quang tử như: chọn lọc bước sóng [11], trạng thái hỗn loạn được ứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ vàbảo mật thông tin [12, 13], phát tín hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1” [13] và đặc biệt động lực học dao động hỗn loạn cực nhanh của laser giải quyết triệt để bài toán giả định ứng dụng vào trítuệ nhân tạo (AI) [14]. Với nhiều ứng dụng quan trọng như vậy, SSB đã và đang được các nhàkhoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu [6-25]. Đặc biệt là nhóm của B. A. 1 Malomed đã nghiên cứu rất chi tiết kể từ hơn hai thập kỷ qua. SSB được nghiên cứu trong nhiều hệ quang học khác nhau cả trong lýthuyết vàthực nghiệm. Đối với trong ống dẫn sóng mà chủ yếu trong môi trường Kerr tự hội tụ [2], ảnh hưởng của hiệu ứng SSB lên solitons quang học không gian đã được chứng minh bằng thực nghiệm trong ống dẫn sóng phẳng phi tuyến [15]. Nghiên cứu giải tí ch của SSB cho các mode solitons được thực hiện trong các môhì nh lõi kép cótí nh chất phi tuyến Kerr [16], vàcác ống dẫn sóng quang học phi tuyến bậc ba - năm [17]. Hiệu ứng SSB trong quang học cóthể xảy ra trong cấu trúc có sự phân bố đối xứng của chiết suất với phi tuyến tự hội tụ, hệ được mô tả bởi phương trình Schrödinger phi tuyến (nonlinear Schrödinger equation - NLSE) có thêm thành phần thế tuyến tí nh [18]. Trong các sợi quang học lõi kép ghép tuyến tí nh với nhau cũng có SSB, đó là thành phần trọng yếu trong chuyển mạch toàn quang điều khiển công suất, với hiệu ứng phi tuyến Kerr [19]. SSB của trạng thái sóng liên tục [20] vàsự hì nh thành các solitons bất đối xứng trong các sợi quang lõi kép [21] cũng được nghiên cứu chi tiết về mặt lýthuyết. Gần đây SSB trong ống dẫn quang với sự cạnh tranh của phi tuyến bậc ba - năm và thế tuyến tính đối xứng chẵn lẻ thời gian được nghiên cứu [22]. Qua đó cho thấy, SSB với sự cómặt của thế tuyến tí nh không ngừng quan tâm nghiên cứu vàứng dụng bằng cách xem xét với các loại thế tuyến tí nh mới. Hầu hết những nghiên cứu về SSB trước 2008 được đề cập ở trên được thực hiện trong các hệ quang học cóhệ số phi tuyến làhằng số. Một cách khác để thực hiện phávỡ đối xứng tự phát trong hệ quang học đó là môi trường phi tuyến biến điệu. Năm 2008 lần đầu tiên SSB được nghiên cứu trong hệ với phi tuyến biến điệu dạng kép tương đương như thế phi tuyến kép dạng hàm hai delta được nghiên cứu [23] và được mở rộng trong trường hợp hai chiều [24], gần đây vào năm 2017 phi tuyến biến điệu dạng hàm mũ cũng được nghiên cứu có số đỉnh tăng dần từ hai đến năm đỉnh [25]. Như vậy, chúng ta có thể nghiên cứu SSB trong hệ mới với việc thay đổi dạng phi tuyến biến điệu. Một loại hệ khác để thực hiện SSB đó là hệ cộng hưởng vòng quang. SSB trong hệ này gây ra sự biến đổi trạng thái của hệ, trong đó có dẫn tới trạng thái 2 hỗn loạn. Đây là trạng thái đã có nhiều ứng dụng và được nhiều quan tâm nghiên cứu hiện nay. Sau khi laser được phát minh, vào năm 1963, Lorenz là người đầu tiên phát biểu khái niệm hỗn loạn. Theo đó, hỗn loạn được hiểu làsự mất trật tự, lộn xộn. Đến năm 1983 hỗn loạn quang được thực hiện trong phòng thínghiệm bởi Gioggia and Abraham [26]. Những năm 1990 hỗn loạn laser được nghiên cứu để ứng dụng vào thông tin quang, đồng bộ quang [27] và đến năm 2000 ứng dụng trở thành hiện thực. Sau đó hỗn loạn laser không ngừng được nghiên cứu ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác như trong các mạch tích hợp quang tử đối với thông tin quang [28] như kỹ thuật phát số ngẫu nhiên “0”, “1” [29] ứng dụng trong kỹ thuật mật mã, bảo mật thông tin [30] vàgần đây vào năm 2017 nhóm của Marek Trippenbach đã đề xuất một hệ cộng hưởng mới gồm hai vòng quang học kích thước cỡ micro mét liên kết tuyến tí nh với nhau, động lực học của hệ xuất hiện nhiều trạng thái và hiện tượng thú vị hứa hẹn nhiều ứng dụng trong tương lai [31]. Qua tì m hiểu SSB trong các hệ quang học chúng tôi nhận thấy cómột số hệ chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ hoặc có thể mở rộng nghiên cứu thêm. Việc nghiên cứu SSB trong các hệ quang học khác nhau một cách đầy đủ, hệ thống làrất cần thiết, sẽ giúp định hướng trong thực nghiệm vàứng dụng. Đặc biệt, trạng thái hỗn loạn của SSB hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong cuộc cách mạng 4.0. Vìvậy chúng tôi chọn “Nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến” làm đề tài luận án của mì nh góp phần vào hệ thống lýthuyết về SSB của một số hệ quang học. Động lực học của một hệ vật lý nói chung được mô tả bằng các phương trình vi phân. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các hệ quang học đóng (hệ bảo toàn) vàmở (hệ không bảo toàn) được môtả bằng các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến kiểu Schrödinger. Các môi trường phi tuyến kiểu Kerr là một vídụ điển hì nh của các phương trình kiểu này. Khó khăn chung trong mọi bài toán phi tuyến làvề mặt toán học của chúng. Các phương trình vi phân phi tuyến khó giải hơn nhiều so với các phương trì nh tuyến tí nh. Chỉ các phương trình vi phân tuyến tính mới cho ta những lời giải giải tích chí nh xác qua việc dùng phép 3 biến đổi Fourier nổi tiếng “phân lời giải thành các sóng phẳng”. Phương pháp giải tí ch chỉ cóthể đưa ra trong một số rất í t các bài toán phi tuyến vàkhông thể có phương pháp giải chung cho tất cả các bài toán được. Chẳng hạn, phương trình Schrödinger phi tuyến cóthể giải bằng phương pháp tán xạ ngược nhưng không áp dụng được cho phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng. Để giải quyết vấn đề, người ta đã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác nhau. Phương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số cùng với việc phát minh ra các máy tính thế hệ ba cósức tí nh toán khổng lồ. Chúng đã được sử dụng trong rất nhiều bài toán thực tế khác nhau vàhiệu quả trong bài toán lan truyền xung và xét tí nh chất ổn định của các trạng thái. Mục đích quan trọng của đề tài này làtìm hiểu vàvận dụng một số phương pháp số để nghiên cứu SSB vàxét tí nh chất ổn định của trạng thái trong một số hệ quang học đóng và mở. Chúng tôi sử dụng ngôn ngữ thông dụng của các tí nh toán bằng số là ngôn ngữ Matlab để viết chương trình cho máy tính. Những kết quả này không chỉ mang tí nh lýthuyết mà có nhiều hướng ứng dụng to lớn trong kỹ thuật vàcông nghệ như ứng dụng các solitons vào truyền thông. Các hệ quang học phi tuyến trở nên “phòng thí nghiệm” cho các nghiên cứu giải tí ch vàsố đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến hiện nay. 2. Mục tiêu nghiên cứu 2.1. Mục tiêu tổng quát - Nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá vỡ đối xứng tự phát (SSB) trong hệ ống dẫn sóng với sự có mặt của phi tuyến Kerr vàthế tuyến tính Gauss kép, hệ hai ống dẫn sóng liên kết tuyến tính vàphi tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta (hai hệ này có Hamiltonian không đổi theo thời gian - gọi tắt làhệ bảo toàn). - Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số điều khiển như cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mất mát, độ rộng của hàm liên kết lên SSB vàquá trình động lực học của hệ hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tí nh với sự có mặt của khuếch đại tuyến tính và mất mát phi tuyến (hệ này có Hamiltonian thay đổi theo thời gian - gọi tắt làhệ không bảo toàn). 4 2.2. Mục tiêu cụ thể - Xác định các khoảng tham số như công xuất xung, hằng số lan truyền để tồn tại các loại trạng thái solitons khác nhau trong hệ bảo toàn. - Xét tính chất ổn định của các loại trạng thái solitons đồng thời xác định đặc trưng rẽ nhánh của SSB trong hệ bảo toàn. - Xác định các vùng tham số điều khiển như: cường độ liên kết, tham số khuếch đại, mất mát để tồn tại các loại trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn trong hệ không bảo toàn. - Thiết lập sơ đồ, giản đồ rẽ nhánh về SSB vàchuyển đổi giữa các trạng thái trên, xác định kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn của hệ không bảo toàn. 3. Đối tượng vàphạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là các hệ quang học có phi tuyến kiểu Kerr và hệ cộng hưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với sự cómặt của khuếch đại tuyến tí nh vàmất mát phi tuyến. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu làcác hệ quang học được xét trong trường hợp một chiều vàphi tuyến kiểu Kerr. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết: Sử dụng phương pháp tách biến để giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai; Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov Kolokolov (V-K) để xác định tí nh chất ổn định của các trạng thái solitons. - Phương pháp số: Phương pháp thời gian ảo để tìm lời giải solitons trong môi trường quang học phi tuyến Kerr. Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của các mode nhiễu loạn và phương pháp Split - Step Fourier (SSF) tiến triển solitons dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn để xác định tí nh chất ổn định của solitons. Đồng thời sử dụng phương pháp SSF để tìm trạng thái cuối cùng trong hệ cộng hưởng vòng quang. 5 5. Bố cục của luận án Ngoài phần tổng quan vàkết luận chung, luận án gồm có ba chương có nội dung tóm tắt như sau: Chương 1. Một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến Trong chương này chúng tôi trì nh bày những vấn đề sau đây: thứ nhất khái quát về phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, đặc biệt là phương trình Schrödinger phi tuyến. Đây làphương trình cơ sở của một số hệ quang học phi tuyến với các phi tuyến bậc ba (gồm phi tuyến Kerr tự hội tụ, tự phân kỳ vàhiện tượng hấp thụ hai photon được trình bày). Thứ hai làcác phương pháp tính toán số áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến, solitons vàcác loại solitons cũng được trì nh bày. Cuối cùng làkhái quát về khái niệm sự phávỡ đối xứng, giản đồ rẽ nhánh, ý nghĩa của giản đồ rẽ nhánh, trạng thái hỗn loạn vàmột số kịch bản dẫn tới hỗn loạn. Chương 2. Sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học phi tuyến bảo toàn Chương 2 chúng tôi nghiên cứu sự phávỡ đối xứng trong hai hệ quang học đó là: hệ thứ nhất làống dẫn sóng cóphi tuyến Kerr đồng nhất vàthế tuyến tính có dạng hàm Gauss kép, hệ thứ hai là hệ hai ống dẫn sóng song song có phi tuyến Kerr không đồng nhất vàliên kết tuyến tính. Bằng các phương pháp khác nhau chúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá vỡ đối xứng tự phát, đồng thời xét tính chất ổn định của các trạng thái solitons của hai hệ bảo toàn trên. Chương 3. Sự phávỡ đối xứng tự phát trong hệ hai vòng cộng hưởng quang kích thước cỡ micro mét Chương này chúng tôi nghiên cứu SSB vàquátrình biến đổi trạng thái của hệ hai vòng cộng hưởng quang liên kết tuyến tính với nhau. Bằng phương pháp SSF với kỹ thuật tiến triển theo thời gian với ảnh hưởng của nhiễu loạn, chúng tôi đi xác định được các vùng tham số tồn tại SSB vàcác loại trạng thái khác nhau, đồng thời xem xét kịch bản dẫn tới hỗn loạn. 6 Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN Mục tiêu chí nh của chương này làtìm hiểu vàtrình bày các phương pháp tí nh toán áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến vàxét tí nh chất ổn định của các trạng thái. Đồng thời chúng tôi tìm hiểu các khái niệm cơ bản liên quan đến sự phá vỡ đối xứng sẽ áp dụng để nghiên cứu trong Chương 2 và Chương 3. 1.1. Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý Hầu hết các hiện tượng vật lý trong thực tế được mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng. Phương trình cóchứa các đạo hàm riêng của hàm hai hoặc nhiều biến được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Tùy theo cách phân chia mà phương trình đạo hàm riêng được chia làm các loại khác nhau. Nếu phân chia theo mức độ phi tuyến chúng ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tí nh và phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phương trình được viết ở dạng chung như sau [32]: 𝐿𝑢(𝑥⃗) = 𝑓(𝑥⃗), (1.1) ở đây 𝐿 làmột toán tử tuyến tính, nghĩa làthõa mãn tính chất sau: 𝐿(𝑎𝑢 ⃗⃗ + 𝑏𝑣⃗) = 𝑎𝐿𝑢 ⃗⃗ + 𝑏𝐿𝑣⃗, (1.2) 𝑎, 𝑏 làcác hằng số, 𝑢 ⃗⃗ và𝑣⃗ làcác hàm riêng. Ngược lại, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến là phương trình không tuyến tính nghĩa là 𝐿 không thõa mãn tính chất trên. Nếu phân chia theo sự phụ thuộc vào thời gian, chúng ta có phương trình biến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình dừng. Trong tình huống này người ta thường kíhiệu biến thời gian là𝑡, các biến còn lại làbiến không gian. 7