Tài liệu Luận án bậc topo của ánh xạ đơn điệu suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Đăng Khoa BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Đăng Khoa BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy vì sự tận tình hướng dẫn, giúp đỡ của thầy về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành luận văn. Bên cạnh đó, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích đã có những nhận xét và góp ý để tôi có cơ hội hoàn chỉnh và bảo vệ luận văn tốt nghiệp này. Tôi cũng xin cảm ơn toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian tôi học Cao học. Học viên Võ Đăng Khoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 T 0 0T Chương 1. BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN T 0 CHIỀU ........................................................................................................................3 0T 1.1. Định nghĩa bậc topo của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều.......3 T 0 T 0 1.2. Các tính chất .....................................................................................................4 T 0 0T Chương 2. BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG ..............8 T 0 T 0 2.1. Bậc topo của ánh xạ trong không gian khả ly..................................................8 T 0 T 0 2.2. Bậc topo của ánh xạ trong không gian không khả ly.....................................17 T 0 T 0 Chương 3. TÍNH CHẤT CỦA BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY T 0 RỘNG .......................................................................................................................27 0T Chương 4. CÁCH TÍNH BẬC TOPO CHO MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ...........35 T 0 4.1 Chỉ số tại các điểm tới hạn...............................................................................35 T 0 T 0 4.2 Bậc topo của ánh xạ thế năng ..........................................................................49 T 0 T 0 Chương 5. ÁP DỤNG BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ VÀO SỰ CÓ NGHIỆM T 0 CỦA PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................54 0T KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................68 T 0 T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................69 T 0 0T DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa n Không gian các bộ số gồm n số thực Ω Bao đóng mạnh của Ω σ Ω Bao đóng yếu của Ω ∂Ω Biên của Ω B ( x, R ) Quả cầu mở tâm x bán kính R S ( x, R ) Mặt cầu mở tâm x bán kính R X* Không gian liên hợp của X x Chuẩn của x x⋅ y Tích vô hướng của x và y → Hội tụ mạnh  Hội tụ yếu lim, lim,lim Giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới min f ( x ) , max f ( x ) ,inf f ( x ) ,sup f ( x ) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, cận dưới đúng, cận trên đúng của f trên Ω Hàm dấu của x . Bằng 1 nếu x > 0 , bằng 0 nếu x = 0 , bằng −1 nếu x < 0 x∈Ω x∈Ω x∈Ω x∈Ω sign ( x ) ( deg f , Ω ) Bậc topo của f trên Ω tại 0 f ,x Tác động của f lên x ind ( A, u ) Chỉ số của ánh xạ A tại điểm tới hạn cô lập u 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết bậc topo được hình thành và phát triển từ những năm 1910 và có mục đích ban đầu là để nghiên cứu các đường và mặt trong topo. Chỉ sau khi bậc topo tìm được ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm bất động thì nó mới được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu một cách tập trung và có hệ thống. Ngày nay, bậc topo là công cụ quan trọng bậc nhất trong chứng minh sự tồn tại nghiệm, xem xét cấu trúc tập nghiệm cho nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân phát sinh từ Khoa học tự nhiên cũng như trong nghiên cứu các mô hình Kinh tế-Xã hội. Bậc topo ban đầu được định nghĩa cho các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, rồi được mở rộng cho các ánh xạ hoàn toàn liên tục từ một không gian định chuẩn vào chính nó được khởi xướng bởi J.Leray và J.Schauder. Tiếp theo, bậc topo được xây dựng cho một số lớp ánh xạ rộng hơn. Các ánh xạ đơn điệu suy rộng tác động từ không gian Banach X vào không gian liên hợp của nó X * là sự tổng quát hóa của nhiều ánh xạ vi phân thường gặp. Đặc biệt, việc xây dựng bậc topo cho lớp ánh xạ này đã mở rộng đáng kể khả năng ứng dụng chúng vào các lớp phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp bậc topo cho các ánh xạ loại đơn điệu được bắt đầu từ công trình của F.E.Browder và W.V.Petryshyn về bậc của ánh xạ xấp xỉ riêng (A-proper), công trình của I.V.Skrypnik về bậc của các ánh xạ lớp ( S + ) và đang được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống và tương đối đầy đủ lý thuyết bậc topo cho các ánh xạ đơn điệu và một số ứng dụng. Các kết quả được tham khảo trong [4]. 2 Luận văn có năm chương. Chương I trình bày định nghĩa và các kết quả cơ bản về bậc topo trong không gian hữu hạn chiều được sử dụng ở các chương sau cũng như cho thấy sự tương đồng về tính chất khi mở rộng khái niệm bậc topo. Chương II nêu định nghĩa bậc topo của ánh xạ lớp α trong không gian khả ly và không khả ly và giới thiệu bậc topo của các ánh xạ giả đơn điệu. Chương III trình bày các tính chất quan trọng của bậc topo của các ánh xạ đơn điệu suy rộng, nhiều tính chất giống với ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều được trình bày ở chương I. Chương IV xem xét các cách tính bậc topo cho trường hợp tại các điểm tới hạn (đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự có nghiệm, ước lượng số nghiệm và các nhánh nghiệm của bài toán phi tuyến) và của ánh xạ thế năng. Chương V nghiên cứu các ứng dụng của bậc vào sự tồn tại nghiệm của phương trình và bài toán các điểm phân nhánh. 3 Chương 1. BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 1.1. Định nghĩa bậc topo của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều Định nghĩa 1.1. Cho  n là không gian n − chiều và Ω là tập mở bị chặn trong  n . Ánh xạ f : Ω →  n liên tục, f ( x ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ,..., f n ( x1 , x2 ,..., xn ) ) . Giả sử f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω = Ω \ Ω thì ánh xạ f có một số đặc trưng lấy giá trị ( nguyên được gọi là bậc topo của ánh xạ f trên Ω tại điểm 0, kí hiệu deg f , Ω,0 ( ) ) hoặc deg f , Ω được xác định duy nhất bởi ba tính chất sau : ( ) (i) Nếu f ( x )= x − x0 với x0 ∈ Ω thì deg f , Ω =1 . (ii) Nếu Ω1 , Ω 2 là các tập con mở rời nhau của Ω và f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Ω \ ( Ω1 ∪ Ω 2 ) ( ) ( ) ( ) thì deg f= , Ω deg f , Ω1 + deg f , Ω 2 . (iii) Nếu ánh xạ h : [ 0,1] × Ω →  n liên tục sao cho h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ ∂Ω ( ) ( ) và= f ( x ) h ( 0, x= , Ω deg g , Ω . ) , g ( x ) h (1, x ) , x ∈ Ω thì deg f= Các ánh xạ f , g được gọi là đồng luân trên Ω và ánh xạ h biểu diễn một đồng luân giữa f và g . Bậc topo của ánh xạ, trong một thuật ngữ khác là sự quay của trường vector, có thể được định nghĩa bằng những cách khác dựa trên các khái niệm của topo đại số hoặc bằng các phương pháp giải tích. 4 Ghi chú : Một phương pháp xây dựng bậc topo là dựa trên xấp xỉ ánh xạ f bởi một ánh xạ khả vi liên tục g : Ω →  n sao cho max f ( x ) − g ( x ) < min f ( x ) x∈∂Ω x∈∂Ω và tại những điểm x ∈ Ω sao cho g ( x ) = 0 thì Jacobian Dg ( x ) ≠ 0 . Sự tồn tại của Dx một xấp xỉ như thế suy ra từ định lý Sard. Với { x1 , x2 ,..., xk }= ( ) ( { x ∈ Ω : g ( x=) 0} ta định nghĩa bậc topo của ) ∑ sign deg f= , Ω deg g= ,Ω k i =1 f như sau Dg ( xi ) . Vế phải của đẳng thức bằng 0 nếu Dx g ( x ) ≠ 0 trên Ω . Định nghĩa 1.2. Cho  n là không gian n − chiều và Ω là tập mở bị chặn trong  n . Ánh xạ f : Ω →  n liên tục, f ( x ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ,..., f n ( x1 , x2 ,..., xn ) ) . Giả sử f ( x ) ≠ y, ∀x ∈ ∂Ω = Ω \ Ω , ta định nghĩa bậc topo của ánh xạ f trên Ω tại điểm ( ) ( ) y ∈  n , kí hiệu là deg f , Ω, y , xác định bởi đẳng thức ( ) deg f , Ω,= y deg f − y, Ω . 1.2. Các tính chất Các kết quả sau đây thường được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của bậc topo của các ánh xạ trong không gian Banach. Bổ đề 1.3. (Leray-Schauder) Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n . Ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn = f n ( x ) f= xn với x n ( x1 , x2 ,..., xn )= ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ Ω . Giả sử f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω 5 và tập Ω=' f , Ω) { x ∈ Ω : xn= 0} . Khi đó deg ( = ( ) deg f ', Ω ' với f ' : Ω ' →  n −1 xác định bởi f ' ( x1 , x2 ,..., xn −1 ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn −1 ,0 ) ,..., f n −1 ( x1 , x2 ,..., xn −1 ,0 ) ) . Định nghĩa 1.4. Một miền liên thông, bị chặn Ω trong  n được gọi là miền Jordan nếu  n \ Ω liên thông. Định lý 1.5. (Hopf) Cho Ω là miền Jordan trong  n và f , g : Ω →  n là các ánh xạ liên tục thỏa ( ) ( ) mãn điều kiện f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω và deg f= , Ω deg g , Ω . Khi đó ánh xạ f và g đồng luân với nhau trên Ω . Bổ đề 1.6. Cho 0 ∈ Ω và f : Ω →  n liên tục thỏa mãn ∀x ∈ ∂Ω, f ( x ) ≠ 0, f ( x ) ⋅ x ≥ 0 ( ) (tích vô hướng). Khi đó deg f , Ω =1 . Chứng minh Xét ánh xạ liên tục h : [ 0,1] × Ω →  n , h ( t , x )= tx + (1 − t ) f ( x ) . x t x + (1 − t ) f ( x ) ⋅ x > 0 . Vì 0 ∈ Ω , với mọi x ∈ ∂Ω, t ∈ ( 0,1] ta có h ( t , x ) ⋅= 2 Suy ra h ( t , x ) ≠ 0 . t 0, x ∈ ∂Ω thì h (= Với= 0, x ) f ( x ) ≠ 0 Do ( tính ) bất ( biến ) deg f= , Ω deg Id, = Ω 1■ của bậc topo qua phép đồng luân nên 6 Bổ đề 1.7. Với B ( 0, R ) = { x ∈  n : x ≤ R} cho ánh xạ liên tục f : B ( 0, R ) →  n thỏa ( mãn f ( x ) ≠ 0, f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ S ( 0, R ) ={ x ∈  n : x =R} thì deg f , B ( 0, R ) ) là một số lẻ. Ghi chú : Kết luận của bổ đề 1.7 vẫn còn đúng nếu ta thay điều kiện lẻ trên − f ( x ) , x ∈ S ( 0, R ) bằng điều kiện mặt cầu f ( − x ) = f ( x) f (−x) , x = ≠ R. f ( x) f (−x) Khi đó, f đồng luân với ánh xạ g trên S ( 0, R ) , trong đó g ( x = ) f ( x) − f (−x) , bởi phép đồng luân h ( t , x )= f ( x ) − tf ( − x ) , h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ S ( 0, R ) . Ứng dụng của bậc topo trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trong không gian hữu hạn chiều dựa trên định lý sau đây. Định lý 1.8. Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n và ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn ( ) điều kiện f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω và deg f , Ω ≠ 0 . Khi đó phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong Ω . Định lý trên được suy trực tiếp từ bổ đề sau đây. Bổ đề 1.9. Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n và ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn ( ) điều kiện f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Ω . Khi đó deg f , Ω =0 . Chứng minh Với Ω ' là miền có bán kính đủ nhỏ sao cho với x1 , x2 ∈ Ω ' 7 f ( x1 ) − f ( x2 ) + x1 − x2 < 1 min f ( x ) 2 x∈Ω Trên Ω ' thì f ( x ) đồng luân với f 0 ( x )= x − x0 + f ( x0 ) , x0 ∈ Ω ' bởi ánh xạ h ( t , x ) = t ( x − x0 + f ( x0 ) ) + (1 − t ) f ( x ) . Bởi việc chọn Ω ' nên ta có h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ ∂Ω ' và f 0 ( x ) ≠ 0 với x ∈ Ω ' . Do đó sử dụng các tính chất (i) và (iii) của định nghĩa bậc topo ta được ( ) ( ) deg f , Ω ',0 = deg f 0 , Ω ',0 = 0. Trường hợp tổng quát, ta sẽ phủ Ω compact bởi hữu hạn các tập mở có bán kính đủ nhỏ rồi áp dụng tính chất (ii) của bậc ta sẽ được điều cần chứng minh ■ 8 Chương 2. BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG 2.1. Bậc topo của ánh xạ trong không gian khả ly Trong phần này, X là không gian Banach thực phản xạ khả ly và X * là không gian liên hợp của nó. Kí hiệu sự hội tụ mạnh bởi dấu → và sự hội tụ yếu bởi dấu  . Với x ∈ X , f ∈ X * bất kì, sự tác động của hàm f lên phần tử x được ký hiệu là f , x . 2.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 2.1. Cho X là không gian Banach, Ω ⊂ X và toán tử A : Ω → X * . A được gọi là ánh xạ đơn điệu trên Ω nếu Au − Av, u − v ≥ 0, ∀u , v ∈ Ω . A được gọi là ánh xạ thuộc lớp {un } ⊂ Ω, un  u0 , lim n →∞ A được + trên Ω nếu với dãy Aun , un − u0 ≤ 0 thì un → u0 . gọi {un } ⊂ Ω, un  u0 , lim n →∞ (S ) là ánh xạ giả đơn điệu trên Ω nếu 0 . Hơn nữa nếu Aun , un − u0 ≤ 0 thì lim Aun , un − u0 = n →∞ u0 ∈ Ω thì Aun  Au0 . Ghi chú: Dưới điều kiện liên tục yếu, các ánh xạ đơn điệu, ánh xạ thuộc lớp ( S ) đều là giả đơn điệu. + 9 Định nghĩa 2.2. Cho F ⊂ X và toán tử A : F → X * . Ta nói A thỏa mãn điều kiện α 0 ( F ) nếu với bất kỳ dãy {un } ⊂ F , un  u0 , Aun  0 và lim Aun , un − u0 ≤ 0 thì n →∞ u n → u0 . Định nghĩa 2.3. Cho D tập con mở bị chặn của X .Toán tử A : D → X * được gọi là thỏa mãn điều α ( F ), F ⊂ D kiện nếu với dãy {un } ⊂ F , un  u0 và lim Aun , un − u0 ≤ 0 thì un → u0 . n →∞ ( ) ( ) A thỏa mãn điều kiện α D trùng với A thuộc lớp S + trên D . Định nghĩa 2.4. Cho X là không gian Banach, Ω ⊂ X và toán tử A : Ω → X * . A được gọi là hemi-liên tục trên Ω nếu với mọi u ∈ Ω, v, w ∈ X và t ∈  sao 0. cho u + tv ∈ Ω ta có lim A ( u + tv ) − Au , w = t →0 A được gọi là demi-liên tục trên Ω nếu với dãy bất kỳ {un } ⊂ Ω, un → u0 ∈ Ω = thì lim Au n,v n →∞ Au0 , v , ∀v ∈ X . A được gọi là bị chặn trên Ω nếu nó biến tập con bị chặn của Ω thành tập con bị chặn của X * . 10 Cho D tập con mở bị chặn của X . Với F ⊂ D , ta kí hiệu A0 ( D, F ) (tương ứng A ( D, F ) ) là tập tất cả các ánh xạ demi-liên tục bị chặn A : D → X * thỏa mãn điều kiện α 0 ( F ) (tương ứng α ( F ) ). ( ) ( ) Nếu F = D thì viết A0 ( D ) , A ( D ) thay cho A0 D, D , A D, D . 2.1.2. Bậc topo của ánh xạ lớp α D là tập con mở bị chặn của X . Cho {vi } , i = 1, 2,... là một hệ toàn vẹn bất kì của không gian X (nghĩa là không gian con sinh bởi các vi là trù mật) và giả sử rằng với mọi n thì hệ {v1 , v2 ,..., vn } độc lập tuyến tính. Ký hiệu Fn là không gian con sinh bởi {v1 , v2 ,..., vn } . Với mỗi n , kí hiệu Dn= D ∩ Fn , và gọi xấp xỉ hữu hạn n chiều của ánh xạ A là ánh xạ An : Dn → Fn xác định như sau Anu = ∑ Au , vi vi i =1 với u ∈ Dn . Định lý 2.5. Cho A : D → X * thỏa mãn A ∈ A0 ( D, ∂D ) và Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D . Khi đó tồn tại số N sao cho với mọi n ≥ N ta có : i) Anu ≠ 0, ∀u ∈ ∂Dn . ( ) ii) deg An , Dn xác định và không phụ thuộc vào n . Chứng minh i) Giả sử trái lại : ∀k , ∃nk , ∃uk ∈ ∂Dnk sao cho Ank uk = 0 và nk → ∞ khi k → ∞. 11 Vì {uk } ⊂ ∂D bị chặn trong không gian X Banach phản xạ nên nó có dãy con hội tụ yếu. Có thể coi uk  u0 . { nk ∑ Mặt khác ∀k= , 0 A= nk uk i =1 Auk , vi vi và hệ v1 , v2 ,..., vnk } độc lập tuyến tính nên Auk , vi = 0, ∀i = 1, nk . Với v ∈ X bất kì thì có nk đủ lớn để v ∈ Fnk nên lim Auk , v = 0 . Suy ra k →∞ Auk  0 . Lấy dãy {wk } sao cho wk ∈ Fnk và wk → u0 . Khi đó do Auk là ánh xạ tuyến tính nên Auk , uk − u= 0 Auk , uk − wk + Auk , wk − u0 . Vì uk − wk ∈ Fnk nên Auk , uk − wk = 0 . A là ánh xạ bị chặn, {uk } ⊂ D bị 0. 0 . Suy ra lim Auk , uk − u0 = chặn và wk → u0 nên lim Auk , wk − u0 = k →∞ k →∞ Do A thỏa điều kiện α 0 ( ∂D ) nên uk → u0 . Ta có {uk } ⊂ ∂D đóng mạnh. Do đó u0 ∈ ∂D . Mà A demi-liên tục. Suy ra Au0 , v = lim Auk , v = 0, ∀v ∈ X . k →∞ Vậy có u0 ∈ ∂D để Au0 = 0 (mâu thuẫn với giả thiết Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D ). ( ) ii) Điều vừa chứng minh ở i) bảo đảm rằng deg An , D xác định với n đủ lớn. ( ) Ta chứng minh deg An , D không phụ thuộc n với n đủ lớn bằng cách dùng ánh xạ với Anu An = n −1 ∑ i =1 Au , vi vi + f n , u vn trong đó fn ∈ X * có f n , vi = 0, ∀i = 1, n − 1 và f n , vn = 1 . Ta có An : Dn → Fn liên tục và với n đủ lớn, u ∈ Dn= ,u n n −1 u ' ∑c v ∑ c v ,= i i =i 1 =i 1 i i thì 12 n −1 n −1 n A u =∑ Au , v v + ∑ ci f n , vi vn =∑ Au , vi vi + cn vn và Anu ≠ 0 trên ∂Dn . n i i =i 1 =i 1 {u ∈ Dn : cn= 0}= =i 1 Dn −1 ≠ ∅, An −1 : Dn −1 → Fn −1 , An −1u=' ( ) n −1 ∑ i =1 Au ', vi vi ( ) Theo định lý Leray-Schauder thì deg An , Dn = deg An −1 , Dn −1 khi n đủ lớn. ( ) ( ) Ta chỉ còn phải chứng minh deg An , Dn = deg An , Dn với n đủ lớn. Xét đồng luân hn : [ 0,1] × Dn → Fn , hn ( t , u )= tAnu + (1 − t ) Anu . Chứng minh với n đủ lớn thì tAnu + (1 − t ) Anu ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀u ∈ ∂Dn Giả sử ngược lại ∀k , ∃nk ≥ k , ∃tk ∈ [ 0,1] , ∃uk ∈ ∂Dnk : tk Ank uk + (1 − tk ) Ank uk = 0 Suy ra Auk , vi vi = 0 với 1 ≤ i ≤ nk − 1 và tk Auk , vnk + (1 − tk ) f nk , uk = 0. Với v ∈ X thì có k đủ lớn để v ∈ Fnk −1 nên Auk , v = 0 . Do đó Auk  0 . Khi k đủ lớn thì do Ank uk , Ank uk ≠ 0 nên 0 < tk < 1 . {uk } ⊂ ∂D bị chặn, X phản xạ nên nó có dãy con hội tụ yếu. Có thể coi u k  u0 . Lấy dãy {wk } sao cho wk ∈ Fnk −1 , ∀k và wk → u0 . Vì Auk , wk = 0 (do wk ∈ Fnk ) và nk  1 − tk  1 − tk − Auk , uk = Auk , ∑ ck ,i vi == ck ,nk Auk , vnk f nk , uk  − f nk , uk  f nk , uk = tk i =1  tk  2 13 Ta có Auk , uk −= u0 Auk , uk − Auk , wk + Auk , wk − u0 1 − tk = − f nk , uk tk 2 + Auk , wk − u0 ≤ Auk , wk − u0 A là ánh xạ bị chặn, {uk } ⊂ D bị chặn và wk → u0 nên lim Auk , uk − u0 ≤ 0 . k →∞ Do A thỏa điều kiện α 0 ( ∂D ) nên uk → u0 . Ta có {uk } ⊂ ∂D đóng mạnh. Do đó u0 ∈ ∂D . Mà A demi-liên tục. Suy ra Au0 , v = lim Auk , v = 0, ∀v ∈ X . k →∞ Vậy có u0 ∈ ∂D để Au0 = 0 (mâu thuẫn với giả thiết Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D ). ( ) ( ) ( Do đó deg = An , Dn deg = An , Dn deg An −1 , Dn −1 ( ) ) Vậy deg An , Dn không phụ thuộc n khi n đủ lớn ■ Định lý 2.6. Cho A : D → X * thỏa mãn A ∈ A0 ( D, ∂D ) và Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D . Khi đó giới ) ( hạn lim deg An , Dn tồn tại, kí hiệu D {vi } , và không phụ thuộc vào việc chọn {vi } . n →∞ Chứng minh ( Do định lý 2.5 deg An , Dn ( ) không phụ thuộc n khi n đủ lớn nên ) lim deg An , Dn tồn tại. n →∞ Với {v 'i } cùng tính chất với {vi } . Ta chứng minh D {vi } = D {v 'i } . 14 Ta có thể giả sử với mỗi n thì hệ {v1 ,..., vn , v '1 ,..., v 'n } độc lập tuyến tính. Nếu { } sao cho {v ,..., v , v ,..., v } và {v ' ,..., v ' , v ,..., v } đều độc lập tuyến tính. Và từ D= {v } D= {v } D {v ' } ta có điều phải chứng minh. không thì có hệ vi 1 i i n 1 n 1 n 1 n i Gọi L2n là không gian sinh bởi hệ {v1 ,..., vn , v '1 ,..., v 'n } và với mỗi n và với 0, f n ,i= , v ' j δ= 1, n u ∈ En =D ∩ L2 n , t ∈ [ 0,1] và f n ,i ∈ X * thỏa mãn f n= ,i , v j ij , i , j xác định ánh= xạ A2 n ,t u ∑( n i =1 ) ) ( Au , vi vi + t Au , v 'i + (1 − t ) f n ,i , u v 'i *Với n đủ lớn thì A2 n ,t u ≠ 0, ∀u ∈ ∂ En , ∀t ∈ [ 0,1] u 0, nk → ∞ khi Giả sử trái lại ∀k , ∃nk ≥ k , ∃tk ∈ [ 0,1] , ∃uk ∈ ∂ Enk : A2 nk ,t= k k  Auk , vi = 0 k → ∞ . Từ đó ta có với i = 1, nk ,  0 tk Auk , v 'i + (1 − tk ) f nk ,i , uk = Với v ∈ X thì có k đủ lớn để v ∈ Fnk nên Auk , v = 0 . Do đó Auk  0 . Khi k đủ lớn ta có 0 < tk < 1 0 vì A2 n ,t u +Nếu tk = 1 thì A2 nk ,1uk ≠= n ∑( i =1 Au , vi vi + Au , v 'i v 'i ) ≠ 0, ∀u ∈ ∂ En (chứng minh tương tự như phần (i) của định lý 2.5) 0 vì A2 n ,0u +Nếu tk = 0 thì A2 nk ,0uk ≠ = ∑( n i =1 ) Au , vi vi + f n ,i , u v 'i ≠ 0, ∀u ∈ ∂ En (do Anu , vi không đồng thời bằng 0 vì Anu ≠ 0 ) {uk } ⊂ ∂D bị chặn, X phản xạ nên nó có dãy con hội tụ yếu. {tk } ⊂ [ 0,1] bị chặn nên có dãy con hội tụ. Có thể coi uk  u0 , tk → t0 . 15 Lấy wk ∈ Fnk sao cho wk → u0 . Vì Auk , wk = 0 (do wk ∈ Fnk ) và nk nk Auk , ∑ ( ck ,i vi + c 'k ,i v= 'i ) Auk ,= uk ∑c' =i 1 =i 1 k ,i Auk , v 'i nk  1 − tk  1 − tk = − f nk ,i , uk  − f nk ,i , uk  f nk ,i , uk = ∑ ∑ tk =i 1 = i 1  tk  nk 2 Nên ta có Auk , uk −= u0 Auk , uk − Auk , wk + Auk , wk − u0 1 − tk = − f nk ,i , uk ∑ tk i =1 nk 2 + Auk , wk − u0 ≤ Auk , wk − u0 A là ánh xạ bị chặn, {uk } ⊂ D bị chặn và wk → u0 nên lim Auk , uk − u0 ≤ 0 . k →∞ Do A thỏa điều kiện α 0 ( ∂D ) nên uk → u0 . Ta có {uk } ⊂ ∂D đóng mạnh. Do đó u0 ∈ ∂D . Mà A demi-liên tục. Suy ra Au0 , v = lim Auk , v = 0, ∀v ∈ X . k →∞ Vậy có u0 ∈ ∂D để Au0 = 0 (mâu thuẫn với giả thiết Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D ). Từ tính chất bất biến đồng luân của bậc topo của ánh xạ hữu hạn chiều nên ta ( ) ( ) có deg A2 n ,0 , En = deg A2 n ,1 , En . ( ) ( * Khi n đủ lớn thì deg A2 n ,0 , En = deg An , Dn )