Tài liệu Hình học giải tích không gian

Chuyên đề LTĐH HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN Chuyeân ñeà 13: A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ z I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong khoâng gian x' x'Ox : truïc hoaønh y'Oy : truïc tung z'Oz : truïc cao O : goác toaï ñoä   i, j, k : veùc tô ñôn vò   (hay i; j; k : veùc tô ñôn vò )       k y' x  i O  j z' Quy öôùc : Khoâng gian maø trong ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà -Caùc vuoâng goùc Oxyz ñöôïc goïi laø khoâng gian Oxyz vaø kyù hieäu laø : kg(Oxyz) II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:  1. Ñònh nghóa 1: Cho M  kg(Oxyz) . Khi ñoù veùc tô OM ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo       z i, j, k bôûi heä thöùc coù daïng : OM  xi  y j + yk vôù i x,y,z   . Boä soá (x;y;z) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. y Kyù hieäu: M(x;y;z) M ( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M, z: cao ñoä cuûa ñieåm M ) O x ñ/n     OM  xi  y j  zk M ( x; y; z)  x  OP ; y= OQ ; z = OR YÙ nghóa hình hoïc:  z M2 R z M3 O M y Q x x p y M1 107 y Chuyên đề LTĐH   2. Ñònh nghóa 2: Cho a  kg(Oxyz) . Khi ñoù veùc tô a ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo       i, j, k bôûi heä thöùc coù daïng : a  a1i  a2 j + a3 k vôù i a1,a2 ,a3   .  Boä soá (a1;a2;a3) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a . a  (a1; a2 ; a3 ) Kyù hieäu:  a=(a1;a2 ;a3 ) ñ/n      a  a1i  a2 j  a3 k II. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô : Ñònh lyù 1: Neáu A( x A ; yA ; zA ) vaø B(xB; yB ; zB ) thì  AB  ( xB  x A ; yB  yA ; zB  zA ) Ñònh lyù 2:   Neáu a  (a1; a2 ; a3 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) thì a1  b1    * a  b  a2  b2 a  b 3  3   * a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )   * a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  (k   ) * k.a  (ka1; ka2 ; ka3 ) 108 Chuyên đề LTĐH III. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi  Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng song song .  Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:      Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô a vaø b vôùi b  0   a cuøng phöông b    !k   sao cho a  k.b   Neáu a  0 thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:   k > 0 khi a cuøng höôùng b   k < 0 khi a ngöôïc höôùng b  a k   b   A, B, C thaúng haøng  AB cuøng phöông AC  Ñònh lyù 4 :    Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ; a3 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta coù :   a cuøng phöông b a1  kb1   a2  kb2  a 1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3 a  kb 3  3 IV. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi:      a.b  a . b .cos(a, b) 2  2 a a    a  b  a.b  0  Ñònh lyù 6:   Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ; a2 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta coù :  a.b  a1b1  a2b2  a3b3 109 Chuyên đề LTĐH  Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ; a3 ) ta coù :  a  a12  a22  a32  Ñònh lyù 8: Neáu A( x A ; yA ; zA ) vaø B(xB; yB ; zB ) thì AB  ( xB  x A )2  ( yB  yA )2  (zB  zA )2    Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ; a3 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta coù :   ab  a1b1  a2 b2  a3b3  0   Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ; a3 )  vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta coù :    a1b1  a2 b2  a3b3 a.b cos(a, b)     2 a.b a1  a22  a32 . b12  b22  b32 V. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k: Ñònh nghóa : Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k  1 ) neáu nhö :   MA  k.MB  A  Ñònh lyù 11 : Neáu  M  B   A( x A ; yA ; zA ) , B(xB; yB ; zB ) vaø MA  k.MB ( k  1 ) thì x A  k .x B   xM  1  k  y A  k .y B   yM  1 k  zA  k .zB   zM  1  k  Ñaëc bieät : x A  xB   xM  2  y  yB  M laø trung ñieåm cuûa AB   yM  A 2  z   A zB  zM  2  110 Chuyên đề LTĐH Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; yA ; zA ) , B(xB; yB ; zB ), C(xC; yC ; zC ) x A  xB  xC   xG  3  y y y  G là trọng tâm tam giác ABC   yG  A B C 3  zA  zB  zC   zG  3  Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình bình haønh Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng . b. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC c. Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán keû töø A VI. Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô:   1. Ñònh nghóa: Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô a  (a1; a2 ; a3 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) laø moät veùc tô ñöôïc   kyù hieäu :  a; b  coù toïa ñoä laø : 1 2 3   a  a; b    2    b2 a3 a3 ; b3 b3  a  (a1; a2 ; a3 ) Caùch nhôù:  b  (b1; b2 ; b3 ) a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2  2. Tính chaát:                a; b   a vaø a; b   b     1   SABC  .  AB; AC  2 S ABCD     AB; AD  VABCD. A'B'C'D' VABCD A B C D B   '    AB; AD  .AA   a cuøng phöông b     a; b   0 C' A' A 1     .  AB; AC  .AD 6 D' C B' D C A D B C A B       a, b, c ñoàng phaúng  a, b  .c  0       A, B, C, D đồng phẳng  AB,AC,AD đồng phẳng   AB,AC .AD  0 111 Chuyên đề LTĐH BAØI TAÄP ÖÙNG DUÏNG: Baøi 1: Cho boán ñieåm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a. Chöùng minh raèng boán ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng b. Tính dieän tích tam giaùc ABC c. Tính theå tích töù dieän ABCD Baøi 2: Tính theå tích töù dieän ABCD bieát A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B(3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1) . Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. 112 Chuyên đề LTĐH ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN I. Caùc ñònh nghóa: 1. Veùc tô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng:   ñn a  0   a laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng (  )     a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ( )  a  a () Chuù yù:  Moät ñöôøng thaúng coù voâ soá VTCP, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.  Moät ñöôøng thaúng (  ) hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät VTCP cuûa noù. 2. Caëp VTCP cuûa maët phaúng:  a  b a  b  Cho maët phaúng  xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng thaúng caét nhau a vaø b . Goïi a laø VTCP cuûa ñöôøng  thaúng a vaø b laø VTVP cuûa ñöôøng thaúng b. Khi ñoù :  Caëp (a,b) ñöôïc goïi laø caëp VTCP cuûa maët phaúng  Chuù yù :  Moät maët phaúng  hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTCP cuûa noù.  3. Veùc tô phaùp tuyeán ( VTPT) cuûa maët phaúng : n    ñn  n  0   n laø VTPT cuûa maët phaúng      n coù giaù vuoâng goùc vôùi mp Chuù y ù:  Moät maët phaúng coù voâ soá VTPT, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.  Moät maët phaúng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTPT cuûa noù. 113 Chuyên đề LTĐH 4. Caùch tìm toïa ñoä moät VTPT cuûa maët phaúng khi bieát caëp VTCP cuûa noù :  a  (a1; a2 ; a3 ) Ñònh lyù: Giaû söû maët phaúng  coù caëp VTCP laø :   thì mp  coù moät VTPT laø : b  (b1; b2 ; b3 )    a n   a; b    2  b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2     n  [a , b ]  a  b  Ví duï: Tìm moät VTPT cuûa maët phaúng  bieát  ñi qua ba ñieåm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II. Phöông trình cuûa maët phaúng : Ñònh lyù 1: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình maët phaúng  ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät  VTPT n  ( A; B; C ) laø:  n  ( A; B; C ) M  x;y;z   M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0  z Ñònh lyù 2: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình daïng :  n  ( A; B; C )  M0 y Ax  By  Cz  D  0 vôùi A2  B2  C 2  0 laø phöông trình toång quaùt cuûa moät maët phaúng . x Chuù yù :   Neáu ( ) : Ax  By  Cz  D  0 thì ( ) coù moät VTPT laø n  ( A; B; C )  M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D  0  Ax0  By0  Cz0  D  0 Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: 1. Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä:  (Oxy):z = 0  (Oyz):x = 0  (Oxz):y = 0 2. Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén:  (Oyz) z y O (Oxz) x  A(a; 0; 0)  Phöông trình maët phaúng caét caùc truïc Ox, Oy, Oz taïi  B(0; b; 0) C (0; 0; c)  114 (Oxy) (a,b,c  0) Chuyên đề LTĐH laø: C x y z   1 a b c c O a b B A Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Vieát phöông trình maët phaúng (ABC) Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3 , B  2; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB. Ví duï 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  4  0 và  R  : 3x  2 y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R  đi qua A 1;1;1 đồng thời vuông góc với cả  P  và  Q  . Ví duï 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. III. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng : 1. Moät soá quy öôùc vaø kyù hieäu:  a1  tb1  a  tb 2  2 ( a , a ,..., a )  1 2 n Hai boä n soá :  ñöôïc goïi laø tyû leä vôùi nhau neáu coù soá t  0 sao cho . (b1 , b2 ,..., bn ) .   an  tbn a a1 a2 a1 : a2 : ... : an  b1 : b2 : ... : bn Kyù hieäu: hoaëc   ...  n b1 b2 bn 2. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng  ,  xaùc ñònh bôûi phöông trình :  ( ) : A1 x  B1y  C1z  D1  0 coù VTPT n1  ( A1; B1; C1 )  (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 coù VTPT n2  ( A2 ; B2 ; C2 )  n1  n2   n1  n1  n2     115  n2  Chuyên đề LTĐH ( ) caét ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:  A1 B1 C1 D1    A 2 B2 C2 D2 ( )  ( )  A1 B1 C1 D1    A 2 B2 C2 D2 ( ) // ( ) Ñaëc bieät: A1 B1 B C C A  hoaëc 1  1 hoaëc 1  1 ) A 2 B2 B2 C2 C2 A2     A1 A2  B1B2  C1C2  0 ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN I. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng: 1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng () ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  vaø nhaän a  (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : z  a  x  x0  ta1  () :  y  y0  ta2  z  z  ta 0 3  () M0 M ( x, y, z ) y (t  ) O x 2. Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng () ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  vaø nhaän a  (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : ( ) : x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 Ví du 1ï: Ví du 2ï: Ví du 3: 116 Chuyên đề LTĐH x  1  2t  Cho ñieåm M(-2;1;1) vaø ñöôøng thaúng (d) : y  1  t . Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm z  3  t  M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). x z z Ví duï 4: Cho ñieåm M(1;2;3) vaø ñöôøng thaúng (d) :   . Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñieåm 1 1 1 M vaø ñöôøng thaúng (d) II. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng : 1.Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng : ()  a  n ()  n  n M   a M M    a () Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho :  x  x0 y  y0 z  z0 ñöôøng thaúng () : coù VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) vaø qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 )   a1 a2 a3  vaø maët phaúng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 coù VTPT n  ( A; B; C ) Khi ñoù : () caét ( )  Aa1  Ba2  Ca3  0 () // ( ) (  )  ( ) Aa1  Ba2  Ca3  0    Ax0  By0  Cz0  D  0 Aa1  Ba2  Ca3  0    Ax0  By0  Cz0  D  0  a Ñaëc bieät: ()  ( )  a1 : a2 : a3  A : B : C  n   pt( ) Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa (  ) vaø (  ) ta giaûi heä phöông trình :  tìm x,y,z  pt( ) Suy ra: M(x,y,z) Ví duï 1: Cho hai ñieåm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) vaø maët phaúng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0 Tìm toaï ñoä giao ñieåm I cuûa ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng (P). Ví duï 2: Cho ñieåm M(1;1;1) vaø maët phaúng (P) coù phöông trình: x  2y  3z  14  0 . Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân maët phaúng (P). 117 Chuyên đề LTĐH x 1 y  2 z  2 vaø maët phaúng (P) : x  3y  4m2z  m  0 . Tìm m   1 5 4 ñeå ñöôøng thaúng (d) naèm trong maët phaúng (P). Ví duï 3: Cho ñöôøng thhaúng (d) : 2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : M ' 0 1  a  b  u M0  u' 2 1 2 ' 1 M 0 M 0  u M0  u' 2 M M 0' M0  u ' 0 1  u' 2 Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng :  x  x0 y  y0 z  z0 (1 ) :   coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) a b c  x  x0 y  y0 z  z0 ( 2 ) :   ' coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' a b c     (1 ) vaø ( 2 ) ñoà ng phaú ng  u, u'  . M0 M0'  0       u, u'  .M M '  0   0 0  (1 ) caé t ( 2 )    a : b : c  a' : b' : c'  (1 ) // ( 2 )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )  (1 )  ( 2 )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : (z0'  z0 )     u, u'  .M0 M0'  0    (1 ) vaø ( 2 ) cheù o nhau  pt(1 ) Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa (1 ) vaø (2 ) ta giaûi heä phöông trình :  tìm x,y,z  pt( 2 ) Suy ra: M(x,y,z) III. Goùc trong khoâng gian: 1. Goùc giöõa hai maët phaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng  ,  xaùc ñònh bôûi phöông trình :  n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) ( ) : A1 x  B1y  C1z  D1  0  (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng ( ) & (  ) ta coù coâng thöùc: cos   A1 A2  B1B2  C1C2  0 0    90 0 A12  B12  C12 . A22  B22  C22  Ví duï: Cho hai maët phaúng (P) : x  y  2  0 &(Q) : x  z  3  0 . Xaùc ñònh goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q). 118 Chuyên đề LTĐH 2. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng () : x  x0 y  y0 z  z0   a b c vaø maët phaúng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng () & ( ) ta coù coâng thöùc: ()  a  (a; b; c)  n  ( A; B; C ) sin   Aa  Bb  Cc A  B 2  C 2 . a 2  b2  c2 2  0 0    90 0 3.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng : x  x0 y  y0 z  z0 (1 ) :   a b c x  x0 y  y0 z  z0 ( 2 ) :   ' a' b' c  a1  (a; b; c) Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng (1 ) & (2 ) ta coù coâng thöùc: cos   1 aa '  bb'  cc ' a 2  b 2  c 2 . a '2  b'2  c '2 2  a2  (a' ; b' ; c' ) 0 0    90 0 IV. Khoaûng caùch: 1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 vaø ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoaûng caùch töø ñieåm M0 ñeán maët phaúng ( ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) d ( M0 ;  )   H Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 Ví duï: Cho hình töù dieän ABCD bieát toïa ñoä caùc ñænh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính ñoä daøi ñöôøng cao hình töù dieän xuaát phaùt töø D. 119 Chuyên đề LTĐH 2. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng (  ) ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP  u  (a; b; c) . Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M1 ñeán () ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M1  u    M0 M1; u    d ( M1 , )   u () M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) H x y 1 z  3 vaø ñieåm A(1;2;1)   3 4 1 Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng (d). 3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau: Ví duï: Cho ñöôøng thaúng : (d ) : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau :  (1 ) coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  (2 ) coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi ñoù khoaûng caùch giöõa (1 ) vaø (2 ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc  1 u M0 M ' 0  u'    u, u ' .M0 M0'   d (1 ,  2 )    u; u '   2 Ví duï: Cho hai ñöôøng thaúng :  x  9  6t x  5 y  5 z 1  (d1 ) :   vaø (d 2 ) :  y  2t 3 2 2 z  2  t  Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng (d 1) vaø (d2). 120 Chuyên đề LTĐH BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 121 Chuyên đề LTĐH Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: 122 Chuyên đề LTĐH MAËT CAÀU TRONG KHOÂNG GIAN I. Phöông trình maët caàu: 1. Phöông trình chính taéc: Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình cuûa maët caàu (S) taâm I(a;b;c), baùn kính R laø : z (S) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 (S ) I R Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình chính taéc cuûa maët caàu M ( x; y; z ) y O (1) Khi I  O thì (C) : x 2  y2  z2  R2 Ñaëc bieät: x 2. Phöông trình toång quaùt: Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 vôùi a2  b2  c2  d  0 laø phöông trình cuûa maët caàu (S) coù taâm I(a;b;c), baùn kính R  a2  b2  c2  d . Ví duï: Cho 4 ñieåm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu II. Giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng ( ) vaø maët caàu (S) coù phöông trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  0 (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 Goïi d(I;  ) laø khoaûng caùch töø taâm maët caàu (S) ñeán maët phaúng  Ta coù : 1. ( ) caét maët caàu (S)  d(I; ) < R 2. ( ) tieáp xuùc maët caàu (S)  d(I; ) =R 3. ( ) khoâng caét maët caàu (S)  d(I; ) > R (S ) (S ) I (S ) I R R R  H  (C ) I M M H  123 M r H Chuyên đề LTĐH Chuù yù: Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:      Ax  By  Cz  D  0  2 2 2 2   x  a    y  b    z  c   R Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng  Bán kính r  R2  d 2 (I , ) Phương trình là: Ví duï: Cho maët caàu (S) : x2  y2  z2  4x  2y  2z  3  0 . Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu taïi ñieåm M(0;1;-2). BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 124 Chuyên đề LTĐH Bài 9: 125