www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
N.
co
m
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức, kĩ thuật chọn “điểm rơi” là kĩ thuật rất quan
trọng, chọn điểm rơi nghĩa là dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi nào để ta có những đánh giá từ đó
đưa ra phương pháp hợp lí. Với lưu ý rằng trong bất kì phép chứng minh bất đẳng thức nào, nếu
không “bảo toàn” được dấu đẳng thức thì phép chứng minh của bạn bị phủ nhận hoàn toàn.
Kĩ thuật chọn “điểm rơi” là một kĩ thuật cực kì sơ đẳng đối với những bạn đã “siêu” về bất
đẳng thức, nhưng nó lại là một kĩ thuật cơ bản nhất đối với những bạn mới bắt đầu tiếp cận với bất
đẳng thức. Nên tôi hy vọng tài liệu này vẫn có ích với những ai cần nó.
Chúc cộng đồng yêu Toán sức khỏe và hạnh phúc!
Các bạn có thể tìm đọc các tài liệu được đăng lên mạng của cùng tác giả, bao gồm:
Một số cách sáng tạo hệ phương trình
Dùng đạo hàm giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
HV
…
Chúc các bạn sức khỏe và hạnh phúc!
§1. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
A. Ví dụ minh họa
ww
w
.M
AT
1
Ví dụ 1. Cho a 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a .
a
Giải.
1
1
◊ Sai lầm thường gặp: S a 2 a. 2
a
a
1
◊ Nguyên nhân sai lầm: MinS 2 a 1 mâu thuẫn với giả thiết a 3 .
a
◊ Phân tích và tìm tòi lời giải: Nhận thấy khi a tăng thì S càng lớn (bằng cách thử trực tiếp) và từ
đó dẫn đến dự đoán khi a 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.
Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng nhau,
1
nên tại “điểm rơi: a 3 ” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho hai số a và
vì
a
1
1
3 . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số a, sao cho tại “điểm rơi:
3
a
1
1
a 3 ” thì a . Với a 3
a
9
1 a 1 8a
a 1 8.3 10
2. .
◊ Lời giải đúng: S a
a 9 a 9
9 a 9
3
10
Với a 3 thì MinS .
3
1
Ví dụ 2. Cho x 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y 3 x
.
2x
Giải.
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
1
1
2 3 x.
6.
2x
2x
1
1
x
1.
◊ Nguyên nhân sai lầm: Đẳng thức xảy ra khi 3 x
2x
6
Như vậy lời giải trên không dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại đâu, hay nói cách khác là chọn
sai “điểm rơi”.
1
◊ Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu bằng xảy ra tại x 1 , khi đó ta phải chọn số a sao cho ax
.
2x
1
Cho x 1 ta được a . Từ đó ta có lời giải đúng là
2
1 5
x 1 5
x 1
5
5
7
y 3x
x
x2 .
x 1 1 .
2x 2
2 2x 2
2 2x 2
2
2
7
Vậy min y khi x 1 .
2
N.
co
m
◊ Sai lầm thường gặp: Ta có: y 3 x
AT
HV
Ví dụ 3. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
10 8
P 5x 3 y .
x y
Giải.
Ta thấy vai trò của x, y trong giả thiết x y 6 là bình đẳng nhưng vai trò của x, y trong biểu thức
10 8
P 5 x 3 y là không bình đẳng, do đó dấu bằng sẽ không xảy ra khi x y 3 , mà dấu
x y
bằng sẽ xảy ra tại các điểm “biên” là x 1, y 5 hoặc x 2, y 4 . Từ đó cho ta cách biến đổi như
sau:
10 8 5
5 x 10 y 8
Ta có P 5 x 3 y ( x y )
x y 2
x 2 y
2
.M
Áp dụng bất đẳng thức giữa TBC-TBN ta có:
Và
5 x 10
5 x 10
2
. 10
2
x
2 x
y 8
y 8
2 . 4
2 y
2 y
5
Suy ra P .6 10 4 P 29
2
Vậy P đạt GTNN là 29 khi x 2, y 4
ww
w
Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2b 3c 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
3 9 4
thức P a b c .
a 2b c
Giải.
Do a 2b 3c 20 nên ta dự đoán min P đạt được tại a 2, b 3, c 4 .
Từ đó phân tích P như sau:
3 9 4 1
1
3
3 b 9 c 4
3
P abc
a b c a
a 2b c 4
2
4
a 2 2b 4 c
4
1
1
a 2b 3c 3 3 2 .20 8 13
4
4
Dấu “=” xảy ra khi a 2, b 3, c 4 .
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 5. Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
A 1 2 1 2 .
x y
N.
co
m
Giải.
Do A là một đa thức đối xứng với điều kiện x y 1 nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
1
x y . Và khi x y thì A 9 . Vậy bây giờ ta chỉ cần chứng minh dự đoán là đúng, tức là
2
2
1
1
chứng minh 1 2 1 2 9 .
x y
1
1
Thật vậy 1 2 1 2 9 x 2 1 y 2 1 9 x 2 y 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2 .
x y
2
2
Do 1 x y , nên chỉ cần chứng minh x y x 2 y 2 x 2 y 2 2 xy 1 4 xy 0 .
2
4
Vậy min A 9 khi x y
1
.
2
1
.
4
HV
BĐT này đúng do
x y
0 xy
Ví dụ 6. Cho a, b 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
ab
ab
.
ab a b
Giải.
Vậy min P 2 khi
ab
ab
a b ab
2
.
2.
ab a b
ab a b
AT
Sai lầm thường gặp : P
ab
ab
2
a b ab a 2 ab b2 0 a b 0 Vô lí.
ab a b
Lời giải đúng :
Do P là biểu thức đối xứng theo a, b nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a b .
.M
ab
ab
Nên ta tìm hệ số m sao cho m ab a b m 4
a b
ab
ab
ab
ab 3 a b
a b ab 3.2 ab 5
2
.
.
2
ab a b 4 ab a b
4 ab
4 ab a b 4 ab
Dấu “=” xảy ra khi a b
ww
w
Ta có P
a, b 0
1
1
Ví dụ 7. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2
2
a b ab
a b 1
Giải.
1
1
1
4
1
4
2
Ta có: P 2
2
42 6
2
2
2
a b
2ab 2ab
a 2ab b 2ab (a b) a b 2
a 2 b 2 2ab
1
1
a b MinP 6 khi a b
Dấu “=” xảy ra a b
2
2
a b 1
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
3
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
N.
co
m
a, b 0
1
1
Ví dụ 8. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
2
2
1 a b 2ab
a b 1
Giải.
1
1
4
4
4
2
2
Lời giải 1. Ta có: P
2
2
2
2
1 a b 2ab a 2ab b 1 (a b) 1 2
1 a 2 b 2 2ab
( a b ) 2 1 0
Dấu “=” xảy ra
. Vô nghiệm
a b 1
a b 1
Vậy không tồn tại MinP...?..?
Lời giải 2. Ta có: P
1
1 a b
2
2
1
1
4
1
4
1
2
2
2
6ab 3ab a 6ab b 1 3ab (a b) 1 4ab 3ab
ab 1
Mặt khác ab
. Vậy P
4
2
2
4
ab
2
2
2
ab
3
2
2
8
3
HV
1 a 2 b 2 6ab
1
ab .
Dấu “=” xảy ra a b
2
a b 1
1
Mặt khác
AT
a, b 0
1
1
4ab .
Ví dụ 9. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2
2
a b ab
a b 1
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
1
1
1
4
1
4
1
P 2
4ab 2
4ab
4ab .
2
2
2
a b 2ab 2ab
a b 2ab 2ab
(a b) 2ab
1
1
4ab 2
.4ab 2 2 . Vậy P 4 2 2 nên MinP 2(2 2)
2ab
2ab
ww
w
.M
Sai lầm 2:
1
1
1 1
4
1
1
1
1
Dấu
P 2
4ab
2 4ab.
4 2
6
2
2
a b ab
4ab 4ab (a b)
2ab 4ab
4ab
4ab
a 2 b 2 2ab
1
1
1
a b . Thay a b vào ta được P 7 MinP 7 khi
bằng xảy ra a 2b 2
16
2
2
a b 1
1
.
2
Nguyên nhân sai lầm:
ab
1
1
1
là do thói quen để
ab 2ab 2ab
a b
1
2
2
2
làm xuất hiện a b 2ab (a b) . MinP 4 2 2
4ab VN . Dấu “=” bất đẳng
2ab
a b 1
thức không xảy ra không kết luận được MinP 4 2 2
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
4
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi a b
1
nên đã tách
2
1
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
2
(1 x)2 x x , dấu bằng xảy ra khi x 1 Min ( x 1) 2 x 1?? .
N.
co
m
các số hạng và MinP 7 khi a b
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán MinP đạt tại a b
1
, ta có:
2
1
1
1 1
4
1
1
4ab
2 4ab.
7
2
2
2
a b 2ab
4ab 4ab (a b)
2ab
ab
4
2
a 2 b 2 2ab
1
1
ab .
Dấu bằng xảy ra a 2b 2
16
2
a b 1
a, b 0
1
1
1
Ví dụ 10. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 3 3 2 2 .
a b a b ab
a b 1
Sai lầm thường gặp:
1
1
1
2
2
9
2 1
1
Ta có: S 3 3 2
2
3 3
2 2
2
2
2
2
a b 3a b 3ab 3a b 3ab
a b 3a b 3ab 3 a b ab
9
2 1 1 1
2
4
59
. 9
.
3
2
a b 3 ab a b
ab ab 3
3.
2
a 3 b3 3a 2b
59
a b
(vn)
Nguyên nhân sai lầm: MinS
3
a b 1
2
AT
HV
P
Lời giải đúng
1
3
, và ta thấy a 3 b3 3a 2b 3ab 2 a b vì thế ta muốn
2
1
1
1
3
xuất hiện a b ; ta áp dụng bất đẳng thức 3 3 2
và nếu vậy:
a b 2a b 2ab 2
1
1
1
9
2
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng
3
3
2
3
a b 2a b 2ab
(a b) ab(a b)
bất đẳng thức cho 5 số:
1
1
1
1
1
25
25
S 3 3 2
2
20
3
2
2
3
a b 2a b 2ab
2a b 2ab
(a b) ab(a b)
a b
3
a b
4
1
Dấu bằng xảy ra khi a b .
2
ww
w
.M
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b
a, b, c 0
1
Ví dụ 11. Cho 2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c
.
2
2
abc
a b c 1
Sai lầm thường gặp:
1
1
1
abc
4 4 abc.
4
P abc
abc
abc
abc
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
5
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
HV
N.
co
m
Nguyên nhân sai lầm:
Dấu “=” xảy ra khi a b c 1 là không đúng với giả thiết.
Lời giải đúng:
Do biểu thức P đối xứng với a, b, c và a 2 b2 c2 1 nên ta dự đoán dấu „=” xảy ra khi
1
1
abc
3 3.
, khi đó
abc
3
1
1
Từ đó ta tìm được hệ số của điểm rơi như sau: a b c
. Cho a b c
mabc
3
Ta được m 9 .
1
1
8
1
8
abc
Vậy P a b c
4 4 abc.
2
abc
9abc 9abc
9abc
a b2 c2
9
3
4
8
4 3.
3
3
1
Vậy min P 4 3 khi a b c
.
3
ww
w
.M
AT
x, y , z 0
Ví dụ 12. Cho 1 1 1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x y z 4
1
1
1
P
.
2x y z x 2 y z x y 2z
Sai lầm thường gặp:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
Sai lầm 1: Ta có P
9 2 x y z 9 x 2 y z 9 x y 2 z 18 x y z 9
10
MaxP
9
Sai lầm 2:
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
P
N
3 3 2 xyz 3 3 x.2 yz 3 3 xy 2 z 3 3 2 x y z 3 3 x 2 y z 3 3 x y 2 z 9
guyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi.
2 x y z
2 y x z
10
10
MaxP 2 z x y (vn) , tức là không tồn tại ( x, y, z ) D : P
9
9
1 1 1
4
x y z
3
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại x y z nên tách các số
4
2 x x x ra cho dấu bằng xảy ra.
1
1
1 1 1 1 1
, tương tự và ta có:
Ta có
2 x y z x x y z 16 x x y z
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1 .
16 x y z x y z x y z
3
Dấu “=” xảy ra khi x y z .
4
P
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
6
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
N.
co
m
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
x, y , z 0
1
1
1
Cho 1 1 1
. Tìm GTLN của P
.
x y z x y z x y z
x y z 4
Với , , N : Cách làm tương tự như bài 3, ta tách x x x
x ,... . Nếu , , R , thì
soá
bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn
điểm rơi trong BCS”
Ví dụ 13. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1 .
ab bc ca 6 .
Giải
a b c
1
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
abc
3
a b c 1
2
Khi đó a b b c c a .
3
2
2
2
Từ đó bài toán được viết lại thành:
a b b c c a 2 .
3
3
3
Áp dụng BĐT AM – GM ta được:
2
2
2
ab
bc
ca
2
2
2
3
3
3
,
,
.
a
b
b
c
c
a
3
2
3
2
3
2
Cộng ba BĐT lại vế theo vế với a b c 1 ta được đpcm.
AT
HV
Chứng minh rằng
Ví dụ 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3 a b 3 b c 3 c a .
Giải.
a b 11 3
b c 11
, bc
,
3
3
2a b c 6 8
.
Suy ra P
3
3
a b 1
Dấu “=” xảy ra khi b c 1 2 a b c 3 2 3 Vô lí
c a 1
3
ab
3
ca
c a 11
3
.M
Sai lầm thường gặp:
ww
w
Phân tích lời giải.
Do P là biểu thức đối xứng theo a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a b c , đồng thời
1
a b c 1 a b c .
3
2
2
2
Suy ra a b , b c , c a .
3
3
3
Từ đó cho ta lời giải đúng như sau:
2 2
ab
9
2 2
9
3
3 3
a b 3 .3 a b . 3 .
4
3 3
4
3
2 2
bc
9
2
2
9
3
3 3
b c 3 .3 b c . 3 .
4
3 3
4
3
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
7
www.MATHVN.com
2 2
ca
9
2
2
9
3
3 3
c a 3 .3 c a . 3 .
4
3 3
4
3
9 2a b c 4 3
18 .
Suy ra P 3
4
3
1
Dấu “=” xảy ra khi a b c .
3
N.
co
m
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
HV
a, b, c 0
Ví dụ 15. Cho
. Chứng minh rằng 3 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 3 3 .
a b c 3
Sai lầm thương gặp:
1 1 a 2b 2 a 2b
Ta có: 3 1.1. a 2b
, tương tự ta có
3
3
2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a
3
a 2b 3 b 2c 3 c 2a
5,
3
3
3
mà 5 3 3 3 ñeà ra sai...?...?
a 2b 1
b 2c 1
MaxP 5
(vn) , vậy P 5
c 2 a 1
a b c 3
.M
AT
a b c
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi
a b c 3
a b c 1 a 2b 3
Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a 2b,3,3 ta có:
1
1 3 3 a 2b 6 a 2b
3
a 2b 3 3 3.3. a 2b 3 .
, tương tự ta có
3
9
9
33 9
6 a 2b 6 b 2c 6 c 2a
P
3 3 3 , dấu bằng xảy ra khi a b c 1
3
3
3
3 9
3 9
3 9
ww
w
a, b, c, d 0
Ví dụ 16. Cho
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b c d 1
P 3 2a b 3 2b c 3 2c d 3 2d a .
Sai lầm thương gặp:
2a b 1 1 2a b 2
Ta có: 3 2a b 3 2a b .1.1
, tương tự ta có:
3
3
3 a b c d 8 11
3
2a b 3 2b c 3 2c d 3 2d a
3
3
2a b 1
2b c 1
11
MaxP
3 a b c d 4 3.1 4 Vô lý
2
c
d
1
3
2d a 1
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a b c d
2a b
1
.
4
3
3 3
. Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số 2a b, , ta có:
4
4 4
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
8
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
N.
co
m
3 3
2a b
16
3 3
16
3
4 4 , tương tự ta có
2 a b 3 . 3 2a b . . 3 .
9
4 4
9
3
3 3
3 3
3 3
3 3
2a b
2b c
2c d
2d a
16
4 4
4 4
4 4
4 4
P 3
9
3
3
3
3
16 3 a b c d 6
3
23 6
9
3
1
Dấu bằng xảy ra khi a b c d .
4
x, y , z 0
x2
y2
z2
3
Ví dụ 17. Cho
. Chứng minh rằng
1 y 1 z 1 x 2
xyz 1
Sai lầm thường gặp:
2
2
AT
2
HV
1 y 2 y
x
y
z
( xyz )
33
Sai lầm 1: P
, mặt khác 1 z 2 z , suy ra:
1 y 1 z 1 x
(1 y )(1 z )(1 x)
1 x 2 x
3
(1 y )(1 z )(1 x) 8 xyz 8 . Vậy P , dấu “=” xảy ra khi x y z 1
2
2
x
1 y (1 y ) 2 x
2
y
(1 z ) 2 y P 2( x y z ) ( x y z ) 3 x y z 3 ,
Sai lầm 2: ta có:
1 z
z2
(1 x) 2 z
1
x
2
.M
mặt khác x y z 3 3 xyz 3 P 0
Nguyên nhân sai lầm:
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: a b 0
1 1
a b
ww
w
x y z
2
y2
z2
x
1 y,
1 z,
1 x (vn)
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
1
y
1
z
1
x
xyz 1
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y z 1. Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho
x2
1 y
1 2
4
và
:
1 y
2
1 y
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
9
x2
1 y
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
N.
co
m
x2 1 y
1 y 4 x
y 2 1 z
1
3 3
3 3
y P ( x y z) ( x y z) ( x y z)
Ta có:
4
4
4 4
4 2
1 z
2
z
1 x
z
4
1 x
Dấu “=” xảy ra khi x y z 1.
a , b, c 0
Ví dụ 18. Cho
3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b c 2
1
1
1
S a 2 2 b2 2 c2 2
b
c
a
Sai lầm thường gặp:
1
1
1
1
1
1
b2 2 c 2 2 3 3 a 2 2 . b2 2 . c2 2
2
b
c
a
b
c
a
HV
S a2
1
1
1
.2 b 2 . 2 .2 c 2 . 2 3 2
2
b
c
a
Nguyên nhân sai lầm:
1 1 1
3
Dấu “=” xảy ra khi a b c a b c 3
a b c
2
1
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a b c . Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho
2
1
1
a 2 2 . Cho a 16 .
a
2
1
1
1
Nên S a 2 2 b 2 2 c 2 2
b
c
a
1
1
1
1
1
1
...
b2
...
c2
...
2
2
2
2
2
16b
16b
16c
16c
16a
16a 2
1717 a 2 .
.M
a2
AT
36 2 a2.
1
1
1
1717 b 2 . 16 32 1717 c 2 . 16 32
32
16 b
16 c
16 a
16
ww
w
1
a
b
c
3 17
17 17 8 16 17 8 16 17 8 16 3 17 17 8 5 5 5
5
16 a b c
16 c
16 a
16 b
217 2a.2b.2c
3 17
2a 2b 2c
217
3
15
3 17
.
2
Dấu “=” xảy ra khi a b c
1
.
2
1
1
1
Cách khác: Ta có S a 2 b 2 2 c 2 2
b
c
a
3
3
abc
2
3
1
abc
2
2
1 1 1
a b c
a b c
2
2
.
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
10
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
abc
2
. Ta có t
3
abc
1
.
2
Dấu “=” xảy ra khi a b c
Khi đó S 3
3
3
abc
2
3
abc 1
.
3
4
2
2
1
abc
2
N.
co
m
Đặt t
3
1 15
1 15
1
15
1
3
3 2 t.
3 t 3 t
16t 16t
2 16t
16t 16t
t
1 15
3 17
.4
.
2 16
2
Dấu “=” xảy ra khi a b c
1
.
2
B. Bài tập và hướng dẫn
1
.
a2
HV
Bài 1. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a
Giải.
1
1
nên ta sẽ áp dụng Côsi cho ba số dạng a a 2 .
2
a
a
1
1
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a 2 và a 2
a
8
1 a a 1 6a
a a 1 6.2 9
Khi đó S a 2 2
33 . . 2
a 8 8 a 8
8 8 a
8
4
9
Với a 2 thì MinS
4
1
1
Bài 2. Cho 0 a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 2a 2 .
2
a
Giải.
1
1
Do có a và 2 nên ta sẽ áp dụng Côsi cho ba số dạng a a 2 .
a
a
1
1
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a và a 2 8
2
a
1
1
1
1
Khi đó S 2a 2 8a 8a 2 14a 3 3 8a.8a. 2 14. 5
a
a
a
2
1
Vậy với a thì MinS 5 .
2
ww
w
.M
AT
Do có a và
Bài 3. Cho a 10; b 100; c 1000 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
1
y a b c .
a
b
c
Giải.
1
Xét riêng biểu thức P a với điều kiện a 10 , ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất khi a 10 .
a
a 1
Từ đó ta cần tìm số sao cho , với a 10 ta được 100 , từ đó ta phân tích P như sau:
a
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
11
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
99
a
1 99
a 1 99
1 99
1 101
a
a2
a
.10
. (làm tương tự cho hai biểu
100
100 a 100
100 a 100
5 100
5 10
thức còn lại.)
N.
co
m
P
Bài 4. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a b c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
P abc .
a b c
Giải.
HV
1
Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng và a b c 1 nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c .
3
1
Nên ta phải biến đổi biểu thức P một cách khéo léo để đảm bảo dấu bằng xảy ra tại a b c .
3
1
1
1
1
1
1
Ta có P 9a 9b 9c 8 a b c 9a 9b 9c 8 10 .
a
b
c
a
b
c
1
Dấu bằng xảy ra khi a b c .
3
Bài 5. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a b c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P 3 ab 3 bc 3 ca .
Giải.
ww
w
.M
AT
1
Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng và a b c 1 nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c .
3
1
ab
1
3
3
Ta có
ab 3 3. 3 ab. 3 3
3
3
1
bc
1
3
3
Tương tự
bc 3 3. 3 bc. 3 3
3
3
1
ca
1
3
3
ca 3 3. 3 ca. 3 3
3
3
Cộng vế theo vế ta được
1
1
P 3 ab 3 bc 3 ca 3 3 a b c 3 3 .
3
2
15
1
Vậy GTLN của P
khi a b c .
2
3
3
.
2
1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c .
a b c
Giải.
Cách 1. Ta có
1 1 1
1
1
1
3 15
S a b c 4a 4b 4c 3 a b c 4 4 4 3.
Vậy
a b c
a
b
c
2 2
15
1
MinS
khi a b c .
2
2
Bài 6. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a b c
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
12
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Cách 2. Ta có S a b c
1 1 1
1
1
1 31 1 1
a
b c
a b c
4a
4b
4c 4 a b c
1
1
1 3
9
3 9 15
2 b
2 c
111
4a
4b
4c 4 a b c
43 2
2
15
1
Vậy MinS
khi a b c .
2
2
N.
co
m
2 a
Bài 7. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a b c 1 .
1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b c 2 .
a b c
Giải.
Ta có
1 1 1
2
2
2
18a 18b 18c 17 a b c
a b c
a
b
c
12 12 12 17.1 19 .
1
Vậy MinS 19 khi a b c .
3
HV
S abc
Bài 8. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a b c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
a3
1 a
2
b3
1 b
2
c3
1 c
2
.
Giải.
a
2
1 a 1 a 3
a
8
8
4
2
1 b 1 b 3
b
8
8
4
2
1 c 1 c 3
c
8
8
4
1 a
b3
1 b
c3
.M
1 c
AT
Ta có
3
1
3
1
Suy ra P 3 a b c a b c P
4
4
4
1
1
Vậy MinP
khi a b c .
4
3
ww
w
Bài 9. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 5 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x 2 3 y 2 z 2 .
Giải.
1
1
Ta có x 2 y 2 2 xy , 2 x 2 z 2 2 xz , 2 y 2 z 2 2 yz .
2
2
2
2
2
Cộng vế theo vế ta được 3x 3 y z 2 xy yz zx 2.5 10 .
Dấu „=‟ xảy ra khi x y 1, z 2 .
Bài 10. Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn x y xy 8 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y 2 .
Giải.
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
13
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
4
x y
2
2
, từ đây ta tìm được x y 8 hoặc x y 4 suy ra
16 .
Mà ta lại có P x y
x y
2
8.
2
x y 4
x y2
Đẳng thức xảy ra khi x y
x y xy 8
2
2
Vậy min P 8 khi x y 2 .
Ta có S ab
HV
Bài 11. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1 .
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S ab
.
ab
Giải.
N.
co
m
x y
Ta có 8 x y xy x y
1
15
4
1
1
15
1 15 4 17
ab
.
2 ab.
2
ab
16ab 16ab
2 16 1 4
16ab 16 a b
Hoặc ta có thể giải như sau:
ab 1
Đặt t ab t ab
2 4
2
1
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của S t .
4
t
1
1
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi t và t 16
4
t
1
1 17
1
1
S t 16t 15t 2 16t. 15.
t
4 4
t
t
1
1
17
Vậy với t hay a b thì MinS .
4
2
4
.M
AT
Khi đó bài toán trở thành : Cho t
ww
w
Bài 12. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 1 .
1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b 2 2 .
a b
Giải.
1 1
1
1
Ta có P a b 2 2 8a 8a 2 8b 8b 2 15 a b
a b
a
b
1
1
3 3 8a.8a. 2 3 3 8b.8b. 2 15 a b 3.4 3.4 15.1 9
a
b
Hoặc ta có thể giải như sau:
2
Ta có P 2 ab
(Dấu “=” xảy ra khi a = b)
ab
ab 1
. Khi đó ta thu được
Đặt t ab , khi đó 0 t ab
2
2
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
14
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
2
2
16t 16t 2 30t
2
t
t
3 3 16t.16t.
2 30
9
t2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t
1
1
ab
2
2
N.
co
m
P 2t
Bài 13. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c
3
.
2
1 1 1
.
a 2 b2 c2
Giải.
1 1 1
1
1
1
2 2 8a 8a 2 8b 8b 2 8c 8c 2 15 a b c
2
a b c
a
b
c
1
1
1
3 27
3 3 8a.8a. 2 3 3 8b.8b. 2 3 3 8c.8c. 2 15 a b c 3.4 3.4 3.4 15.
a
b
c
2 2
Hoặc ta có thể giải như sau:
3
Ta có P 3 3 abc
(Dấu “=” xảy ra khi a b c )
2
3
abc
Đặt t 3 abc , khi đó 0 t 3 abc
HV
Ta có P a b c
abc 1
. Lúc này ta thu được
3
2
3
3
24t 24t 2 45t
2
t
t
1 27
3 3 24.24.3 45.
2 2
AT
P 3t
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t
1
1
abc
2
2
3
.
2
1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 2 b 2 c 2 .
a b c
Giải.
.M
Bài 14. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b c
Do P là biểu thức đối xứng theo a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a b c
1
nên ta biến
2
ww
w
đổi P như sau:
1
1
1 1
1 1 31 1 1
P a 2 b2 c2
8a 8a
8b 8b
8c 8c 4 a b c
1 1
1 1
1 1 3
9
9 3 2 27
. 3 3 b2 . . 3 3 c2 . . .
.9.
.
8a 8a
8b 8b
8c 8c 4 a b c 4 4 3 4
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c
2
33 a2.
Bài 15. Cho a; b là các số thực thỏa mãn 0 a 3 , 8 b 11 và a b 11.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ab .
Giải.
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
15
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Từ giả thiết 0 a 3 , 8 b 11 và a b 11, ta dự đoán P đạt giá trị lớn nhất khi
a 3; b 8 , khi đó 8a 3b , nên ta biến đổi P như sau:
3 a b 5a
33 5a 33 5.3 24 .
1
1 8a 3b
P .8a.3b
96
96
24
24
4
96
Vậy max P 24 khi a 3, b 8 .
2
2
2
N.
co
m
2
Bài 16. Cho a 0, b 0, c 3 là các số thực thỏa mãn a b c 6 . Chứng minh rằng abc
27
.
4
Giải.
3
Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b , c 3 khi đó a b c .
2
a b
abc
ab
a b a b c
9
Ta có
.c. a b
.
a b . Mặt khác theo giả thiết
4
4
4
4
4
9
27
(đpcm).
a b c 6 và c 3 suy ra a b 3 nên abc .3
4
4
2
2
c
HV
Bài 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
.
P
a b b 2c b c c 2a c a a 2b
Giải.
3
a
a b b 2c 1
Ta có
a
18
2
a b b 2c 12
AT
b3
b c c 2a 1
b
18
2
b c c 2a 12
c3
c a a 2b 1
c
18
2
c a a 2b 12
Cộng vế theo vế ta được P
2 a b c 3 a b c 1
a b c
12
18
2
.M
1
1
a b c .6 1 .
6
6
Dấu “=” xảy ra khi a b c 2 .
P
Bài 18. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức 3 ab bc ca 4 3 a b c .
a 3 b3 c 3 16 1 1 1
1
2
9 a b c
Giải.
3
3
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b 3 3. .ab
b3 c3 3 3. .bc
c3 a3 3 3. .ca với là số thực dương.
Khi đó ta được: 2(a3 b3 c3 ) 3 3 3. (ab bc ca)
2 3 3 3
a b c 2 ab bc ca 1
Bất đẳng thức tương đương với
3
1
a
1
b
1 c 6
Mặt khác 2 2 2
(Áp dụng bất đẳng thức AM-GM)
a b c
ww
w
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
16
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
1 1 1 6 1
1 1 1
2 a b c 2 6 a b c
a b c
a b c
2 3 3 3
4
1 1 1
Từ (1) và (2) ta được
(a b c ) 2 1 6
3
3
a b c
Ta chọn sao cho đẳng thức xảy ra, tức là a b c
4
Chọn là nghiệm của phương trình 9 2 9 4
3
a 3 b3 c 3 16 1 1 1 28
Vì vậy P
1
2
9 a b c 3
28
4
Giá trị nhỏ nhất của P là
khi a b c
3
3
2
N.
co
m
Bài 19. (ĐH – K.B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x 1
y 1 z 1
thức P x y z
2 zx 2 xy
2 yz
HV
Giải.
Do vai trò của x, y, z là bình đẳng nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y z .
AT
2
x 1
x 1 x 1
Khi đó x x
, nên biểu thức P trở thành
2 x.x 2 x
2 yz
t2 1
x2 1 y2 1 z 2 1
P
. Ta nghĩ ngay đến hàm đặc trưng có dạng f t .
2 t
2 x 2 y 2 z
Từ đó cho ta các biến đổi P như sau:
x2 y 2 z 2 x
y
z
x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 xy yz zx
P
2
2
2 yz zx xy
2
2
2
xyz
2
2
2
xyz
x2 1 y 2 1 z 2 1
.
2 x 2 y 2 z
Xét hàm số f t
t2 1
3
, t 0 . Ta có f t f 1 , t 0
2 t
2
.M
3 9
Nên P 3. .
2 2
9
Vậy min P khi x y z 1.
2
Bài 20. (ĐH – K.B – 2009) Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x y 4 xy 2 .
3
ww
w
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3 x 4 y 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 1
Giải.
Do vai trò của x, y là bình đẳng nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y .
1
3
Thay vào giả thiết x y 4 xy 2 ta được x y .
2
Mặt khác nếu kết hợp giữa giả thiết và biểu thức A thì ta được hệ bất PT đối xứng với x, y . Nên ta
định hướng là biến đổi giả thiết và biểu thức A về có dạng tổng x y và xy .
1
1
2
2
2
xy x y x y x y
Ta có
4
4
1
1
2
2
2
x 2 y 2 x y x y x y
2
2
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
17
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Ta có x y 4 xy 2 x y x y x y 2
3
3
2
2
x y x y 2 x y x y 2 0 x y 1 x y 2 x y 2 0
x y 1 0 x y 1 .
1
1
1
2
2
2
Khi đó x 2 y 2 x y x y x y
2
2
2
Khi đó
2
A 3 x 2 y 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 1
2
2
2
1
3 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 1
4
2
2
2
9
3
9
x2 y 2 2 x2 y 2 x2 y 2 1 x2 y 2 2 x2 y 2 1
4
4
4
1
9
1
Đặt t x 2 y 2 . Xét hàm số f t t 2 2 1 với t
2
4
2
1
1 9
Ta có f t f , t .
2
2 16
9
1
Vậy min A
khi x y .
16
2
2
3
2
2
N.
co
m
3
HV
Bài 21. Cho x; y; z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 2 .
x3 y y 3 z z 3 x xy 3 yz 3 zx3 2 .
Giải.
Nhận xét rằng dấu bằng xảy ra khi (chẳng hạn) x y 1, z 0 , khi đó ta có
AT
Chứng minh rằng
x3 y y 3 z z 3 x xy 3 yz 3 zx 3 , nên ta hoàn toàn có thể sử dụng BĐT
a b 2 a b để
loại bỏ căn thức mà vẫn bảo toàn dấu “=” của bài toán. Khi đó bài toán trên tương đương
x3 y y 3 z z 3 x xy 3 yz 3 zx3 2
xy x 2 y 2 yz y 2 z 2 zx z 2 x 2 2
.M
Mặt khác ta lại có
xy x 2 y 2 yz y 2 z 2 zx z 2 x 2 xy x 2 y 2 z 2 yz y 2 z 2 x 2 zx z 2 x 2 y 2
xy yz zx x 2 y 2 z 2
Do vậy ta chỉ cần chứng minh: xy yz zx x 2 y 2 z 2 2
ww
w
Áp dụng BĐT AM – GM dạng
xy yz zx x 2 y 2 z 2
a b
ab
4
2
, ta được
1
.2. xy yz zx x 2 y 2 z 2
2
2
2
2
4
x y z
1 2 xy yz zx x y z
24
.
2.
2
4
8
8
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x y 1, z 0 và các hoán vị của nó.
2
Bài 22. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sin A sin B sin C
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
3 3
2
18
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
N.
co
m
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều
A BC .
3
Vì A B C ta giảm bớt số biến bằng sin C sin A cos B sin B cos A
P sin A sin B sin C sin A sin B sin A cos B sin B cos A , ta nghĩ đến:
2
2
sin A cos A 1
; A, B không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện sin 2 A, cos 2 A , ta
2
2
sin B cos B 1
a 2 b2
,
2
3
1
sin A sin B
, cos A cos B , Ta áp dụng Cauchy:
2
2
sin 2 B
sin B
3 sin 2 A
sin A
2
2
cos
B
cos
A
3
cos
B
cos
A
2 3
3
3
3
nghĩ ngay đến bất đẳng thức ab
Ta có: sin A sin B
1 2
3 2
3
sin A 4 sin B 4 . Vậy:
3
ww
w
.M
AT
HV
sin 2 B
1 2
3 sin 2 A
3 2
3 3 3
2
VT
cos B
cos 2 A
sin A sin B
2 3
4
4
2
3
3
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
19
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
A. Ví dụ minh họa
N.
co
m
§2. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKSKY
Ví dụ 1. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 . Chứng minh rằng
x2
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
x
y
z
Giải
◊ Sai lầm :
Nhận xét: Chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
2
1
1
1
1
1
2 1 2 2
2
x 2 1 1 x x x 2
x
x
x
x
x
x
2
Tương tự ta có: P
1 1 1 2
1
x y z
2
2
x y z
HV
Vậy P 3 2....?
1 1 1
3 2
x y z
x y z
x 1 y 1 z 1
, ,
◊ Nguyên nhân sai lầm: P 3 2 1 x 1 y 1 z (vn)
x y z 1
1
◊ Lời giải đúng. Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi x y z , và biểu thức trong căn gợi cho
3
2
AT
1
ta sử dụng BCS: x 2 2 2 2 x với , là những số thỏa mãn:
x
y
1
x x
1
1
x 2 , chọn 1, 9
x
9
2
.M
1
9
1
1
9
Ta có x 2 2 12 92 x x 2 2
x
x
x
x
x
82
1 1 1
1
Tương tự ta có P
9 x y z 9
82
x y z
1 1 1
Do x y z 1, 9 nên ta tách
x y z
1 1 1 1 80 1 1 1 2
9 x y z 9 x y z 3
ww
w
x y z
1 1 1 80
9
82
x y z 9 x yz
x y z
1
Vậy P 82 , dấu “=” xảy ra khi x y z .
3
x, y , z 0
Ví dụ 2. Cho 1 1 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x y z 1
1
1
1
P
2x y z x 2 y z x y 2z
Giải
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum
www.DeThiThuDaiHoc.com
20
- Xem thêm -
.PDF 
24 
295 
110 
