Tài liệu Hình học 11 cực hay

Hình học 11 Ôn tập chương III PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC  Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :  a  b � � a ; b   900 .     Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc .  a  ( ) � �� a  b ; b �( ) �  a / / � �� b  a b �   b / /c � �a b. � ac � uu r uu r uu r uu r .Nếu a b� a � b 0 a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b a '  hch  a  � a '  hch  a  � � � b � �� b  a ' ; b � �� b  a . ba � b  a' � � � ABC ; a  AB � �� a  BC a  AC � Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :  a    a  b       a  b � � � a  c � � a   . � � b �c  O � a / /b   � a   .  / /  a � a   . AB       M | MA  MB (  là mặt phẳng trung trực của AB). ABC �      � � MA  MB  MC �� MO     . OA  OB  OC � �  P   Q � � a � P  �� a   Q  � a  c   P  � Q  �  P   R � �  Q    R  �� a   R   P  � Q   a � � Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11  Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :     Ôn tập chương III P  ,  Q    900  P    Q  �  �  P  �a � � ��  P    Q  a   Q �  R   Q � � ��  P    Q  .  P / /  R � Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:   Cách 1: (theo phương pháp hình học)  Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho  Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .  Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính . Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ) uu r uur  Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng  1  và   2  Khi đó cos  1 ,  2    uu r uur u1 �u2 uu r uur  cos u1 , u2  uu r uur . u1 �u2   Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp :     a     � a�,  900 ; a / / � � � a ,    00 ; � a � � a   � � � �� a ,   a , a ' a '  hch a � o Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M �a , dựng MH     tại H , suy ra � hch a  a '  AH ,  A  a �    � a�,  MAH        Xác định góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp :  Cách 1 : Dùng định nghĩa :   a   P � � � � P , Q  a , b trong đó :    � b   Q �    Cách 2 : Dùng nhận xét :  R        P  � Q  � � P , Q    � p,q .  R  � P   p ��  �  R  � Q   q � � Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11  Ôn tập chương III Cách 3 : Dùng hệ quả : M � Q  � � � � H  hch P  M ��  P  ,  Q   MNH . � HN  m   P  � Q  �    Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :  Cách 1 :  Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .  Xác định m   P  � Q  .  Dựng MH  m   P  � Q  , � MH   P  suy ra MH là đoạn cần tìm . Cách 2: Dựng MH / /  d      o Chú ý :        Nếu MA / /    � d M ,     d A ,    .  Nếu MA �    I � d  M ,    d  A,     IM IA Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:   � a � P  � d  a , P   0 . Khi � a � P �   Khi a / /  P  � d  a ,  P    d  A ,  P   với A � P  .  Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :   �  P  � Q  Khi � � P  � Q  Khi  P  / /  Q  � d   P  , Q   0 . � d   P , Q   d  M , Q   với A � P  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng    �    �  ' � d     ,   '   0 .  �  '     � Khi    / /   '  � d     ,   '    d  M ,   '    d  N ,     Khi � với M �   , N �  '  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .    và   ' là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt   ' ở N đồng thời vuông góc với cả    và   ' . thẳng chéo nhau    và   '  . Phương pháp : Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) .  Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .  Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :  Cách 1: Khi a  b  Dựng một mp  P  �b ,  P   a tại H .  Trong (P) dựng HK  b tại K . Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b . Cách 2:  Dựng  P  �b ,  P  / / a .      Dựng a '  hch P  a , bằng cách lấy M �a dựng đoạn MN     , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a . Gọi H  a '�b , dựng HK / / MN � HK là đoạn vuông góc chung cần tìm .  Bài 1. Một số bài tập ôn tập chương Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a , AD  2a , các mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . a) Chứng minh SA   ABCD  . b) Chứng minh  SAC    ABCD  . c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S . ABCD đều là các tam giác vuông . d) Khi SA  a 6 . Tính góc giữa SD với mặt phẳng  ABCD  và góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và  SCD  .     d) Tính các khoảng cách : d A ,  SCD  ; d CD ,  SAB  ; d  SD , AC  . Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a. a) Tính đường cao của hình chóp . b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy . c) Tính d(O, (SCD)) . d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC . e) Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện . Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AD  6, AB  3 3 . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB  2MB và N là trung điểm của AD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho SM  2 6 . a) Chứng minh AD   SAB  ;  SBC    SAB  ; b) Chứng minh  SBN    SMC  ; c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng  SMC  :   0 � d) Xác định vị trí điểm P �SM sao cho  PNC  ,  SMC   60 . (Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) . Bài 4. (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC) . a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) . b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của SBC. Chứng minh (MBE) vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC) . c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC . Chứng minh OH vuông góc với (SBC) . d) Cho () qua A và song song với BC và () vuông góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi () khi SA = 2a . e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất . a. Khi SA = a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) . a) Chứng minh SCD cân . b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) . c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC . Bài 6. Cho OAB cân tại O . OA = OB = a , � AOB  1200 . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho AM  x , BN  y . a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuông tại O . b) Cho OMN vuông tại O và x + y =  3a . Tính x, y ( x < y ) . 2  � , OAB . c) Với kết quả câu b) . Tính góc OMN d) Giả sử M , N lưu động sao cho y  2 x . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định. Bài 7. (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt AI  x ,  0  x  a  .   a) Chứng minh khi x  4  15 a thì góc giữa DI và AC’ bằng 600 . b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất . c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x . Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP . Tính khoảng cáh từ P đến  SAB  (CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) . Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , AA '  2a , A ' C  3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC  . (KHỐI D NĂM 2009) . Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng  ABC  �  600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng bằng 600 ; ABC là tam giác vuông tại C và BAC  ABC  trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách ttừ A ' đến mặt phẳng  ABC  và diện tích của tam giác ABC . (KHỐI B NĂM 2009). Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III Bài 11. Cho hình choùp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB  AD  2a , CD  a , ; goùc giöõa hai maët phaúng  SBC  vaø  ABCD  baèng 600. Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh AD . Bieát hai maët phaúng  SBI  vaø  SCI  cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng  ABCD  , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  và diện tích của hình thang ABCD . (KHỐI A NĂM 2009). Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng 4 minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC  theo a. S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH  (KHỐI D NĂM 2010) . Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác  A ' BC  và  ABC  A ' BC . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A ' B ' C '  . Tìm điểm M cách đều bốn điểm G , A , B , C tính khoảng cách từ M đến các điểm đó theo a . (KHỐI B NĂM 2010) . Bài 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 . Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . (KHỐI A NĂM 2010) . Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông , AB  BC  a , AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B ' C . (KHỐI D NĂM 2008) . Bài 16. Trong mặt phẳng  P  cho nửa đường tròn đường kính AB  2 R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao   0 � cho AC  R . Trên đường thẳng vuông góc với  P  tại A lấy điểm S sao cho  SAB ,  SBC   60 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC .Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện ABC và khoảng cách từ S đến  P  . (KHỐI A NĂM 2007) .  Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán