Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng...

Tài liệu Không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng

.PDF
45
2
54

Mô tả:

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Dung KHÔNG GIAN TÔ PÔ SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Dung KHÔNG GIAN TÔ PÔ SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN HỌC ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2013 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Lời nói đầu Các không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận nói chung, không gian metric, định chuẩn sắp thứ tự bộ phận nói riêng được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 30 của thế kỷ trước, sau khi các nhà toán học phát hiện ra rằng tất cả các không gian Banach cổ điển như các không gian Lp , lp (1 ≤ p ≤ +∞), c0 , C(Ω),. . . đều có một thứ tự bộ phận tự nhiên và các thứ tự này có liên hệ chặt chẽ với tô pô của các không gian được xét. Từ đó nảy sinh một hướng nghiên cứu là nghiên cứu các dàn Banach mà đi đầu là các nhà toán học thuộc trường phái Leningrad ( Liên xô cũ) và các nhà toán học Pháp, Mỹ, Nhật, Israel. Nghiên cứu các không gian tô pô có một thứ tự bộ phận liên kết phát hiện ra nhiều tính chất hơn là xét các không gian này như các không gian tô pô hoặc các không gian được sắp thứ tự bộ phận tách biệt. Các nhà toán học hàng đầu thế giới như L.Kantorovich, S.Kakutani, J.Lindenstrauss, M.Stone. . . đã ứng dụng thành công các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận vào lý thuyết biểu diễn các toán tử, biểu diễn các không gian cũng như các lĩnh vực ứng dụng của toán học như điều khiển kinh tế và lý thuyết trò chơi. Các nghiên cứu gần đây về lý thuyết điểm bất động trong các không gian metric sắp thứ tự bộ phận cũng thu được nhiều kết quả và được ứng dụng vào lý thuyết các phương trình vi phân và đạo hàm riêng. Bản luận văn “Không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng” nằm trong hướng nghiên cứu nói trên. Nội dung của bản luận văn gồm: - Lời nói đầu. - Chương 1. Không gian Tô pô và các tập được sắp thứ tự: Nêu các định nghĩa cơ bản về không gian tô pô và các tập được sắp thứ tự bộ phận. Chứng minh một số mệnh đề liên hệ các khái niệm trù mật tô pô và trù mật thứ tự. Nêu khái niệm hàm tiện ích, nêu phác thảo chứng minh hai định lý của Debreu về sự tồn tại các biểu diễn tiện ích liên tục trong các không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ, khả ly tô pô và liên thông cũng như trong các không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ thoả mãn tiên 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii đề thứ hai về tính đếm được, nếu các tô pô được xét là các tô pô tự nhiên sinh bởi tựa thứ tự đầy đủ. Các chứng minh này suy ra từ một định lý của Peleg (1970). Tư liệu của chương này chủ yếu được lấy từ công trình [1] của Ghanshyam Mehta. - Chương 2. Không gian Metric và sắp thứ tự bộ phận; Các định lý điểm bất động dạng Caristi và Geraghty trong không gian Metric sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng: Xét các định lý điểm bất động trong các không gian metric sắp thứ tự bộ phận, bao gồm định lý Caristi và các mở rộng, định lý Geraghty và các mở rộng. Các kết quả của chương 2 được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một bài toán biên trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Tác giả đã trình bày lại phát biểu cũng như chứng minh của các định lý trên theo sự lĩnh hội của bản thân, đồng thời cũng đưa ra một chứng minh khác của kết quả chính trong bài báo [5] của các tác giả M.E. Gordji, M.Ramezani, Y.J. Cho, S. Pirbavata. - Kết luận. - Tài liệu tham khảo. Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn TS. Hoàng Văn Hùng, Viện Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam vì đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình chuẩn bị luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn các thày cô thuộc Khoa Toán – Tin Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên vì đã quan tâm và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành chương trình học tập cao học của trường. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Dung 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Mục lục 1 Không gian Tô pô và các tập được sắp thứ tự 1.1 Không gian Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cơ sở của một tô pô. Các tiên đề về tính đếm được 1.3 Các tiên đề về tính tách được . . . . . . . . . . . . 1.4 Các ánh xạ liên tục. Đồng phôi . . . . . . . . . . . 1.5 Tính Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Tựa thứ tự và thứ tự trong một tập. Hàm tiện ích . 1.7 Không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ . . . . . . . 1.8 Tính trù mật thứ tự và tô pô . . . . . . . . . . . . 1.9 Các hàm tiện ích. Các định lý Debreu và Peleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Không gian Metric sắp thứ tự bộ phận. Các định lý điểm bất động dạng Caristi và Geraghty trong không gian Metric sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng 2.1 Các định lý về điểm tối tiểu trong không gian metric sắp thứ tự bộ phận. Các định lý điểm bất động dạng Caristi . 2.2 Định lý điểm bất động Geraghty và các mở rộng . . . . . . 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 1 3 5 6 8 10 11 13 18 21 22 29 36 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Chương 1 Không gian Tô pô và các tập được sắp thứ tự Chương này liệt kê các khái niệm và sự kiện cơ bản về không gian tô pô, các tập được sắp thứ tự cũng như không gian tô pô được sắp thứ tự bộ phận. Tác giả chỉ đưa ra chứng minh của các sự kiện quan trọng nhất trong lý thuyết các không gian tô pô và các tập được sắp thứ tự. Các sự kiện khác chỉ được nêu ra nhằm đảm bảo tính hệ thống của lý thuyết không kèm theo chứng minh. 1.1 Không gian Tô pô Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập nào đó. Một tô pô trên X là một lớp τ các tập con của X có các tính chất sau: 1) X thuộc τ và ∅ thuộc τ 2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . Một tập X cùng với một tô pô τ trên X (tức là một cặp (X, τ ) ) gọi là một không gian tô pô. Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở (khi cần chính xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở). Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ . Ví dụ: 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 • Lớp tất cả các tập con của một tập X cho trước rõ ràng thoả mãn hai tính chất 1) và 2) của định nghĩa 1.1.1, do đó lớp này là một tô pô trên X. Tô pô này mịn hơn mọi tô pô trên X. Nó gọi là tô pô rời rạc. Mọi tập con của X đều là mở trong tô pô rời rạc của X. • Nếu X đã cho thì họ gồm hai phần tử τ = {∅, X} là một tô pô trên X. Tô pô này thô hơn mọi tô pô trên X và gọi là tô pô tầm thường. • Tập các tập mở trong một không gian metric tuỳ ý là một tô pô trên X. Do đó các không gian metric là các trường hợp riêng của không gian tô pô. Khi đề cập đến tô pô của một không gian metric (X, d) ta luôn xem tô pô đó là tô pô gồm tất cả các tập mở của X sinh bởi metric d. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian tô pô và F là một tập con của X. Khi đó tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở. Vậy tập đóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở. Các tập đóng có tính chất: 1’) X và ∅ là đóng. 2’) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Hợp hữu hạn của các tập đóng là đóng. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, τ ) là một không gian tô pô và x là một phần tử của X (ta sẽ gọi các phần tử của X là các điểm của nó). Một tập mở của X chứa x gọi là một lân cận của x. Một điểm z của X gọi là một điểm dính của tập con A ⊂ X nếu mọi lân cận của z chứa ít nhất một điểm của A. Điểm y của X gọi là một điểm giới hạn của A nếu trong mọi lân cận của y tìm được ít nhất một điểm x của A sao cho x khác y. Tập tất cả các điểm dính của tập con A của X gọi là bao đóng của A, ký hiệu A. Ta có: i) A đóng ↔ A = A. ii) A là tập đóng bé nhất của X chứa A. iii) B mở ↔ B là lân cận của mọi x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở Vx ⊂ B sao cho x ∈ Vx . Định nghĩa 1.1.4. Tập con A của không gian tô pô (X, τ ) được gọi là trù mật trong tập con B của X nếu A ⊃ B. Nếu X có một tập con A không quá đếm được trù mật trong X thì không gian tô pô (X, τ ) gọi là khả ly. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Ví dụ: Không gian metric R với metric sinh bởi trị tuyệt đối là không gian khả ly. Khi đề cập đến không gian R như một không gian tô pô với tô pô sinh bởi metric trị tuyệt đối ta sẽ nói là không gian R được trang bị tô pô thông thường. 1.2 Cơ sở của một tô pô. Các tiên đề về tính đếm được Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, τ ) là một không gian tô pô. Tập con B của τ được gọi là một cơ sở của tô pô τ nếu mọi tập mở trong tô pô τ biểu diễn được dưới dạng hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập thuộc B. Ví dụ: Tập các hình cầu mở (với tâm tại một điểm tuỳ ý và bán kính tuỳ ý) trong một không gian metric X là một cơ sở của tô pô gồm tất cả các tập mở trong X. Một cơ sở B của tô pô τ trên tập X có các tính chất sau: 1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G. 2) Nếu x được chứa trong giao của hai tập G1 , G2 thuộc B thì tồn tại tập G thuộc B sao cho x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 . Ngược lại mọi họ B các tập con của một tập X có hai tính chất nêu trên đều là một cơ sở của tô pô τ gồm tất cả các tập con của X biểu diễn được dưới dạng hợp của một họ con nào đó của B. Tô pô này gọi là tô pô sinh bởi B. Nếu A là họ các tập con của X có tính chất hợp của các tập thuộc A bằng X thì tập B các tập con của X nhận được từ các tập của A bởi một số hữu hạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2). Do đó A được gọi là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B . Định nghĩa 1.2.2. Không gian tô pô (X, τ ) gọi là thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được nếu tô pô τ có một cơ sở B không quá đếm được. Nhận xét: Mọi không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được đều khả ly. Đối với không gian metric ta có: 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mệnh đề 1.2.1. Nếu không gian metric (X, d)khả ly thì không gian tô pô X với tô pô là các tập mở trong X thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được. Chứng minh. Giả sử A = {x1 , x2 , ..., xn , ...} là một tập không quá đếm được trù mật trong X. Gọi B là tập tất cả các hình cầu mở B(xn ; 1/m) có tâm tại các điểm xn của A và bán kính 1/m ( m là số nguyên dương, m và n biến thiên độc lập). Rõ ràng B là tập đếm được. Giả sử G là một tập mở của X và x là một điểm tuỳ ý của G . Gọi r = 1/m ( m là số nguyên dương) là số sao cho hình cầu mở B(x; 2r)nằm trong G . Vì A trù mật trong X nên tồn tại một điểm xj nào đó của A thuộc hình cầu mở B(x; r) ⊂ B(x; 2r) ⊂ G . Rõ ràng khi đó x ∈ B(xj ; r) . Hình cầu mở B(xj ; r) nằm trong G, bởi vì từ bất đẳng thức tam giác đối với metric trên X ta suy ra B(xj ; r) ⊂ B(x; 2r) . Như vậy, với mọi x thuộc G tồn tại một hình cầu mở B(xj ; r) thuộc họ B sao cho x ∈ B(xj ; r) ⊂ G. Theo tiên đề chọn, tồn tại một ánh xạ đơn S trị f : G → B sao cho x ∈ f (x) ⊂ G với mọi x ∈ G . Từ đó ta có: G ⊂ f (x) ⊂ G. x∈G S Vậy G = f (x). Vì mỗi f (x) là một phần tử của B nên ta suy ra B x∈G là một cơ sở của tô pô gồm tất cả các tập mở của X. Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tô pô (X, τ ). Một họ U các lân cận của điểm x ∈ X được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân cận G của x đều tìm được một phần tử U của họ U sao cho U ⊂ G. Không gian tô pô (X, τ ) gọi là thoả mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm được nếu mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được. Mệnh đề 1.2.2. Mọi không gian metric đều thoả mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm được. Chứng minh. Nếu x là một điểm của không gian metric X thì họ lân cận của x gồm các hình cầu mở B(x; 1/n) (n là số nguyên dương) lập thành một cơ sở lân cận đếm được của x. Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian Stô pô (X, τ ). Họ các tập con (Uα )α∈I của X gọi là một phủ của X nếu Uα = X. Nếu mọi Uα đều mở α∈I thì phủ (Uα )α∈I gọi là một phủ mở của X. Mệnh đề 1.2.3. Nếu (X, τ ) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được thì từ mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con không quá đếm được. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chứng minh. Giả sử B = (Gn ) là một cơ sở đếm được của tô pô τ gồm các tập mở (Gn ) và (Uα )α∈I là một phủ của X. Với mỗi x ∈ X tồn tại một tập mở Uα của phủ (Uα )α∈I sao cho x ∈ Uα . Vì B là một cơ sở của tô pô  τ thì tồn tại tập mở Gn(x) sao cho x ∈ Gn(x) ⊂ Uα (*). Rõ ràng họ Gn(x) là họ con của B nên họ này không quá đếm được. Với mỗi tập Gn(x) có thể có nhiều tập Uα thoả  mãn (*) nhưng theo tiên đề chọn, tồn tại ánh xạ đơn trị f từ họ Gn(x) vào phủ (Uα )α∈I thoả mãn x ∈ Gn(x) ⊂ Uα = f (Gn(x) ) với mọi x thuộc X. Rõ ràng họ f (G Sn(x) ) là một phủ con không quá đếm được của phủ (Uα )α∈I bởi vì X ⊂ f (Gn(x) ). x∈X Định nghĩa 1.2.5. Không gian tô pô (X, τ ) gọi là liên thông nếu ngoài tập ∅ và X trong X không còn tập con nào khác có tính chất vừa mở vừa đóng. Ví dụ: Đường thẳng thực R với tô pô thông thường là liên thông. Mệnh đề 1.2.4.Nếu (X, τ ) là một không gian tô pô và Y là một tập con của X thì họ τY gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một tập mở tuỳ ý thuộc họ τ , là một tô pô trên Y . Định nghĩa 1.2.6. Không gian tô pô (Y, τY ) gọi là không gian con của không gian tô pô (X, τ ). Mệnh đề 1.2.5. Các khoảng của đường thẳng thực R với tô pô thông thường là các không gian con liên thông của R và ngược lại, mọi không gian con liên thông của R phải là một trong các khoảng dạng (a; b), [a; b), (a; b], [a; b] (a có thể bằng −∞, b có thể bằng +∞). 1.3 Các tiên đề về tính tách được Định nghĩa 1.3.1. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề thứ nhất về tính tách được hay T1 − không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận Ux của x không chứa y và một lân cận Uy của y không chứa x. Mệnh đề 1.3.1. Không gian tô pô X là T1 − không gian khi và chỉ khi mọi tập gồm chỉ một điểm là đóng. 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Định nghĩa 1.3.2. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề thứ hai về tính tách được hay Hausdorff nếu với hai điểm phân biệt bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho Ux ∩ Uy = ∅. Một không gian tô pô Hausdorff còn được gọi là T2 − không gian. Nhận xét: Lớp các T2 − không gian là một lớp con thực sự của lớp các T1 − không gian. Định nghĩa 1.3.3. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề thứ ba về tính tách được hay T3 − không gian nếu: Với mọi tập đóng A của X và mọi điểm x của X không thuộc A tồn tại một tập mở U chứa A và một lân cận V của x sao cho U ∩ V = ∅. Định nghĩa 1.3.4. Không gian tô pô X thoả mãn đồng thời tiên đề thứ nhất và tiên đề thứ ba về tính tách được gọi là không gian chính quy. Nhận xét: Lớp các không gian chính quy là lớp con thực sự của lớp các T2 − không gian. Định nghĩa 1.3.5. Không gian tô pô X được gọi là chuẩn tắc nếu X là T1 − không gian và thoả mãn tính chất: Nếu A, B là hai tập đóng không giao nhau của X thì tồn tại một tập mở U chứa A và một tập mở V chứa B sao cho U ∩ V = ∅. Các không gian chuẩn tắc còn được gọi là các T4 − không gian. Mệnh đề 1.3.2. Mọi không gian metric đều là các không gian chuẩn tắc. 1.4 Các ánh xạ liên tục. Đồng phôi Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ f của không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận Uy0 của điểm y0 = f (x0 ) tìm được lân cận Vx0 của điểm x0 sao cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 . Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X. Mệnh đề 1.4.1. Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở trong Y là một tập mở trong X. 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ liên tục từ X vào Y và U là một tập mở tuỳ ý của Y , đặt V = f −1 (U ). Ta phải chứng minh V là mở trong X. Giả sử x là một điểm tuỳ ý của V và y = f (x). Khi đó y ∈ U nên U là một lân cận của y.Vì f liên tục tại x nên tồn tại lân cận Vx của x sao cho f (Vx ) ⊂ U . Suy ra Vx ⊂ f −1 (U ) = V . Do x là phần tử tuỳ ý của V nên từ điều này ta suy ra V là mở. Điều kiện đủ: Giả sử nghịch ảnh của mọi tập mở trong Y là một tập mở trong X và x là một điểm tuỳ ý của X, y = f (x). Lấy một lân cận tuỳ ý U của y, khi đó V = f −1 (U ) là mở và x ∈ V , tức V là một lân cận của x. Nhưng rõ ràng f (V ) = f (f −1 (U )) ⊂ U , vậy f liên tục tại x. Do x tuỳ ý nên f là ánh xạ liên tục. Từ mệnh đề 1.4.1 ta suy ra hệ quả: Mệnh đề 1.4.2. Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập đóng trong Y là một tập đóng trong X. Mệnh đề 1.4.3. Giả sử X, Y, Z là các không gian tô pô và f : X → Y, ϕ : Y → Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ hợp ϕ ◦ f từ X vào Z cũng liên tục. Định nghĩa 1.4.2. Giả sử f là một song ánh từ không gian tô pô X lên không gian tô pô Y . Nếu các ánh xạ f và f −1 đều liên tục thì f được gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y . Hai không gian tô pô X và Y gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y . Mệnh đề 1.4.4. Nếu f là một phép đồng phôi từ X lên Y thì ảnh bởi f của một tập mở trong X là mở trong Y và ảnh bởi f của một tập đóng trong X là một tập đóng trong Y . Ví dụ: Ánh xạ f từ R vào khoảng (− π2 ; π2 ) cho bởi công thức f (x) = arctan(x) là một phép đồng phôi nếu R và khoảng (− π2 ; π2 ) được trang bị bởi tô pô thông thường. Các tính chất của một không gian tô pô bất biến đối với phép đồng phôi gọi là các tính chất tô pô. Hai không gian metric đồng phôi không nhất thiết phải có các tính chất metric giống nhau. Chẳng hạn, R và khoảng (− π2 ; π2 ) là đồng phôi nhưng R với metric sinh bởi trị tuyệt đối là không gian metric đầy đủ, còn khoảng (− π2 ; π2 ) không phải là không gian metric đầy đủ. Như vậy, tính đầy đủ của các không gian metric không phải là tính chất tô pô. 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Mệnh đề 1.4.5. Nếu X là không gian tô pô liên thông và f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian tô pô Y thì f (X) là không gian con liên thông của Y . Nói riêng nếu X và Y là hai không gian tô pô đồng phôi và X liên thông thì Y liên thông. Như vậy tính liên thông của không gian tô pô là một tính chẩt tô pô. 1.5 Tính Compact Định nghĩa 1.5.1. Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từ mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem như không gian con của không gian tô pô X là một không gian compact. Định nghĩa 1.5.2. Họ (Ai ) các tập con của một tập T gọi là có tính tương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (Ai ) là khác rỗng. Định lý 1.5.1. Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều có giao khác rỗng. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là không gian compact và (Fi ) là một họ các tậpTcon đóng của X có tính tương giao hữu hạn. S Giả sử trái lại rằng giao Fi = ∅. Theo tính chất De Morgan ta có: (X\Fi ) = i i T X\ Fi = X. Vậy họ (X\Fi ) là một phủ mở của X. Vì X compact nên i từ phủ mở này có thể trích ra được một phủ mở con hữu hạn của X: ((X\Fi1 ), ..., (X\Fin )). Tức là X = (X\Fi1 ) ∪ ... ∪ (X\Fin ). Nhưng khi đó lại theo luật De Morgan ta có: Fi1 ∩ ... ∩ Fin = ∅ ĐiềuTnày mâu thuẫn với tính tương giao hữu hạn của họ (Fi ). Do đó phải có Fi 6= ∅. i Điều kiện đủ. Giả sử X có tính chất: “mọi họ các tập đóng có tính tương giao hữu hạn của X đều có giao khác rỗng”, (Ui ) là một phủ mở tuỳ ý của X. Đặt Fi = X\Ui ta được một họ các tập đóng của X. Nếu mọi họ 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 con hữu hạn (Uj )j∈J ( J là tập hữu hạn) của phủ mở (Ui ) đều không phải là phủ của X thì ta có: S T T X\( Uj ) 6= ∅ ↔ (X\Uj ) = Fj 6= ∅ j∈J j∈J j∈J Vậy họ các T tập đóng (Fi ) có tính tương giao hữu hạn. Theo giả thiết khi đó phải có Fi 6= ∅. Nhưng nếu vậy, theo luật De Morgan ta suy ra: i S X\ Ui 6= ∅, tức họ (Ui ) không phải là một phủ của X. Mâu thuẫn. Vậy i phải tồn tại một phủ con hữu hạn của X trích từ phủ (Ui ), do đó X là không gian compact. Mệnh đề 1.5.2. Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô compact là compact. Mệnh đề 1.5.3. Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô Hausdorff X thì Y đóng trong X. Mệnh đề 1.5.4. Mọi không gian tô pô compact đều là không gian chuẩn tắc. Đối với không gian metric compact ta có các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.5.5. Nếu X là không gian metric compact thì: 1) X là không gian đầy đủ và khả ly. 2) Mọi dãy phần tử của X luôn chứa một dãy con hội tụ. Mệnh đề 1.5.6. Đối với không gian metric X hai khẳng định sau là tương đương: 1) A là tập con compact của X. 2) Mọi dãy điểm của A đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc A. Mệnh đề 1.5.7. Nếu X là không gian tô pô compact và Y là không gian tô pô, f là ánh xạ liên tục từ X vào Y thì ảnh f (X) là tập con compact trong Y . Mệnh đề 1.5.8. Nếu X là không gian tô pô compact và f là một song ánh liên tục từ X lên không gian tô pô Hausdorff Y thì f là một phép đồng phôi. Chứng minh. Chỉ cần chứng minh tính liên tục của ánh xạ f −1 . Theo mệnh đề 1.4.2 chỉ cần chứng minh ảnh bởi f của mọi tập con đóng trong X là đóng trong Y . Giả sử A là tập con đóng trong X, theo mệnh đề 1.5.2 A là tập con compact của X. Theo mệnh đề 1.5.7, ảnh f (A) là compact trong Y . Do Y là Hausdorff, theo mệnh đề 1.5.3 f (A) đóng trong Y . 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 1.6 Tựa thứ tự và thứ tự trong một tập. Hàm tiện ích Định nghĩa 1.6.1. Giả sử X là một tập và ≺ là một quan hệ hai ngôi trên X. Quan hệ ≺ được gọi là một tựa thứ tự nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: (a) x ≺ x (∀x ∈ X) ( tính phản xạ) (b) x, y, z ∈ X&x ≺ y&y ≺ z → x ≺ z (tính truyền ứng) Ví dụ 1: Giả sử (X, kk) là một không gian định chuẩn với chuẩn kk. Với hai phần tử x, y tuỳ ý của X, ta xem là x ≺ y nếu và chỉ nếu kxk ≤ kyk. Khi đó quan hệ ≺ là một tựa thứ tự trên X. Định nghĩa 1.6.2. Tựa thứ tự ≺ được gọi là đầy đủ nếu ngoài hai điều kiện (a), (b) nó còn thoả mãn thêm điều kiện: (c) ∀x, y ∈ X phải xảy ra hoặc là x ≺ y hoặc là y ≺ x (tính đầy đủ). Ví dụ 2: Quan hệ ≺ được định nghĩa trong ví dụ 1 là một quan hệ tựa thứ tự đầy đủ. Định nghĩa 1.6.3. Nếu trên tập X có một quan hệ tựa thứ tự ta nói X là một tập tựa được sắp. Nếu trên tập X có một quan hệ tựa thứ tự đầy đủ ta nói X là một tập tựa được sắp đầy đủ hay tựa được sắp tuyến tính. Định nghĩa 1.6.4. Một quan hệ tựa thứ tự ≺ trên X gọi là một quan hệ thứ tự (bộ phận) nếu nó có thêm tính chất phản đối xứng: (d) x ≺ y&y ≺ x ⇒ x = y. Nếu trên tập X có một thứ tự bộ phận ≺ ta nói X là một tập được sắp. Nếu thứ tự bộ phận ≺ thoả mãn thêm điều kiện (c) ( tính đầy đủ) thì X được gọi là một tập được sắp đầy đủ hay được sắp tuyến tính. Quan hệ ≺ đưa ra trong các ví dụ 1 và 2 không phải là một quan hệ thứ tự nếu X có số chiều > 0. Quan hệ ≤ thông thường giữa các số thực là một quan hệ thứ tự. Tập số thực R với quan hệ ≤ là một tập được sắp đầy đủ. Quan hệ bao hàm ⊂ giữa các tập con của một tập X cho trước là một quan hệ thứ tự bộ phận nếu X có nhiều hơn một phần tử. Định nghĩa 1.6.5. Giả sử (X, ≺) là một tập tựa được sắp đầy đủ. Một hàm tiện ích đối với bộ đôi (X, ≺) là một hàm giá trị thực sao cho f (x) ≤ f (y) khi và chỉ khi x ≺ y. 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Nhận xét:Hàm tiện ích là một hàm giá trị thực bảo toàn thứ tự trên một tập tựa được sắp đầy đủ. Khi trên(X, ≺) có một hàm tiện ích ta nói rằng X có một biểu diễn tiện ích. Một quan hệ tựa thứ tự đầy đủ trên X liên kết với nó hai quan hệ hai ngôi khác. Ta định nghĩa 0 x ∼ y 0 khi đồng thời có x ≺ y và y ≺ x. Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương ( tức là quan hệ ∼ có các tính chất phản xạ, truyền ứng và đối xứng: x ∼ y → y ∼ x). Ký hiệu X/ ∼ là tập các lớp tương đương của quan hệ ∼. Hai phần tử x, y của X thuộc vào cùng một lớp tương đương khi và chỉ khi x ∼ y. Các lớp tương đương này gọi là các lớp đồng nhất. Nếu f là một hàm tiện ích trên (X, ≺) thì x ∼ y khi và chỉ khi f (x) = f (y). Như vậy, nếu tập X/ ∼ có nhiều hơn một phần tử, hàm tiện ích f trên (X, ≺) không thể là một hàm hằng. Ta định nghĩa 0 x < y 0 khi x ≺ y và không xảy ra y ≺ x. Ký hiệu y > x đồng nghĩa với ký hiệu x < y. Định nghĩa 1.6.6. Một thứ tự bộ phận ngặt < trên một tập X là một quan hệ hai ngôi trên X có tính bất phản xạ (có nghĩa là không thoả mãn điều kiện (a) của định nghĩa 1.6.1) và tính truyền ứng. Do đó, một thứ tự bộ phận ngặt là không đối xứng. Rõ ràng, < là một quan hệ thứ tự bộ phận ngặt trên X vì có thể xảy ra x ∼ y. Ta định nghĩa một quan hệ mới <1 trên X/ ∼ như sau: (1) a<1 a với mọi a ∈ X/ ∼. (2) Nếu a 6= b thì a<1 b nếu và chỉ nếu x < y với mọi x ∈ a và mọi y ∈ b. Khi đó <1 là một thứ tự đầy đủ trên X/ ∼ . 1.7 Không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ Định nghĩa 1.7.1. Ta nói rằng bộ đôi (X, ≺) là một không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ (hay tựa được sắp tuyến tính) nếu X là một không gian tô pô và ≺ là một tựa thứ tự đầy đủ trên X. Cho (X, ≺) là một không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ. Giả sử f là một hàm tiện ích liên tục trên X. Vì với mỗi số thực α các tập {x ∈ R |x ≥ α} và {x ∈ R |x ≤ α} là đóng, nghịch ảnh của các tập này bởi f phải là các 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 tập đóng. Do đó, điều kiện cần để tồn tại các hàm tiện ích liên tục trên (X, ≺) là với mọi y ∈ X, các tập {x ∈ X |x  y } và {x ∈ X |x ≺ y } phải là các tập đóng. Một tô pô µ trên X sao cho các tập này là đóng gọi là một tô pô tự nhiên đối với (X, ≺). Giả sử (X, ≺) là một tập tựa được sắp đầy đủ. Các khoảng mở của quan hệ ≺ là các tập dạng {x |x < y, y ∈ X } , {x |x > y, y ∈ X } , {x |y < x < z&y, z ∈ X } và X. Các tập này có hai tính chất của cơ sở nêu sau định nghĩa 1.2.1. Tô pô tự nhiên đối với (X, ≺) là mịn hơn tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≺. Một tô pô tựa thứ tự trên đối với (X, ≺) là một tô pô trong đó các tập {x |x < y, y ∈ X } là mở. Tương tự, một tô pô tựa thứ tự dưới đối với (X, ≺) là một tô pô trong đó các tập dạng {x |x < y, y ∈ X } là mở. 2 Ví dụ: - Giả sử X = R+ = (a, b) ∈ R2 |a ≥ 0, b ≥ 0 là góc phần tư không âm của không gian Euclid R2 . Giả sử ≺ ký hiệu quan hệ thứ tự từ điển trong X, tức là (a, b) ≺ (a1 , b1 ) nếu và chỉ nếu hoặc là a ≤ a1 hoặc là a = a1 và b ≤ b1 . Khi đó (X, ≺) không chấp nhận một biểu diễn tiện ích. Chúng ta sẽ xem rằng R2+ có tô pô cảm sinh từ tô pô thông thường của R2 . Giả sử z ∈ X. Tập {x |z ≺ x} chứa đoạn thẳng đứng bên trên z và mọi điểm nằm về bên phải của đoạn này. Có một số điểm biên của tập này không thuộc nó. Do đó {x |z ≺ x} không đóng. Tương tự, {x |x ≺ z } không đóng. Điều này có nghĩa là tô pô thông thường của R2 không phải là tô pô tự nhiên đối với (X, ≺). Vậy (X, ≺) với tô pô thông thường không thể biểu diễn được bởi một hàm tiện ích liên tục. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng không có hàm tiện ích trên (X, ≺). Giả sử rằng tiện ích f . Với mỗi a0 ∈ R+ xét nửa đường thẳng  tồn tại hàm 2 La0 = (a, b) ∈ R+ |a = a0 . Giả sử 0 ≤ a < a0 < b . Khi đó f (La0 ) bị chặn dưới bởi f (a, 0) và bị chặn trên bởi f (b, 0) bởi vì f là hàm tiện ích. Với mỗi a0 > 0 giả sử ma0 = inf {f (a, b) |(a, b)∈ La0 } và Ma0 = sup {f (a, b) |(a, b)∈ La0 }. Với mỗi số thực dương a ta có khoảng (ma , Ma ). Họ các khoảng {(ma , Ma ) |a > 0} có các tính chất sau: (i) Với mỗi a, ma < Ma vì La có nhiều vô hạn điểm và hai điểm phân biệt không thuộc cùng một lớp tương đương. (ii) Nếu a < b thì Ma < mb , do đó nếu a 6= b thì (ma , Ma ) ∩ (mb , Mb ) =∅. (iii) Từ (ii) suy ra họ các khoảng {(ma , Ma ) |a > 0} đếm được vì tập 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 các số hữu tỉ trù mật trong tập các số thực. Do đó ta có một song ánh giữa một tập đếm được và một tập không đếm được. Mâu thuẫn. 1.8 Tính trù mật thứ tự và tô pô Trong mục này ta dùng ký hiệu ≤ thay cho ≺ để chỉ một quan hệ tựa thứ tự hoặc thứ tự trong một tập X nào đó, X không nhất thiết phải là tập số thực R. Nếu a là phần tử của X có tính chất x ∈ X, x ≤ a kéo theo x = a thì a gọi là phần tử tối tiểu của X, tương tự nếu b là phần tử của X có tính chất y ∈ Y, b ≤ y kéo theo b = y thì b gọi là phần tử tối đại của X. Định nghĩa 1.8.1. Giả sử (X, ≤) là một tập tựa được sắp đầy đủ. Tập con Z của X được gọi là trù mật thứ tự hoàn thiện trong X nếu với x, y ∈ X sao cho x < y tồn tại z ∈ Z thỏa mãn x ≤ z ≤ y. (X, ≤) được gọi là khả ly thứ tự hoàn thiện nếu nó có một tập con trù mật thứ tự hoàn thiện đếm được. Một tập tựa được sắp đầy đủ (X, ≤) được gọi là khả ly yếu nếu tồn tại một tập con đếm đượcZ sao cho mọi khoảng mở 6= ∅ của X đều chứa ít nhất một điểm z ∈ Z. Một tập tựa được sắp đầy đủ (X, ≤) được gọi là khả ly thứ tự nếu tồn tại một tập con đếm được Z sao cho nếu x, y ∈ X và x < y tồn tại z ∈ Z sao cho x < z < y. Các mệnh đề dưới đây xác lập các quan hệ giữa các khái niệm trù mật thứ tự nêu trên. Mệnh đề 1.8.1. Giả sử (X, ≤ ) là một không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ với tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≤. Khi đó (X, ≤ ) là không gian tô pô khả ly nếu và chỉ nếu (X, ≤ ) là khả ly yếu. Chứng minh. Giả sử rằng (X, ≤ ) là khả ly tô pô và Z là một tập con trù mật tô pô đếm được. Giả sử I là một khoảng mở khác rỗng của (X, ≤ ). Vì tô pô trên Xsinh bởi các khoảng mở nên I mở trong tô pô của X. Vì I khác rỗng và Z trù mật tô pô trong X, tồn tại z ∈ Z sao cho z ∈ I. Như vậy (X, ≤ ) là khả ly yếu. Ngược lại, giả sử (X, ≤ ) là khả ly yếu và Z là một tập trù mật thứ tự đếm được thoả mãn định nghĩa của tập khả ly yếu trong định nghĩa 1.8.1. Giả sử rằng U là một tập mở và x ∈ U . Vì các khoảng mở của (X, ≤ ) là 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 các phần tử của cơ sở của tô pô trên X và U mở nên tồn tại khoảng mở I chứa x và được chứa trong U , vậy I 6= ∅. Do (X, ≤ ) khả ly yếu, tồn tại z ∈ Z sao cho z ∈ I , như vậy z ∈ U . Điều này chứng tỏ mỗi tập mở khác rỗng chứa một phần tử của Z. Do đó Z là trù mật tô pô và X là khả ly tô pô. Nhận xét: Tính đầy đủ của quan hệ tựa thứ tự dường như không đóng vai trò gì đặc biệt trong chứng minh trên. Điều này gợi ý rằng kết quả vẫn còn đúng đối với không gian sắp thứ tự bộ phận. Mệnh đề 1.8.2. Giả sử (X, ≤ ) là không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ với tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≤. Khi đó (X, ≤ ) thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được nếu và chỉ nếu nó là khả ly thứ tự hoàn thiện. Chứng minh. Giả sử rằng (X, ≤) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được và B = B1 , B2 , ... là một cơ sở đếm được. Chọn zi ∈ Bi để nhận được một tập đếm được trù mật tô pô Z. Giả sử X/ ∼ là tập các lớp đồng nhất. Không giảm tổng quát ta có thể xem X/ ∼ có nhiều hơn một phần tử. Bây giờ xét cặp phần tử a, b của X sao cho a < b và khoảng mở (a, b) = ∅. Với mỗi cặp a, b như vậy ta liên kết với một phần tử Bb của cơ sở B như sau. Tập {x ∈ X |x < b} là mở và chứa a. Vì B là một cơ sở, tồn tại Bb ∈ B sao cho a ∈ Bb ⊆ {x ∈ X |x < b}. Nếu a1 , b1 là một cặp điểm khác sao cho a1 < b1 và (a1 , b1 ) = ∅ chúng ta liên kết Bb1 ∈ B với cặp này theo cùng cách miêu tả ở trên. Khi đó Bb 6= Bb1 vì nếu a < b ≤ a1 < b1 , a1 ∈ Bb1 nhưng a1 ∈ / Bb và nếu a1 < b1 ≤ a < b thì a ∈ Bb , a ∈ / Bb1 Vì quan hệ tựa thứ tự ≤ đầy đủ nên không xảy ra các khả năng khác (nhớ rằng (a, b) = ∅ và (a1 , b1 ) =∅). Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng có một đơn ánh từ tập tất cả các cặp (a, b) với a < b và (a, b) = ∅ vào cơ sở đếm được B. Điều này chứng tỏ rằng tập tất cả các cặp như vậy là đếm được. Chú ý rằng ta đã sử dụng thực sự tính đầy đủ của quan hệ tiền thứ tự để nhận được kết quả này. (Với thứ tự bộ phận có thể xảy sự “ bện chéo”, chẳng hạn, nếu (a, b) và (a1 , b1 ) là hai cặp, ta có thể có a1 < b, a < b1 với a và a1 không so sánh được với nhau). Do đó, tập hợp các cặp điểm, hay chính xác hơn các cặp lớp tương đương của các điểm với tính chất mô tả ở trên là đếm được. Đối với mỗi cặp (a1 , b1 ) như vậy, chọn một phần tử x1 trong lớp a1 ta nhận được một tập đếm được Z 1 . Do đó Z ∪ Z 1 là một tập đếm được. Để chứng minh (X, ≤) khả ly thứ tự hoàn thiện ta giả sử x, y ∈ X sao cho x < y. Nếu tập mở (x, y) 6= ∅, nó chứa một phần tử z ∈ Z vì Z là trù mật tô pô. Nếu 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 tập (x, y) = ∅, x ∼ x1 , với x1 nào đó ∈ Z 1 . Do đó, tồn tại một phần tử z trong Z 1 sao cho x ≤ z ≤ y. Như vậy trong mọi trường hợp, tồn tại phần tử z ∈ Z ∪ Z 1 sao cho x ≤ z ≤ y. Điều này chứng tỏ rằng (X, ≤) là khả ly thứ tự hoàn thiện. Ngược lại, giả sử rằng (X, ≤) là khả ly thứ tự hoàn thiện với tập con trù mật thứ tự hoàn thiện đếm được Z. Giả sử U là một tập mở với x ∈ U . Xét trường hợp x không phải là phần tử tối tiểu và cũng không phải là phần tử tối đại của X. Khi đó do U mở và (X, ≤) tựa được sắp đầy đủ, tồn tại một phần tử của cơ sở, chẳng hạn B có dạng B = {q |a < q < b } sao cho x ∈ B ⊂ U . Vì X là khả ly thứ tự hoàn thiện và a < x < b, tồn tại zi , zj ∈ Z sao cho a ≤ zi ≤ x ≤ zj ≤ b. Có hai trường hợp có thể xảy ra: (1) zi < x < zj (2) zi ∼ x, x ∼ zj Trong trường hợp (2), (a, zi ) = ∅ hoặc (zj , b) = ∅ hoặc cả hai vì nếu khác đi chúng ta quay trở lại trường hợp (1). Nếu (a, zi ) = ∅, a là phần tử đứng ngay trước zi và ta sẽ ký hiệu a = f (zi ). Tương tự, nếu (zj , b) = ∅ ta ký hiệu b = f (zj ). Nếu x là phần tử tối tiểu của X thì do X/ ∼ có nhiều hơn một phần tử và (X, ≤) là tựa được sắp đầy đủ, tồn tại b ∈ X sao cho x < b. Vì Z khả ly thứ tự hoàn thiện, tồn tại zj ∈ Z sao cho x ≤ zj ≤ b. Lại có hai trường hợp: (1’) x < zi ≤ b (2’) x ∼ zj Trong trường hợp (2’), ta có thể xem khoảng (z, b) = ∅ vì nếu trái lại ta sẽ tìm được z 0 ∈ Z sao cho x < z 0 ≤ b tức là trở về trường hợp (1’). Nếu xảy ra (2’) ta đặt b = f (z). Tương tự, nếu x là phần tử tối đại của X thì tồn tại a ∈ X, zi ∈ Z sao cho một trong hai trường hợp sau xảy ra: (1”) a < zi ≤ x (2”) a ∼ zi , (a, x) = (zi , x) = ∅ Nếu xảy ra (2”) ta đặt f (zi ) = a. Bây giờ xét hai họ tập sau: S1 = ({x |zi < x < zj }), i, j = 1, 2, 3, ... Đây là họ đếm được các tập mở. S2 = ({x |f1 (zi ) < x < f2 (zj ) }), trong đó f1 (zi ), i = 1, 2, 3, ... là các phần tử đứng ngay trước zi (nếu chúng tồn tại) và f2 (zj ), j = 1, 2, 3, ... là phần tử đứng ngay sau (nếu có) của zj .Trong trường hợp chỉ tồn tại một trong hai điểm f (zi ) hoặc f (zj ) ta sẽ xem khoảng (f (zi ), f (zj )) = 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu xem nhiều nhất