..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
TRẦN THỊ THẮM
LÁT MẶT PHẲNG BỞI
CÁC ĐA GIÁC ĐỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
TRẦN THỊ THẮM
LÁT MẶT PHẲNG BỞI
CÁC ĐA GIÁC ĐỀU
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Việt Hải
THÁI NGUYÊN - 2018
i
Danh möc h¼nh
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Ph²p düng ngô gi¡c ·u . . . . . . . . .
Ph²p düng ngô gi¡c ·u cõa Richmond
N«m b÷îc düng ngô gi¡c ·u . . . . . .
Thªp gi¡c lçi ·u, thªp gi¡c sao ·u . .
Mët sè a gi¡c ·u . . . . . . . . . . .
Düng 15−gi¡c ·u . . . . . . . . . . . .
10 b÷îc düng 17−gi¡c ·u . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
8
8
9
13
15
16
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 3α6 . . . . . . . . . . . . . . .
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 1α4 + 2α8 . . . . . . . . . . . .
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 1α3 + 2α12 . . . . . . . . . . .
Khæng tçn t¤i l¡t ph¯ng ·u lo¤i 2α5 + 1α10 . . .
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 1α4 + 1α6 + 1α12 . . . . . . . .
a-L¡t ph¯ng ·u lo¤i 4α4 v b-lo¤i 1α3 + 2α4 + 1α6
Khæng câ l¡t ph¯ng ·u lo¤i 2α3 + 2α6 kiºu a) . .
Khæng câ l¡t ph¯ng ·u lo¤i 2α3 + 1α4 + 1α12 . .
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 4α3 + 1α6 . . . . . . . . . . .
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 3α3 + 2α4 kiºu a) . . . . . . .
L¡t ph¯ng ·u lo¤i 3α3 + 2α4 kiºu b) . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
23
23
24
25
26
27
27
28
29
29
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
L¡t ph¯ng bði tù gi¡c . . . . . . .
L¡t ph¯ng bði tù gi¡c lçi ho°c lãm
Gh²p th nh c¡c h¼nh chú nhªt . .
Gh²p th nh h¼nh b¼nh h nh . . .
V½ dö 3.1.3 . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
33
33
. .
.
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
V½ dö 3.1.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . .
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
36
40
42
43
43
44
45
46
48
49
51
53
1
q = SABCD . . . . . . . . . . . . . . . .
3
L¡t ph¯ng bði c¡c h¼nh löc gi¡c b¬ng nhau
Ba kiºu l¡t ph¯ng bði c¡c löc gi¡c . . . . .
Têng c¡c gâc trong tam gi¡c . . . . . . . .
Di»n t½ch b¬ng 1/2 . . . . . . . . . . . . .
Di»n t½ch h¼nh b¼nh h nh nhä nh§t . . . . .
Chùng minh ành lþ Pythagoras . . . . . .
L¡t ph¯ng tù gi¡c tòy þ . . . . . . . . . . .
H¼nh vuæng . . . . . . . . . . . . . . . . .
ành lþ Napoleon . . . . . . . . . . . . . .
Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch . . . . . . . . . . .
Dòng nguy¶n tc Dirichlet . . . . . . . . .
B i to¡n phõ . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tia li¶n îi . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
Möc löc
Líi c£m ìn
Mð ¦u
1 a gi¡c ·u v c¡ch düng
1.1
1.2
1.3
a gi¡c ·u . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . .
1.1.2 Düng ngô gi¡c ·u . . . . . . . . .
a gi¡c ·u, h m Euler v c¡c sè Fermat.
Düng n−gi¡c ·u vîi n câ d¤ng 2k .3.5.17 .
1.3.1 Düng 15−gi¡c ·u . . . . . . . . . .
1.3.2 Düng 17−gi¡c ·u . . . . . . . . . .
2 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u
2.1
2.2
B i to¡n sè håc li¶n quan ¸n l¡t ph¯ng
L¡t ph¯ng v l¡t ph¯ng ·u . . . . . . . .
2.2.1 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh
2.2.2 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh
2.2.3 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh
2.2.4 L¡t ph¯ng ·u vîi sao ph¯ng ¿nh
3 C¡c b i to¡n li¶n quan
3.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . .
. . . . . . .
câ 3 a gi¡c
câ 4 a gi¡c
câ 5 a gi¡c
câ 6 a gi¡c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
1
4
4
4
6
9
12
12
16
18
18
20
22
25
26
28
30
L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng nhau . . . . . . . 30
3.1.1 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c tam gi¡c, tù gi¡c b¬ng nhau 30
3.1.2 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c löc gi¡c b¬ng nhau . . . . 35
iv
3.2
3.3
3.1.3 L¡t m°t ph¯ng bði c¡c ngô gi¡c b¬ng nhau
H¼nh håc tr¶n l¡t ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 C¡c b i to¡n ìn gi£n . . . . . . . . . . . .
3.2.2 ành lþ Pythagoras . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Tù gi¡c v löc gi¡c . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 ành lþ Napoleon . . . . . . . . . . . . . .
C¡c b i to¡n kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . .
T i li»u tham kh£o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
39
39
43
44
45
47
58
v
Líi c£m ìn
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, Pháng o t¤o, Khoa
To¡n tin Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u
ki»n thuªn lñi cho tæi ÷ñc tham dü khâa håc, xin ch¥n th nh c£m ìn
c¡c quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K10B2 (2016 - 2018) ¢
tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n
cho tæi ho n th nh khâa håc.
º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn
÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i,
Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i Håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y
tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi
vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi.
Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng
ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt
qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i Pháng, th¡ng ... n«m 2018
Ng÷íi vi¸t Luªn v«n
Tr¦n Thà Thm
1
Mð ¦u
1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n
a gi¡c ·u l mët chõ · quan trång cõa h¼nh håc ph¯ng Euclide.
Ph²p düng a gi¡c ·u 17 c¤nh l cæng tr¼nh xu§t sc m Gauss ¢ cèng
hi¸n cho nh¥n lo¤i. B i to¡n °t ra l : H¢y phõ m°t ph¯ng b¬ng c¡c a
gi¡c ·u? Câ bao nhi¶u c¡ch "l¡t k½n" m°t ph¯ng? Còng vîi b i to¡n
â, l i·u ki»n düng ÷ñc c¡c a gi¡c ·u câ li¶n quan g¼ ¸n sè håc?
Tr¼nh b y c¡ch gi£i quy¸t c¡c b i to¡n tr¶n l lþ do º tæi chån · t i
"L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u".
Möc ½ch cõa · t i l :
- Tr¼nh b y làch sû, c¡ch düng mët sè a gi¡c ·u b¬ng th÷îc v com
pa. Mèi li¶n h» giúa ph²p düng a gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v com pa
vîi c¡c sè Fermat.
- Tr¼nh b y líi gi£i b i to¡n l¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u (l¡t
ph¯ng ·u) trong lîp c¡c b i to¡n v· phõ m°t ph¯ng.
- Bê sung th¶m ki¸n thùc cho gi¡o vi¶n trong c¡c chuy¶n · khâ ð
tr÷íng THCS v THPT gâp ph¦n o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh
håc.
2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t
Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡ch düng mët sè a gi¡c ·u, i·u
ki»n c¦n v õ º düng ÷ñc mët a gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc
k´. Giîi thi»u b i to¡n l¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u, chùng minh
2
ành lþ v· l¡t ph¯ng ·u. Mð rëng sang c¡c b i to¡n li¶n quan: L¡t m°t
ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng nhau, h¼nh håc tr¶n l¡t ph¯ng v c¡c b i
to¡n kh¡c. Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng:
Ch÷ìng 1. a gi¡c ·u v c¡ch düng
B i to¡n düng a gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v compa l mët trong
nhi·u b i to¡n düng h¼nh nêi ti¸ng cõa h¼nh håc: C¡ch düng c¡c a gi¡c
â nh÷ th¸ n o phö thuëc v o sè c¤nh cõa méi a gi¡c. Mët ngô gi¡c
·u düng ÷ñc b¬ng th÷îc v com pa tø thíi xa x÷a nh÷ng ph£i 2000
n«m sau c¡c nh to¡n håc khæng t¼m ra ÷ñc c¡ch düng mët th§t gi¡c
·u. Hâa ra câ nhi·u a gi¡c ·u khæng düng ÷ñc b¬ng th÷îc v com
pa (n = 7, 9, 11, 13, ...). Ch÷ìng n y bao gçm:
1.1. a gi¡c ·u
1.2. a gi¡c ·u, h m Euler v c¡c sè Fermat
1.3. Düng n− gi¡c ·u vîi n câ d¤ng 2k .3.5.17
Ch÷ìng 2. L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c ·u
¥y l ph¦n trång t¥m vîi b i to¡n ph¥n lo¤i c¡c l¡t ph¯ng ·u.
Luªn v«n tr¼nh b y ÷ñc mët k¸t qu£ quan trång: Câ 11 v ch¿ 11 lo¤i
l¡t ph¯ng ·u. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau:
2.1. B i to¡n sè håc li¶n quan ¸n l¡t ph¯ng
2.2. L¡t ph¯ng v l¡t ph¯ng ·u
Ch÷ìng 3. C¡c b i to¡n li¶n quan
B i to¡n l¡t ph¯ng l mët trong nhi·u b i to¡n v· phõ, â l nëi
dung quan trång cõa h¼nh håc tê hñp. Ch÷ìng n y giîi thi»u th¶m c¡c
b i to¡n li¶n quan ¸n l¡t ph¯ng ·u. Nëi dung bao gçm:
3.1. L¡t m°t ph¯ng bði c¡c a gi¡c b¬ng nhau.
3
3.2. H¼nh håc tr¶n l¡t ph¯ng.
3.3. C¡c b i to¡n kh¡c.
4
Ch֓ng 1
a gi¡c ·u v c¡ch düng
Hai b i to¡n düng h¼nh r§t nêi ti¸ng ÷ñc bi¸t ¸n tø xa x÷a nh÷ng
ph£i m¢i th¸ k 19 c¡c nh to¡n håc mîi t¼m ra líi gi£i. â l b i to¡n
düng a gi¡c ·u v b i to¡n chia ba mët gâc. Chóng ta nghe hai b i
to¡n ìn gi£n, d¹ h¼nh dung nh÷ng º gi£i quy¸t ÷ñc chóng c¡c nh
to¡n håc ¢ ph£i sû döng kh¡ nhi·u cæng cö cõa to¡n håc hi»n ¤i li¶n
quan ¸n h¼nh håc v sè håc, h¼nh håc v ¤i sè. Ch÷ìng n y · cªp
¸n b i to¡n düng a gi¡c ·u b¬ng th÷îc k´ v com pa.
1.1 a gi¡c ·u
1.1.1 Kh¡i ni»m cì b£n
ành ngh¾a 1.1. a gi¡c ·u l a gi¡c câ t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng nhau
v t§t c£ c¡c gâc ð ¿nh b¬ng nhau
Ta th÷íng dòng t¶n gåi tam gi¡c ·u, tù gi¡c ·u, ngô gi¡c ·u,...,
thªp gi¡c ·u,...hay º cho ti»n công dòng kþ hi»u 3-gi¡c ·u, 4-gi¡c
·u, 5-gi¡c ·u,..., 10-gi¡c ·u,... Câ hai lo¤i a gi¡c ·u: a gi¡c lçi ·u
v a gi¡c sao ·u. Trong luªn v«n n y ta ch¿ x²t c¡c a gi¡c lçi ·u.
C¡c t½nh ch§t sau l c¡c t½nh ch§t chung cho c£ hai lo¤i:
- T§t c£ c¡c ¿nh cõa a gi¡c ·u ·u n¬m tr¶n mët ÷íng trán. Måi
a gi¡c ·u ·u câ mët ÷íng trán ngo¤i ti¸p.
- Måi a gi¡c ·u ·u câ mët ÷íng trán nëi ti¸p.
5
- Måi a gi¡c ·u ·u câ t¥m èi xùng n¸u sè c¤nh ch®n, câ tröc èi
xùng n¸u sè c¤nh l´.
- Nhâm èi xùng cõa a gi¡c ·u n c¤nh ÷ñc gåi l nhâm nhà di»n
Dn : D2 , D3 , D4 , .... Nâ bao gçm c¡c ph²p quay quanh t¥m Cn (t¥m èi
xùng), còng vîi c¡c ph²p èi xùng cõa n tröc i qua t¥m n y. N¸u n l
ch®n th¼ mët nûa sè tröc èi xùng i qua 2 ¿nh èi xùng nhau cõa a
gi¡c v nûa cán l¤i i qua trung iºm cõa 2 c¤nh èi. N¸u n l l´ th¼ t§t
c£ c¡c tröc èi xùng ·u i qua mët ¿nh v trung iºm cõa c¤nh èi
di»n vîi ¿nh §y.
- Gâc: vîi mët a gi¡c ·u n ¿nh, sè o gâc trong ÷ñc t½nh b¬ng
cæng thùc:
2
(n − 2)π
1−
radian.
1800 hay b¬ng
n
n
Khi a gi¡c nëi ti¸p trong ÷íng trán t¥m O th¼ gâc ð t¥m bà chn bði
2π
.
n
n(n − 3)
- ÷íng ch²o: Vîi n ≥ 3 sè ÷íng ch²o trong a gi¡c b¬ng
.
2
Chóng chia a gi¡c th nh 1, 4, 11, 24, ... ph¦n. Di»n t½ch cõa a gi¡c lçi
t2 n
t2 n
·u n c¤nh b¬ng SF =
=
π hay
1800
4
tan
4 tan
n
n
d¥y cung l c¤nh a gi¡c s³ b¬ng α =
3600
2π
nR sin
nR2 sin
n =
n .
SF =
2
2
2
Ph²p düng tam gi¡c ·u (n = 3) v h¼nh vuæng (n = 4) l hiºn nhi¶n. Ta
câ nhªn x²t sau: B¬ng th÷îc v com pa, n¸u ta düng ÷ñc mët n−gi¡c
·u th¼ công düng ÷ñc mët 2n−gi¡c ·u. â l v¼ tø n−gi¡c ·u ta
câ thº düng ÷íng trán ngo¤i ti¸p, rçi düng ÷íng trung trüc cõa méi
c¤nh º chia æi méi cung trán, ta s³ thu ÷ñc 2n−gi¡c ·u. Nh÷ vªy,
tø h¼nh 3−gi¡c ·u ta s³ düng ÷ñc 6−gi¡c ·u, 12−gi¡c ·u, 24−gi¡c
·u,... V tø 4−gi¡c ·u ta s³ düng ÷ñc 8−gi¡c ·u, 16−gi¡c ·u,...
Tø â ta suy ra b i to¡n thu v· tr÷íng hñp düng n−gi¡c ·u vîi n l
6
mët sè l´ lîn hìn ho°c b¬ng 5. Công chó þ r¬ng ch¯ng h¤n muèn düng
a gi¡c ·u 136 c¤nh th¼ do 136 = 17 × 8 = 17 × 2 × 2 × 2 n¶n ta
câ thº quy vi»c düng h¼nh 136−gi¡c ·u v· vi»c düng 17−gi¡c ·u. Tø
thíi cê ¤i ng÷íi ta ¢ düng ÷ñc ngô gi¡c ·u, trong cuèn "Cì sð h¼nh
håc" nêi ti¸ng Euclid ¢ tr¼nh b y c¡ch düng h¼nh ngô gi¡c ·u b¬ng
th÷îc k´ v com pa. Vªy m qua g¦n 2000 n«m khæng ai t¼m ra ÷ñc
c¡ch düng 7−gi¡c ·u, 9−gi¡c ·u, 11−gi¡c ·u,...Vi»c düng mët a
gi¡c ·u n c¤nh t÷ìng ÷ìng vîi ph²p chia mët ÷íng trán cho tr÷îc
th nh n ph¦n b¬ng nhau. V¼ th¸ trong c¡c c¡ch düng a gi¡c ·u sau
¥y ta s³ t¼m c¡ch t½nh ë d i c¤nh a gi¡c ·u º x¡c ành iºm chia
tr¶n ÷íng trán.
1.1.2 Düng ngô gi¡c ·u
2π
, ta câ: cos 2α = cos 3α ⇐⇒ 2 cos2 α − 1 = 4 cos4 α −
5
3
3 cos α ⇐⇒ (cos α
gi¡ trà th½ch
√−1)(4 cos α +2 cos α −1) = 0, t¼m ÷ñc√
5−1
5−1
2π
hñp l cos
=
. ta câ c¡c b÷îc düng o¤n th¯ng
tr¶n
5
4
4
h¼nh 1.1 câ ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R = 1 nh÷ sau:
°t α =
H¼nh 1.1: Ph²p düng ngô gi¡c ·u
- Düng trung iºm I cõa OB
- Düng ÷íng trán (I, IC), nâ ct AB ct iºm thù hai J
7
- Düng trung iºm K cõa OJ , qua K düng ÷íng th¯ng d k OC .
- Gåi P1 l mët trong hai giao iºm cõa d v (O).
- L§y AP1 l mët c¤nh ta düng c¡c ¿nh cán l¤i cõa ngô gi¡c ·u
AP1 P2 P3 P4 .
√
√
5
Chùng minh. Theo c¡ch düng: IJ = IC = 2 ; OK = 54− 1 . Tø â,
√
OK
5−1
= OK =
n¶n AP1 l c¤nh ngô gi¡c ·u.
cos α =
OP1
4
C¡c b÷îc düng ngô gi¡c ·u theo ph²p düng cõa Richmond:
B÷îc 1- Düng ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R = 1. Tø mët iºm B
tr¶n ÷íng trán k´ ÷íng th¯ng BO.
B÷îc 2- V³ trung iºm D cõa OB (düng trung trüc).
B÷îc 3- K´ ÷íng th¯ng qua O, vuæng gâc vîi OB , kþ hi»u mët
trong 2 giao iºm vîi ÷íng trán l P1 .
\1 , ct OP1 ð N2 .
B÷îc 4- K´ ph¥n gi¡c ODP
B÷îc 5- K´ ÷íng th¯ng qua N2 , vuæng gâc vîi OP1 ct ÷íng trán
t¤i 2 iºm m 1 iºm l P2 . P1 P2 l c¤nh cõa ngô gi¡c ·u nëi ti¸p trong
÷íng trán.
s
√
5− 5
.
2
p döng ành lþ Pithagoras v o 2 tam gi¡c vuæng DON2 , DOP1 v
ϕ
1 − cos ϕ
\1 , a = N2 P2 , s =
h» thùc tan =
. °t h = ON2 , ϕ = ODP
2
sin
√ϕ
√
√
5
2 5
5
1
ϕ
=⇒ sin ϕ =
; cos ϕ =
. h = tan =
P1 P2 . ta câ: DP1 =
2
5
5
2
2
s
√
√
1 − cos ϕ
5−1 2
1 5+ 5 2
=
; a = 1 − h2 =⇒ a =
. s = (1 − h)2 +
sin ϕ
4
2
2
√
5−1
a2 = (1 − h)2 + 1 − h2 = 1 − 2h + h2 + 1 − h2 = 2 − 2h = 2 − 2.
=
4
s
√
√
5− 5
5− 5
=⇒ s =
.
2
2
Chùng minh. Ta s³ chùng minh P1P2 = 2 sin 360 =
8
H¼nh 1.2: Ph²p düng ngô gi¡c ·u cõa Richmond
H¼nh 1.3: N«m b÷îc düng ngô gi¡c ·u
Mët c¡ch düng kh¡c (bä qua chùng minh), xem h¼nh 1.3:
B÷îc 1 Düng (O) v 2 ÷íng k½nh vuæng gâc N S v EW .
B÷îc 2 V³ trung iºm M cõa ON
B÷îc 3 V³ ÷íng trán t¥m M i qua E, ct N S ð E 0 v E 00 .
B÷îc 4 V³ ÷íng trán t¥m E i qua E 0 , ct (O) ð P 0 v P 00
B÷îc 5 V³ ÷íng trán t¥m E i qua E 00 , ct (O) ð Q0 v Q00 . Khi â
nhªn ÷ñc ngô gi¡c ·u EP 0 P 00 Q0 Q00 nëi ti¸p ÷íng trán.
Khi ¢ câ ngô gi¡c ·u th¼ ta düng ÷ñc n−gi¡c ·u vîi n = 10, 20, ....
9
1.2 a gi¡c ·u, h m Euler v c¡c sè Fermat.
Quay trð l¤i b i to¡n cì b£n: Khi n o düng ÷ñc a gi¡c ·u b¬ng
com pa v th÷îc k´? B i to¡n ang x²t s³ câ bao nhi¶u nghi»m? º câ
c¥u tr£ líi cho c¥u häi thù hai ta c¦n thi¸t lªp ch½nh x¡c nëi dung b i
to¡n. Cö thº, c¦n cè ành k½ch th÷îc v và tr½ cõa n−gi¡c ·u ( ÷ìng
nhi¶n sè nghi»m h¼nh câ thº l væ h¤n n¸u ¢ câ ½t nh§t 1 nghi»m). Nh÷
vªy, ta s³ coi n−gi¡c cõa ta nëi ti¸p trong mët ÷íng trán ω , t¥m O
cho tr÷îc v cè ành mët ¿nh A0 cho tr÷îc. Y¶u c¦u c¦n x¡c ành và
tr½ c¡c ¿nh cán l¤i A1 , A2 , ..., An−1 . ÷ìng nhi¶n ch¿ c¦n t¼m và tr½ cõa
iºm A1 th¼ ta s³ nhªn ÷ñc c¡c iºm A2 , A3 ,v.v...
ìn gi£n nh§t l düng löc gi¡c ·u. Cö thº c¤nh cõa löc gi¡c ·u nëi
ti¸p trong ÷íng trán b¬ng b¡n k½nh cõa ÷íng trán. Bði vªy câ thº mæ
t£ ph²p düng löc gi¡c ·u qua 2 b÷îc:
10 . B¬ng com pa düng ÷íng trán ω1 t¥m A0 , b¡n k½nh b¬ng OA0 .
20 . Düng iºm A1 l giao cõa hai ÷íng trán ω v ω1 .
Ta th§y ngay ph²p düng cho 2 löc gi¡c ·u: A0 A1 A2 A3 A4 A5 v
A0 A01 A02 A03 A04 A05 ch¿ kh¡c nhau v· thù tü c¡c ¿nh. Ta công câ nhªn x²t
nh÷ vªy vîi n = 3, n = 4. Phùc t¤p hìn l tr÷íng hñp n = 5, n = 10.
Vîi n = 5 ta ¢ nâi ð tr¶n. B¥y gií ta x²t vîi n = 10.
H¼nh 1.4: Thªp gi¡c lçi ·u, thªp gi¡c sao ·u
10
N¸u düng ph¥n gi¡c A1 B cõa gâc OA1 A0 th¼ s³ t¤o th nh c¡c tam
gi¡c c¥n OA1 B, BA1 A0 çng d¤ng. Ta s³ coi ÷íng th¯ng OA0 l tröc
sè, iºm O l gèc v iºm A0 l iºm ìn và. Gi£ sû B câ tåa ë x, khi
â ta câ ph÷ìng tr¼nh
1
x
=
hay x2 + x − 1 = 0.
x−1 x
Sau khi gi£i ta ÷ñc iºm B . iºm A1 l giao cõa ω vîi (A0 , x), câ 2
iºm nh÷ vªy: iºm A01 v iºm A001 .
√
√
1
1
5
5
v x2 = − −
.
2
2
2
2
Nghi»m thù hai ¥m, bà lo¤i. Düng nh÷ h¼nh 1.4 iºm B khæng ð b¶n
ph£i m ð b¶n tr¡i cõa iºm O, ta câ 2 kh£ n«ng v· và tr½ cõa A1 , â l
000
A1 v Aiv
1 . Nh÷ vªy ta câ 4 kh£ n«ng cõa iºm A1 . K¸t qu£ nhªn ÷ñc
2 thªp gi¡c ·u lçi v 2 thªp gi¡c ·u h¼nh sao, hìn núa méi mët trong
chóng l¤i câ hai c¡ch ¡nh sè c¡c ¿nh kh¡c nhau, h¼nh 1.4 a,b. T÷ìng
tü x£y ra èi vîi ngô gi¡c: Ð ¥y công câ 4 nghi»m, d¨n tîi 2 ngô gi¡c
ph¥n bi»t.
M°c dò ngô gi¡c ·u ¢ ÷ñc düng câ thº nâi l d¹ d ng v b¬ng
nhi·u c¡ch nh÷ng vîi th§t gi¡c ·u v§n · ho n to n kh¡c. Lþ do ch¯ng
ph£i c¡c nh to¡n håc khæng t¼m ra c¡ch düng m l khæng thº düng
÷ñc mët th§t gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc k´.
Ng÷íi ¦u ti¶n mð ra con ÷íng gi£i tho¡t cho b i to¡n l nh to¡n
håc thi¶n t i Carl Friedrich Gauss. Æng ÷ñc m»nh danh l "Æng vua
cõa to¡n håc", quyºn s¡ch "Disquisitiones Arithmeticae" (Nghi¶n cùu
sè håc) m æng xu§t b£n n«m 24 tuêi hi»n v¨n l cuèn s¡ch gèi ¦u
gi÷íng cho nhúng ng÷íi say m¶ to¡n. Ng÷íi ta kº l¤i r¬ng n«m Gauss
18 tuêi chu©n bà v o ¤i håc vîi 80 trang gi§y nh¡p, Gauss ¢ gi£i quy¸t
h¸t sùc µp b i to¡n düng a gi¡c ·u 17 c¤nh b¬ng th÷îc v com pa.
Tø thíi cê ¤i, b i to¡n n y ¢ ÷ñc °t ra nh÷ng Gauss l ng÷íi ¦u
ti¶n ¢ gi£i quy¸t trån vµn. Cì sð lþ luªn cõa b i to¡n n y ¢ ÷ñc
Gauss tr¼nh b y trong "Disquisitiones Arithmeticae". Æng nghi¶n cùu
biºu thùc xp 1 v p l mët sè nguy¶n tè. Æng chùng tä r¬ng nhúng
nghi»m cõa biºu thùc n y ÷ñc di¹n t£ tø mët lo¤t ph÷ìng tr¼nh câ h»
Ph÷ìng tr¼nh bªc hai câ 2 nghi»m x1 = − +
11
sè húu t m bªc l nhúng ÷îc nguy¶n tè cõa p 1. i·u n y b¡o tr÷îc
nhúng k¸t qu£ cõa Galois, v Gauss ¢ chùng minh r¬ng mët a gi¡c
·u n c¤nh düng ÷ñc n¸u n = 2m .p1 ...pk trong â m l mët sè tü nhi¶n
v p1 , ..., pk l nhúng sè Fermat. V¼ vªy a gi¡c ·u 257 c¤nh hay a
gi¡c ·u 65537 c¤nh ·u düng ÷ñc b¬ng th÷îc v com pa.
Sau â v o n«m 1837 nh to¡n håc Pierre Wantzel ng÷íi Ph¡p (18141848) ¢ chùng minh ÷ñc i·u ki»n cõa Gauss ÷a ra công l i·u ki»n
c¦n: Vîi n l sè tü nhi¶n l´, n¸u düng ÷ñc a gi¡c ·u n c¤nh b¬ng com
pa v th÷îc k´ th¼ n = p1...pk vîi p1, ..., pk l c¡c sè nguy¶n tè Fermat
ph¥n bi»t. Sè nguy¶n tè Fermat p1, ..., pk l sè nh÷ th¸ n o?
Pierre de Fermat (1601-1665) khæng ph£i l nh to¡n håc chuy¶n
nghi»p, ngh· ch½nh cõa æng l luªt s÷ nh÷ng æng l¤i nêi ti¸ng v¼ " ành
lþ Fermat b², ành lþ cuèi còng Fermat, c¡c sè Fermat,..." Æng th÷íng
hay vi¸t th÷ trao êi vîi c¡c nh to¡n håc kh¡c v· c¡c v§n · to¡n håc.
Kh£ n«ng dü o¡n to¡n håc cõa Fermat r§t t i t¼nh: ng÷íi ta nâi r¬ng
"ch½n m÷ìi ch½n ph¦n tr«m" c¡c dü o¡n cõa Fermat ·u óng. Vªy m
câ mët tr÷íng hñp væ còng quan trång æng ¢ dü o¡n sai! Sè nguy¶n
tè âng vai trá quan trång º x¥y düng n¶n to n bë sè tü nhi¶n, n¸u
t¼m ÷ñc mët cæng thùc t½nh ÷ñc c¡c sè nguy¶n tè th¼ nhi·u v§n · cõa
to¡n håc s³ trð n¶n nhµ nh ng, c¡c nh to¡n håc r§t muèn t¼m ra c¡c
n
cæng thùc nh÷ th¸. Fermat dü o¡n r¬ng c¡c sè câ d¤ng Fn = 22 + 1 l
c¡c sè nguy¶n tè. N¸u óng nh÷ vªy th¼ ¥y l mët cæng thùc qu½ gi¡.
Nh÷ng ¡ng ti¸c l Fermat ¢ nh¦m. Vîi n tø 0 ¸n 4 th¼ óng Fn l
5
sè nguy¶n tè nh÷ng vîi n = 5 th¼ F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297
l¤i l mët hñp sè v¼ 4294967297 = 641 × 6700417. Ta câ ành ngh¾a sau
ành ngh¾a 1.2. Mët sè nguy¶n tè ÷ñc gåi l sè nguy¶n tè Fermat
n¸u nâ câ d¤ng Fn = 22
+ 1.
Ta ph¡t biºu l¤i 2 k¸t qu£ tr¶n:
n
ành lþ 1.1. (Gauss-Wantzel) Vîi n l sè l´, a gi¡c ·u n c¤nh düng
÷ñc b¬ng com pa v th÷îc k´ khi v ch¿ khi n = p1...pk , trong â p1, ..., pk
l c¡c sè nguy¶n tè Fermat ph¥n bi»t.
V¼ 3 = F0 , 5 = F1 , 17 = F2 , 257 = F3 , 65537 = F4 l c¡c sè nguy¶n
tè Fermat n¶n theo ành lþ tr¶n ta düng ÷ñc c¡c h¼nh 3−gi¡c ·u,
12
5−gi¡c ·u, 17−gi¡c ·u, 257−gi¡c ·u, 65537−gi¡c ·u. Ngo i ra,
3 × 5 = 15 n¶n 15−gi¡c ·u l düng ÷ñc, 3 × 17 = 51 n¶n 51−gi¡c
·u l düng ÷ñc, v.v... Nh÷ng khæng düng ÷ñc 7−gi¡c ·u, 9−gi¡c
·u (v¼ 9 = 3 × 3), 11−gi¡c ·u, 13−gi¡c ·u, v.v...
Ta th§y ành lþ Gauss-Wantzel r§t câ þ ngh¾a khi x¡c ành n−gi¡c
·u l düng ÷ñc hay khæng. Nh÷ng nhi»m vö cõa c¡c nh h¼nh håc
khæng døng ð â: Méi a gi¡c ·u düng ÷ñc ph£i n¶u ÷ñc c¡c b÷îc
düng (b¬ng com pa v th÷îc k´) v chùng minh h¼nh düng ÷ñc óng l
a gi¡c ·u thäa m¢n. Cán vîi c¡c a gi¡c ·u khæng düng ÷ñc th¼ câ
c¡ch n o düng ÷ñc chóng mët c¡ch x§p x¿ hay khæng? Ph¦n ti¸p theo
ta s³ tr¼nh b y c¡ch düng a gi¡c ·u 15 c¤nh v a gi¡c ·u 17 c¤nh.
1.3 Düng n−gi¡c ·u vîi n câ d¤ng 2k .3.5.17
B i to¡n düng a gi¡c ·u t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n chia ÷íng
trán cho tr÷îc th nh n ph¦n b¬ng nhau. Khæng m§t t½nh ch§t têng
qu¡t ta coi b¡n k½nh ÷íng trán b¬ng 1. Kþ hi»u gâc ð t¥m ùng vîi
2π
. C¡ch düng n−gi¡c ·u s³
n
2π
phö thuëc v o vi»c düng o¤n th¯ng cos . C¡c tr÷íng hñp d¹ th§y:
n
2π
1
2π
1
n = 3, cos
= − ; n = 4, cos
=− ;
3
2
3
2
mët c¤nh a gi¡c ·u l α, ta câ α =
1.3.1 Düng 15−gi¡c ·u
V¼ n = 15 l t½ch cõa hai sè nguy¶n tè Fermat ph¥n bi»t n¶n câ thº
düng ÷ñc 15−gi¡c ·u b¬ng com pa v th÷îc k´, h¼nh 1.6.
Ph¥n t½ch.
4π 2π
2π
4π
2π
4π
2π
Ta câ cos
= cos
−
= cos . cos
+ sin . sin
=
15
5
3
5 √ 3
5
3
1
2π
2π 3
2 2π
−1 −
+ 2 sin
cos
=
2 cos
5 √ p 2√ √
5 √ 5
2√ p
√
√ √
5+1
6 5+ 5 5−1
5+1
6 5+ 5 5−1
+
.
.
=
+
.
.
.
8
4
2
2
8
4
2
2
C¡ch düng.
13
H¼nh 1.5: Mët sè a gi¡c ·u
√
√ p
√ √
5+1
6 5+ 5 5−1
Ta ph£i düng o¤n th¯ng b¬ng
+
.
.
theo
8
4
2
2
c¡c b÷îc sau:
√
5+1
• B÷îc 1. Düng o¤n th¯ng BK =
.
8
- Düng trung iºm cõa OB ; V³ ÷íng trán (I, IC)
√ , nâ ct AB ð
5+1
J 6= I ; chia BJ th nh 4 ph¦n b¬ng nhau th¼ BK =
.
8
√ √
6 5−1
.
• B÷îc 2. Düng o¤n th¯ng JJ1 =
4
2
- Düng ÷íng th¯ng d ⊥ AB t¤i A, v³ ÷íng trán (A, AC), nâ ct
√
D ð D ÷ñc AD = 2
√
√
2
6
, AB1 =
. Gåi B2 l trung
- Gåi B1 = BD ∩ OC th¼ OB1 =
2
2
√
6
iºm cõa AB1 th¼ AB2 =
.
4
- Qua
√ J√kº ÷íng th¯ng m k AB2 , gåi J1 = m ∩ OB2 ta ÷ñc
6 5−1
JJ1 =
.
(¡p döng Thalet).
4
2
p
√
5+ 5
• B÷îc 3. Düng o¤n th¯ng M V =
2
- Xem thêm -
.PDF 
65 
2 
66 
