LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nỗ lực, khóa luận tốt nghiệp đề tài: “Một số phương pháp giải hệ
phương trình ở bậc trung học” đã được hoàn thành. Ngoài sự cố gắng của bản thân thì
không thể không kể đến những lời động viên, sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của quý thầy cô
giáo, gia đình và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình.
Đặc biệt, cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo TS. Bùi Khắc
Sơn - người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo Th.S Phan Trọng Tiến đã
đưa ra những lời góp ý bổ ích cho bài khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng tìm tòi tài liệu, tiếp nhận những ý kiến đóng góp
của thầy giáo hướng dẫn. Tuy nhiên bước đầu đi vào thực tế, tìm hiểu về lĩnh vực sáng
tạo trong nghiên cứu khoa học em thấy mình còn nhiều bỡ ngỡ, kiến thức còn hạn chế,
do vậy không thể tránh khỏi những sai sót, hạn chế trong quá trình thực hiện. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp từ phía thầy cô và các bạn.
Lời cuối, em xin kính chúc quý thầy cô và các bạn sức khỏe. Chúc thầy cô sẽ
luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao.
Em xin chân thành cảm ơn.
Đồng Hới, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Dương Thị Hường
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. 1
MỤC LỤC ................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU..................................................................................................................... 4
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI........................................................................................... 4
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .................................................................................. 5
III - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU .............................................................................. 5
IV - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU................................................................................. 5
V - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................................... 5
VI - Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI ........................................ 5
VII - BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI....................................................................................... 6
NỘI DUNG ................................................................................................................. 7
CHƯƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP .............. 7
I. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ................................................... 7
II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN..................................................... 8
III. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
KHÁC ....................................................................................................................... 10
IV. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I .................................. 11
V. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI II .................................. 13
VI. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐẲNG CẤP .............................................. 15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC ............................................................................................................... 17
I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ................................................... 17
1.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 17
1.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 17
II - PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ......................................................................... 20
2.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 20
2.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 20
III - PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ ...................................................................... 26
3.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 26
3.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 26
IV - PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ............................................................................ 29
2
4.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 29
4.2. Một số bài tập minh họa :.................................................................................... 29
V - PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA .............................................................. 31
5.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 31
5.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 33
VI - PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ......................................................... 35
6.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 35
6.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 36
VII - PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ...................... 41
7.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 41
7.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 41
VIII - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .................... 45
8.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 45
8.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 46
IX - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOÁN VỊ VÒNG QUANH ...... 47
9.1. Nội dung phương pháp: ...................................................................................... 47
9.2. Một số bài tập minh họa:..................................................................................... 47
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 49
3
MỞ ĐẦU
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một bộ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Toán học là môn học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó, mang tính tư
duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Kiến
thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán ở bậc trung học là một nội
dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác
trong chương trình toán học, vật lý học, hóa học, sinh học của bậc học này.
Trong chương trình toán của bậc trung học, bắt đầu từ lớp 9 học sinh được học về
hệ phương trình, bước đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng với đó học
sinh được học các quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”,
“Quy tắc cộng đại số”. Và được tìm hiểu thêm các phương pháp giải hệ phương trình
khác ở bậc THPT. Các hệ phương trình có các cách giải tùy thuộc vào đặc điểm riêng
của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ này là hệ
phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi
học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương
trình, đặc biệt phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ để từ
đó có những cách biến đổi hợp lý, nhờ đó mới giải được hệ.
Mặc dù trong chương trình toán ở bậc trung học đã trang bị cho học sinh khá đầy
đủ kiến thức về phương trình, hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải. Tuy
nhiên, các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không được đề
cập đến trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo dành cho học sinh
trung học. Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi
viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không có,
chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi dạy đến chuyên đề
này và thường lướt qua bằng một số ví dụ minh họa chưa làm rõ được những đường
lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực. Trong khi đó, việc giải hệ
phương trình không mẫu mực đòi hỏi yêu cầu cao ở học sinh, qua đó đánh giá được
trình độ kiến thức của học sinh, phân loại được đối tượng học sinh. Chính vì vậy, trong
các kỳ thi học sinh giỏi môn toán,kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay các kỳ thi tuyển
sinh đại học, cao đẳng luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ
4
phương trình không mẫu mực nhưng đa phần các em đều sợ và bỏ qua, thậm chí
không đọc đề khi gặp những bài toán liên quan đến hệ phương trình.
Việc tìm ra các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực phục vụ rất
nhiều cho các em học sinh yêu thích môn toán.
Xuất phát từ những lý do mang tính lý luận và thực tiễn trên mà tôi chọn đề tài:
“Một số phương pháp giải hệ phương trình ở bậc trung học”.
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp, hệ thống các phương pháp thường được
sử dụng để giải các hệ phương trình không mẫu mực thường gặp ở các kỳ thi chọn học
sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng…
III - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương
trình từ đơn giản đến không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành
giải hệ phương trình loại này.
IV - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Chỉ ra được kiến thức về các hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm
vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.
- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình có sự sắp xếp hợp lý,
logic về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp theo từng phương pháp cụ thể.
V - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để hoàn thiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
• Phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn
đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng nên hệ thống phương pháp giải hệ
phương trình thường gặp ở bậc trung học.
• Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo chuyên đề hệ phương trình.
• Tham khảo từ Internet.
• Tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn.
• Quan sát, học hỏi, tiếp thu từ những hoạt động thực tập, thực tế.
VI - Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
* Về lý luận:
5
Đào sâu tìm hiểu một số phương pháp giải hệ phương trình để có một kết quả
nhanh và hiệu quả nhất.
* Về thực tiễn:
- Giúp học sinh trung học học tập tốt chuyên đề hệ phương trình.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận
dụng nó để giải bài tập liên quan đến hệ phương trình.
- Gây hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập hệ phương trình trong sách giáo
khoa, sách tham khảo và các đề thi.
VII - BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
Bố cục của đề tài bao gồm:
Mục lục
Phần mở đầu
Phần nội dung
- Chương I: Một số hệ phương trình đơn giản thường gặp
- Chương II: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.
Phần kết luận
Tài liệu tham khảo.
6
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP
I. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
ax + by = c
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
.
a ' x + b ' y = c '
- Với hệ phương trình này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, như sử
dụng phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay,
tính định thức, đặt ẩn phụ,…
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
x + y = 6
1)
(I)
−2x + 5y = 16
Hướng dẫn: Đối với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn này ta sử dụng phương pháp
thế, rút x theo y để giải.
Ta có:
x = 6 − y
(I) ⇔
−2(6 − y) + 5y = 16
x = 2
⇔
.
y = 4
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (2;4)
x + 3y = 4
2)
−2x + y = −1
ĐS: (x; y) = (1;1)
3x + 4y = −1
3)
6x − y = 7
ĐS: (x; y) = (1; −1)
0,5x + 0, 2y = 0,1
4)
0,3x − 0, 4y = −0,5
3 14
ĐS: ( x; y ) = − ;
13 13
3
5
1
x
+
y
=
2
4
2
5)
1 x + 2 y = 10
6
3
3
ĐS: ( x; y ) = ( −4;6 )
7
1
3
− x + y =
6)
2
2
x + 2y = 3
3 9
ĐS: ( x; y ) = − ;
5 5
2
1
x+ y=4
7) 2
3
− x + 2y = 3
18 33
ĐS: ( x; y ) = ;
5 10
x + y = 3
8) 2x + y
3 = 2
ĐS: ( x; y ) = ( 3;0 )
x − y 2x + y
7 + 17 = 7
9)
4x + y + y − 7 = 15
5
19
ĐS: ( x; y ) = ( 23; −12 ) .
II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
a1x + b1y + c1z = d1
- Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng: a 2 x + b 2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
3
- Với hệ phương trình này ta có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau,
như: phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức,
phương pháp khử Gauss,…
- Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác,
bằng phương pháp khử dần ẩn số (hay còn gọi phương pháp khử Gauss).
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
x + 3y − 2z = −1
3
1) (I) 4y + 3z =
2
2z = 3
Hướng dẫn: Ta thấy hệ phương trình (I) có dạng đặc biệt, đó là hệ phương trình
dạng tam giác.
Việc giải hệ phương trình dạng này khá đơn giản, từ phương trình cuối ta tính
được z, thay z vào phương trình thứ hai ta tính được y, sau đó thay y và z vào phương
trình đầu ta tìm được x.
8
3
3
17
Ta dễ dàng giải ra được z = ; y = − ; x = .
2
4
4
17 3 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y; z) = ; − ; .
4 4 2
1
x + 2y + 2z = 2
2) (II) 2x + 3y + 5z = −2
−4x − 7y + z = −4
(1)
(2)
(3)
Hướng dẫn: Nhân 2 vế của phương trình (1) với -2 rồi cộng vào phương trình
(2) vế theo vế tương ứng. Nhân 2 vế của phương trình (1) với 4 rồi cộng vào phương
trình (3) vế theo vế tương ứng. Ta được hệ phương trình sau (đã khử x ở phương trình
(2) và (3)):
1
x + 2y + 2z = 2
− y + z = −3
y + 9z = −2
Tiếp tục cộng vế theo vế tương ứng của phương trình thứ hai và phương trình
thứ ba của hệ mới ta nhận được hệ phương trình tương đương có dạng tam giác:
1
x + 2y + 2z = 2
− y + z = −3
10z = −5
1
5
7
Ta dễ dàng giải ra được z = − ; y = ; x = − .
2
2
2
7 5 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y;z) = − ; ; − .
2 2 2
2x + y + z = 4
3) x + 2y − 3z = 7
3x − y + 2z = 3
ĐS: ( x; y; z ) = ( 2;1; −1)
9
x − y + z = 7
4) x + y − z = 1
− x + y + z = 3
ĐS: ( x; y;z ) = ( 4;2;5 )
=5
x + y
5) y + z = −1
x
+ z = −2
ĐS: ( x; y;z ) = ( 2;3; −4 )
x + 3y y + z
5 + 6 =z
2x + 5 4z + 5
6)
+
= z +1
7
3
3y + 7 2z + 1
8 + 3 = y −1
ĐS: ( x; y;z ) = ( −13;11;7 )
III. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
KHÁC
- Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác có dạng:
ax + by + c = 0
.
f (x, y) = 0
- Đối với dạng hệ phương trình này ta có thể sử dụng phương pháp thế để giải.
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
x + 2y = 5
1) (I) 2
2
x + 2y − 2xy = 5
Hướng dẫn: Ta sử dụng phương pháp thế để giải bài toán này. Rút ẩn x theo ẩn
y từ phương trình thứ nhất, sau đó thế vào phương trình thứ hai.
Ta có:
x = 5 − 2y
(I) ⇔
2
2
(5 − 2y) + 2y − 2(5 − 2y)y = 5
y = 1 y = 2
⇔
∨
x = 3 x = 1
10
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (3;1) ; (x; y) = (1;2) .
2x − 3y = 1
2) 2
x − xy = 24
19
ĐS: ( x; y ) = ( 8;5 ) ; ( x; y ) = −9; −
3
x − y = 1
3) 3
3
x − y = 7
ĐS: ( x; y ) = ( 2;1) ; ( x; y ) = ( −1; −2 )
x + 2y = 4
4) 2
2
x − xy + 3y + 2x − 5y − 4 = 0
4 20
ĐS: ( x; y ) = ( 2;1) ; ( x; y ) = − ;
9 9
(x − y)(x 2 − y 2 ) = 45
5)
x + y = 5
ĐS: ( x; y ) = (1;4 ) ; ( x; y ) = ( 4;1)
x + y + 8 = 0
6) 2
2
x + y + 6x + 2y = 0
ĐS: ( x; y ) = ( −6; −2 ) ; ( x; y ) = ( −4; −4 )
IV. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I
- Hệ hai phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng loại I đối với ẩn x và y nếu ta
thay x và y cho nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi.
- Hệ phương trình này có dạng tổng quát:
f (x, y) = 0
trong đó:
g(x, y) = 0
f (x, y) = f (y, x)
g(x, y) = g(y, x)
- Để giải hệ phương trình này ta tiến hành các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
S = x + y
Bước 2: Đặt
( điều kiện của S, P là S2 ≥ 4P ).
P
=
xy
Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P.
Bước 3: Dùng định lý Vi – et đảo tìm x, y.
11
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng cơ bản:
• x 2 + y 2 = S2 − 2P , x 3 + y3 = S3 − 3SP .
• Đôi khi ta cần đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x), ( tìm điều kiện của u, v). Khi đó đặt
S = u + v
.
P = uv
Do tính đối xứng nên nếu (x 0 , y0 ) là nghiệm của hệ thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm
của hệ.
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
x 2 + y 2 + xy = 7
1) (I)
x + y + xy = 5
Hướng dẫn:
S = x + y
Đặt
. Ta có:
P = xy
S2 − P = 7
S2 + S − 12 = 0
S = −4 S = 3
(I) ⇔
⇔
⇔
∨
P = 9 P = 2
S + P = 5
P = 5 − S
S = −4
loại vì không thỏa S2 ≥ 4P .
Trường hợp
P = 9
S = 3
x = 1 x = 2
⇔
∨
.
P = 2
y = 2 y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (1; 2); (x; y) = (2;1) .
x 2 + y 2 + x + y = 8
2) 2
2
x + y + xy = 7
ĐS: ( x; y ) = ( −3;1) ; ( x; y ) = (1; −3) ; ( x; y ) = (1;2 ) ; ( x; y ) = ( 2;1)
(x + y) + xy = 3
3)
xy(x + y) = 2
ĐS: ( x; y ) = (1;1)
x + xy + y = 2 + 3 2
4) 2
2
x + y = 6
(
)
ĐS: ( x; y ) = 2; 2 ; ( x; y ) =
(
2;2
)
12
x 3 + y3 = 2
5)
xy(x + y) = 2
ĐS: ( x; y ) = (1;1)
7
x + y + xy = 2
6)
x 2 y + xy 2 = 5
2
1
1
ĐS: ( x; y ) = 2; ; ( x; y ) = ;2
2
2
x y + y x = 30
7)
x x + y y = 35
ĐS: ( x; y ) = ( 9;4 ) ; ( x; y ) = ( 4;9 )
5
5
x + y = 1
8) 9
9
4
4
x + y = x + y
ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( x; y ) = (1;0 )
V. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI II
- Hệ hai phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng loại II đối với ẩn x và y nếu
đổi vai trò của x, y thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
- Hệ phương trình này có dạng tổng quát:
f (x, y) = 0
f (y, x) = 0
- Để giải hệ phương trình này ta tiến hành các bước sau:
Bước 1: Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ ta được hệ phương trình
mới có dạng:
f (x, y) = 0
x = y
f (x, y) = 0
<=>
(1) ∨
(2)
(x − y)g(x, y) = 0
f (x, y) = 0
g(x, y) = 0
Bước 2: Giải từng hệ phương trình (1) và (2) rồi kết luận nghiệm của hệ
phương trình đã cho.
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
13
x 2 = 13x + 4y (1)
1)
2
y = 13y + 4x (2)
Hướng dẫn: Ta thấy nếu đổi vai trò của x và y thì phương trình (1) sẽ biến
thành phương trình (2) và ngược lại. Đây là hệ phương trình đối xứng loại II. Do đó ta
tiến hành làm như sau:
Trừ vế theo vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
x = y
(x − y)(x + y − 9) = 0 ⇔
x = 9 − y
Sau đó xét từng trường hợp khi x = y và khi x = 9 − y , ta tìm được nghiệm của
hệ phương trình đã cho.
* Trường hợp x = y: thế vào hệ phương trình (1) ta có:
x = 0 hoặc x = 17 ⇒ x = y = 0 ∨ x = y = 7
* Trường hợp x = 9 − y : thế vào phương trình (2) ta có:
y = −3 y = 12
∨
x = 12 x = −3
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: (x; y) = (0;0) ; (x; y) = (7;7) ;
(x; y) = ( −3;12) ; (x; y) = (12; −3) .
2x + y − 1 = 3
2)
2y + x − 1 = 3
5 5
ĐS: ( x; y ) = ;
4 4
y 2 = x 3 − 3x 2 + 2x
3) 2
3
2
x = y − 3y + 2y
(
)
(
ĐS: ( x; y ) = ( 0;0 ) ; ( x; y ) = 2 + 2;2 + 2 ; ( x; y ) = 2 − 2;2 − 2
2
2
x − 2y = 2x + y
4) 2
2
y − 2x = 2y + x
ĐS: ( x; y ) = ( 0;0 ) ; ( x; y ) = ( −3; −3)
2
x = 3x + 2y
5) 2
y = 3y + 2x
14
)
ĐS: ( x; y ) = ( 0;0 ) ; ( x; y ) = ( 5;5 ) ; ( x; y ) = ( 2; −1) ; ( x; y ) = ( −1;2 )
1
2
x
+
y
+
=0
4
6)
x + y2 + 1 = 0
4
1 1
ĐS: ( x; y ) = − ; −
2 2
y2 + 2
3y
=
x2
7)
2
3x = x + 2
y2
ĐS: ( x; y ) = (1;1)
VI. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐẲNG CẤP
f (x, y) = f 2 (x, y)
- Hệ hai phương trình hai ẩn đẳng cấp có dạng: 1
, trong đó
g
(x,
y)
g
(x,
y)
=
1
2
fi (x, y) và g i (x, y) ( i = 1;2 ) là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc .
- Phương pháp giải hệ phương trình này:
Bước 1: Xét riêng x = 0.
Nếu x ≠ 0 , ta đặt y = kx rồi nhận xét và chia vế theo vế ta được phương trình
một ẩn k.
Bước 2: Tìm được k, thế vào tìm được x, y.
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
x 2 − xy + y 2 = 1
1) (I)
2
2
2x − 3xy + 4y = 3
Hướng dẫn:
- Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ.
- Với x ≠ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ phương trình (I) ta có:
x 2 (t 2 − t + 1) = 1
(1)
2 2
x (2t − 3t + 4) = 3 (2)
Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta có phương trình:
15
3(t 2 − t + 1) = 2t 2 − 3t + 4 ⇔ t = ±1
* Với t = 1, thay vào phương trình (1) ta có: x 2 = 1 .
=> Hệ có nghiệm (x; y) = (1;1);(x; y) = ( −1; −1) .
1
* Với t = −1 , thay vào phương trình (1) ta có: x 2 = .
3
1
1
1 1
=> Hệ có nghiệm ( x; y ) =
;−
;
; ( x; y ) = −
.
3
3 3
3
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
1
1
1 1
;−
;
; ( x; y ) = −
.
3
3 3
3
( x; y ) = (1;1) ; ( x; y ) = ( −1; −1) ; ( x; y ) =
x 2 − xy + y 2 = 1
2) 2
2
2x − 3xy + 4y = 3
1
1
1 1
ĐS: ( x; y ) = (1;1) ; ( x; y ) = ( −1; −1) ; ( x; y ) =
;−
;
; ( x; y ) = −
3
3 3
3
2
2
3x + 2xy + y = 11
3) 2
2
x + 2xy + 3y = 17
5
4 5
4
ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ; ( x; y ) = (1; 2 ) ; ( x; y ) = −
;
;−
; ( x; y ) =
3 3
3
3
2
2
3x + 5xy − 4y = 38
4) 2
2
5x − 9xy − 3y = 15
ĐS: ( x; y ) = ( −3; −1) ; ( x; y ) = ( 3;1)
2
2
x + 6y − 5xy = 0
5) 2
4x + 2xy + 6x − 27 = 0
3
9 9
ĐS: ( x; y ) = −3; − ; ( x; y ) = ; ;
2
5 10
−1 ± 5
−1 ± 5
1 ± 15
1 ± 15
; −3
; ( x; y ) = −9
; −3
.
14
14
14
14
( x; y ) = 9
16
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG MẪU MỰC
I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1.1. Nội dung phương pháp:
- Mục đích của phương pháp này là làm giảm số ẩn.
- Đặc điểm của phương pháp này là sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất. Từ
một phương trình hoặc kết hợp cả hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn
kia hoặc biểu thức này qua biểu thức kia nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng
đơn giản rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ. Phép biến đổi này không làm thay
đổi tập nghiệm cũng như các điều kiện ban đầu của hệ.
- Đối với từng bài toán cụ thể ta có thể nhận biết qua các dấu hiệu cơ bản sau:
• Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc ẩn y, ta
tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại. Sau đó thế vào phương trình còn lại và chuyển về
giải hệ phương trình một ẩn.
• Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc
nhất hai ẩn.
Trường hợp phương trình f (x; y) = f (y; x) luôn có một cặp nghiệm x = y, ta luôn
phân tích phương trình đã cho về dạng (x – y) g (x; y) = 0.
• Với hai số thực bất kỳ x, y ( x ≠ 0 ), ta luôn có y = tx. Với cách làm này ta sẽ
đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình một ẩn t.
• Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x) xuất hiện ở hai phương trình thì ta đặt
t = u(x) để làm đơn giản hình thức bài toán rồi giải.
1.2. Một số bài tập minh họa:
x 3 y = 16
Bài 1: Giải hệ phương trình:
3x + y = 8
(1)
(2)
Giải
Ta thấy (2) là một phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta rút ẩn này qua ẩn kia.
(2) ⇔ y = 8 − 3x , thay vào (1) ta được:
(1) ⇔ x 3 (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x 4 − 8x 3 + 16 = 0 ⇔ (x − 2)2 (3x 2 + +4x + 4) = 0 ⇔ x = 2
Với x = 2 ta được y = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x; y) = (2; 2) .
17
y(1 + x 2 ) = x(1 + y 2 )
Bài 2: Giải hệ phương trình:
2
2
x + 3y = 1
(1)
(2)
Giải
Dễ thấy phương trình (1) có cặp nghiệm x = y, do đó ta biến đổi phương trình (1) của
hệ ra thừa số (x - y).
x = y
Ta có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔
x = 1
y
1
+ Với x = y, thế vào phương trình (2) ta được: (2) ⇔ 4y 2 = 1 ⇔ y = ± .
2
+ V ới x =
1
, thế vào phương trình (2) ta được: (2) ⇔ 3y 4 − y 2 + 1 = 0 (Phương trình
y
vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1 1
1 1
(x; y) = ; , (x; y) = − ; − .
2 2
2 2
x 3 − 8x = y3 + 2y
Bài 3: Giải hệ phương trình: (I)
2
2
x − 3 = 3(y + 1)
Giải
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Đặt y = tx, khi đó hệ (I) trở
thành:
x 3 − 8x = t 3x 3 + 2tx
x 3 (1 − t 3 ) = x(2t + 8)
x 2 (1 − t 3 ) = 2t + 8
⇔
⇔
2
2 2
2
2
2
2
x − 3 = 3(t x + 1)
x (1 − 3t ) = 6
x (1 − 3t ) = 6
t + 4 1 − t3
⇒
=
⇔
=
3
1 − t 3 1 − 3t 2
1 − 3t 2
2t + 8
6
1
t = 3
2
3
2
⇔ (t + 4)(1 − 3t ) = 3(1 − t ) ⇔ 12t − t − 1 = 0 ⇔
t = − 1
4
18
* Với t =
1
ta có:
3
2 2
x =6
x = 3 x = −3
3
⇔
⇔
y = 1
y = −1
y = 1 x
3
* Với t = −
1
ta có:
4
4 78
4 78
13 2
x =
x = −
16 x = 6
13
13
⇔
∨
y = − 1 x
y = − 78 y = 78
4
13
13
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
4 78
4 78 78
78
(x; y) = (3;1) ; (x; y) = ( −3; −1) ; (x; y) =
;−
;
; (x; y) = −
.
13
13
13
13
x 2 + 1 + y(y + x) = 4y (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình: (I)
2
(x + 1)(y + x − 2) = y (2)
Giải
Đặt a = x + y. Từ (1) ⇒ x 2 + 1 = y(4 − a) , thế vào (2) ta có:
y(4 − a)(a − 2) = y ⇔ y(a 2 − 6a + 9) = 0 ⇔ y = 0;a = 3 .
* Với y = 0 thay vào (1) ta thấy hệ (I) vô nghiệm.
* Với a = 3, ta có: x + y = 3, thay vào hệ (I) ta có:
x 2 + 1 = y
x = 1 ⇒ y = 2
⇒ x2 +1 = 3 − x ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔
y = 3 − x
x = −2 ⇒ y = 5
Vậy, hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
(x; y) = (1;2) ; (x; y) = (−2;5) .
Bài 5: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B, năm 2005)
x − 1 + 2 − y = 1
(1)
Giải hệ phương trình:
2
3
3log 9 (9x ) − log 3 y = 3 (2)
19
Giải
x ≥ 1
ĐK:
0 < y ≤ 2
(2) ⇔ 3(1 + log 3 x) − 3log3 y = 3 ⇔ log3 x = log3 y ⇔ x = y
Thay y = x vào (1) ta có:
x − 1 + 2 − x = 1 ⇔ x − 1 + 2 − x + 2 (x − 1)(2 − x) = 1
x = 1
⇔ (x − 1)(2 − x) = 0 ⇔
x = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (x; y) = (1;1) , (x; y) = (2;2) .
II - PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1. Nội dung phương pháp:
- Điểm quan trọng nhất là phát hiện ẩn phụ a = f( x; y), b = g( x; y) có ngay
trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi. Phép biến đổi đó có
thể là:
• Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng.
• Chia hai vế cho một biểu thức khác 0.
- Khi đặt ẩn phụ a, b ta cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ.
- Đối với dạng hệ phương trình này ta cần rèn luyện nhiều bài tập nhằm tích lũy
được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ để từ đó có thể quan sát,
phân tích, tìm mối liên hệ giữa các biểu thức, số hạng trong mỗi phương trình.
2.2. Một số bài tập minh họa:
3(x 2 + y 2 ) + 4xy = 3
Bài 1: Giải hệ phương trình: (II)
2
2
x − 2y − 4x − 2y = −4
Nhận xét:
Ta thấy ở phương trình thứ 2 có x 2 − 2y 2 , nên sẽ nghĩ đến việc tạo ra x 2 − 2y 2 ở
phương trình thứ nhất bằng cách tách 3(x 2 + y 2 ) , khi đó lượng còn lại ở phương trình
thứ nhất là hằng đẳng thức (2x + y) 2 . Đối chiếu với phương trình thứ 2 ta sẽ thấy
hướng giải quyết bài toán.
20
- Xem thêm -
.PDF 
49 
1379 
92 
