Tài liệu Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- PHẠM THỊ THÚY VIỆT HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TOÁN TỬ KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- PHẠM THỊ THÚY VIỆT HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TOÁN TỬ KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 1 Chương 1. Toán tử trong không gian Hilbert 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Toán tử không giãn trong không gian Hilbert 1.3 Toán tử không giãn trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Phép chiếu lên tập lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Dưới vi phân của hàm lồi, chính thường . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . 6 Chương 2. Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng 2.1 23 Các bài toán về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . 23 2.2 Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của một toán tử không giãn và một số hệ quả . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo 49 iv Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TS. Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy. Bên cạnh đó tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán Tin cùng các quý thầy cô đã trực tiếp giảng dậy lớp cao học Toán K10Y trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Để hoàn thành luận văn này tôi gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp những người đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tôi theo học và thực hiện luận văn. Trong quá trình làm luận văn tôi cũng rất cố gắng nhưng cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy, các Cô để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, ngày 29 tháng 4 năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Thị Thúy Việt 1 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực R tập các số thực ∅ tập rỗng ∀x với mọi x k.k chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng Id toán tử đồng nhất Fix(T ) tập điểm bất động của toán tử T T∗ toán tử liên hợp của toán tử T PC (x) hình chiếu của x lên C NC nón chuẩn của tập con lồi C domf miền hữu dụng của f ∂f dưới vi phân của hàm lồi f ri(domf ) tập các điểm trong tương đối của domf xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 L2 [a, b] không gian các hàm khả tích bậc 2 trên đoạn [a, b] L∞ không gian các hàm bị chặn d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C 1 Mở đầu Các tính chất của hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình được đề xuất trong bài báo của nhóm hai tác giả: P. Com-Bettes (trường Đại học Sorbonne Universite’s - UPMC Univ. Pais06) và Isao Yamada (Học viện công nghệ Tokyo) được nghiên cứu và ứng dụng để thiết kế các thuật toán điểm bất động mới trong không gian Hilbert. Kết quả đạt được là một dạng mở rộng thuật toán tách tiến lùi để tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu. Các toán tử không giãn đã chứng minh ứng dụng của nó trong giải tích và giải các bài toán số phát sinh trong giải tích phi tuyến tính. Điều này được giới thiệu trong [4]. Các toán tử trung bình là ổn định với các phép hợp và tổ hợp lồi, các toán tử này tạo ra những động lực cơ bản trong nhiều thuật toán điểm bất động kết hợp khác nhau. Các hằng số xác định giá trị của các hàm số trong phương pháp lặp. Đây là điều quan trọng vì các hằng số này nó tác động lớn đến tốc độ hội tụ. Nội dung luận văn đề cập đến các hằng số trung bình của hợp và tổ hợp lồi các toán tử trung bình và xây dựng lên các thuật toán điểm bất động mới dựa trên những hằng số này. Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực, toán tử không giãn, toán tử trung bình. Ngoài ra còn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của phép chiếu lên tập đóng lồi 2 và dưới vi phân của hàm lồi. Chương 2: Trình bày về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn, toán tử trung bình. Đồng thời nêu ra ứng dụng vào thuật toán tìm điểm bất động và thuật toán tách tiến lùi. 3 Chương 1 Toán tử trong không gian Hilbert Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert và một số khái niệm, định nghĩa của tập lồi, hàm lồi. Đồng thời trình bày về toán tử không giãn và toán tử không giãn trung bình. Các kiến thức trong chương được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X được gọi là tổng của x và y trong X, kí hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X được gọi là tích của α và x trong X, kí hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau: (i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X; (ii) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X; (iii) Tồn tại phần tử không (kí hiệu: 0) sao cho: x+0 = 0+x, ∀x ∈ X; (iv) Với mọi x ∈ X ta có: 1.x = x.1 (1 được gọi là phần tử đơn vị); (v) Với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x kí hiệu là −x và: x + (−x) = 0; (vi) (α + β)x = αx + βy, ∀x ∈ X và α, β ∈ R; (vii) α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X và α, β ∈ R; 4 (viii) α(x + y) = αx + αy với mọi x ∈ X và α ∈ R. Định nghĩa 1.1.2 Cho H là không gian véctơ trên R, tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ h., .i : H × H → R (x, y) 7→ (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ H; (ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ H; (iii) (αx, y) = α(x, y), ∀x, y ∈ H, α ∈ R; (iv) (x, x) > 0 khi và chỉ khi x 6= 0 và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0. Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta có: (i) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) với mọi x, y, z ∈ H; (ii) (x, αy) = α(x, y) với mọi x, y ∈ H, α ∈ R. Định nghĩa 1.1.4 Cặp (H, h., .i), trong đó H là không gian tuyến tính trên R, h., .i là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H với mọi x, y ∈ H ta luôn có đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, yi . hx, yi . Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi: p kxk = hx, xi, ∀x ∈ H. Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định từ Định lý 1.1.6 thì H được gọi là không gian Hilbert thực. 5 Ví dụ 1.1.8 Không gian ( l2 = x = (xn )n ∈ R : ∞ X ) |xn |2 < +∞ n=1 là không gian Hilbert với tích vô hướng, hx, yi = ∞ X x n yn , x = (xn )n∈N , y = (yn )n ∈ l2 n=1 và chuẩn v 1 u∞ ∞ 2 X p uX kxk = hx, xi = t |xn |2 = ( |xn |2 ) . n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng Zb hx, yi = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] , a và chuẩn  b  21 Z kxk =  |x(t)|2 dt . a Định nghĩa 1.1.10 Trong không gian Hilbert H (i) Dãy {xn }∞ n=1 được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim hxn , yi = hx, yi , ∀y ∈ H. (ii) Dãy {xn }∞ n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu lim kxn − xk = 0. Kí hiệu xn * x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn } đến phần tử x ∈ H. Chú ý 1.1.11 : (i) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu nhưng điều ngược lại không đúng. 6 (ii) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất: nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x thì xn → x khi n → ∞. 1.2 Toán tử không giãn trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực với tích trong h., .i và chuẩn k.k tương ứng, D là một tập con khác rỗng của H. Định nghĩa 1.2.1 Toán tử T : D → H được gọi là (i) không giãn nếu: kT x − T yk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ D; (ii) không giãn chặt nếu: kT x − T yk < kx − yk ∀x, y ∈ D; (iii) co với hệ số α ∈ (0, 1) nếu: kT x − T yk ≤ α kx − yk ∀x, y ∈ D. Định nghĩa 1.2.2 Toán tử T : D → H được gọi là toán tử không giãn vững nếu kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 ≤ kx − yk2 với mọi x, y ∈ D. Nhận xét 1.2.3 Ta thấy lớp toán tử không giãn vững chứa trong lớp các toán tử không giãn. Mệnh đề 1.2.4 Cho toán tử T : D → H và x, y ∈ X. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (1) T là toán tử không giãn vững. (2) Id − T là toán tử không giãn vững. 7 (3) 2T − Id là toán tử không giãn. (4) kT x − T yk2 ≤ hx − y, T x − T yi. (5) hT x − T y, (Id − T )x − (Id − T )yi ≥ 0. (6) hT y − T x, x − T xi + hT x − T y, y − T yi ≤ 0. (7) hT y − x, T x − xi + hT x − y, T y − yi ≥ kT x − xk2 + kT y − yk2 . (8) kT x − T yk ≤ kα(x − y) + (1 − α)(T x − T y)k, với α ≥ 0. Chứng minh: (1) ⇔ (2): Ta có kx − yk2 ≥ kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = k[Id − (Id − T )x] − [Id − (Id − T )y]k2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 . Vì vậy theo định nghĩa toán tử không giãn vững ta có T là toán tử không giãn vững khi và chỉ khi Id − T là toán tử không giãn vững. (1) ⇔ (3): Ta có k(2T − Id)x − (2T − Id)yk2 − kx − yk2 = k2(T x − T y) + (1 − 2)(x − y)k2 − kx − yk2 = 2kT x − T yk2 + (−1)kx − yk2 − 2(1 − 2)kT x − T y − (x − y)k2 − kx − yk2 = 2kT x − T yk2 − kx − yk2 + 2k(Id − T )x − (Id − T )yk2 − kx − yk2 = 2kT x − T yk2 + 2k(Id − T )x − (Id − T )yk2 − 2kx − yk2 . Từ biến đổi trên suy ra T là toán tử không giãn vững nếu và chỉ nếu 2T − Id là toán tử không giãn. (1) ⇔ (4): Ta có k(Id − T )x − (Id − T )yk2 + kT x − T yk2 = k(x − y) − (T x − T y)k2 + kT x − T yk2 = kx − yk2 + 2kT x − T yk2 − 2 hx − y|T x − T yi 8 Hơn nữa, theo (4) kT x − T yk2 ≤ hx − y, T x − T yi . Suy ra bất đẳng thức trên tương đương với k(Id − T )x − (Id − T )yk2 + kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 . (4) ⇔ (5): hT x − T y, T x − T yi ≤ hx − y, T x − T yi ⇔ hT x − x − T y + y, T x − T yi ≤ 0 ⇔ h(Id − T )x − (Id − T )y, T x − T yi ≥ 0. Vậy (4) ⇔ (5). (5) ⇔ (8): Với mọi x, y ∈ H, α ∈ R+ thì hx, yi ≤ 0 ⇔ kxk ≤ kx − αyk nên hT x − T y, (Id − T )x − (Id − T )yi ≥ 0 ⇔ hT x − T y, T x − T y − (x − y)i ≤ 0 ⇔ kT x − T yk ≤ kT x − T y − α [(T x − T y) − x − y]k ⇔ kT x − T yk ≤ kα(x − y) + (1 − α)(T x − T y)k . Từ đó suy ra (5) ⇔ (8). (4) ⇔ (6): Ta có hT y − T x, x − T xi + hT x − T y, y − T yi ≤ 0 ⇔ hT x − T y, x − T xi − hT x − T y, y − T yi ≥ 0 ⇔ hT x − T y, x − y − (T x − T y)i ≥ 0 ⇔ kT x − T yk2 ≤ hx − y, T x − T yi . Vậy ta có (4) ⇔ (6). 9 (6) ⇔ (7): Tương tự, ta có hT y − T x, x − T xi + hT x − T y, y − T yi ≤ 0 ⇔ hT y − x + x − T x, T x − xi − hT x − y + y − T y, y − T yi ≥ 0 ⇔ hT y − x, T x − xi + hT x − y, T y − yi ≥ kT x − xk2 + kT y − yk2 .  Hệ quả 1.2.5 Cho T : H → H là toán tử tuyến tính. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (1) T là toán tử không giãn vững. (2) k2T − Idk ≤ 1. (3) kT xk2 ≤ hx, T xi với mọi x ∈ H. (4) T ∗ là toán tử không giãn vững. (5) T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tử dương. Chứng minh: Ta chứng minh các khẳng định tương đương như sau. (1) ⇔ (2) ⇔ (3): Theo Mệnh đề 1.2.5 thì T là toán tử không giãn vững nếu và chỉ nếu 2T − Id là toán tử không giãn, vì vậy k(2T − Id)x − (2T − Id)0k ≤ kx − 0k ⇔ k(2T − Id)xk ≤ kxk . Suy ra k2T − Idk ≤ 1. Hơn nữa, với 2T − Id là toán tử không giãn thì kT x − T 0k2 ≤ hx − 0, T x − T 0i ⇔ kT xk2 ≤ hx, T xi . (1) ⇔ (4): Ta có k2T ∗ − Idk = (2T − Id)∗ = k2T − Idk ≤ 1. Do đó 2T ∗ − Id là toán tử không giãn hay suy ra T ∗ là toán tử không giãn vững. (3) ⇔ (5): Từ (3), ta có hx, T xi ≥ hT x, T xi ⇔ hx, T xi − hx, T ∗ T xi ≥ 0 ⇔ hx, (T − T ∗ T )xi ≥ 0. 10 Do đó  x, (T − T ∗ T )x + (T − T ∗ T )∗ ≥ 0 ⇔ hx, (T + T ∗ − 2T ∗ T )xi ≥ 0. Từ đó suy ra T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tử dương.  1.3 Toán tử không giãn trung bình Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, D ⊂ H, D 6= ∅, α ∈ (0; 1) và cho T : D → H là một toán tử không giãn. Khi đó T được gọi là toán tử không giãn trung bình với hệ số α hay α -trung bình nếu tồn tại một toán tử không giãn R : D → H để T = (1 − α)Id + αR. Mệnh đề 1.3.2 Cho D là một tập hợp con khác rỗng của H, cho T : D → H không giãn và cho α ∈ (0; 1). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) Tlà toán tử α-không giãn trung bình. 1 1 Id + T là toán tử không giãn. (ii) 1 − α α (iii) (∀x ∈ D)(∀y ∈ D) có: kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 − 1−α k(Id − T )x − (Id − T )yk2 . α (iv) (∀x ∈ D)(∀y ∈ D) có: kT x − T yk2 + (1 − 2α)kx − yk2 ≤ 2(1 − α) hx − y|T x − T yi . Chứng minh: (i) ⇔ (ii): Lấy x, y ∈ D và đặt R = (1 − λ)Id + λT với λ = 1 hay α 11 T = (1 − α)Id + αR và kRx − Ryk2 = k(1 − λ)(x − y) + λ(T x − T y)k2 = (1 − λ)kx − yk2 + λkT x − T yk2 − λ(1 − λ)k(Id − T )x − (Id − T )yk2 1 1 = kx − yk2 − kx − yk2 + kT x − T yk2 α α 1 1 − (1 − )k(Id − T )x − (Id − T )yk2 . α α Do đó kx − yk2 − kRx − Ryk2 = kx − yk2 − kT x − T yk2 1−α k(Id − T )x − (Id − T )yk2 . α Từ biến đổi trên suy ra (i) ⇔ (ii). − Tiếp theo ta chứng minh (ii) ⇔ (iii): Với R là toán tử không giãn thì với mọi x, y ∈ D, ta có: kRx − Ryk2 ≤ kx − yk2 . Do vậy: kx − yk2 − kRx − Ryk2 ≥ 0 1−α ⇔ kx − yk2 − k(Id − T )x − (Id − T )yk2 ≥ 0. α Từ đó có (iii). Chứng minh (iii) ⇔ (iv): Ta có k(Id − T )x − (Id − T )yk2 = kx − yk2 +kT x − T yk2 −2 hx − y, T x − T yi . Suy ra: 1−α 1−α kx − yk2 − kT x − T yk2 α α 1−α +2 hx − y, T x − T yi , α kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 − 12 hay αkT x − T yk2 + (1 − α)kT x − T yk2 ≤ αkx − yk2 − (1 − α)kx − yk2 −2(1 − α) hx − y, T x − T yi . Sau đây ta có mệnh đề về sự bảo toàn tính không giãn trung bình của toán tử. Mệnh đề 1.3.3 Cho toán tử T : D → H, các hằng số α ∈ (0, 1) và 1 λ ∈ (0, ). Khi đó T là toán tử α− không giãn trung bình nếu và chỉ α nếu (1 − λ)Id + λT là toán tử λα -không giãn trung bình. Chứng minh: Do T là toán tử không giãn trung bình nên tồn tại R là toán tử không giãn sao cho T = (1 − α)Id + αR. Khi đó (1 − λ)Id + λT = (1 − λ)Id + λ k(1 − α)Id + αRk = (1 − λα)Id + λαT. 1 Do λ ∈ (0, ) nên λα ∈ (0, 1). Từ đó suy ra (1 − λ)Id + λT là toán tử α không giãn trung bình với hệ số λα hay (1 − λ)Id + λT là toán tử λα -trung bình. 1.4 Phép chiếu lên tập lồi đóng Định nghĩa 1.4.1 Tập C là tập con của không gian Hilbert H, C được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kì nằm trong nó. Tức là C là tập lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] : λx + (1 − λ)y ∈ C. Ví dụ 1.4.2 1. Tập các không gian con là tập lồi. 2. Tập rỗng là tập lồi. 3. Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. 13 Định nghĩa 1.4.3 Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm x1 , ..., xk nếu x= k X j λj x , λj ≥ 0, ∀j = 1, ..., k, k X j=1 λj = 1. j=1 Mệnh đề 1.4.4 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó. Tức là: ∀k ∈ N, ∀λ1 , ..., λk > 0 : k X 1 k λj = 1, ∀x , ..., x ∈ C ⇒ j=1 k X λj xj ∈ C. j=1 Mệnh đề 1.4.5 Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H. Khi đó: (i) A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B} ; (ii) λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ; (iii) A × C := {x ∈ H, H|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} . là các tập lồi. Định nghĩa 1.4.6 Tập C ⊂ H được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và một tập lồi. Định nghĩa 1.4.7 Cho C ⊆ H, xo ∈ C. Nón pháp tuyến ngoài của tập C tại xo là tập hợp NC (xo ) := {ω : hω, x − xo i ≤ 0; ∀x ∈ C} . Định nghĩa 1.4.8 Cho C ⊂ H, C 6= ∅ là tập lồi đóng và y ∈ H, đặt dC :=inf kx − yk , x ∈ C, dC (y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = kπ − yk, thì π là hình chiếu của y trên C. Kí hiệu: π = PC (y) là hình chiếu của y trên C. 14 Mệnh đề 1.4.9 Cho C ⊂ H, C 6= ∅ là tập lồi đóng. Khi đó, (i) Với ∀y ∈ H, π ∈ C.Khi đó π = PC (y) ⇔ y − π ∈ NC (π). (ii) Với ∀y ∈ H, hình chiếu PC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất. (iii) Nếu y ∈ / C, thì hPC (y) − y, x − PC (y)i = 0 là siêu phẳng tựa của C tại PC (y) và tách hẳn y khỏi C, tức là: hPC (y) − y, x − PC (y)i ≥ 0, ∀x ∈ C và hPC (y) − y, y − PC (y)i < 0, ∀x ∈ C. (iv) Ánh xạ y → PC có các tính chất: 1. kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk với mọi x, y (tính không giãn). 2. hPC (x) − PC (y), x − yi ≥ kPC (x) − PC (y)k2 (tính đồng bức). Chứng minh: (i) Giả sử có π = PC (y) ta chứng minh y − π ∈ NC (π). Gọi x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Đặt: xλ := λx + (1 − λ)π. Ta có x, π ∈ C và tập C lồi nên xλ ∈ C. Do π = PC (y) suy ra kπ − yk ≤ ky − xλ k. kπ − yk2 ≤ ky − xλ k2 kπ − yk2 ≤ ky − (λx + (1 − λ)π)k2 kπ − yk2 ≤ kλ(π − x) + (y − π)k2 kπ − yk2 ≤ λ2 kπ − xk2 + ky − πk2 + 2λ hπ − x, y − πi λ2 kπ − xk2 + 2λ hπ − x, y − πi ≥ 0. Do λ > 0 nên λkπ − xk2 + 2 hπ − x, y − πi ≥ 0 đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Vì vậy λ → 0 thì hπ − y, x − πi ≥ 0 với mọi x ∈ C. Suy ra y − x ∈ NC (π). Giả sử y − x ∈ NC (π) ta chứng minh π = PC (y). Thật vậy vì y − x ∈ NC (π) nên với x ∈ C, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ky − πk ≤ ky − xk , ∀x ∈ C. 15 Do đó π = PC (y). (ii) Nếu y ∈ C thì PC (y) = y dC (y) = 0. Nếu y ∈ / C thì dC (y) = kπ − yk. Theo định nghĩa cận dưới đúng thì tồn  tại một dãy xk ∈ C sao cho lim xk − y = dC (y) < +∞. k→∞   Vì dãy xk ∈ C bị chặn nên tồn tại một dãy con xkj hội tụ yếu tới điểm π. Do C đóng và lồi nên C đóng yếu, suy ra π ∈ C. Vậy kπ − yk = lim xkj − y = lim xk − y = dC (y). Suy ra π là hình j→∞ k→∞ chiếu của y lên C. Ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử tồn tại π 1 , π 2 là hình chiếu của y lên C khi đó y − π 1 ∈ NC (π 1 ); y − π 2 ∈ NC (π 2 ). Suy ra 1  π − y, π 1 − π 2 ≥ 0, 2  π − y, π 2 − π 1 ≥ 0. Cộng vế với vế π 1 − π 2 ≤ 0 ⇒ π 1 = π 2 . Vậy hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất. (iii) Do y−π ∈ NC (π) nên hπ − y, x − πi ≥ 0, ∀x ∈ C. Vậy hπ − y, xi = hπ − y, πi là một siêu phẳng tựa của C tại π và hπ − y, x − πi = −kπ − yk2 < 0. (iv) 1. Ta có x → PC (x) luôn xác định (theo (ii)). Do z−PC (z) ∈ NC (PC (z)), ∀z nên hz − PC (z), PC (x) − PC (z)i ≤ 0.