Tài liệu Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p-adic" không có sự sao chép của người khác. Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Trần Phương. Nếu có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả luận văn Hoàng Thị Hương Giang Xác nhận Xác nhận của chủ nhiệm khoa Toán của người hướng dẫn PGS. TS Hà Trần Phương i Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới PGS. TS. Hà Trần Phương. Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc, kiểm tra bài và giúp đỡ tôi hoàn thành bài luận văn này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn. Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Học viên Hoàng Thị Hương Giang ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic . . . . . . 1.1.1 Hàm phân hình p-adic . . . . . . 1.1.2 Các hàm Nevanlinna và tính chất 1.2 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . 1.2.2 Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . 3 3 3 12 14 14 15 Chương 2 KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN 2.1 Không điểm của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Một số bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Không điểm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 29 40 40 44 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 50 iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LỜI MỞ ĐẦU Cho K là một trường đóng đại số, có đặc số không và đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet (p-adic) và f là một hàm phân hình trên K. Kí hiệu f 0 là đạo hàm của hàm f và kí hiệu F = an f n f (k) + an−1 f n−1 + . . . + a1 f + a0 , trong đó aj là các hàm nhỏ đối với f , là một đa thức vi phân của hàm phân hình f . Trong trường hợp phức đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về số không điểm của f và F trong các trường hợp khác nhau của hàm f . Đối với trường hợp hàm phân hình trên trường p-adic, năm 2012, K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda ([2]) đã chứng minh nếu Wronskian của hai hàm nguyên là một hàm đa thức thì cả hai hàm nguyên đó là một đa thức. Từ đó các tác giả đã chứng minh đạo hàm f 0 của một hàm phân hình siêu việt f trên K sẽ nhận mọi giá trị trên trường K vô hạn lần nếu f có hữu hạn cực điểm bội. Dựa trên các nghiên cứu của K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, năm 2012, J-P Bézivin, K. Boussaf, A. Escassut ([3]) đã đặt ra giả thuyết nếu đạo hàm của f 0 của hàm phân hình f có hữu hạn không điểm thì f có là hàm hữu tỷ? Cũng trong bài báo này, một số kết quả tổng quát đã được các tác giả đã chứng minh. Trong [4], A. Escassut, W. Lü, and C. C. Yang đã nghiên cứu vấn đề nói trên cho trường hợp đa thức vi phân F . Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề không điểm hàm phân hình và đạo hàm của nó, chúng tôi lựa chọn đề tài "Không điểm của đạo hàm và 1 đa thức vi phân của hàm phân hình p-adic". Mục tiêu của đề tài là trình bày lại các kết quả nghiên cứu đã được công bố gần đây của các tác giả K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, J-P Bézivin, W. Lü, and C. C. Yang trong các bài báo [2], [3], [4]. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Trong Chương 1, tôi bắt đầu từ sự trình bày những cơ sở lý thuyết thường được sử dụng về các hàm phân hình p-adic, các hàm Nevanlinna và tính chất của nó, bao gồm các định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu, một số mệnh đề và định lý cơ bản. Các kiến thức cơ bản được tôi tham khảo trong tài liệu [1]. Trong Chương 2, các kết quả nghiên cứu gần đây của các tác giả K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, J-P Bézivin, W. Lü, and C. C. Yang trong các bài báo [2], [3], [4] sẽ được trình bày lại một cách tường minh và tính toán lại cẩn thận các lập luận. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tôi sẽ giới thiệu một số định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu cùng một số mệnh đề và định lý cơ bản. Trong toàn bộ luận văn, chúng ta luôn ký hiệu các trường số hữu tỷ, số thực, số phức lần lượt là Q, R, C, ký hiệu vành các số nguyên là Z. 1.1 1.1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic Hàm phân hình p-adic Cho K là một trường đóng đại số, đầy đủ có đặc số không. Chúng ta đã được biết một hàm |.| : K → R là một giá trị tuyệt đối trên trường K nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn: 1) |x| ≥ 0 với mọi x, |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0; 2) |x.y| = |x|.|y| với mọi x, y ∈ K; 3) |x + y| ≤ |x| + |y| với mọi x, y ∈ K. Chúng ta đã biết đến giá trị tuyệt đối thông thường |.| được định nghĩa như sau:   x nếu x ≥ 0; |x| =  −x nếu x < 0. Với các số x, y ∈ Q, chúng ta ký hiệu d(x, y) = |x − y| thì d chính là một 3 khoảng cách trên tập hợp các số hữu tỷ. Điều đó có nghĩa là khoảng cách giữa hai số hữu tỉ x và y được xác định bằng giá trị tuyệt đối |x − y|. Một khoảng cách thì cần thỏa mãn ba điều kiện sau đây: 1) Khoảng cách giữa hai điểm phân biệt phải là một số dương và bằng 0 khi hai điểm đó trùng nhau; 2) Khoảng cách từ điểm x đến điểm y phải bằng khoảng cách từ điểm y đến điểm x; 3) Khoảng cách giữa hai điểm x và z phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách từ x đến y và khoảng cách từ y đến z (Bất đẳng thức tam giác). Khoảng cách được xác định như trên không phải là duy nhất. Thật vậy, trên tập hợp số hữu tỷ còn có những khoảng cách khác nữa. Với mỗi số nguyên tố p, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối p-adic như sau: Định nghĩa 1.1. Với x là một số hữu tỷ, nếu x = 0 thì ta định nghĩa a |0|p = 0. Nếu x 6= 0, chúng ta viết được x = pα , trong đó α ∈ Z và a, b b không chia hết cho p. Ta định nghĩa giá trị tuyệt dối p-adic của x là |x|p = p−α . Nhận xét 1.1. Ta có 1 ≤ |k|p ≤ 1, k với mọi số k là số nguyên dương. Thật vậy, ta viết k = pm k1 , trong đó m ≥ 0 và p - k1 . Biểu diễn đó là duy nhất và khi đó, 1 1 1 = m ≤ m = |k|p ≤ 1 k p k1 p 1 ⇔ ≤ |k|p ≤ 1. k Hàm |.|p xác định như trên là một giá trị tuyệt đối không Acsimet trên trường số hữu tỉ Q, tức là ngoài ba điều kiện của giá trị tuyệt đối, |.|p còn 4 thỏa mãn thêm điều kiện 3’) |x + y)|p ≤ max{|x|p , |y|p }, với mọi x, y ∈ Q. Trong thực tế, ta có |x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }, nếu |x|p 6= |y|p , và rõ ràng, nếu ta đặt dp (x, y) = |x − y|p thì dp là một khoảng cách trên trường các số hữu tỷ và dp thỏa mãn thêm điều kiện 3’) dp (x, y) ≤ max{dp (x, y), dp (y, z)}, với mọi x, y, z ∈ Q. Khoảng cách dp khi đó được gọi là siêu metric (hay còn gọi là khoảng cách không Acsimet) và ta gọi K là không gian siêu metric. Ta trang bị cho trường K giá trị tuyệt đối p-adic |.|p . Khi đó |.|p sẽ cảm sinh trên K một siêu metric dp . Với mỗi số thực r > 0 và một phần tử a thuộc K, ta ký hiệu hình cầu đóng và mở tâm a, bán kính r lần lượt là d(a, r) = {z ∈ K||z − a|p ≤ r}, d(a, r− ) = {z ∈ K||z − a|p < r}. Vành {z ∈ K|r < |z − a|p < R} được ký hiệu là Γ(a, r, R). Trên không gian siêu metric ta có hai tính chất hình học đặc biệt hơn so với không gian metric thông thường, đó là mọi tam giác đều cân và mọi điểm nằm trong một hình cầu đóng hay mở đều là tâm của nó. Khi mở rộng từ các số hữu tỷ Q đến các số thực R, ta dùng đến các dãy Cauchy theo |.|, đó là các dãy {an } thỏa mãn với mọi ε > 0, tồn tại một số N sao cho với mọi m, n > N ta có |an − am | < ε. Chúng ta cũng thêm vào Q các dãy Cauchy theo |.|p để được trường các số p-adic Qp . Lấy bao đóng của Qp ta sẽ được Q̄p . Nhưng vì Q̄p không đóng đại số nên ta lại tiếp tục bổ sung thêm các dãy Cauchy để có được Cp . Đến đây, Cp là một trường đầy đủ và đóng đại số. 5 Trong các phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu các vấn đề liên quan đến giá trị tuyệt đối p-adic. Vì thế, để đơn giản tôi sẽ ký hiệu |.| thay cho |.|p , ký hiệu K là một trường các số p-adic đóng đại số, đầy đủ có đặc số không và K∗ = K \ {0}. Sự khác biệt giữa tính chất của chuỗi trong K với chuỗi các số phức thông thường được thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1. Dãy {an } trong K là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn lim |an+1 − an | = 0. n→∞ ∞ P Mệnh đề trên cho chúng ta thấy chuỗi vô hạn an với an ∈ K hội tụ n=0 nếu và chỉ nếu lim |an | = 0. Hơn nữa ta có n→∞   ∞ X    an  ≤ max∗ |an |.    n∈N n=0 Bây giờ, ta xét đến các hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa p-adic. Định nghĩa 1.2. Cho ∞ P an (z − z0 )n , an ∈ K là một chuỗi lũy thừa p-adic n=0 hội tụ trong K. Tại mỗi z ∈ K mà |an (z−z0 )n | → 0 khi n → ∞, ta gán giá trị ∞ ∞ P P n của tổng chuỗi an (z −z0 ) cho f (z). Hàm f (z) = an (z −z0 )n , an ∈ K n=0 n=0 được gọi là hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa. Tương tự như trường hợp phức, hàm chuỗi ∞ P an (z − z0 )n có bán kính n=0 hội tụ ρ= 1 1 . lim sup |an | n n→∞ Định nghĩa 1.3. Cho D ⊂ K là một tập mở. Ta nói hàm f : D → K liên tục tại z0 ∈ K nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f (z) − f (z0 )| < ε, với mọi z ∈ d(z0 , δ). 6 f (z0 + h) − f (z0 ) tồn tại hữu hạn thì h→0 h đạo hàm của hàm f , ký hiệu là f 0 (z0 ) được định nghĩa là Định nghĩa 1.4. Nếu giới hạn lim f (z0 + h) − f (z0 ) . h→0 h f 0 (z0 ) = lim Khi đó ta nói hàm f khả vi tại z0 . Trước khi tìm hiểu về hàm phân hình p-adic, ta bắt đầu với khái niệm hàm giải tích toàn cục. Cho D là một miền trong K. Ký hiệu R(D) là tập hợp các hàm hữu tỷ P (z) không có cực điểm trong D, nghĩa là h(z) ∈ R(D) thì h(z) = với Q(z) P (z) và Q(z) là hai đa thức nguyên tố cùng nhau và Q(z) không có nghiệm trong D. Ta đặt ||h||D = sup |h(z)| z∈D thì khi đó ||.||D là một chuẩn trên R(D). Ký hiệu H(D) là bổ sung của R(D) với topo sinh bởi ||.||D . Định nghĩa 1.5. Ta gọi mỗi phần tử thuộc H(D) là hàm giải tích toàn cục trên D. Định lý 1.1. Với mỗi r ∈ R+ , ta có H(d(0; r) = A(d(0, r− )). Định nghĩa 1.6. Hàm f : D → K là hàm giải tích địa phương nếu với mỗi a ∈ D tồn tại một số ρ ∈ R+ và các hằng số an ∈ K sao cho f (z) = ∞ X an (z − z0 )n , với mọi z ∈ D ∩ d(0, ρ). n=0 Tập hợp các hàm giải tích địa phương trên D ký hiệu là Hol(D). Cho hàm giải tích địa phương f trên D, z0 ∈ D và r ∈ R+ sao cho d(0, r− ) ⊂ D. Theo Định lý 1.1 thì f (z) = ∞ X an (z − z0 )n , z ∈ d(z0 , r). n=0 7 Cho f là một hàm không đồng nhất bằng 0 trong d(z0 , r− ). Nếu f (z0 ) = 0 thì tồn tại duy nhất một số nguyên dương q sao cho an = 0 với mọi n < q và aq 6= 0. Trường hợp q = 1 thì ta gọi z0 là không điểm đơn của f , với q ≥ 2 thì ta nói z0 là không điểm bội (bội q ) của hàm f . Trong trường 1 hợp này f (z) = (z − z0 )q g(z), với g(z) 6= 0. Những không điểm của hàm f được gọi là cực điểm của hàm f . Định nghĩa 1.7. Cho D ⊂ K là một tập mở không có điểm cô lập. Ta gọi hàm f : D → K là hàm giải tích tại a ∈ D nếu ρ ∈ R+ ∪ {∞} và các hằng số an ∈ K sao cho d(a, ρ− ) ⊂ D, d(a, ρ− ) \ D 6= ∅ và f (z) = ∞ X an (z − z0 )n , z ∈ d(0, ρ− ). n=0 Hàm f giải tích trên D nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D. Ký hiệu H(D) là tập hợp các hàm giải tích trên D. Hiển nhiên một hàm giải tích trên D thì khả vi trên D. Hơn nữa, ta có H(D) ⊂ H(D) ⊂ Hol(D). Định nghĩa 1.8. Trường các hàm phân thức của H(D) ký hiệu là M(D). Ta gọi mỗi phần tử f ∈ M(D) là một hàm phân hình trên D. Định nghĩa 1.9. Nếu f ∈ M(D) không có cực điểm thì ta gọi f là hàm chỉnh hình trên D. Nếu f chỉnh hình trên K thì ta gọi f là hàm nguyên. Trong các phần tiếp theo chúng tôi sẽ dùng một số ký hiệu như sau: Ký hiệu 1.1. A(d(0, r− )) là vành các chuỗi lũy thừa f (z) = ∞ P an (z − n=0 z0 )n , an ∈ K thỏa mãn điều kiện lim |an |rn = 0. n→∞ Ký hiệu 1.2. M(d(0, r− )) là trường phân thức của các hàm thuộc A(d(0, r− )). u Với mỗi f ∈ M(d(0, r− )) thì f = với u, v ∈ A(d(0, r− )). v Ký hiệu 1.3. A(K) là tập hợp các hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa f (z) = ∞ P an (z − z0 )n , an ∈ K có bán kính hội tụ bằng +∞ trên K, mỗi phần tử n=0 thuộc A(K) là một hàm nguyên trên K. 8 Ký hiệu 1.4. M(K) là tập hợp các hàm f = g với g, h ∈ K, mỗi phần tử h thuộc M(K) là một hàm phân hình trên K. Ký hiệu 1.5. K[z] là tập hợp các hàm đa thức f (z) = n P an (z − a)k , an ∈ k=0 K, n < +∞. Ký hiệu 1.6. K(z) là tập hợp bao gồm các hàm hữu tỷ trên K, mỗi phần P với P, Q ∈ K[z], Q 6= 0. tử thuộc K(z) được viết dưới dạng Q Mỗi phần tử trong tập hợp M(K) \ K(z) là một hàm siêu việt trên K. Ký hiệu 1.7. Mu (d(0, r− )) là tập hợp các hàm phân hình giới nội trên d(0, r− ). Ta thấy rằng miền hội tụ của chuỗi miền hội tụ của chuỗi ∞ P ∞ P an (z − z0 )n có thể nhận được từ n=0 an z n qua một phép tịnh tiến. Do đó, từ nay trở n=0 đi chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa ∞ P an z n . n=0 Cho f là một hàm nguyên, khi đó tồn tại một cách biểu diễn khác của hàm f , đó là nội dung của Định lý 1.2 sau đây. Định lý 1.2. Cho f là một chuỗi lũy thừa xác định một hàm nguyên trên trường K. Nếu f không phải là một đa thức thì có thể biểu diễn f dưới dạng tích vô hạn f (z) = az m ∞  Y n=1 z 1− zn  trong đó a ∈ K, m là một số nguyên không âm, {zn } là tập các nghiệm khác 0 của f (z) và zn → ∞ khi n → ∞. Định lý 1.2 cho chúng ta hai tính chất về số không điểm của hàm f . Hệ quả 1.1. Nếu hàm nguyên f không phải là đa thức trên K thì f có vô số không điểm trên K. 9 Hệ quả 1.2. Hàm nguyên f là hàm hằng nếu f không có không điểm trên K. Bây giờ, ta xét chuỗi lũy thừa f (z) = ∞ P an z n có bán kính hội tụ là ρ n=0 với 0 < ρ ≤ +∞. Với mỗi số thực r thỏa mãn 0 < r < ρ, ta định nghĩa |f |(r) = max |an |rn , n∈N |f |(r) được gọi là số hạng lớn nhất. Chỉ số trung tâm được định nghĩa là ν(r, f ) = max{n : |an |rn = |f |(r)}. n≥0 Ta cũng viết |f |(0) = lim+ |f |(r); r→0 ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ). r→0 Hiển nhiên, với mỗi hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa f và với mỗi số thực r, (0 < r < ρ), nếu z ∈ K mà |z| < r thì |f (z)| ≤ max |an ||z|n ≤ max |an |rn = |f |(r). n∈N n∈N Vì thế nên |f |(r) luôn tồn tại hữu hạn. Hơn nữa, hàm |f |(r) là hàm liên tục theo r và A(d(0, r− )) là không gian đầy đủ với chuẩn |.|(r). Chỉ số trung tâm ν(r, f ) tăng theo r khi r → ρ và với mỗi 0 < r < ρ ta có log |f |(r) = log |aν(0,f ) | + Zr ν(t, f ) − ν(0, f ) dt + ν(0, f ) log r. t 0 Vì {pq : q ∈ Q} là trù mật trong R và |f |(r) là hàm liên tục theo r nên ta thu được nguyên lý module cực đại: |f |(r) = max |an |rn = sup |f (z)| = n∈N |z|≤r 10 lim |z|→r,|z|6=r |f (z)|. g với g, h ∈ A(K). Khi đó ta định nghĩa h g  |g|(r)   |f |(r) =   (r) = . h |h|(r) Nếu f ∈ M(K) thì f = Định lý 1.3 dưới đây nói về tính chất của đạo hàm của hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa. ∞ P Định lý 1.3. Cho chuỗi lũy thừa f (z) = an z n có bán kính hội tụ ρ > 0. n=0 Với mỗi z ∈ K, nếu f (z) hội tụ thì tồn tại đạo hàm f 0 (z) được xác định theo công thức 0 f (z) = ∞ X nan z n−1 . n=1 Chuỗi f 0 (z) có bán kính hội tụ bằng ρ. Hơn nữa, f 0 thỏa mãn 1 |f 0 |(r) ≤ |f |(r) r (0 < r < ρ). ∞ P Nhận xét 1.2. Từ công thức f 0 (z) = nan z n−1 , chúng ta có thể dễ dàng n=1 0 thấy được f (z) = 0 nếu và chỉ nếu an = 0 với mọi n ≥ 1. Vì thế mà hàm f ∈ A(K) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 khi và chỉ khi nó là hàm hằng. Cho f ∈ M(K). Với mỗi r > 0, ta ký hiệu Ký hiệu 1.8. ψf (r) là số không điểm bội của f trong d(0, r), mỗi điểm được đếm số lần bằng bội của nó. Ký hiệu 1.9. φf (r) = ψ f1 (r). Định nghĩa 1.10. Cho các hàm nguyên f, g trên K, ta định nghĩa Wronskian của f và g là     f g   = f g 0 − f 0 g. W (f, g) =   f 0 g 0  11 1.1.2 Các hàm Nevanlinna và tính chất Cho hàm phân hình f trên trường đóng đại số K có đặc số không, đầy đủ với giá trị tuyệt đối p-adic và một giá trị a ∈ K. Cố định ρ0 , r và ρ sao cho 0 < ρ0 < r ≤ R < ρ ≤ +∞, trước hết tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các hàm Nevanlinna.     1 1 Ký hiệu 1.10. n r, f −a , n̄ r, f −a lần lượt là số không điểm của hàm f − a kể cả bội, số không điểm không kể bội của hàm f − a trong d(0, r). Ký hiệu 1.11. n(r, f ) là số cực điểm của hàm f , mỗi điểm được đếm số lần bằng bội của nó. Định nghĩa 1.11. (Hàm đếm) Ta định nghĩa: i) Hàm đếm tại các không điểm kể cả bội của f tại a là   1  Zr n t,  1 f −a = N r, dt f −a t ρ0 và N (r, f = a) =     Zr n t, 1 − n 0, 1 f −a f −a t   1 dt + n 0, log r. f −a 0 ii) Hàm đếm tại các cực điểm tính cả bội của hàm f − a là Zr N (r, f ) = n(t, f ) dt t ρ0 và N (r, f = ∞) = Zr n (t, f ) − n(0, f ) dt + n (0, f ) log r. t 0 12 Hàm đếm tại các không điểm tính cả bội của f còn được ký hiệu là Z(r, f ) và  1 Z(r, f ) = N r, f  .   1 Chúng ta cũng định nghĩa các hàm đếm không kể bội N̄ r, , f −a N̄ (r, f = a), N̄ (r, f ), N̄ (r, f = ∞) một cách tương tự. Tiếp theo ta định nghĩa Hàm bù. Định nghĩa 1.12. (Hàm bù) Hàm bù được định nghĩa bởi công thức m(r, f ) = log+ |f |(r) = max{0, log |f |(r)}. Hàm đếm và hàm bù có các tính chất sau đây: Mệnh đề 1.2. Giả sử fi ∈ M(d(0, R− )), i = 1, 2, ..., k . Khi đó, với mỗi 0 < r < R, ta có ! k k X X N r, fi ≤ N (r, fi ) ; m r, i=1 k X N r, i=1 k Y ! i=1 ! ≤ max m (r, fi ) ; fi m r, i∈{1,...,k} i=1 ≤ fi k X N (r, fi ) ; i=1 k Y ! ≤ fi i=1 k X m (r, fi ) . i=1 Định nghĩa 1.13. (Hàm đặc trưng Nevanlinna) Cho f ∈ M(K) hoặc f ∈ M(d(0, R− )), ta định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna (gọi tắt là hàm đặc trưng) của f là hàm T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ). Các tính chất của hàm đặc trưng Nevanlinna có thể dễ dàng suy ra được từ các tính chất của hàm đếm và hàm bù. Mệnh đề 1.3. Giả sử fi ∈ M(d(0, R− )), i = 1, 2, ..., k . Khi đó, với mỗi 0 < r < R, ta có T r, k X i=1 ! fi ≤ k X T (r, fi ) ; T i=1 r, k Y i=1 13 ! fi ≤ k X i=1 T (r, fi ) . Hệ quả 1.3. Một hàm phân hình f trên K là hàm hữu tỷ khi và chỉ khi T (r, f ) = O(log r) (khi r → ∞). Hệ quả 1.4. Hàm phân hình f là hàm siêu việt nếu và chỉ nếu T (r, f ) = +∞. r→∞ log r lim 1.2 Các định lý cơ bản Trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna p-adic có hai định lý cơ bản tương tự như trường hợp phức. Chúng tôi sẽ giới thiệu hai định lý cơ bản đó và một số vấn đề liên quan. 1.2.1 Định lý cơ bản thứ nhất Mệnh đề sau đây là một tính chất đơn giản của hàm đếm, thường gọi là công thức Jensen. Mệnh đề 1.4. (Công thức Jensen) Cho f ∈ M(d(0, r− )) là một hàm phân hình. Khi đó,  1 N r, f  − N (r, f ) = log |f |(r) + O(1), hay Z (r, f ) − N (r, f ) = log |f |(r) + O(1), với O(1) là một đại lượng giới nội. Định lý sau đây là một hệ quả đơn giản của Công thức Jensen, tương tự với trường hợp phức và được gọi là Định lý cơ bản thứ nhất. Định lý 1.4. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên d(0, ρ− ). Khi đó,     1 1 + N r, = T (r, f ) + O(1), m r, f −a f −a với mọi a ∈ K. 14 1.2.2 Định lý cơ bản thứ hai Mệnh đề sau đây thường được gọi là "Bổ đề đạo hàm logarit". Mệnh đề 1.5. (Bổ đề đạo hàm logarit) Cho hàm phân hình f không là hàm hằng trên d(0, ρ−). Khi đó, với mỗi số nguyên k > 0 và với mọi r < ρ ta có |f (k) |(r) ≤ 1 |f |(r). rk Với mỗi hàm phân hình f 6= 0, ta ký hiệu hàm giá trị phân nhánh là   1 NRam (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, f 0 ) + N r, 0 . f Định lý 1.5 sau đây được gọi là Định lý cơ bản thứ hai. Định lý 1.5. Cho hàm phân hình f khác hàm hằng trên d(0, ρ− ). Với các số phân biệt a1 , ..., aq ∈ K, ta đặt δ = min{1, |ai − aj |}, i6=j A = max{1, |ai |}. i Khi đó, với mỗi 0 < r < ρ, ta có q X  1 (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, − NRam (r, f ) − log r + Sf f − a j j=1   q X 1 − log r + Sf , ≤ N̄ (r, f ) + N̄ r, f − a j j=1  trong đó, Sf = q X log |f − aj |(ρ0 ) − log |f 0 |(ρ0 ) + (q − 1) log j=1 A . δ Sf = 0. r→∞ T (r, f ) Chú ý 1.1. Do đại lượng Sf bị chặn nên lim Tiếp theo là một số bất đẳng thức dạng Định lý cơ bản thứ hai. 15