Tài liệu Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngô Văn Bé Em IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngô Văn Bé Em IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 i Mục lục Lời cảm ơn ................................................................................................................ ii Lời nói đầu ............................................................................................................... iii Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn ........................................1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................2 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết.................................................................................2 1.2 Iđêan nguyên tố gắn kết ....................................................................................4 1.3 Độ dài của môđun ..........................................................................................5 1.4 Độ cao của một iđêan ....................................................................................6 1.5 Chiều của một vành, môđun ..........................................................................7 1.6 Độ sâu của môđun .........................................................................................8 1.7 Chiều nội xạ và chiều xạ ảnh ..........................................................................9 1.8 Giới hạn thuận ..............................................................................................10 1.9 Hàm tử xoắn...................................................................................................11 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương...............................................................12 1.11 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng................................................13 1.12 Vành phân bậc, môđun phân bậc .................................................................14 1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan ....................................................16 Chương 2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc ..........................................................................................................17 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc ..................................17 2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập Ass R H Ri 0 + ( M , N ) n ..........................19 Kết luận ....................................................................................................................48 Tài liệu tham khảo ..................................................................................................49 ii Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa Toán – Tin học của trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các thầy cô trong các khoa khác và các thầy cô trong phòng sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS. Trần Tuấn Nam, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, thực hiện luận văn này. Cuối cùng xin gửi lời tri ân gia đình, bạn bè và đặc biệt các bạn lớp Đại số và Lý thuyết số khóa 21 trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Tp. HCM, ngày 12 tháng 12 năm 2012 Tác giả Ngô Văn Bé Em iii Lời nói đầu Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nhà toán học J. Herzog đưa ra đầu tiên và được tổng quát hóa bởi M. H. Bijan-Zadeh. Sau đó, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nghiên cứu và phát triển ngày càng mạnh bởi N. Suzuki, N. Zamani, J. Asadollahi, K. Khashyarmanesh, Sh. Salarian, N. T. Cường, T. T. Nam,…Ngày nay, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được xem là một đối tượng nghiên cứu khá mạnh mẽ của đại số hiện đại nói riêng và toán học nói chung. Cho R là một vành Noether giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của R và C ( R ) là phạm trù các R-môđun. Hàm tử đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i với sự hỗ trợ của iđêan I, H Ii ( •, • ) : C ( R )  →C ( R) i n H Ii ( M , N ) := lim  Ext R ( M / I M , N ) với mọi n∈ được M , N ∈ C ( R) xác định Với mỗi bởi i∈ , H Ii ( M , N ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của N, M tương ứng iđêan I. Đến ngày nay, nhiều kết quả quan trọng về tính triệt tiêu và sự hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra cả trong trường hợp phân bậc và không phân bậc, song bên cạnh đó các nhà toán học vẫn và đang nghiên cứu tìm ra những kết quả mới về môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc như tính hữu hạn sinh, tính triệt tiêu của các thành phần phân bậc cùng một số tính chất về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc. Và quan trọng nhất là tính ổn định tiệm cận của tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) , cũng từ đó chúng tôi chỉ ra tính hữu hạn của tập ( ) AssR H Ri + ( M , N ) . iv Luận văn được chia làm 2 chương; Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định nghĩa và một số tính chất cũng như mệnh đề mà chúng tôi sử dụng trong chương 2. Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Đầu tiên, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc. Sau đó, chúng tôi trình bày tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc trong mệnh đề 2.2.2 như sau: Mệnh đề 2.2.2 Cho R là vành phân bậc Noerther thuần nhất, N là một R-môđun R+ -xoắn phân bậc hữu hạn sinh và cho i ∈  0 . Khi đó, với mọi R-môđun M phân bậc hữu hạn sinh, thì H Ri + ( M , N )n là R0 -môđun hữu hạn sinh và chỉ có hữu hạn H Ri + ( M , N )n có thể khác 0. Và cũng từ mệnh đề trên, tổng quát hơn khi N là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh bất kì ta có H Ri + ( M , N )n là R0 -môđun hữu hạn sinh với mọi i ∈  0 và H Ri + ( M , N )n bị triệt tiêu khi n đủ lớn như định lí 2.2.3. Nhờ áp dụng định lí chuyển vành cơ sở, chúng tôi chứng minh được tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng trong định lí 2.2.6, định lí 2.2.9. Hơn thế nữa, từ tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc chúng tôi xây dựng nên bổ đề 2.2.10 như sau: v Bổ đề 2.2.10 Cho S ⊆  0 , R0 m0 là vô hạn và M, N là các R-môđun phân bậc Ti là Artin với mọi hữu hạn sinh. Giả sử rằng R-môđun R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) = i ∈ S . Khi đó, tồn tại n0 ∈ S {∞} và một phần tử N Γ R+ ( N ) -chính qui x ∈ R1 x → H Ri + ( M , N )n+1 là toàn cấu với mọi i ∈ S và sao cho ánh xạ nhân H Ri + ( M , N )n  với mọi n < n0 . Dựa vào bổ đề trên, chúng tôi chứng minh được một vài trường hợp ổn định tiệm cận của tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) như sau: Định lí 2.2.14 Cho R là vành phân bậc thuần nhất với vành cơ sở địa phương là ( R0 , m0 ) . Đặt t = t R+ ( M , N ) khi đó với mọi i ≤ t thì AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) là ổn định tiệm cận khi n → −∞ . Định lí 2.2.15 Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, vành cơ sở R0 là địa phương với iđêan tối đại là m0 . Giả sử R = R0 [ R1 ] và H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) là Artin với mọi i < r . Khi đó AssR0 ( H Rr + ( M , N )n ) là ổn định tiệm cận khi n  → −∞ . Hệ quả 2.2.16 Cho R = R0 [ R1 ] , vành cơ sở R0 là địa phương với iđêan tối đại là ( m0 và H Ri + ( M , N ) là Artin với mọi i < r , khi đó AssR0 H Rr + ( M , N )n ) là ổn định tiệm cận khi n  → −∞ . Hệ quả 2.2.17 Cho R = R0 [ R1 ] và vành cơ sở R0 là địa phương với iđêan tối đại là ( m0 . Nếu H Ri + ( N ) là Artin với mọi i < r , thì AssR0 H Rr + ( M , N )n cận khi n  → −∞ . ) là ổn định tiệm vi Hệ quả 2.2.20 Cho R = R [ R1 ] với vành cơ sở địa phương ( R0 , m0 ) và giả sử rằng H Rj+ ( M , N ) m0 H Rj+ ( M , N ) là Artin với mọi j ≤ i . Khi đó AssR ( H Ri ( M , N )n ) ổn + 0 định tiệm cận khi n  → −∞ . Trong phần còn lại của luận văn, chúng tôi trình bày sự ổn định tiệm cận của tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) khi vành cơ sở R0 là địa phương có dim R0 ≤ 1 và pd ( M ) < ∞ như trong định lí 2.2.24 sau: Định lí 2.2.24 Giả sử rằng R = R0 [ R1 ] , ( R0 , m0 ) là địa phương với dim R0 ≤ 1 và ( pd ( M ) < ∞ . Khi đó với mọi i ∈  0 thì tập AssR0 H Ri + ( M , N )n cận với n  → −∞ . ) là ổn định tiệm 1 Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn  Tập hợp các số nguyên dương 0 Tập hợp các số nguyên không âm Spec ( R ) Tập các iđêan nguyên tố của vành R AssR ( M ) Tập các iđêan nguyên tố liên kết của R-môđun M Att ( M ) Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M Supp ( M ) Giá của môđun M dim M Chiều Krull của môđun M pd ( M ) Chiều xạ ảnh của môđun M H Ii ( M ) Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M tương ứng với iđêan I H Ii ( M , N ) Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của môđun M, N tương ứng với iđêan I H Ii ( M , N )n Thành phần phân bậc thứ n của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của môđun M, N tương ứng với iđêan I C ( R) Phạm trù các R-môđun *C ( R ) Phạm trù các R-môđun phân bậc 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà tôi sử dụng để chứng minh các mệnh đề, bổ đề, định lí và hệ quả được bày trong chương 2. Tôi không đưa ra cách chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, định lí mà chúng được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu [2],[3],[7],[11],[14],[21]. Và do đó, đọc giả có thể tham khảo cách chứng minh trong các tài liệu này. Iđêan nguyên tố liên kết 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành, M là R–môđun, iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) : p = Ann ( x ) . Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssR ( M ) . { } Giá của môđun M, kí hiệu Supp ( M ) = p ∈ Spec ( R ) M p ≠ 0 . Đặt V ( I ) = {p ∈ Spec ( R ) | I ⊂ p} Khi đó: i) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp ( M ) = V ( Ann ( M ) ) . ii) Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp ( R / I ) = V ( I ) . Tính chất 1.1.2 Cho R là một vành, M là R – môđun. Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M thì các điều sau là tương đương : i) Tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) : p = Ann ( x ) . 3 ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p. Tính chất 1.1.3 Cho R là một vành, M là R – môđun. Giả sử p là phần tử tối đại của { Ann ( x ) x ∈ M , x ≠ 0} thì p ∈ AssR ( M ) . Hệ quả 1.1.4 AssR ( M ) = ∅ ⇔ M = 0 . −1 Hệ quả 1.1.5 Giả sử S là tập con nhân của R.= Đặt R ' S= R, M ' S −1 M . Khi đó, ta có AssR ( M ') = f ( AssR ' ( M ') ) = AssR ( M )  {p | p  S = ∅} . Trong đó f : Spec ( R ')  → Spec ( R ) là một đồng cấu. Đặc biệt: AssRp ( M p ) = {qRp | q ∈ AssR ( M ) ,q ⊆ p} . Tính chất 1.1.6 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và M ≠ 0 . Khi đó tồn tại dãy các môđun con 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M sao cho M i M i −1 ≅ R pi với mọi pi ∈ Spec ( R ) ,1 ≤ i ≤ n . Tính chất 1.1.7 Cho 0 → M → N → L → 0 là dãy khớp các R-môđun, khi đó ta có các kết quả sau: i) Ass ( M ) ⊆ Ass ( N ) ⊆ Ass ( M )  Ass ( L ) . ii) Supp ( N ) = Supp ( M )  Supp ( L ) . Tính chất 1.1.8 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: i) Ass ( M ) là tập hữu hạn. ii) Ass ( M ) ⊂ Supp ( M ) . iii) Phần tử tối tiểu của Ass ( M ) và Supp ( M ) giống nhau. 4 Tính chất 1.1.9 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R. Khi đó Supp ( M ) ⊂ V ( I ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho IkM = 0. Tính chất 1.1.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R. Khi đó ta có Supp ( M IM = ) V ( I )  V ( Ann ( M= ) ) V ( I + Ann ( M ) ) . 1.2 Iđêan nguyên tố gắn kết Định nghĩa 1.2.1 Cho S là một R-môđun. S được gọi là thứ cấp khi S ≠ 0 và với mọi r ∈ R , hoặc rS = S , hoặc tồn tại n ∈  sao cho r n S = 0 . Nếu p= 0 :R S là một iđêan nguyên tố của R, chúng ta nói S là R-môđun p-thứ cấp. Tính chất 1.2.2 i) Ảnh đồng cấu khác không của một R-môđun p-thứ cấp là một R-môđun pthứ cấp. ii) Nếu S1 , S 2 ,..., S n là các môđun con p-thứ cấp của một R-môđun M thì n ∑S i =1 i cũng là môđun con p-thứ cấp của M. Định nghĩa 1.2.3 Cho M là một R-môđun. Một sự biểu diễn thứ cấp của M là một sự biểu diễn M thành tổng hữu hạn các môđun con thứ cấp của M. Một sự biểu diễn thứ cấp M = S1 + S 2 + ... + S n với Si là p i -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n ) của M được gọi là tối tiểu khi i) p1 ,..., pn là n iđêan nguyên tố khác nhau của R; và n ii) Với mọi j = 1, 2,..., n , ta có S j ⊄ ∑ Si . i =1 i≠ j Chúng ta nói M là R-môđun biểu diễn khi nó có nó có một sự biểu diễn thứ cấp. 5 Do đó, một R-môđun biểu diễn luôn có một sự biểu diễn thứ cấp tối thiểu. Mệnh đề 1.2.4 Cho M là một R-môđun biểu diễn và cho M = S1 + S 2 + ... + S n với Si là p i -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n ) và M = S1' + S 2' + ... + S n' ' với Si' là pi' -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n ') là hai sự biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M. Khi đó n = n ' và {p1 ,..., pn } = {p1' ,..., p'n } Định nghĩa 1.2.5 Cho M là một R-môđun biểu diễn và cho M = S1 + S 2 + ... + S n với Si là p i -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n ) là một sự biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M. Khi đó tập n phần tử {p1 ,..., pn } không phụ thuộc vào cách chọn sự biểu diễn tối tiểu của M, được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M và được kí hiệu Att ( M ) hoặc Att R ( M ) . Các phần tử của Att ( M ) được gọi là các iđêan nguyên tố gắn kết của M. Mệnh đề 1.2.6 Cho 0  → M  → N  → L  → 0 là một dãy khớp các Rmôdun biểu diễn và các R-đồng cấu. Khi đó Att ( N ) ⊆ Att ( M ) ⊆ Att ( N )  Att ( L ) Mệnh đề 1.2.7 Cho A là một R-môđun Artin, cho r ∈ R . Khi đó: i) ii) 1.3 rA = A nếu và chỉ nếu r ∈ R \  p∈Att ( A) p ; và 0 :R A =  p∈Att ( A) p. Độ dài của môđun Định nghĩa 1.3.1 Cho một dãy ( M i ) 0≤i ≤ n các môđun con của môđun M thỏa M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n −1 ⊃ M n = 0 . Khi đó dãy ( M i )0≤i ≤ n được gọi là chuỗi hợp thành của M nếu nó là dãy tối đại, tức là không thể thêm một iđêan con nào nữa. Điều này tương đương với môđun thương M i M i +1 là môđun đơn. 6 Độ dài các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi, được kí hiệu là l ( M ) và được gọi là độ dài của môđun M. Tính chất 1.3.2 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có các điều sau là tương đương: i) l ( M ) < ∞ . ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass ( M ) đều là iđêan tối đại của R. iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp ( M ) đều là iđêan tối đại của R. Hệ quả 1.3.3 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, N là Rmôđun bất kì. Nếu l ( N ) < ∞ thì l ( HomR ( M , N ) ) < ∞ . Do đó nếu N là R-môđun Artin thì HomR ( M , N ) cũng là R-môđun Artin. Tính chất 1.3.4 Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành có độ dài là n. Khi đó mọi dãy môđun con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành. Tính chất 1.3.5 ( M i ) 0≤i ≤ n là chuỗi hợp thành của M khi và chỉ khi ( M i )0≤i ≤ n vừa là dãy điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm. Tính chất 1.3.6 Cho dãy khớp ngắn 0 → M → N → P → 0 các R-môđun, khi đó ta có l (M ) − l ( N ) + l ( P) = 0. 1.4 Độ cao của một iđêan Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan nguyên tố của R. Độ cao của một iđêan nguyên tố p là độ dài lớn nhất của dãy gồm n+1 iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn −1 ⊂ pn = p , kí hiệu htp. Nhận xét: i) Nếu htp = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R. 7 ii) Nếu I là một iđêan của R. Độ cao I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố ht ( I ) inf {ht ( p) | I ⊂ p, p ⊂ Spec ( R )} . chứa I. Tức là= 1.5 Chiều của một vành, môđun Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành, chiều của R, kí hiệu là dimR, là chiều dài lớn nhất của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn −1 ⊂ pn = p của R. Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu dim R = ∞ . Nhận xét: i) Từ định nghĩa ta= có dim R sup {ht p | p ∈ Spec ( R )} . Số chiều này được gọi là số chiều Krull của R. = ii) ht p dim ( Rp ) , p ∈ Spec ( R ) . iii) Với mọi iđêan I của R, ta có: dim ( R I ) + htI ≤ dim R . Tính chất 1.5.2 Giả sử M ≠ 0 là một R-môđun, khi đó số chiều của môđun M được định nghĩa là chiều của vành thương R Ann ( M ) . Tức là dim M = dim ( R Ann ( M ) ) . Khi M = 0 ta qui ước dim M = −1 . Tính chất 1.5.3 Cho R là vành Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh thì các điều kiện sau là tương đương: i) M là một R-môđun có độ dài hữu hạn. ii) Vành R Ann ( M ) là vành Artin. iii) dim M = 0 . Tính chất 1.5.4 Cho R là vành Noether, khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) R là vành Artin. ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass ( M ) đều là iđêan tối đại của R. 8 iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp ( M ) đều là iđêan tối đại của R. 1.6 Độ sâu của môđun Định nghĩa 1.6.1 Cho M là một R-môđun. Một phần tử r ∈ R được gọi là M-chính qui nếu rx ≠ 0, ∀x ∈ M , x ≠ 0 . Định nghĩa 1.6.2 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh. Dãy các phần tử a1 , a2 ,..., an ∈ R được gọi là dãy M-chính qui nếu: i) a1 là phần tử M-chính qui, a2 là phần tử M a1 M -chính qui,…, an là phần tử M ( a1 , a2 ,.., an −1 ) M -chính qui. ii) M ( a1 , a2 ,.., an ) M ≠ 0. Độ dài của M-dãy chính là số phần tử của dãy. M-dãy không có phần tử nào gọi là M-dãy có độ dài 0. Nhận xét: i) a ∈ R là phần tử M-chính qui nếu a không là ước của 0 trong M. ii) a1 , a2 ,..., an ∈ R được gọi là M-dãy chính qui khi và chỉ khi M ( a1 , a2 ,.., an ) M ≠ 0 và ai ∉ p, ∀p ∈ AssR ( M ( a1 , a2 ,.., an ) M ) với mọi i = 1, 2,..., n. Định nghĩa 1.6.3 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh. Lấy I là một iđêan của M sao cho M ≠ IM , khi đó a1 , a2 ,..., an là M-dãy chính qui tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử an +1 ∈ I sao cho a1 , a2 ,..., an , an +1 là M-dãy chính qui có độ dài n+1. Định nghĩa 1.6.4 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh. Lấy I là một iđêan của M sao cho M ≠ IM , khi đó mọi dãy chính qui của M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính qui tối đại trong I và các dãy chính qui tối đại của M trong I có cùng độ dài. Độ dài này được gọi là độ sâu của M trong I, kí hiệu là depth ( I , M ) . 9 Nhận xét: Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại là m. Khi đó mọi M-dãy chính qui a1 , a2 ,..., an phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì M ( a1 , a2 ,.., an ) M ≠ 0 . Theo bổ đề Nakayama ta có M ≠ mM , do đó dãy các phần tử của R là M-dãy chính qui khi và chỉ khi nó là M-dãy chính quy trong m. Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth ( M ) . Tính chất 1.6.5 Giả sử I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó = depth ( I , R ) inf {i | H Ii ( M ) ≠ 0} . 1.7 Chiều nội xạ và chiều xạ ảnh Định nghĩa 1.7.1 Nếu M là một R-môđun mà có một phép giải xạ ảnh P• với Pn = 0 khi n > d nhưng Pd ≠ 0 với mọi phép giải xạ ảnh của M. Khi đó ta nói M có chiều xạ ảnh là d, kí hiệu pd ( M ) = d . Nếu không có số d thỏa định nghĩa trên thì ta viết pd ( M ) = ∞ . Định nghĩa 1.7.2 Nếu M là một R-môđun mà có một phép giải nội xạ J • với J n = 0 khi n > d nhưng J d ≠ 0 với mọi phép giải nội xạ của M. Khi đó ta nói M có chiều nội xạ là d, kí hiệu id ( M ) = d . Nếu không có số d thỏa định nghĩa trên thì ta viết id ( M ) = ∞ . Nhận xét: Rõ ràng nếu M là môđun xạ ảnh thì pd ( M ) = 0 , nếu M là môđun nội xạ thì id ( M ) = 0 . 10 1.8 Giới hạn thuận Định nghĩa 1.8.1 Một tập sắp thứ tự bộ phận khác rỗng I được gọi là sắp thứ tự thuận nếu với mỗi cặp phần tử i, j của I thì tồn tại phần tử k của I sao cho i ≤ k và j≤k. Như vậy, tập  các số tự nhiên với thứ tự thông thường là một sắp thứ tự thuận. Định nghĩa 1.8.2 Cho ( M i )i∈I là một họ các R-môđun đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận I. Với mỗi cặp phần tử i, j của I mà i ≤ j , cho R-đồng cấu µij : M i  → M j và giả sử rằng các tiên đề sau được thỏa mãn: i) µii Id M i = ii) µik µ jk  µik = ∀i ∈ I . ∀i ≤ j ≤ k . các môđun M i và các đồng cấu µij được gọi là Khi đó, họ Ω =( M i , µij ) i , j∈I một hệ thống thuận. Định nghĩa 1.8.3 Cho Ω =( M i , µij ) là một hệ thống thuận, gọi D là R-môđun i , j∈I con của R-môđun ⊕i∈I M i được sinh bởi các phần tử dạng mi − µij ( mi ) với i ≤ j . Đặt M = ⊕i∈I M i D , kí hiệu µ : ⊕i∈I M i  → M là phép chiếu tự nhiên và µi : M i  → M là hạn chế của µ lên M i . Khi đó, ta gọi M và họ các đồng cấu ( µi )i∈I , hoặc đơn giản hơn chỉ gọi M, là giới hạn thuận của hệ thống thuận ( M i , µij ) . Kí hiệu M = lim  M i . i , j∈I i∈I là hai hệ thống thuận Định nghĩa 1.8.4 Cho Ω =( M i , µij ) và Λ =( N i ,ν ij ) i , j∈I i , j∈I các R-môđun trên cùng một tập sắp thứ tự thuận I. Gọi M, N lần lượt là các giới hạn thuận tương ứng. Một đồng cấu ψ : Ω  → Λ được định nghĩa là một họ các R-môđun ψ i : M i  → N i thỏa mãn ψ j  µij = ν ij ψ i với mọi i ≤ j . 11 Tính chất 1.8.5 Một dãy các hệ thống thuận và các đồng cấu Ω  → Λ  →Π được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng của các R-môđun và các R-đồng cấu là khớp. Khi đó, dãy các giới hạn thuận của chúng cũng là dãy khớp. 1.9 Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.9.1 Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun, I là một iđêan của R, tập Γ I ( M ) =  ( 0 :M I n ) , là tập hợp tất cả các phần tử của M bị linh hóa bởi n∈N một lũy thừa nào đó của I. Rõ ràng, Γ I ( M ) là một môđun con của M. Với mỗi R-đồng cấu môđun f : M  → N , ta có f ( Γ I ( M ) ) ⊆ Γ I ( N ) . Như vậy, f sẽ cảm sinh một đồng cấu thu hẹp của nó trên Γ I ( M ) , định bởi: Γ I ( f ) : Γ I ( M )  →Γ I ( N ) m  f ( m) Nếu g : M  → L là các R-đồng cấu môđun , khi đó ta có: → N và h : N  ΓI ( h  g ) = ΓI ( h)  ΓI ( g ) ΓI ( h + g ) = ΓI ( h) + ΓI ( g ) Γ I ( rh ) = r Γ I ( h ) ∀r ∈ R Γ I ( Id M ) = Id Γ I ( M ) Từ các nhận xét trên, ta thấy Γ I trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính, Rtuyến tính và cộng tính từ phạm trù các R-môđun vào chính nó. Γ I còn được gọi là hàm tử I-xoắn. Nếu Γ I ( M ) = 0 thì ta nói M là I-không xoắn, nếu Γ I ( M ) = M thì ta nói M là I-xoắn. Từ đó, với mọi R-môđun M, thì môđun Γ I ( M ) là I-xoắn và M Γ I ( M ) là Ikhông xoắn. Mệnh đề 1.9.2 Hàm tử I-xoắn Γ I là hàm tử khớp trái. 12 Mệnh đề 1.9.3 Một R-môdun M là hữu hạn sinh là I-xoắn khi và chỉ khi tồn tại n ∈  sao cho I n M = 0 . Mệnh đề 1.9.4 Cho M là một R-môđun. Khi đó: i) Nếu Γ I ( M ) ≠ 0 , thì I ⊆ ZDR ( M ) với ZDR ( M ) = { x ∈ R ∃m ∈ M \ {0} : xm = 0}. ii) Cho R là vành Noether và M là hữu hạn sinh. Nếu I ⊆ ZDR ( M ) thì ΓI ( M ) ≠ 0 . Mệnh đề 1.9.5 Cho M là một R-môđun Noether. Khi đó: AssR ( M )  V ( I ) . i) AssR ( Γ I ( M ) ) = AssR ( M ) \ V ( I ) . ii) Nếu R là vành Noether, thì AssR ( M Γ I ( M ) ) = Bổ đề 1.9.6 (Bổ đề Melkersson) Cho M là một R-môđun I-xoắn và ( 0 :M I ) là Artin. Khi đó M là Artin. 1.10 Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.10.1 Với mỗi i ∈  , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ I , kí hiệu là H Ii , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i của iđêan I. Với mỗi R-môđun M, ta gọi H Ii ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I. Tính chất 1.10.2 i) Ta có Γ I ( • ) ≅ H I0 ( • ) . ii) Hàm tử H Ii ( • ) là hàm tử hiệp biến và cộng tính, R-tuyến tính từ phạm trù các R-môđun vào chính nó. iii) Nếu 0  → M  → N  → L  → 0 là một dãy khớp ngắn của các Rmôđun và các R-đồng cấu, khi đó ta có một dãy khớp dài sau 0  →Γ I ( M )  →Γ I ( N )  →Γ I ( L )  → H I1 ( M )  → H I1 ( N )  → ...