Tài liệu Luận án một số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC NGUY™N VI›T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PH…N LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC H  Nëi - 2022 VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC NGUY™N VI›T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PH…N Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02 LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TSKH. T¤ Thà Ho i An H  Nëi - 2022 Líi cam oan Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TSKH. T¤ Thà Ho i An. C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n. C¡c k¸t qu£ ÷ñc n¶u trong luªn ¡n l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc ai cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh n o kh¡c. T¡c gi£ Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng i Líi c£m ìn Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TSKH. T¤ Thà Ho i An, mët nh  gi¡o m¨u müc, nh  khoa håc tªn t¥m ¢ khæng ch¿ ành h÷îng v  d¼u d­t t¡c gi£ tr¶n con ÷íng nghi¶n cùu, m  cán luæn quan t¥m v  d¤y b£o cho t¡c gi£ nhúng b i håc quþ gi¡ trong cuëc sèng. Líi ¦u ti¶n, t¡c gi£ xin ÷ñc ph²p b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t ¸n ng÷íi cæ ¡ng k½nh. T¡c gi£ xin ÷ñc tr¥n trång c£m ìn Ban l¢nh ¤o Vi»n To¡n håc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam, Trung t¥m  o t¤o sau ¤i håc, c¡c pháng chùc n«ng v  c¡c nh  khoa håc cõa Vi»n To¡n håc ¢ gióp ï, t¤o i·u ki»n thuªn lñi nh§t cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i Vi»n. T¡c gi£ công xin tr¥n trång c£m ìn pháng ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ ÷ñc tham gia c¡c buêi sinh ho¤t khoa håc cõa li¶n pháng. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Kinh t¸ v  Qu£n trà Kinh doanh - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Khoa Khoa håc cì b£n v  c¡c th¦y cæ gi¡o trong Bë mæn To¡n ¢ luæn ëng vi¶n v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ ho n th nh ÷ñc luªn ¡n n y. Nh¥n dàp n y t¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi PGS. TS. H  Tr¦n Ph÷ìng ¢ d nh cho t¡c gi£ nhúng t¼nh c£m v  sü ëng vi¶n gióp ï quþ b¡u. Cuèi còng, xin d nh mân qu  tinh th¦n n y d¥ng t°ng Bè, Mµ, c¡c anh chà em trong ¤i gia ¼nh th¥n y¶u, t°ng ng÷íi vñ hi·n y¶u d§u, nhúng ng÷íi ¢ chàu nhi·u khâ kh«n v  d nh h¸t nhúng t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n t¡c gi£ ho n th nh k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa m¼nh. T¡c gi£ Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng ii Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mð ¦u 1 Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 1.1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cê iºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 ×îc l÷ñng khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh . . . 15 1.3 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 22 2.1 Quan h» sè khuy¸t cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh . . . . . 23 2.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mët sè d¤ng a thùc vi ph¥n . . 26 2.3 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 T½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä 39 3.1 C¡c h m ph¥n h¼nh chung mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 C¡c a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n h¼nh chung mët h m nhä . . 52 3.3 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 K¸t luªn cõa luªn ¡n T i li»u tham kh£o 75 79 iii Mð ¦u ành lþ cì b£n cõa ¤i sè nâi r¬ng mët a thùc bªc n tr¶n tr÷íng sè phùc C câ óng n khæng iºm. V o nhúng n«m cuèi cõa th¸ k 18 ¦u th¸ k 19, c¡c nh  to¡n håc ¢ ph¡t triºn nhúng k¸t qu£ ¤t ÷ñc v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc l¶n èi t÷ñng l  c¡c h m nguy¶n trong m°t ph¯ng phùc. Trong thíi gian n y, Borel ¢ th nh cæng trong vi»c k¸t hñp v  c£i ti¸n c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar² v  Hadamard cho c¡c h m nguy¶n v  lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà b­t ¦u h¼nh th nh. Lþ thuy¸t n y nghi¶n cùu mªt ë cõa c¡c iºm m  t¤i â h m ph¥n h¼nh nhªn mët gi¡ trà cö thº. Mët âng gâp nêi bªt cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cho c¡c h m ph¥n h¼nh ¢ ÷ñc nh  to¡n håc ng÷íi Ph¦n Lan Rolf Nevanlinna ÷a ra. Sau n y, c¡c k¸t qu£ â ¢ g­n li·n vîi t¶n tuêi cõa æng v  th÷íng ÷ñc nh­c ¸n vîi t¶n gåi Lþ thuy¸t Nevanlinna. Sü ra íi cõa lþ thuy¸t n y ÷ñc ¡nh gi¡ l  mët trong nhúng th nh tüu µp ³ v  s¥u s­c nh§t trong ng nh gi£i t½ch phùc v  ng y c ng câ nhi·u ùng döng trong nhúng l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc, ch¯ng h¤n nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t hå chu©n t­c, h¼nh håc phùc v  lþ thuy¸t sè,.... Tr£i qua g¦n mët tr«m n«m, h÷îng nghi¶n cùu ¢ ÷ñc ph¡t triºn r§t m¤nh m³ v  ¢ chùng ki¸n sü âng gâp to lîn cõa c¡c nh  to¡n håc n÷îc ngo i nh÷ Gol'dberg, Ostrovskii, Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi,... v  c¡c nh  to¡n håc trong n÷îc nh÷ L. V. Thi¶m, H. H. Kho¡i, . . Th¡i, S. . Quang, T. V. T§n, T. T. H. An,.... Tuy nhi¶n, vîi t¦m quan trång trong gi£i t½ch phùc, h÷îng nghi¶n cùu n y v¨n ang ti¸p töc thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa c¡c nh  to¡n håc. Möc ti¶u cõa c¡c nh  to¡n håc l  ÷a ra c¡c b§t ¯ng thùc giúa h m ¸m, h m x§p x¿ v  h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh, thæng qua c¡c b§t ¯ng thùc â câ thº xem x²t sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m ph¥n h¼nh v  t¼m c¡c ùng döng cõa c¡c k¸t qu£ â. B i to¡n quan trång trong lþ thuy¸t n y l  nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡c khæng iºm, cüc iºm cõa mët h m v  ¤o h m cõa h m â. N«m 1922, Pâlya [43] ¢ chùng m¼nh r¬ng n¸u h m ph¥n h¼nh f câ ½t nh§t hai cüc iºm th¼ vîi méi sè nguy¶n d÷ìng k õ lîn, ¤o h m c§p k cõa h m ph¥n h¼nh â câ ½t nh§t mët khæng 1 iºm. Li¶n quan tîi k¸t qu£ â, Gol'dberg [19] ¢ °t ra gi£ thuy¸t sau: Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v  k ≥ 2 l  mët sè nguy¶n. Khi â, ta câ N (r, f ) ≤ N r, 1
f (k) + o(T (r, f )), khi r → ∞ ngo i mët tªp câ ë o húu h¤n, trong â T (r, f ) l  h m °c tr÷ng 1 Nevanlinna, N (r, f ) l  h m ¸m c¡c cüc iºm khæng t½nh bëi cõa f v  N r, f (k) l 
h m ¸m c¡c khæng iºm cõa ¤o h m c§p k cõa h m f t½nh c£ bëi. Gi£ thuy¸t cõa Gol'dberg ch¿ óng vîi c¡c ¤o h m câ c§p ½t nh§t l  hai, chóng ta x²t v½ dö ìn gi£n l  h m f (z) = tan z , khi â h m f câ væ sè cüc iºm trong khi ¤o h m c§p mët f 0 khæng câ khæng iºm. N«m 1986, Frank v  Weissenborn [18] ¢ chùng minh gi£ thuy¸t Gol'dberg b¬ng ph÷ìng ph¡p Wronskian èi vîi tr÷íng hñp h m ph¥n h¼nh f ch¿ câ c¡c cüc iºm ìn. Sau â, Langley [25] ¢ chùng minh r¬ng n¸u f l  mët h m ph¥n h¼nh c§p húu h¤n thäa m¢n i·u ki»n ¤o h m c§p hai f 00 câ húu h¤n khæng iºm th¼ f câ húu h¤n cüc iºm. N«m 2013, b¬ng vi»c x¥y düng h m x§p x¿ hi»u ch¿nh v  ÷a ra c¡c ch°n cho h m x§p x¿ â, Yamanoi [33] ¢ t¤o ra mët b÷îc ët ph¡ trong lþ thuy¸t Nevanlinna vîi chùng minh ho n to n gi£ thuy¸t Gol'dberg v  thªm ch½ k¸t qu£ cõa æng ÷a ra cán m¤nh hìn gi£ thuy¸t ban ¦u. Vi»c chùng minh gi£ thuy¸t Gol'dberg câ þ ngh¾a r§t lîn trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà, nâ ¢ gióp cho c¡c nh  to¡n håc v÷ñt qua nhi·u khâ kh«n trong vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n quan trång cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m ph¥n h¼nh. Gi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a ∈ C. K½ hi»u δ(a, f ) = lim inf r→∞ 1 m r, f −a
= 1 − lim sup T (r, f ) 1 N r, f −a r→∞
T (r, f ) l  sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v  Θ(a, f ) = 1 − lim sup r→∞ 1 N r, f −a
T (r, f ) l  ph¥n nh¡nh to n ph¦n cõa f. Tø c¡c ành ngh¾a tr¶n, chóng ta d¹ d ng thu ÷ñc c¡c ch°n sau: 0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1. M°t kh¡c, ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna cho chóng ta th§y têng t§t c£ c¡c sè khuy¸t cõa mët h m ph¥n h¼nh luæn bà ch°n tr¶n bði 2 v  ¥y l  bà ch°n tèt nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh khi x²t trong tr÷íng hñp têng qu¡t. Tuy nhi¶n, èi vîi mët sè lîp h m hµp hìn, ch°n tr¶n n y câ thº ÷ñc gi£m xuèng. Thªt vªy, vîi chó 2 þ r¬ng t§t c£ c¡c cüc iºm cõa ¤o h m c§p k cõa h m ph¥n h¼nh f ·u câ bëi ½t nh§t l  k + 1, Hayman [21] ¢ ch¿ ra r¬ng, vîi måi k ∈ N, X Θ(a, f (k) ) ≤ 1 + a∈C 1 . k+1 N«m 1971, Mues [41] ¢ chùng minh d§u b¬ng trong b§t ¯ng thùc tr¶n x£y ra khi f l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati vîi c¡c h» sè h¬ng. i·u â chùng tä b§t ¯ng thùc tr¶n cõa Hayman l  tèt nh§t. Khi thay ph¥n nh¡nh to n ph¦n Θ(a, f (k) ) bði sè khuy¸t δ(a, f (k) ) trong b§t ¯ng thùc tr¶n th¼ ch°n tr¶n thu ÷ñc câ thº l  mët sè nhä hìn thüc sü. Cö thº, Mues ¢ chùng minh r¬ng X δ(a, f (k) ) ≤ a∈C k 2 + 5k + 4 1 < 1 + k 2 + 4k + 2 k+1 vîi måi k ∈ N. Ngo i ra, æng ¢ °t ra gi£ thuy¸t r¬ng ch°n tr¶n â ph£i l  1, v  æng ¢ chùng minh ÷ñc gi£ thuy¸t â vîi k ≥ 2 v  h m ph¥n h¼nh f câ ½t cüc iºm bëi. N«m 1990, Yang [36] v  Ishizaki [23] ¢ ëc lªp ÷a ra mët ch°n tr¶n tèt hìn cho têng sè khuy¸t cõa ¤o h m cõa h m ph¥n h¼nh l  2k+2 2k+1 . ¸n n«m 1992, Yang v  Wang [37] ¢ chùng minh gi£ thuy¸t Mues óng vîi måi k ≥ K(f ), vîi K(f ) l  mët sè nguy¶n d÷ìng ch¿ phö thuëc v o h m f. Sau â, gi£ thuy¸t n y ¢ ÷ñc Wang [30] chùng minh l  óng vîi måi k ≥ 0, ngo¤i trø nhi·u nh§t bèn gi¡ trà cõa k . Ch¼a khâa trong c¡c chùng minh ÷ñc ÷a ra bði c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ·u câ mët iºm chung â l  hå cè g­ng t¼m ra mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa h m ph¥n h¼nh v  sè khæng iºm cõa ¤o h m cõa h m ph¥n h¼nh â ð d¤ng y¸u hìn gi£ thuy¸t Gol'dberg. N«m 2013, Yamanoi [33] ¢ chùng minh th nh cæng gi£ thuy¸t Gol'dberg, v  tø â æng thu ÷ñc gi£ thuy¸t Mues nh÷ mët h» qu£. V§n · tü nhi¶n ÷ñc °t ra â l  têng qu¡t gi£ thuy¸t Gol'dberg v  gi£ thuy¸t Mues theo h÷îng nh÷ sau: 1) T¼m mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa mët h m ph¥n h¼nh v  sè khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh â. 2) T¼m quan h» sè khuy¸t cõa a thùc vi ph¥n cõa mët h m ph¥n h¼nh. Li¶n quan ¸n v§n · thù hai ð tr¶n, Jiang v  Huang [24] ¢ x²t cho c¡c ìn thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh f câ d¤ng f l (f (k) )n , trong â l, n, k l  c¡c sè nguy¶n lîn hìn 1. Hå ¢ nhªn ÷ñc ch°n tr¶n cho têng c¡c sè khuy¸t cõa ìn thùc vi ph¥n n y l  1 + 1 nk+n+l . Tuy nhi¶n, ch°n n y câ thº ÷ñc l m tèt hìn, ¥y l  mët trong nhúng möc ti¶u cõa luªn v«n n y. Ta nâi r¬ng mët gi¡ trà a ∈ C l  mët gi¡ trà Picard cõa h m ph¥n h¼nh f n¸u f − a khæng câ khæng iºm. ành lþ Picard ch¿ ra r¬ng mët h m ph¥n h¼nh kh¡c 3 h¬ng ch¿ câ thº câ nhi·u nh§t hai gi¡ trà Picard húu h¤n. N«m 1959, Hayman ¢ chùng minh r¬ng ¤o h m c§p k (k ≥ 1) cõa mët h m ph¥n h¼nh b§t ký câ thº câ nhi·u nh§t mët gi¡ trà Picard húu h¤n. èi vîi tr÷íng hñp h m nguy¶n, k¸t qu£ cõa Milloux [22] ch¿ ra r¬ng n¸u mët h m nguy¶n si¶u vi»t câ mët gi¡ trà Picard húu h¤n th¼ c¡c ¤o h m cõa nâ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. K¸t qu£ n y sau â ÷ñc mð rëng cho h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t bði Hayman [21]. Mët iºm h¤n ch¸ trong c¡c k¸t qu£ tr¶n â l  y¶u c¦u h m ph¥n h¼nh câ gi¡ trà Picard húu h¤n. Mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l  li»u gi£ thi¸t v· sü tçn t¤i cõa gi¡ trà Picard câ thº bä i hay khæng n¸u ta xem x²t mët lîp h m ph¥n h¼nh n o â? Li¶n quan ¸n v§n · n y, Hayman [21] ¢ chùng minh r¬ng: Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v  n ≥ 3 l  mët sè nguy¶n. Khi â, f n f 0 nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. Æng gi£ thuy¸t r¬ng k¸t qu£ n y óng vîi måi n ≥ 1. N«m 1979, Mues [42] ¢ ÷a ra chùng minh cho tr÷íng hñp n = 2. ¸n n«m 1995, Bergweiler v  Eremenko [10] v  Chen v  Fang [14] ¢ ÷a ra chùng minh cho tr÷íng hñp n = 1. Thay cho vi»c ch¿ x²t b i to¡n cho ìn thùc vi ph¥n, Hayman [21] ¢ ÷a ra c¥u häi: N¸u f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, n ≥ 3 v  a 6= 0 th¼ ϕ = f 0 − af n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n? Æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng kh¯ng ành â óng khi n ≥ 5 v  công ÷a ra c¡c ph£n v½ dö º ch¿ ra r¬ng kh¯ng ành tr¶n khæng óng khi n = 1 v  n = 2. Tuy nhi¶n, Mues [42] ¢ ÷a ra c¡c ph£n v½ dö º ch¿ ra r¬ng kh¯ng ành â khæng óng vîi n = 3, 4 b¬ng vi»c x²t h m f l  nghi»m kh¡c h¬ng b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati w0 = −(1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vîi η = e2πi/3 ) cho tr÷íng hñp n = 3 v  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati w0 = 2(w2 + 1) cho tr÷íng hñp n = 4. N«m 1982, Doringer [15] ¢ chùng minh r¬ng k¸t qu£ tr¶n ÷ñc thäa m¢n n¸u thay ϕ = f 0 − af n bði ϕ = f (k) − af n khi n ≥ k + 4. Möc ti¶u ti¸p theo ÷ñc chóng tæi nghi¶n cùu trong luªn ¡n n y â l : Xem x²t ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn. Thæng th÷íng vîi méi k¸t qu£ tr¶n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà, chóng ta hy vång câ mët k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü x¡c ành duy nh§t cõa c¡c h m. N«m 1996, Fang v  Hua [17] ¢ xem x²t sü x¡c ành duy nh§t cõa c¡c h m nguy¶n f thæng qua £nh ng÷ñc cõa a thùc vi ph¥n f 0 f n . Sau â, k¸t qu£ n y ÷ñc Yang v  Hua [35] mð rëng cho tr÷íng hñp c¡c h m ph¥n h¼nh. B i to¡n cho a thùc vi ph¥n c§p mët f 0 f n (f − 1) ÷ñc chùng minh bði Fang v  Hong [16] khi f l  h m nguy¶n v  bði Lin v  Yi [27] khi f l  h m ph¥n h¼nh. N«m 2013, Boussaf v  c¡c çng nghi»p [12] ¢ x²t b i to¡n cho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn b¬ng vi»c ÷a ra c¡c i·u ki»n th½ch hñp v· sè bëi cõa c¡c khæng iºm cõa ¤o h m cõa a thùc Q(z) sao cho vîi hai h m ph¥n h¼nh f v  g , n¸u (Q(f ))0 v  (Q(g))0 chung mët h m nhä α t½nh c£ 4 bëi th¼ f = g. B¶n c¤nh â mët sè t¡c gi£ kh¡c ch¯ng h¤n nh÷: Bhoosnurmatha v  Dyavanal [11], Zang [38], Xu còng çng nghi»p [31],... ¢ x²t cho tr÷íng hñp a thùc vi ph¥n c§p cao hìn. Chó þ r¬ng c¡c k¸t qu£ tr¶n ·u x²t a thùc vi ph¥n câ d¤ng [f n P (f )](k) v  k¸t luªn r¬ng n¸u f v  g l  c¡c h m ph¥n h¼nh thäa m¢n [f n P (f )](k) − α v  [g n P (g)](k) − α chung khæng iºm, vîi α l  h m nhä v  n l  sè nguy¶n d÷ìng õ lîn, th¼ f = g. Tuy nhi¶n, chóng tæi nhªn th§y câ mët sè h¤n ch¸ li¶n quan ¸n c¡c k¸t qu£ n y. Cö thº, c¡c t¡c gi£ ch¿ x²t c¡c a thùc câ ½t nh§t mët khæng iºm c§p õ cao v  c¡c h m nhä α ph£i câ húu h¤n khæng iºm v  cüc iºm. V¼ vªy, möc ti¶u ti¸p theo cõa chóng tæi l  x²t b i to¡n tr¶n cho c¡c biºu di¹n têng qu¡t hìn v  bä qua i·u ki»n v· t½nh húu h¤n cõa c¡c khæng iºm v  cüc iºm cõa h m nhä α. çng thíi, chóng tæi công ÷a ra c¡c k¸t qu£ trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä khæng t½nh bëi. Luªn ¡n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1, ngo i ph¦n ¦u d nh cho vi»c tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n ÷ñc dòng trong luªn ¡n, chóng tæi ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· c¡c khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n h¼nh (ành lþ 1.2.1). ành lþ n y ÷a ra mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa mët h m ph¥n h¼nh v  sè khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh â. Nh÷ mët h» qu£ cõa ành lþ 1.2.1 chóng tæi thu ÷ñc k¸t qu£ cõa Yamanoi trong tr÷íng hñp °c bi»t v  mð rëng gi£ thuy¸t Gol'dberg. K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y düa v o b i b¡o [5]. Ch÷ìng 2 d nh cho vi»c nghi¶n cùu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n. Ph¦n ¦u cõa ch÷ìng ÷a ra quan h» sè khuy¸t cho a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh (ành lþ 2.1.1). ành lþ n y l  mët ùng döng trüc ti¸p cõa ành lþ 1.2.1 trong Ch÷ìng 1 v  çng thíi công cho ta mët d¤ng têng qu¡t hìn cõa gi£ thuy¸t Mues cho a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n h¼nh. Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh cho vi»c nghi¶n cùu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh. Trong ph¦n n y, c¡c ành lþ 2.2.1, 2.2.5 v  2.2.7 l  c¡c mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho c¡c a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn. Ch÷ìng 2 ÷ñc tr¼nh b y düa v o c¡c b i b¡o [5, 7]. Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· t½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä. Ph¦n ¦u cõa ch÷ìng ÷a ra c¡c °c tr÷ng cõa c¡c h m ph¥n h¼nh chung nhau mët h m nhä trong c¡c tr÷íng hñp t½nh c£ bëi v  khæng t½nh bëi (ành lþ 3.1.2, ành lþ 3.1.4 v  ành lþ 3.1.5). Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng ÷a ra c¡c ùng döng cõa c¡c ành lþ ð ph¦n ¦u cho vi»c nghi¶n cùu t½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi 5 ph¥n chung nhau mët h m nhä ÷ñc thº hi»n trong nëi dung cõa c¡c ành lþ: ành lþ 3.2.1 ¸n ành lþ 3.2.6, ành lþ 3.2.8 v  ành lþ 3.2.9. K¸t thóc ph¦n n y, chóng tæi ÷a ra °c tr÷ng nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Q(f ) = Q(g) + c trong â Q(z) l  a thùc vîi h» sè tr¶n C, f, g l  c¡c h m ph¥n h¼nh v  c l  mët h¬ng sè phùc. Nëi dung cõa ch÷ìng düa v o c¡c b i b¡o [6, 8, 28]. 6 Ch÷ìng 1 Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Trong ch÷ìng n y ngo i vi»c tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà cho c¡c nëi dung ch½nh, chóng tæi tr¼nh b y k¸t qu£ nghi¶n cùu v· khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh. Vîi þ t÷ðng sû döng c¡c ÷îc l÷ñng thæng qua h m x§p x¿ hi»u ch¿nh, chóng tæi ÷a ra mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa h m ph¥n h¼nh v  sè khæng iºm cõa mët a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh â. Trong tr÷íng hñp °c bi»t, k¸t qu£ cõa chóng tæi thu ÷ñc k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa Yamanoi [33] v  gi£ thuy¸t cõa Gold'berg. K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y düa v o b i b¡o [5]. Tr÷îc h¸t, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna cê iºn v  mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi. 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cê iºn Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cê iºn dòng cho vi»c nghi¶n cùu c¡c nëi dung ch½nh. C¡c kh¡i ni»m v  c¡c k¸t qu£ cì b£n n y chõ y¸u ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [13, 22, 29]. Chóng ta nh­c l¤i mët trong nhúng k¸t qu£ quan trång cõa gi£i t½ch phùc â l  cæng thùc Jensen. Cæng thùc n y cho ta c¡ch t½nh mæun cõa h m ph¥n h¼nh t¤i gèc thæng qua mæun cõa h m t¤i c¡c iºm tr¶n ÷íng trán v  c¡c khæng iºm, cüc iºm cõa h m ph¥n h¼nh trong ¾a â. 7 ành lþ 1.1.1 (Cæng thùc Jensen). Cho f 6≡ 0 l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n ¾a D̄(r) = {z ∈ C||z| ≤ r}, (r < ∞). Gi£ sû a1 , . . . , aM l  c¡c khæng iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi v  b1 , . . . , bN l  c¡c cüc iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi. Khi â, n¸u f (0) 6= 0, ∞ th¼ 2π Z M N µ=1 ν=1 X r r dθ X − log + log . log |f (re )| 2π |aµ | |bν | iθ log |f (0)| = 0 Chó þ 1.1.2. Gi£ sû f (z) câ khæng iºm c§p m (vîi m > 0) ho°c cüc iºm c§p −m (vîi m < 0) t¤i z = 0. Khi â, ta vi¸t f (z) = cm z m + cm+1 z m+1 + . . . trong â cm l  h» sè kh¡c khæng ¦u ti¶n trong khai triºn Laurent cõa f (z) t¤i z = 0. rm . Khi â, ta ÷ñc Ψ(0) = rm cm 6= 0, ∞, |Ψ(z)| = |f (z)| vîi zm måi |z| = r v  Ψ(z) câ còng c¡c khæng iºm v  cüc iºm kh¡c 0 vîi f (z) trong ¾a °t Ψ(z) = f (z) |z| < r. Do â, ¡p döng cæng thùc Jensen cho Ψ(z) ta ÷ñc 1 log |Ψ(0)| = 2π Z 2π iθ log |Ψ(re )|dθ + 0 M X µ=1 N |aµ | X |bν | − log log r r ν=1 Tø â suy ra 1 log |cm | = 2π 2π Z iθ log |f (re )|dθ + 0 M X µ=1 N |aµ | X |bν | log − log − m log r. r r ν=1 Ti¸p theo, ta ành ngh¾a h m °c tr÷ng, h m x§p x¿ v  h m ¸m cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n C. Vîi méi sè thüc x ≥ 0, ta k½ hi»u: log+ x = max{log x, 0}. ành ngh¾a 1.1.3. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phùc. H m x§p x¿ cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði: 1 m(r, f ) = 2π Z 2π log+ |f (reiθ )|dθ, 0 8 v  1 1
= m r, f −a 2π 2π Z log+ 0 1 |f (reiθ ) − a| dθ. V· m°t þ ngh¾a ta th§y h m x§p x¿ m(r, f ) o ë lîn trung b¼nh cõa tªp hñp c¡c iºm trong ¾a D(r) m  t¤i â h m nhªn gi¡ trà x§p x¿ ∞. K½ hi»u n(t, f ) l  sè cüc iºm cõa f (z) trong ¾a |z| ≤ t, trong â méi cüc iºm ÷ñc ¸m vîi sè l¦n b¬ng bëi cõa nâ, n(t, f ) l  sè cüc iºm cõa f (z) trong ¾a |z| ≤ t, trong â méi cüc iºm ch¿ ÷ñc ¸m mët l¦n, n(0, f ) l  sè bëi cõa cüc iºm cõa f (z) t¤i z = 0 v   n(0, f ) = 0 n¸u f (0) 6= ∞; 1 n¸u f (0) = ∞. 1 l  sè khæng iºm cõa f (z) − a trong ¾a Cho a l  mët sè phùc. K½ hi»u n t, f −a
1 |z| ≤ t, trong â méi khæng iºm ÷ñc ¸m vîi sè l¦n b¬ng bëi cõa nâ, n t, f −a
l  sè khæng iºm cõa f (z) − a trong ¾a |z| ≤ t, trong â méi khæng iºm ch¿ ÷ñc 1 ¸m mët l¦n, n 0, f −a l  sè bëi cõa khæng iºm cõa f (z) − a t¤i z = 0 v 
1
= n 0, f −a  0 n¸u f (0) 6= a; 1 n¸u f (0) = a. ành ngh¾a 1.1.4. H m ¸m c¡c cüc iºm cõa f ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Z r N (r, f ) = 0 n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r. t H m ¸m c¡c cüc iºm khæng t½nh bëi cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði: Z N (r, f ) = 0 r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r. t H m ¸m c¡c a-iºm cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði: 1
= N r, f −a Z r 1 1 n t, f −a − n 0, f −a

dt + n 0, t 0 1
log r. f −a H m ¸m c¡c a-iºm khæng t½nh bëi cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði: 1
N r, = f −a Z 0 r 1 1 n t, f −a − n 0, f −a
t 9
dt + n 0, 1
log r. f −a 1 l¦n l÷ñt o ë lîn V· m°t þ ngh¾a ta th§y c¡c h m ¸m N (r, f ) v  N r, f −a
cõa tªp c¡c cüc iºm v  tªp c¡c a-iºm t÷ìng ùng cõa h m f (z) trong ¾a b¡n k½nh r t¥m t¤i gèc. ành ngh¾a 1.1.5. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phùc. H m °c tr÷ng cõa h m f ÷ñc ành ngh¾a bði T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ), v  T r, 1
1
1
= m r, + N r, . f −a f −a f −a ành ngh¾a 1.1.6. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Mët h m ph¥n h¼nh α ÷ñc gåi l  mët h m nhä so vîi f n¸u thäa m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o húu h¤n. Mët sè t½nh ch§t cõa c¡c h m Nevanlinna ÷ñc cho trong m»nh · sau. M»nh · 1.1.7. Gi£ sû fk vîi k = 1, . . . , p l  c¡c h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C. Khi â, ta câ 1) m r, Pp
Pp 2) m r, Qp
Pp 3) N r, Pp
4) N 5) T 6) T k=1 fk ≤ k=1 fk ≤ k=1 m(r, fk ) + log p, k=1 m(r, fk ), Pp k=1 N (r, fk ), k=1 fk ≤
Qp Pp r, k=1 fk ≤ k=1 N (r, fk ),
Pp Pp r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ) + log p,
Pp Qp r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ). Bê · 1.1.8. N¸u f (z) l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C th¼ T (r, f ) = ∞. r→∞ log r lim Bê · 1.1.9 . ([34]) Cho f (z) l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v  an (6≡ 0), an−1 , . . . , a0 l  c¡c h m nhä so vîi f. Khi â, ta câ T (r, an f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 ) = nT (r, f ) + o(T (r, f )). 10 Ti¸p theo, chóng tæi nh­c l¤i Bê · ¤o h m logarit. Bê · n y l  ch¼a khâa trong chùng minh ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna. Tuy nhi¶n, b¶n c¤nh â bê · cán th÷íng xuy¶n ÷ñc sû döng trong nhi·u v§n · kh¡c. Bê · 1.1.10 (Bê · ¤o h m Logarit). Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ m r, f0
= o(T (r, f )) f khi r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o húu h¤n. ành lþ 1.1.11 (ành lþ cì b£n thù nh§t). Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phùc húu h¤n. Khi â, ta câ T r, 1
= T (r, f ) + O(1), f −a trong â O(1) l  ¤i l÷ñng giîi nëi. 1
1
+N r, khæng f −a f −a phö thuëc v o gi¡ trà cõa a, ngh¾a l  h m ph¥n h¼nh nhªn måi gi¡ trà a v  gi¡ trà Tø ành lþ cì b£n thù nh§t ta câ thº xem têng m r, g¦n a mët sè l¦n nh÷ nhau. ¥y ch½nh l  mët t÷ìng tü cõa ành lþ cì b£n cõa ¤i sè cho tr÷íng hñp c¡c h m nguy¶n v  h m ph¥n h¼nh. Tuy nhi¶n, trong ành lþ cì 1
b£n thù nh§t ngo i h m ¸m N r, ta ph£i bê sung th¶m mët h m x§p x¿ f −a 1
m r, m  thüc ch§t dòng º o c¡c iºm m  t¤i â h m ¢ cho nhªn gi¡ trà f −a g¦n vîi a. N¸u h m x§p x¿ qu¡ lîn th¼ ành lþ cì b£n thù nh§t cõa Nevanlinna trð n¶n ½t þ ngh¾a. Måi thù ¢ trð n¶n s¡ng sõa hìn khi Nevanlinna chùng minh ành lþ cì b£n thù hai, â l  mët k¸t qu£ s¥u s­c hìn nhi·u so vîi ành lþ cì b£n thù 1
nâi chung l  r§t nh§t. ành lþ cì b£n thù hai cho th§y r¬ng ¤i l÷ñng m r, f −a nhä. Nëi dung cõa ành lþ cì b£n thù hai nh÷ sau. ành lþ 1.1.12 (ành lþ cì b£n thù hai). Cho a1, . . . , aq (q ≥ 2) l  q sè phùc ph¥n bi»t v  f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc m(r, f ) + q X j=1 m(r, 1 ) ≤ 2T (r, f ) − N1 (r) + o(T (r, f )) f − aj 11 óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong â N1 (r) = N r, 1
+ 2N (r, f ) − N (r, f ). f0 Nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, º câ ÷ñc sü t÷ìng tü ành lþ cì b£n cõa ¤i sè cho c¡c h m ph¥n h¼nh, ta ph£i bê sung th¶m h m x§p x¿ º bò l¤i sü thi¸u höt nghi»m so vîi c§p t«ng cõa h m ph¥n h¼nh f. º ành l÷ñng cho sü thi¸u höt â, Nevanlinna ¢ ÷a ra ành ngh¾a v· sè khuy¸t nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.13. Sè khuy¸t Nevanlinna ÷ñc ành ngh¾a bði δ(a, f ) = lim inf r→∞ 1 m r, f −a
= 1 − lim sup T (r, f ) r→∞ 1 N r, f −a T (r, f )
. Tø ành ngh¾a tr¶n ta câ 0 ≤ δ(a, f ) ≤ 1. çng thíi, tø ành lþ cì b£n thù hai ta câ thº d¹ d ng nhªn ÷ñc quan h» sè khuy¸t sau ¥y: X δ(a, f ) ≤ 2. a∈C∪{∞} Trong ph¦n ti¸p theo, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi ¢ ÷ñc cæng bè g¦n ¥y v  ¢ câ £nh h÷ðng khæng nhä tîi sü ph¡t triºn cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m ph¥n h¼nh. 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi Tr÷îc khi ÷a ra mët sè k¸t qu£ quan trång cõa Yamanoi, chóng ta nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m v· kho£ng c¡ch c¦u giúa c¡c iºm v  mªt ë logarit cõa mët tªp nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.14 ([22]). Kho£ng c¡ch c¦u giúa hai iºm z v  w trong P1(C) ÷ñc x¡c ành bði [z, w] = p |z − w| 1 + |z|2 p 1 + |w|2 n¸u z, w l  c¡c sè phùc húu h¤n v  [z, ∞] = p 12 1 1 + |z|2 . ành ngh¾a 1.1.15 ([20]). Cho E l  mët tªp con cõa R. Khi â, mªt ë logarit tr¶n v  mªt ë logarit d÷îi cõa E l¦n l÷ñt ÷ñc ành ngh¾a bði 1 logdens(E) = lim sup r→∞ log r logdens(E) = lim inf r→∞ 1 log r Z Z [e,r]∩E [e,r]∩E dt , t dt . t N¸u logdens(E) = logdens(E), th¼ ta ành ngh¾a 1 logdens(E) = lim r→∞ log r Z [e,r]∩E dt t l  mªt ë logarit cõa E. K¸t qu£ quan trång ¦u ti¶n chóng ta c¦n nâi ¸n ð ¥y â l  ành lþ cì b£n thù hai cho h m ph¥n h¼nh v  c¡c h m nhä. ành lþ 1.1.16 (ành lþ cì b£n thù hai vîi c¡c h m nhä, [32]). Cho a1, . . . , aq (q ≥ 3) l  q h m ph¥n h¼nh ph¥n bi»t tr¶n C v  f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Gi£ sû aj l  c¡c h m nhä so vîi f vîi måi j = 1, ..., q. Khi â, vîi måi  > 0, b§t ¯ng thùc (q − 2 − )T (r, f ) ≤ q X  N j=1 1 r, f − aj  , óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n. B¥y gií, chóng ta tr¼nh b y mët sü hi»u ch¿nh cõa h m x§p x¿ v  c¡c ÷îc l÷ñng cõa h m â. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tham kh£o trong b i b¡o [34]. ành ngh¾a 1.1.17. Cho d v  n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C. Khi â, h m x§p x¿ hi»u ch¿nh ÷ñc ành ngh¾a bði Z md,n (r, f ) = sup (a1 ,...,an )∈(Rd )n 2π max log 0 1≤j≤n 1 dθ , [f (reiθ ), aj (reiθ )] 2π trong â Rd l  tªp t§t c£ c¡c h m húu t bªc nhä hìn ho°c b¬ng d bao gçm c£ ∞. 13 Chó þ 1.1.18. Cho a1, . . . , an ∈ C l  c¡c sè phùc ph¥n bi»t. Ta câ n X j=1 1
m r, ≤ f − aj 2π Z max log 1≤j≤n 0 1 dθ [f (reiθ ), aj ] 2π + O(1) ≤ md,n (r, f ) + O(1), trong â O(1) l  ¤i l÷ñng bà ch°n ch¿ phö thuëc v o a1 , . . . , an . V¼ vªy, c¡c h m 1 x§p x¿ nevanlinna m r, f −a b² hìn h m x§p x¿ hi»u ch¿nh md,n (r, f ) sai kh¡c mët j
¤i l÷ñng bà ch°n. °t v(r, f, θ) := sup τ ∈[0,2π] log |f (reit )| − sup 
t∈[τ,τ +θ] t∈[τ,τ +θ] λ(r) := min 1, log+ log |f (reit )| , inf T (r, f )
−1 . log r Bê · sau ¥y cho ta ÷îc l÷ñng giao ëng cõa c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n ÷íng trán t¥m t¤i gèc. Bê · 1.1.19. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C v   > 0 b§t ký. Khi â, ta câ v(r, f, λ(r)20 ) ≤ T (r, f ) vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng. Chóng ta thu ÷ñc c¡c ÷îc l÷ñng ch°n tr¶n v  ch°n d÷îi cõa h m x§p x¿ hi»u ch¿nh nh÷ sau. Bê · 1.1.20. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng. °t uk := (k + 1) log+ |f | + log 1 |f (k) | . Khi â, vîi n l  mët sè nguy¶n d÷ìng b§t ký, ta câ Z 2π 0 uk (reiθ ) dθ 2π
≤m̄k−1,n (r, f ) + (k − 1)m(r, f ) + v r, f, 2π n 2π
+ v r, f (k) , + k log(2πr) + 2kn log 3 n vîi måi r > 1. 14 ành lþ 1.1.21. Gi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc C, d v  n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v  B ⊂ C ∪ {∞} l  mët tªp húu h¤n iºm. Gåi p l  sè ph¦n tû cõa B. Khi â, vîi  > 0 b§t ký, ta câ m̄d,n (r, f ) + X N1 r, a∈B 1
(p + n)17 ≤ (2 + )T (r, f ) + T (r, f )4/5 (log r)1/5 f −a 4 vîi måi r > 0 câ thº trø ra mët tªp câ ë o tuy¸n t½nh húu h¤n Ef,d , trong â tªp Ef,d ch¿ phö thuëc v o f v  d. 1.2 ×îc l÷ñng khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Cho k ≥ 1 l  mët sè nguy¶n v  Qi (z) l  c¡c a thùc bªc qi , (i = 0, 1, . . . , k) trong C[z]. Gi£ sû Qi (z) = ci hi Y (z − βij )qij j=1 vîi ci ∈ C∗ v  Phi j=1 qij = qi , vîi i = 0, 1, 2, . . . , k. °t Φ := Q0 (f )Q1 (f 0 ) . . . Qk (f (k) ) (1.1) v  q := q0 + q1 + · · · + qk . K¸t qu£ cõa chóng tæi ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 1.2.1. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, k ≥ 2 l  mët sè nguy¶n v   > 0 b§t ký. Cho A ⊂ C l  mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc. Khi â, ta câ k X X ν=0 a∈A (ν − 1)qν N (r, f ) + q N1 r, 1
1
≤ N r, + T (r, f ), f −a Φ vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (e, ∞) câ mªt ë logarit b¬ng khæng, trong â N1 r, 1
1
1
= N r, − N r, . f −a f −a f −a 15