Tài liệu Khóa luận tốt nghiệp một số mở rộng của định lý giới hạn martingale của doob

Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng LỜI NÓI ĐẦU Lí thuyết xác suất và thống kê toán học đã có tiền đề thực tiễn và toán học từ nhiều thế kỷ nay. Tuy nhiên, nó thực sự trở thành một chuyên ngành toán ứng dụng được nhiều người quan tâm từ khi có tiền đề Kolmogow. Từ những kết quả ban đầu sâu sắc ấy, nhiều lý thuyết mới đã ra đời. Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là một tiêu biểu, trong đó các quá trình Martingale và Makrov được coi là xương sống bởi những ứng dụng to lớn của chúng trong nhiều lĩnh vực. Một trong những ông tổ của lý thuyết này là Doob. Vì vậy, em đã chọn: “Một số mở rộng của định lý giới hạn martingale của Doob” làm đề tài. Nội dung khoá luận gồm có 3 chương: Chương I: Giới thiệu sơ lược về các kiến thức liên quan: Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên ( hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ trong Lp) về kỳ vọng có điều kiện, các tính chất của kỳ vọng có điều kiện. Chương II: Trình bày về martingale và một số định lý hội tụ quan trọng của martingale, đặc biệt là định lý Doob, định lý Neveu,… Chương III: Đây là chương chính của khoá luận. Chương này đề cập tới martingle L1 - tiệm cận, martingale tới hạn, trò chơi ngẫu nhiên công bằng dần theo thời gian. Giới thiệu một số mô hình trò chơi ngẫu nhiên tổng quát hơn martingale mà với chúng, định lý giới hạn martingale của Doob vẫn còn đúng. Đó là những kết quả nghiên cứu gần đây của Talagrand và PGS – TSKH Đinh Quang Lưu. Hoàn thành khoá luận này, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Hắc Hải, người đã tận tình hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng quý báu cho em. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng và tập thể sư phạm nhà trường đã dạy và giúp đỡ em trong suốt bốn năm qua. Trong suốt quá trình làm khoá luận, mặc dù được chỉ bảo chu đáo, ân cần song nó cũng có nhiều hạn chế, sai sót. Vì vậy, em rất mong các thầy cô giáo cũng như các bạn đóng góp ý kiến, giúp đỡ và thông cảm cho em. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2006 Sinh viên Đỗ Thị Lan Hương. Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ I.1 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên Giả sử X1, X2,… là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xác định trên không gian xác suất cố định ( ,  ,P). Để cho gọn, ta dùng ký hiệu (Xn) để chỉ dãy b.n.n. I.1.1. Định nghĩa (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với   0 bất kỳ, ta có:        0 . lim P  : X n   X   n P Sự hội tụ theo xác suất được ký hiệu là Xn  X . I.1.2. Định nghĩa (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho: X n    X    với   A . h.c.c Sự hội tụ hầu chắc chắn được ký hiệu là X n  X . Chú ý (+) A là tập có xác suất 0 nếu tồn tại tập B   , A  B sao cho P  B   0 . h.c.c (+) Ta còn có thể định nghĩa: X n  X , nếu:   P   : lim X n   X  n  1     . Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng I.1.3. Định nghĩa (Hội tụ trong Lp ) Dãy b.n.n (X n) được gọi là hội tụ trong Lp ( 0  p   ) đến b.n.n X, ký Lp hiệu là X n  X , nếu: E Xn  X p  0 khi n  . I.1.4. Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là dãy Cauchy theo xác suất (tương ứng hầu chắc chắn, trong Lp ) nếu với mọi   0 bất kỳ: P  X n  X m    0, khi n, m     k ,l  n   (tương ứng: P sup X k  X l   0 ; E X n  X m  0 khi n, m   ). I.1.5. Mệnh đề (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo xác suất. Dãy biến ngẫu nhiên (X n) hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy (Xn) là dãy Cauchy theo nghĩa hầu chắc chắn. I.1.6. Mệnh đề   Cho dãy b.n.n (Xn) nếu P X   1 thì các điều kiện sau đây là tương đương với nhau: h.c.c i) X n  X .   ii) lim P   : sup X n k n   X    k   0,  bất kỳ. I.1.7. Định lý: Cho dãy b.n.n (xn) khi đó ta có: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp i) §ç ThÞ Lan H­¬ng h.c.c P Nếu X n  X thì X n  X . P ii) X n  X khi và chỉ khi với mọi dãy con (nk ) của  tồn tại dãy con h.c.c (nk ) sao cho: X n  X . p Chứng minh  X  X      sup X  X     n   k n k  i) Vì:    k n   P  X n  X     P  sup X k  X    . h.c.c Theo mệnh đề I.1.6 do X n  X    k n   P  sup X k  X     0 khi n    P  X n  X     0 khi n   P  Xn  X . ii) Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Nếu (X n) là dãy biến ngẫu nhiên, thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo xác suất tức là   0 , p   : m, n  p , ta có:         P  : X n   X m   . thì tồn tại dãy con hội tụ hầu chắc chắn. Thật vậy: Với dãy  k , k ,  k  2 k thì ta có thể chọn được một dãy con tăng   ngặt  nk  của  , sao cho: n, k  thoả mãn n  nk , ta có:      P : X n   X n   2 k k   2 k . Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng Với mỗi k  , ta đặt:  Ak   : X n    X n    2k k 1 k  Bk   Ai , i k     B   Bk k 1      ik  ik i k  i P  Bk   P   Ai    P  Ai    2  2k 1 P  B   0 . Với   B thì dãy số X n   thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo nghĩa thông k thường. Khi đó ta định nghĩa b.n.n Y :    như sau:  lim X n    ,   B Y     k  k ,   B 0 Thì P  X n Y k  h.c.c  1 hay dãy con  Y. Xn k Ta sử dụng kết quả này để chứng minh (ii): P Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết: X n  0 . (  ) Giả sử (nk) là một dãy con nào đó của  . Đặt: P Yk  X nk , k    Yk  0 .  Yk  là dãy Cauchy theo xác suất. Vậy theo chứng minh trên thì dãy Yk  sẽ chứa dãy con  Yk  hội tụ hầu chắc chắn, hay dãy con  p  X  nk  p  của    X  hội tụ hầu chắc chắn đến 0. n k (  ) Chứng minh bằng phản chứng. Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng P Giả sử X n   0 , có nghĩa là   0: k , nk  k thoả mãn:   P X n    k h.c.c  Xn   0. k   của  n  Hơn nữa, từ bất đẳng thức trên ta cũng có với mọi dãy con nk h.c.c p k P Xn   0  X n 0 . kp Vậy định lý được chứng minh. Chú ý P h.c.c Xn  X   Xn  X . Thật vậy: Giả sử lấy   0,1 ,   B   0,1  , P   a, b    b  a .   Ta đặt  i  i 1 i  ,   An    n n   X ni  1 i An  Xét dãy b.n.n X , X , X 1 1 1 2 i  1,2,...., n  n  1 .  2 1 2 3 , X 3 , X 3 , X 3 ,...... 2 1 Có P X ni   P X ni 1  P Ani  . n       Mặt khác: X ni  0 ,     1 ,   Ani   Ani i X ni      0 với vô hạn   An Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com thì Kho¸ luËn tèt nghiÖp  §ç ThÞ Lan H­¬ng   i P Xn 0  1 0  n h.c.c X ni   0. I.1.8. Định nghĩa Họ b.n.n khả tích  X ,iI  là khả tích đều nếu : lim sup  i a  iI  X a   i  X i dP  0 . I.1.9. Mệnh đề   Để họ b.n.n khả tích X i , iI là khả tích đều thì điều kiện cần và đủ là: i) sup E X i   ( L1 - bị chặn đều). iI ii) Với mọi   0 , luôn    0 sao cho:  A  , P  A    , ta có: sup  X i dP   (Liên tục tuyệt đối đều). iI A I.1.10. Định lý LP P i) Nếu X n  X  X n  X (1  p  ) . ii) Dãy b.n.n khả tích  X n  hội tụ trung bình đến X  L1 , khi và chỉ khi P  X n  khả tích đều và Xn  X . Chứng minh i) Theo bất đẳng thức Markov,   0 :  P Xn  X     Lp Do X n  X  E X n  X p 0 E Xn  X p p . khi n    P  X n  X     0 khi n   P  Xn  X . Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng P ii) (  ) Giả sử  X n  khả tích đều và X n  X . Khi đó theo I.1.7, tồn tại   dãy con X n k Do đó X n h.c.c sao cho: X nk  X . h.c.c  X . k Theo bổ đề Fatou, ta có:     E X  lim E  X k nk   sup  n    X n   . tức là: X  L1 . L1 Bây giờ ta phải chứng minh rằng: X n  X . Thật vậy, vì  X n  khả tích đều, nên họ X n , X , n cũng khả tích đều.    0 tuỳ ý,    sao cho: Nếu A  và P  A    , ta có: 3    max sup  X n dP,  X dP   . 3  A   A P Mặt khác, vì X n  X nên tồn tại p  sao cho: n  p , ta có: P  X n  X        P   X n  X         . 3  3  Vậy với mọi n  p , ta thu được: E  Xn  X       X n  X  3  X n  X dP      X n  X  3  X n  X dP    X n dP  X dP   .     3  X n  X     X n X    3  3 Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng L1 Hay X n  X . L1 1 (  ) Giả sử: X  L và X n  X . Rõ ràng (Xn) là L1 - bị chặn đều. L1 Mặt khác, do X n  X P  X n  X . Bây giờ, ta phải chỉ ra  X n  là khả tích đều. L1 Cho   0 , vì X n  X nên tồn tại p  sao cho:  sup E X n  X  . 3 n p   Mặt khác, họ hữu hạn  X n , n  p , X  dĩ nhiên là khả tích đều, nên theo mệnh đề I.1.9,  , A   , P  A    , ta có: sup  Xn dP  sup  Xn dP  sup  X n dP  A n

n Đặt Zn = inf X m  Z n  Z , với Z = lim X n. m>n Do Y khả tích  n0  : Z n  Y   . 0 Theo định lý đơn điệu của Levy: E(Zn/G)  E(Z/G) (h.c.c). Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng  E (lim  X n /G)) = E(Z/G) = lim E(Zn/G) = limE ( Zn/G)  limE ( X n /G). n c) Định lý: (Hội tụ bị chặn của Lebesgue) Giả sử Y khả tích và |X n|  Y (h.c.c) khi đó, nếu X n  X (h.c.c) thì E( lim Xn/G) = lim (E X n/G) (h.c.c). n n Chứng minh Theo giả thiết |Xn|  Y nên ta có -|Y|  |X n|  |Y|. Theo bổ đề Fatou, ta có: E( lim Xn/G)  lim E(X n/G)  lim E(X n/G) = E( lim X n/G). h.c.c Do X n  X nên lim Xn = lim X n = X (h.c.c).  E(X/G)  lim E(X n/G)  lim E(X n/G)  E(X/G)  lim E(Xn/G) = lim E(Xn/G) (h.c.c)  E(lim Xn/G) = limE(Xn/G) (h.c.c). Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng CHƯƠNG II MARTINGALE VÀ CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ Cho ( , ,P) là không gian xác suất.   là  - trường con của và X là b.n.n nào đó. II.1. Các khái niệm II.1.1. Khái niệm tương thích và dự báo được B.n.n X được gọi là tương thích với  , nếu X là  - đo được. Trong trường hợp đó ta viết X   . Ký hiệu:  (X) = X-1(B), trong đó B là  - trường Borel của  . Rõ ràng X   khi và chỉ khi  (X)   . Cho dãy  - trường con { n , n   } của A. Dãy này được gọi là không giảm nếu m  n , m, n   , m  n .   Giả sử X n ,n là dãy b.n.n, ta nói quá trình ngẫu nhiên X={X n, n , n   } là dãy tương thích nếu X n  n với mỗi n   . Ta nói V  Vn, n1, n  , 1  0 là dãy dự báo được nếu Vn n với mỗi n  . Nhận xét (i) Dãy dự báo được là dãy tương thích. (ii) X={Xn,  n , n  } là dãy tương thích. Với  n =  ({Xm, m  n}); m, n  là  - đại số nhỏ nhất cảm sinh từ tập hợp tất cả các biến cố có thể nhận đến thời điểm n. Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng II.1.2. Thời điểm Markov và thời điểm dừng ( , ,P) là không gian xác suất đầy đủ (tức là chứa tất cả các tập có xác suất 0).  { n , n  } là dãy các  - trường không giảm. Ký hiệu:     n là n 0  - trường bé nhất chứa tất cả n , n .   Giả sử  :      là b.n.n (có thể lấy giá trị  ).Ta nói rằng  là thời điểm Markov đối với { n , n  } nếu  :   n n , n   .   Nếu thêm vào đó P    1 thì  là thời điểm dừng.  là lớp gồm tất cả các tập con của  sao cho   và    n   n Khi đó n là  - đại số con của  . Chú ý (i)  là thời điểm Markov đối với { n , n  } khi và chỉ khi  :     n n , n   . (ii)  là thời điểm Markov đối với { n , n   }     :      n  n . II.1.3. Martingale Các định nghĩa dưới đây vẫn có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm  = {0,1,….} bằng một tập hữu hạn {0,1,…,N}, N . ,P) là không gian xác suất. Dãy X = {Xn, n , n  } được gọi là: ( , * Martingale trên (đối với { n , n  }) nếu thoả mãn (i) {Xn, n , n  } là dãy tương thích. Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng (ii) E|X n| <  , n  . (iii) Với m  n; m, n   thì E(X n/  m)  Xm (P-h.c.c). * Martingale dưới (đối với { n , n  }) nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện và thoả mãn thêm điều kiện (iii’). Với m  n; m, n  thì (iii’) E(X n/ m )  Xm (P-h.c.c). * Martingale (đối với { n , n  }) nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện và thoả mãn thêm điều kiện (iii ’’). (iii’’) Với m  n ; m, n   thì E(X n/  m) = Xm (P-h.c.c). Nhận xét 1) Từ kỳ vọng điều kiện ta có: . Điều kiện (iii) tương đương với  X n dP   X m dP, A A   m; m  n . A . Điều kiện (iii’) tương đương với  X n dP   X m dP, A A   m; m  n . A . Đều kiện (iii’’) tương đương với  X n dP   X m dP, A A   m; m  n. A 2) Định nghĩa về martingale, martingale dưới, martingale trên còn tương đương với các định nghĩa tương ứng như sau: Giả sử  = {0,1,…,N}, ( ,  0   1…   n  n ...  ,P) là không gian xác suất, . Khi đó {Xn, n , n  } là: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng . Martingale trên nếu: (i) X n  n , n   . (ii) E|Xn| <  , n   . (iii) Với n =1,2,… thì E(X n/  n-1)  X n-1 (P-h.c.c). . Martingale dưới nếu các điều kiện (i),(ii) và (iii’) được thực hiện. (iii’) Với n = 1,2,…thì E(Xn/  n-1)  X n-1 (P-h.c.c). . Martingale nếu các điều kiện (i),(ii) và (iii’’) được thực hiện. (iii’’) Với n =1,2,…thì E(Xn/ n1 ) = Xn-1 (P-h.c.c). 3) Một martingale thì: . Vừa là martingale trên vừa là martingale dưới. . Nếu đổi dấu martingale trên thì được martingale dưới và ngược lại. II.2. Các ví dụ II.2.1. Ví dụ 1   Giả sử  n , n   là dãy các b.n.n độc lập với E n  0, n   khi đó các tổng riêng Sn  1  ...  n là dãy martingale đối với n     0 ,..., n  . Chứng minh i) Hiển nhiên: Sn   n, n   . n n i 1 i 1 ii) E S n  E  i   E i    E Sn   ,  n  .  (iii) Do  n , n là dãy b.n.n độc lập  n và n1 độc lập.  E(Sn /  n-1) = E(Sn-1+ n /  n-1) Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiÖp §ç ThÞ Lan H­¬ng = E(Sn-1 /  n-1) + E ( n /  n-1) = Sn-1+ E n = Sn-1. Điều phải chứng minh. Chú ý (+)Nếu E n  0  E(Sn/  n-1)  Sn-1. Ta có: {S n,  n, n  } là martingale trên. (+)Nếu E n  0  E(Sn /  n-1)  Sn-1. Ta có: {Sn,  n, n  } là martingale dưới. II.2.2. Ví dụ 2   Giả sử  n , n   là dãy các b.n.n độc lập với En  1, n  khi đó các n tích riêng Sn    k là dãy martingale đối với n    0 ,...,  n  . k 0 Chứng minh Kiểm tra lần lượt các điều kiện, ta có: (i) {Sn,  n, n  } là dãy tương thích (theo cách định nghĩa  n). (ii) E Sn   n  . Do n , n  là các b.n.n độc lập và n là khả tích. (iii) E  Sn / n1   E  Sn-1 n / n1   E  Sn 1 / n1  .E  n / n1   S n 1E n  S n 1 . Vậy {Sn,  n, n  } là martingale đối với {  n, n   }. Chú ý Nếu E n  1  E(Sn /  n-1)  Sn-1  {Sn,  n, n  } là martingale trên. Nếu E n  1  E(Sn /  n-1)  Sn-1  {Sn,  n, n  } là martingale dưới. Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com