Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Khóa luận hằng số waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không...

Tài liệu Khóa luận hằng số waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không

.PDF
24
138
76

Mô tả:

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN QUỐC TRÁNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CÓ CHIỀU KHÔNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 84 60 104 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN CHÁNH TÚ Phản biện 1: …………………………………………………………………………………. Phản biện 2: …………………………………………………………………………………. Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn tại - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hằng số Waldschmidt được nhà toán học Waldschmidt giới thiệu năm 1977 nhằm đặc trưng cho các tập điểm trong không gian xạ ảnh. Cùng với bậc dẫn đầu, hằng số Waldschmidt là các đặc trưng quan trọng trong việc nghiên cứu bậc nhỏ nhất của đường cong đi qua một lược đồ chiều không với số bội cho trước. Những nghiên cứu về hằng số Waldschmidt ngày càng được quan tâm và trở thành một trong những hướng nghiên cứu thời sự hiện nay trong đại số giao hoán và hình học đại số. Với mong muốn tìm hiểu thêm về hằng số Waldschmidt của một số tập điểm đặc biệt, với sự gợi ý và hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Chánh Tú, tôi đã chọn đề tài "Hằng số Waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không"làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về hằng số Waldschmidt của một số lược đồ (hoặc tập điểm) đặc biệt có chiều không trong mặt phẳng xạ ảnh. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: các lược đồ chiều không (hay tập điểm) trong măt phẳng xạ ảnh. Phạm vi nghiên cứu: tính toán các hằng số Waldschmidt trong các lược đồ chiều không (hay tập điểm) đấy. 4. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu tổng 2 quan và các bài báo mới. • Dùng các công cụ của đại số giao hoán và hình học đại số để nghiên cứu hằng số Waldschmidt của các tập điểm đặc biệt. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài • Tổng hợp tài liệu để tổng quan tóm tắt về hằng số Waldschmidt của lược đồ đặc biệt có chiều không. • Tính toán được hằng số Waldschmidt của một số tập điểm đặc biệt trong mặt phẳng xạ ảnh. 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn được chia thành hai chương (trong đó chương 2 là nội dung chính của luận văn). Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày sơ lược một số khái niệm và kết quả về đại số giao hoán và hình học đại số để làm cơ sở cho chương sau. Chương 2: Hằng số Waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không. Chương này trình bày một số kết quả về hằng số Waldschmidt của một số tập điểm đặc biệt trong mặt phẳng xạ ảnh. 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này trình bày khái quát một số kiến thức cần thiết, là cơ sở để trình bày các nội dung chính của luận văn. Chương này được trình bày chủ yếu dựa theo [1] và [3]. Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, R là vành giao hoán, có đơn vị. 1.1. Vành đa thức n biến Định nghĩa 1.1.1. ([1], trang 6) Cho R là một vành, vành đa thức n biến trên R được định nghĩa bằng quy nạp như sau: R[x1, ..., xn] := R[x1, ..., xn−1][xn], có nghĩa là R[x1 , ..., xn ] là vành đa thức của biến xn trên vành R[x1 , ..., xn−1 ]. Các phần tử của R[x1 , ..., xn ] được gọi là đa thức n biến. Vành R[x1 , ..., xn ] không phụ thuộc vào thứ tự của các biến vì mọi đa thức n biến f đều có dạng f (x1, .., xn) = P r1 +...+rn ≤r cr1,...,rn xr11 ...xrnn , với r là một số tự nhiên và cr1 ,...,rn ∈ R. Các phần tử cr1 ,...,rn được gọi là hệ số, trong đó c0,...,0 là hệ số tự do của f . Các biểu thức xr11 ...xrrn gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức xr11 ...xrrn là tổng r1 + ... + rn của các số mũ. Bậc của đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của f . Ta kí hiệu bậc của đa thức f là deg(f ). Nếu f = 0 thì ta quy ước rằng deg(f ) = −∞. Chú ý rằng deg(f ) ≤ 0 khi và chỉ khi f ∈ R. Ta gọi 4 f là đa thức tuyến tính nếu deg(f ) = 1. Định nghĩa 1.1.2. ([1], trang 8) Cho f ∈ k[x1 , ..., xn ] là một đa thức viết dưới dạng như ở trên. Ứng với mỗi điểm a = (α1 , ..., αn ) ∈ k n ta có giá trị f (a) = P r1 +...+rn ≤r cr1,...,rn α1r1 ...αnrn . Điểm a được gọi là nghiệm của f nếu như f (a) = 0. Khi đó ta nói f triệt tiêu tại a. Định nghĩa 1.1.3. ([1], trang 10, 11) Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f ). Tập nghiệm của hệ đa thức I ký hiệu là Z(I) và được định nghĩa là: Z(I) = ∩f ∈I Z(f ). Nếu deg(f ) ≤ 0 (f = c là hằng số) thì Z(f ) chỉ có thể là k n (c = 0) hay là tập rỗng ∅(c 6= 0). Nếu deg(f ) > 0, ta gọi Z(f ) là siêu mặt. Trong trường hợp deg(f ) = 1 ta gọi Z(f ) là siêu phẳng. Siêu mặt trong k 2 hay k 3 được goi là đường hay mặt. Từ siêu chỉ được dùng trong k n với n ≥ 4. 1.2. Iđêan và các phép toán trên iđêan Định nghĩa 1.2.1. ([1], trang 15) Cho R là một vành. Tập I trong R được gọi là iđêan nếu 0 ∈ I và I thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) f + g ∈ I , với mọi f, g ∈ I . ii) hf ∈ I , với mọi h ∈ R và f ∈ I . Định nghĩa 1.2.2. Cho R là một vành và f1 , ..., fn ∈ R. Iđêan sinh bởi các phần tử f1 , ..., fn ký hiệu là (f1 , ..., fn ) được định nghĩa là (f1, ..., fn) = {h1f1 + ... + hnfn|h1, ..., hn ∈ R} 5 Định nghĩa 1.2.3. ([1], trang 16) Cho I và J là hai iđêan tùy ý trong vành R. Tổng của hai iđêan I và J ký hiệu là I + J là iđêan sinh bởi các phần tử I ∪ J , như vậy: I + J = {f + g|f ∈ I, g ∈ J} Tích của hai iđêan I và J ký hiệu là IJ là iđêan sinh bởi các tích f g với f ∈ I và g ∈ J , như vậy : IJ = {f1g1 + ... + fngn|f1, ..., fn ∈ I, g1, ..., gn ∈ J, n ≥ 1}. Nhận xét 1.2.4. Từ định nghĩa ta thấy : (f1, ..., fn) = (f1) + ... + (fn) Chú ý 1.2.5. ([1], trang 16) i) Chú ý rằng IJ ⊆ I ∩ J nhưng nhìn chung hai iđêan này khác nhau. ii) Sử dụng các công thức trên ta thấy ngay các phép toán cộng và nhân iđêan thỏa mãn luật giao hoán, kết hợp và phân phối, tức là: I +J =J +I IJ = JI (I + J) + K = I + (J + K) (IJ)K = I(JK) (I + J)K = IK + JK với mọi iđêan I, J, K trong vành R. 1.3. Không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.3.1. Cho k là một trường. Không gian affine n chiều trên k , ký hiệu Ank hay đơn giản là An , được định nghĩa là: 6 An := {(a1 , ..., an )|ai ∈ k} Định nghĩa 1.3.2. ([1], trang 137) Cho k là một trường. Không gian xạ ảnh n chiều trên k , ký hiệu Pnk hay đơn giản là Pn , được định nghĩa là: Pn = (An+1 − (0, ..., 0))∼ , quan hệ tương đương ở đây được cho bởi (a0 , ..., an ) ∼ (b0 , ..., bn ) ⇔ ∃0 6= λ ∈ k sao cho ai = λbi, ∀i = 0, n. Như vậy Pn := {(a0 : ... : an )|ai ∈ k}, trong đó (a0 , ..., an ) ∼ (b0 , ..., bn ) ⇔ ∃0 6= λ ∈ k sao cho ai = λbi , ∀i = 0, n. Một phần tử P = (a0 : ... : an ) ∈ Pn được gọi là một điểm của Pn . Nếu a = (a0 , ..., an ) nằm trong lớp tương đương của điểm P ∈ Pn thì ta gọi a là tọa độ thuần nhất của P . Điểm P được gọi là nghiệm xạ ảnh của đa thức f nếu f (a) = 0 với mọi tọa độ thuần nhất a của P . Đặc biệt, khi n = 1 thì P1 được gọi là không gian xạ ảnh một chiều hay đường thẳng xạ ảnh; khi n = 2 thì P2 được gọi là không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh. Định nghĩa 1.3.3. Tập m điểm {P1 , ..., Pm } trong P2 được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có 3 điểm nào nằm trên một đường thẳng. Định nghĩa 1.3.4. ([1], trang 63) Cho A là một vành. Tập M được gọi là A−môđun hay môđun trên A nếu M là nhóm abel được trang bị phép nhân các phần tử của A với các phần tử của M thỏa mãn các điều kiện sau với mọi u, v ∈ M, f, g ∈ A: f (u + v) = f u + f v 7 (f + g)u = f u + gu (f g)u = f (gu) 1u = u Định nghĩa 1.3.5. ([1], trang 135) Vành A được gọi là vành phân bậ c nếu A = ⊕t∈N At với At là những Z−môđun thỏa mãn điều kiện AiAj ⊆ Ai+j , có nghĩa là f g ∈ Ai+j với mọi f ∈ Ai và g ∈ Aj , i, j ∈ N. Cho A là vành phân bậc. Các phần tử của At được gọi là phần tử thuần nhất bậc t. Bậc của một phần tử thuần nhất g kí hiệu là degg . Mọi phần P tử f ∈ A đều có thể viết một cách duy nhất dưới dạng f = ft, trong t∈N đó ft là phần tử thuần nhất bậc t. Ta gọi ft là thành phần thuần nhất bậc t của f . Định nghĩa 1.3.6. ([1], trang 135) Cho A = ⊕t∈N At là một vành phân bậc. Một iđêan I ⊆ A là một iđêan thuần nhất nếu I = ⊕t∈N It , với It = I ∩ At, hay một iđêan là thuần nhất nếu và chỉ nếu nó được sinh bởi những phần tử thuần nhất. Tổng, tích và giao các iđêan thuần nhất là iđêan thuần nhất. Chú ý 1.3.7. ([1], trang 138) Chú ý rằng ta không có khái niệm hàm f (P ) trên Pn vì f có thể nhận những giá trị khác nhau tại các tọa độ thuần nhất của P . Ví dụ như nếu f là đa thức thuần nhất bậc r > 0 thì f (λa) = λr f (a) 6= f (a) nếu λr 6= 1. Tuy nhiên ta có thể dùng ký hiệu f (P ) = 0 hay f (P ) 6= 0 để nói lên rằng P là nghiệm hay không là nghiệm xạ ảnh của f . Định nghĩa 1.3.8. Cho k[x0 , ..., xn ] là vành đa thức , M = (x0 , ..., xn ) là iđêan tối đại và I ( M là iđêan thuần nhất. Tập không điểm của I ký hiệu là V (I) và được định nghĩa là V (I) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0, ∀f ∈ I} Đặc biệt, trong P2 ta có các định nghĩa sau đây: 8 Định nghĩa 1.3.9. Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng C trên k được định nghĩa là C = V (f ) = {P = (a0 : a1 : a2) ∈ P2|f (P ) = 0}, trong đó f là một đa thức thuần nhất khác không trong vành đa thức k[x0, x1, x2] Khi đó f được gọi là đa thức định nghĩa của C . Định nghĩa 1.3.10. Nếu ta viết f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] dưới dạng f = f1 + ... + fm, trong đó fi là đa thức thuần nhất bậc i và fm 6= 0. Khi đó m được gọi là bậc của đa thức f và m cũng chính là bậc của đường cong C định nghĩa bởi đa thức f . Các đường cong bậc một được gọi là đường thẳng , đường cong bậc hai gọi là đường conic, đường cong bậc ba gọi là đường cubic,... Mệnh đề 1.3.11. ([1], trang 139) Cho vành đa thức k[x0 , ..., xn ], khi đó (X) := (x0 , ..., xn ) là iđêan thuần nhất cực đại duy nhất của k[x0, ..., xn]. Chứng minh. ([1], trang 139) Mệnh đề 1.3.12. ([1], Bổ đề 17.5) Cho f ∈ k[x0 , ..., xn ], nếu ta viết f = f1 + ... + fm với fi là các đa thức thuần nhất bậc i. Khi đó điểm P ∈ Pn là nghiệm xạ ảnh của f khi và chỉ khi P là nghiệm xạ ảnh của mọi đa thức fi , i = 1, ..., m Chứng minh. ([1], Bổ đề 17.5) Như vậy việc xét nghiệm xả ảnh của một đa thức không thuần nhất tương đương với việc xét nghiệm xạ ảnh của một hệ đa thức thuần nhất. 9 Định nghĩa 1.3.13. ([1], trang 139) Với mọi tập V trong Pn , iđêan của tập V , ký hiệu I(V ), được định nghĩa như sau: I(V ) := {f ∈ (X) = (x0, ..., xn)|f (P ) = 0, ∀P ∈ V } Đặc biệt, nếu V chỉ gồm môt điểm P thì ta dùng ký hiệu I(P ) hay P . Nhận xét 1.3.14. Có thể thấy ngay I(V ) là iđêan và là iđêan thuần nhất. Mệnh đề 1.3.15. ([1], trang 139) Nếu điểm P = (a0 , ..., an ) ∈ Pn thì iđêan của điểm P sẽ có dạng P = (ai xj − aj xi |i, j = 0, n). Chứng minh. ([1], trang 139) Mệnh đề 1.3.16. ([2], Mệnh đề 1.2) Cho V và W là hai tập điểm tùy ý trong Pn . Khi đó i) Nếu V ⊆ W thì I(W ) ⊆ I(V ). ii) I(V ) ∩ I(W ) = I(V ∪ W ). iii) I(V ) + I(W ) ⊆ I(V ∩ W ). Chứng minh. ([2]. Mệnh đề 1.2) 10 CHƯƠNG 2 HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CÓ CHIỀU KHÔNG Trong chương này ta sẽ tính hằng số Waldschmidt của các tập điểm đặc biệt trong P2 . 2.1. Lược đồ chiều không và bội Định nghĩa 2.1.1. Cho X = {P1 , ..., Pr } ⊂ Pn , là tập gồm r điểm trong không gian xạ ảnh Pn , và Pi là các iđêan tương ứng với các điểm Pi . Xét các iđêan thuần nhất I = ∩ri=1 Pi và J = ∩ri=1 Pimi với mi ∈ N∗ , lược đồ chiều không ứng với J ký hiệu là Z = ZJ và được định nghĩa là: Z = ZJ := m1P1 + ... + mr Pr = r P mi P i . i=1 Đặc biệt: Nếu J = I (m) := ∩ri=1Pim Định nghĩa 2.1.2. Cho Z = không ứng với iđêan thuần nhất J = thì ZJ = r P mPi với m ∈ N∗. i=1 r P mPi, m ∈ N∗ là một lược đồ chiều i=1 L t∈N Jt = I (m) = ∩ri=1Pim. Bậc dẫn đầu của J ký hiệu là α(J) được định nghĩa là α(J) =min{t|Jt 6= 0}. Khi đó α(J) chính là bậc nhỏ nhất của các siêu mặt chứa lược đồ chiều không Z. Mệnh đề 2.1.3. ([2], trang 4, 7) Cho X = {P1 , ..., Pr } ⊂ Pn và Pi là iđêan tương ứng của các điểm Pi, i = 1, r. Gọi I = ∩ri=1Pi và I (m) = ∩ri=1Pim. Khi đó (1) I m ⊆ I (m), từ đó suy ra α(I (m)) ≤ α(I m). (2) α(I m) = mα(I). 11 Định nghĩa 2.1.4. Cho 0 6= f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] là đa thức thuần nhất. Số bội multP (f ) của f tại điểm P ∈ P2 là m ∈ N nếu f ∈ P m và f∈ / P m+1 với P là iđêan của điểm P . Định lý 2.1.5. ([2], Định lý 7.2)(Dạng yếu của định lý Bézout) Cho đa thức f 6= 0 có bậc là d trong vành đa thức k[x0 , x1 , x2 ] và l là một đa thức tuyến tính. Khi đó, hạn chế của f trên l có đúng d giao điểm (kể cả bội) hoặc là l | f . Định lý 2.1.6. ([3], Định lý 7.8)(Định lý Bézout) Cho Y, Z là hai đường cong trong P2 có bậc tương ứng là d, e. Xét Y ∩ Z = {P1, ..., Pr }. Khi đó r P i(Y, Z, Pj ) = de, j=1 với i(Y, Z, Pj ) là bội giao của Y và Z tại Pj . Theo một nghĩa nào đó i(Y, Z, Pj ) là số lần Y cắt Z tại Pj . Chứng minh. ([3], Định lý 7.8) Mệnh đề 2.1.7. ([2], trang 16) Cho Y, Z là hai đường cong trong P2 . Xét Y ∩ Z = {P1 , ..., Pr }. Khi đó i(Y, Z, Pj ) ≥ multPj (Y ).multPj (Z), đẳng thức xảy ra khi Y và Z không có tiếp tuyến chung tại Pj . 2.2. Hằng số Waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không Định nghĩa 2.2.1. Cho X = {P1 , ..., Pr } ⊂ Pn và Pi là iđêan thuần nhất tương ứng của điểm Pi . Gọi I = ∩ri=1 Pi ⊂ R = k[x0 , ..., xn ] và gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ N∗ là iđêan thuần nhất tương ứng với lược đồ 12 r P chiều không Z = mPi. Hằng số Waldschmidt của I (hay của tập X ) i=1 được ký hiệu là γ(I) (hay γ(X)) và được định nghĩa là α(I (m) ) m m→∞ γ(I) = lim Mệnh đề 2.2.2. ([5], Mệnh đề 2.1 hoặc [2], trang 6) Với các ký hiệu như trong định nghĩa hằng số Waldschmidt thì γ(I) tồn tại và 1 ≤ γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ α(I), ∀m ∈ N∗ Chứng minh. ([5], trang 2). Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng α(I (bc) ) bc ≤ α(I (b) ) , ∀b, c b t ∈ N∗ . Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có I t ⊆ I (t) , α(I (t) ) ≤ α(I t ) và α(I ) = tα(I), ∀t. Do đó (I (b))c ⊆ (I (b))(c) = I (bc) và α(I (bc)) ≤ α((I (b))c) = cα(I (b)), suy ra α(I (bc) ) bc Xét chuỗi số dương at = α(I (b) ) , ∀b, c b ≤ α(I (t!) ) , t! ∈ N∗. ta thấy rằng chuỗi này giảm do đó nó hội α(I (t!) ) . t! t→∞ tụ. Như vậy tồn tại giới hạn L = lim α(I (t!) ) t! Với mọi ε > 0, ta có L ≤ ≤ L+ ε 2 với t  0. Với m ≥ t!, đặt m = qt! + r với 0 ≤ r < t!. Khi đó I (m) ⊃ I ((q+1)t!) và α(I (m) ) ≤ (q + 1)α(I (t!)). Điều đó có nghĩa là α(I (m) ) m Vì α(I (t!) ) t! ≤ (q+1)α(I (t!) ) qt!+r qα(I (t!) ) qt!+r (t!) ) + α(I ≤ qt!+r α(I (t!) ) t! (t!) + α(Iqt! ) . ≤ L + 2ε , và ta có thể giả sử rằng q  0, khi đó Điều đó có nghĩa là L ≤ α(I (m) ) m m→∞ lim = α(I (m!) ) m! ≤ α(I (m) ) m Rõ ràng là m ≤ α(I (m) ), do đó 1 ≤ γ(I). Hơn nữa, ta có I (tm) t→∞ tm ≤ ≤ 2ε . ≤ L + 2ε + 2ε . Như vậy tồn tại hay tồn tại γ(I). γ(I) = lim α(I (t!) ) qt! I (m) m ≤ α(I) 13 với mọi m ≥ 1. Ta sẽ tính hằng số Waldschmidt của những tập điểm đặc biệt trong P2 , bắt đầu với trường hợp đơn giản như sau: Mệnh đề 2.2.3. Cho X = {P0 , P1 , P2 } ⊂ P2 với P0 = (1 : 0 : 0), P1 = (0 : 1 : 0), P2 = (0 : 0 : 1) và P0, P1, P2 là iđêan thuần nhất tương ứng với các điểm P0 , P1 , P2 . Gọi I = ∩2i=0 Pi ⊂ k[x0 , x1 , x2 ] và gọi I (m) = ∩2i=0 Pim , m ∈ N∗ là iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều 2 P không Z = mPi. Khi đó γ(I) = 32 . i=0 Chứng minh. Theo mệnh đề 1.3.15 ta có P0 = (x1 , x2 ), P1 = (x0 , x2 ), P2 = (x0, x1) là iđêan tương ứng với các điểm P0, P1, P2. Khi đó I (2) = P02 ∩ P12 ∩ P22 = (x0x1x2, x20x21, x20x22, x21x22) = L (2) t∈N It , là tập hợp các đa thức thuần nhất triệt tiêu tại các điểm P0 , P1 , P2 với số bội (2) tại mỗi điểm ít nhất là 2. Từ đây suy ra α(I (2) ) = min{t|It và γ(I) ≤ α(I (2) ) 2 6= 0} ≤ 3 ≤ 32 . (2m) Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I3m−1 . Vì P0 , P1 ∈ V (x2 ) cho nên ta có thể gọi l = V (x2) là đường thẳng đi qua hai điểm P0, P1. Theo định lý Bézout, tổng số bội của đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2 ) bằng deg(f ).deg(x2 ) = (3m − 1).1 = 3m − 1. Hơn nữa, vì f ∈ I (2m) nên tổng số bội của đường cong V (f ) tại hai điểm P0 , P1 ít nhất bằng 2m + 2m = 4m. Với mọi m ∈ N∗, ta luôn có 4m > 3m − 1, điều này vô lý vì tổng số bội của đường cong V (f ) tại hai điểm P0 , P1 không thể lớn hơn tổng số bội của đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2 ). Do đó x2 | f , lúc này ta có thể viết f = xa2 g , với x2 - g , deg(g) = b và a + b = 3m − 1. Ta biết rằng f = xa2 g ∈ I (2m) = P02m ∩ P12m ∩ P22m, nên 14 f triệt tiêu tại ba điểm P0, P1, P2 với số bội tại mỗi điểm ít nhất là 2m. Trước hết ta thấy rằng đa thức g triệt tiêu tại điểm P2 nên deg(g) ≥ 2m hay b ≥ 2m. Mặt khác, x2 - g và theo định lý Bézout ta có tổng số bội của V (g) và V (x2 ) bằng deg(g).deg(x2 ) = b.1 = b. Hơn nữa, tổng số bội của V (g) tại hai điểm P0 , P1 là 2(2m − a). Ta luôn có tổng số bội của V (g) và V (x2 ) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (g) tại hai điểm P0 , P1 , tức là b ≥ 2(2m − a). Từ đó ta suy ra 2b ≥ 2(2m − a) + 2m hay a + b ≥ 3m > 3m − 1 =deg(f ), điều này (2m) mâu thuẩn vì ta biết rằng a + b =deg(f ). Như vậy, I3m−1 = 0, ∀m ∈ N∗ , α(I (2m) ) 2m m→∞ do đó α(I (2m) ) ≥ 3m, ∀m ∈ N∗ và γ(I) = lim 3m m→∞ 2m ≥ lim = 23 . Tóm lại, γ(I) = 32 . Nhận xét 2.2.4. Mệnh đề 2.2.3 có thể xem như trường hợp đặc biệt của kết quả cho tập điểm có cấu hình như sau. Cho X = {P1 , ..., Pr , Q1 , ..., Qs } với r ≥ 2, s ≥ 1, là tập gồm r + s điểm trong P2 với P1 , ..., Pr là r điểm nằm trên đường thẳng L0 = V (x2 ) và Q1 , ..., Qs là s điểm tổng quát không r s P P nằm trên đường thẳng L0 . Cho lược đồ chiều không Z = Pi + Qj i=1 và iđêan thuần nhất tương ứng là I = IZ = ∩ri=1Pi ∩sj=1 j=1 Qj với Pi, Qj là iđêan thuần nhất ứng với các điểm Pi , Qj . Ký hiệu γ(r + s) cho γ(I). Mệnh đề 2.2.5. ([4], Mệnh đề 2.1) Với các ký hiệu như trên thì γ(r + 1) = 2 − 1r và γ(r + 2) = 2, ∀r ≥ 2. Đặc biệt hằng số Wadschmidt của 3, 4 điểm tổng quát tương ứng sẽ là 3 2 và 2. Chứng minh. ([4], Mệnh đề 2.1) Do các kết quả từ 2.2.6 cho đến 2.2.8, mặc dù là các trường hợp đặc biệt của mệnh đề này, đều được chứng minh chi tiết nên chúng tôi chỉ xin trình bày các bước chính của chứng minh cho mệnh đề này. Chứng minh chi tiết có thể xem trong [4], Mệnh đề 2.1. Pr Đặt Li = Pi Q. Xét Li = Pi Q. Đường cong i=1 Li + (r − 1)L0 có 15 bậc 2r − 1 và chứa mỗi điểm với bội ít nhất là r. Suy ra α(I (r) ) ≤ 2r − 1. α(I (r)) Do đó ta có γ(r + 1) ≤ ≤ 2 − 1/r. r Xét α(I (rm) ). Giả sử có f ∈ I (rm) có bậc m(2r − 1) − 1. Ta thấy α(I (rm)) (rm) ≥ 2 − 1/r và rằng f = 0 và α(I ) ≥ m(2r − 1). Nên rm α(I (rm)) ≥ 2 − 1/r do đó đẳng thức xảy ra. γ(r + 1) = lim m−→∞ rm Tương tự cho trường hợp của r + 2 điểm. Ta thấy rằng α(I (m) ) ≤ 2m m (m) vì xm )2m. 2 l ∈ (I (m) Ngược lại, giả sử tồn tại f ∈ I2m−1 . Ta chỉ ra f = 0, do đó α(I (m) ) ≥ 2m. Suy ra α(I (m)) = 2m và γ(r + 2) = 2. Trong γ(r + 1) = 2 − 1/r, xét r = 2 ta có trường hợp 3 điểm tổng quát. Khi đó γ(2 + 1) = 3/2. Với 4 điểm tổng quát, ta có kết quả ứng với r = 2 trong γ(r + 2) = 2. Trong các kết quả từ 2.2.6 đến 2.2.8, do tập điểm khá đơn giản, chúng tôi sẽ trình bày chứng minh cụ thể mà không sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.2.5, mặc dù chúng là các trường hợp đặc biệt của mệnh đề trên. Hệ quả 2.2.6. Cho X = {P1 , P2 , P3 , Q} ⊂ P2 , trong đó P1 , P2 , P3 là ba điểm nằm trên đường thẳng l = V (h) và Q là một điểm không nằm trên đường thẳng l. Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + P3 + Q và iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không Z là I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ Q, với P1, P2, P3, Q là iđêan thuần nhất tương ứng với các điểm P1 , P2 , P3 , Q. Khi đó γ(I) = γ(3 + 1) = 53 . Chứng minh. Gọi l1 = V (x) là đường thẳng đi qua hai điểm P1 , Q, l2 = V (y) là đường thẳng đi qua hai điểm P2, Q và l3 = V (z) là đường thẳng 16 đi qua hai điểm P3 , Q. Trước hết ta thấy rằng, đa thức xyzh2 có bậc là 5 và có số bội tại mỗi (3) điểm P1 , P2 , P3 , Q ít nhất là 3, cho nên xyzh2 ∈ I5 . do đó α(I (3) ) = (3) min{t|It 6= 0} ≤ 5. Như vậy γ(I) ≤ α(I (3) ) 3 ≤ 53 . (3m) Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I5m−1 , ∀m ≥ 1. Theo định lý Bézout, tổng số bội của V (f ) với V (h) bằng deg(f ).deg(h) = (5m − 1).1 = 5m − 1. Mặt khác, tổng số bội của V (f ) tại ba điểm P1 , P2 , P3 ít nhất là 3.3m = 9m, điều này vô lý vì ta biết rằng tổng số bội của V (f ) với V (h) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (f ) tại ba điểm P1 , P2 , P3 . Như vậy (3m) h | f . Do đó ta có thể viết f = hag ∈ I5m−1, với h - g , deg(g) = b và a + b = 5m − 1. Ta có, h - g nên tổng số bội của V (g) với V (h) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (g) tại ba điểm P1 , P2 , P3 , tức là b ≥ 3(3m−a) hay 3a + b ≥ 9m. Hơn nữa ta biết rằng V (g) đi qua điểm Q nên deg(g) ≥ 3m hay b ≥ 3m hay 2b ≥ 6m. Từ đó suy ra 3a + 3b ≥ 15m hay a + b ≥ 5m, (3m) điều này mâu thuẩn với a+b =deg(f ) = 5m−1. Do đó I5m−1 = 0, ∀m ≥ α(I (3m) ) 3m m→∞ 1 hay α(I (3m)) ≥ 5m và γ(I) = lim γ(I) = γ(3 + 1) = 5m m→∞ 3m ≥ lim = 53 . Tóm lại, 5 3 Hệ quả 2.2.7. Cho X = {P1 , P2 , Q1 , Q2 } ⊂ P2 , trong đó P1 , P2 nằm trên đường thẳng l1 = V (x) và Q1 , Q2 là hai điểm không nằm trên đường thẳng l1 . Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + Q1 + Q2 và iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không Z là I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ Q1 ∩ Q2, với P1, P2, Q1, Q2 là iđêan thuần nhất tương ứng với các điểm P1, P2, Q1, Q2. Khi đó γ(I) = γ(2 + 2) = 2. Chứng minh. Gọi l2 = V (y) là đường thẳng đi qua hai điểm Q1 , Q2 . Trước hết ta thấy rằng đa thức xm y m có bậc là 2m và có số bội tại mỗi 17 (m) điểm P1 , P2 , Q1 , Q2 ít nhất là m, cho nên xm y m ∈ I2m do đó α(I (m) ) = (m) min{t|It 6= 0} ≤ 2m. Như vậy γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = 2. (m) Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I2m−1 , ∀m ≥ 1. Theo định lý Bézout, ta thấy rằng tổng số bội V (f ) với V (x) bằng deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 = 2m − 1. Mặt khác, tổng số bôi của V (f ) tại hai điểm P1, P2 ít nhất là 2m > 2m − 1, điều này vô lý vì ta biết rằng tổng số bội của V (f ) với V (x) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (f ) tại hai điểm P1, P2. Như vậy, x | f . Tương tự ta cũng có y | f . Bây giờ ta có thể viết (m) f = xay bg ∈ I2m−1, với x - f, y - f , deg(g) = c và a + b + c = 2m − 1. Ta có, x - g nên tổng số bội của V (g) với V (x) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (g) tại hai điểm P1 , P2 , tức là c ≥ 2(m − a) hay 2a + c ≥ 2m. Tương tự, ta cũng có c ≥ 2(m − b) hay 2b + c ≥ 2m. Suy ra 2a + 2b + 2c ≥ 4m hay a + b + c ≥ 2m, điều này mâu thuẩn với (m) a + b + c =deg(f ) = 2m − 1. Do đó I2m−1 = 0, ∀m ≥ 1 hay α(I (m)) ≥ 2 α(I (m) ) m m→∞ và γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = 2. Tóm lại, γ(I) = γ(2 + 2) = 2. Hệ quả 2.2.8. Cho X = {P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 } ⊂ P2 , trong đó P1, P2, P3 nằm trên đường thẳng l1 = V (x) và Q1, Q2 là hai điểm không nằm trên đường thẳng l1 . Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + P3 + Q1 + Q2 và iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không Z là I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ Q1 ∩ Q2, với P1, P2, P3, Q1, Q2 là iđêan thuần nhất tương ứng với các điểm P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 . Khi đó γ(I) = γ(3 + 2) = 2. Chứng minh. Gọi l2 = V (y) là đường thẳng đi qua hai điểm Q1 , Q2 . Trước hết ta thấy rằng đa thức xm y m có bậc là 2m và có số bội tại mỗi điểm (m) P1, P2, P3, Q1, Q2 ít nhất là m, cho nên xmy m ∈ I2m do đó α(I (m)) = (m) min{t|It 6= 0} ≤ 2m. Như vậy γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = 2. 18 (m) Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I2m−1 , ∀m ≥ 1. Theo định lý Bézout, ta thấy rằng tổng số bội V (f ) với V (x) bằng deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 = 2m − 1. Mặt khác, tổng số bôi của V (f ) tại ba điểm P1, P2, P3 là ít nhất là 3m > 2m − 1, điều này vô lý vì ta biết rằng tổng số bội của V (f ) với V (x) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (f ) tại ba điểm P1, P2, P3. Như vậy, x | f . Tương tự ta cũng có y | f . Bây giờ ta có thể viết (m) f = xay bg ∈ I2m−1, với x - f, y - f , deg(g) = c và a + b + c = 2m − 1. Ta có, x - g nên tổng số bội của V (g) với V (x) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (g) tại ba điểm P1 , P2 , P3 , tức là c ≥ 3(m − a) hay 3a + c ≥ 3m. Tương tự, ta cũng có c ≥ 2(m − b) hay 2b + c ≥ 2m. Từ đó suy ra 3a + 2b + 2c ≥ 5m hay a + 2(a + b + c) = a + 2(2m − 1) ≥ 5m cho nên a ≥ m + 2 > m, ∀m ≥ 1. Mặt khác, a + b + c = 2m − 1 nên b + c = 2m − 1 − a < 2m − 1 − m = m − 1. Tuy nhiên, ở trên ta có 2b + c ≥ 2m hay b + (b + c) ≥ 2m suy ra b ≥ 2m − (b + c) > 2m − (m − 1) = m + 1. Như vậy ta có a > m và b > m + 1, ∀m ≥ 1 suy ra a + b > 2m + 1, điều này mâu thuẩn với a + b + c = 2m − 1, ∀a, b, c, m ≥ 1. Do đó α(I (m) ) m m→∞ (m) I2m−1 = 0, ∀m ≥ 1 hay α(I (m)) ≥ 2 và γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = 2. Tóm lại, γ(I) = γ(3 + 2) = 2. Mệnh đề 2.2.9. Cho X = {P1 , ...Pr } ⊂ P2 , r ≥ 5, là tập gồm r điểm trong P2 sao cho các điểm này hoặc nằm trên hai đường thẳng phân biệt, mỗi đường thẳng chứa ít nhất ba điểm hoặc nằm trên một đường cong bậc hai bất khả quy. Gọi I = ∩ri=1 Pi , và gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ r P ∗ N là iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không Z = mPi với Pi i=1 (m) là iđêan thuần nhất tương ứng của điểm Pi . Khi đó α(I γ(I) = 2. ) = 2m và
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan