Tài liệu Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình - toán thpt

www.MATHVN.com Mục lục Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 2 . . . . . . . . . . 2 0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 www.mathvn.com 1 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH NGUYỄN TÀI CHUNG GV THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình đã xuất hiện rải rác trong các kì thi học sinh giỏi. Bài viết này nhằm trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống các bài toán về giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình. 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình Định nghĩa 1. Ta gọi trung bình bậc r của n số dương a1, a2, . . . , an là biểu thức xác định bởi: ∆r (a1, a2 , . . . , an ) = nếu r 6= 0, và  ar1 + ar2 + · · · + arn n  1r , ∆0 (a1, a2, . . . , an) := lim ∆r (a1 , a2, . . . , an ) r→0 Chú ý 1. Đặc biệt khi r = 1 ta có trung bình cộng, khi r = −1 ta có trung bình điều hòa, khi r = 2 ta có trung bình bình phương (hay còn gọi là trung bình toàn phương). Nhận xét 1. Ta chứng minh được nếu a1 , a2, . . . , an là những số dương khác 1 thì ∆0 (a1, a2, . . . , an) = √ n (*) a1 a2 . . . an . Do đó khi r = 0, ta có trung bình nhân. Còn (∗) được chứng minh như sau: Ta có h i ln [∆0(a1, a2 , . . . , an )] = ln lim ∆r (a1 , a2, . . . , an ) r→0 " "   r1 # 1 #  r r r a1 + a2 + · · · + an ar1 + ar2 + · · · + arn r = ln lim = lim ln r→0 r→0 n n    r 0    r a1 + ar2 + · · · + arn a1 + ar2 + · · · + arn ln     Lopitan n n    = lim  = lim   r r r  a1 + a2 + · · · + an  r→0 r→0  r  n   r r r a1 ln a1 + a2 ln a2 + · · · + an ln an   ln (a1 a2 . . . an ) n = = lim  r r r  a1 + a2 + · · · + an r→0  n n www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 2 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. Do đó GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. h i 1 = ln (a1a2 . . . an ) n . ∆0 (a1, a2, . . . , an) = √ n a1 a2 . . . an . Nhận xét 2. Theo nhận xét 1, trang 2 ta có ngay: Với a > 0, b > 0 thì !m 1 1 √ am + bm lim = ab. m→∞ 2 Tuy nhiên ta có thể chứng minh sơ cấp hơn như sau (không sử dụng quy tắc Lôpitan): Ta có ! √ 1 1  1 1  1 am + bm ln ab = ln(ab) 2m = ln a 2m b 2m ≤ ln m 2     1 1  1 1 = ln am − 1 + bm − 1 + 1 2 2     1 1 1 1 < am − 1 + bm − 1 . 2 2 Vậy √ ln ab ≤ ln 1 1 am + bm 2 !m Từ đây, cho m → +∞ ta được 1 lim ln m→∞ 1 am + bm 2 ≤ !m   1 i 1h  1 m a m − 1 + m b m − 1 , ∀m = 1, 2, . . . 2 = ln √ 1 ab ⇒ lim m→∞ 1 am + bm 2 !m = √ ab. Nhận xét 3. Ta chứng minh được kết quả: Dãy  r 1 a1 + ar2 + · · · + arn r ∆r (a1 , a2, ..., an) = n là sắp được theo r như là một hàm đồng biến của hàm số biến r ∈ R. Kết quả này rất quan trọng, nó định hướng cho ta trong quá trình so sánh các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình. Nhận xét 4. Đối với các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình thì giới hạn của các dãy số thường là bằng nhau và thường thì ta tìm được số hạng tổng quát của các dãy số đó. www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 3 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. 0.1.1 GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Trường hợp cùng chỉ số +∞ Bài toán 1 (Cộng cùng-nhân cùng). Cho dãy số (xn )+∞ n=1 và (yn )n=1 được xác định như sau xn−1 + yn−1 √ , yn = xn−1 yn−1 . 2 Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn và lim xn = lim yn . x1 = a > 0, y1 = b > 0, xn = n→∞ n→∞ Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì xn > 0, yn > 0. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: xn + yn √ ≥ xn yn = yn+1 ⇒ xn ≥ yn , ∀n = 2, 3, . . . 2 xn+1 = Suy ra yn+1 = √ √ xn yn ≥ yn yn = yn , ∀n = 1, 2, . . . Vậy yn ≥ yn−1 ≥ · · · ≥ y2 = Tương tự ta có xn+1 ≤ xn ≤ · · · ≤ x2 = Vậy nên √ √ ab. a+b . 2 ab ≤ y2 ≤ y3 ≤ · · · ≤ yn ≤ xn ≤ · · · ≤ x3 ≤ x2 = Suy ra dãy số (xn ) giảm, bị chặn dưới bởi Do đó chúng hội tụ. Đặt √ a+b ab, còn dãy (yn ) tăng và bị chặn trên bởi . 2 lim xn = α, n→+∞ Khi đó từ giả thiết xn+1 = a+b . 2 lim xn = β. n→+∞ xn + yn , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được 2 α+β α= ⇔ α = β. 2 Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim xn = lim xn . n→+∞ n→+∞ Bài toán 2 (Cộng cùng-điều hòa cùng). Cho hai số dương a, b. Xét các dãy số (an )n=1 +∞ +∞ và (bn )n=1 như sau a1 = a, b1 = b, an+1 = a n + bn 2 , bn+1 = , ∀n = 1, 2, ... 1 1 2 + a n bn Tìm lim an và lim bn . n→∞ n→∞ 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 4 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Giải. Cách 1. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . , ta có an > 0, bn > 0, bn+1 = Vì vậy an+1 bn+1 = 2 1 1 + a n bn = 2an bn . a n + bn an + bn 2an bn . = an bn , ∀n = 1, 2, . . . 2 a n + bn Suy ra an bn = · · · = a1b1 = ab, ∀n = 1, 2, . . . Ta có √ √ √ a n − bn a n − a n bn √ = √ √ a n + bn a n + a n bn an−1 + bn−1 √ √ − a n bn an−1 + bn−1 − 2 an bn 2 √ = = an−1 + bn−1 √ an−1 + bn−1 + 2 an bn + a n bn 2 !2 p p √ an−1 − bn−1 an−1 + bn−1 − 2 an−1 bn−1 p p = = √ . an−1 + bn−1 + 2 an−1 bn−1 an−1 + bn−1 Do đó, phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng √ √ 2n−1 √ √ a n − bn a 1 − b1 √ = √ √ = √ a n + bn a 1 + b1 Vậy √ √ a n − bn √ = lim lim √ n→∞ an + bn n→∞ Theo trên suy ra Đặt Khi đó √ !2n−1 √ a− b √ , ∀n = 1, 2, . . . √ a+ b √ !2n−1 a− b √ =0 √ a+ b √ √  !  a − √b    √ <1 . do  √  a + b √ √ √ √ a n − bn an − ab an − ab √ = √ ⇒ lim √ = 0. √ n→∞ a + a n + bn an + ab ab n √ √ √ √ an − ab ab(xn + 1) √ = xn ⇔ an xn + abxn = an − ab ⇔ an = . 1 − xn an + ab √ ab(xn + 1) √ lim an = lim = ab (do n→+∞ n→+∞ 1 − xn lim xn = 0). n→+∞ www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 5 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Vậy √ ab ab = √ = ab. n→∞ n→∞ an ab Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có p 2 2 a n + bn bn+1 = ≤ r = a n bn ≤ = an+1 , ∀n = 1, 2, . . . 1 1 2 1 1 + 2 . a n bn a n bn lim bn = lim Với mọi n = 2, 3, . . . ta có a n + bn an + an ≤ = an , 2 2 2an bn ≥ bn ⇔ an bn ≥ b2n ⇔ an ≥ bn (đúng). ≥ bn ⇔ a n + bn an+1 = bn+1 Hay ta viết lại 2ab a+b = b2 ≤ · · · ≤ bn ≤ bn+1 ≤ an+1 ≤ an ≤ · · · ≤ a2 = . a+b 2 Vậy kể từ số hạng thứ hai trở đi dãy số (an )+∞ n=1 giảm và bị chặn dưới bởi số giới hạn, dãy số (bn )+∞ n=1 tăng và bị chặn trên bởi số a+b nên có giới hạn. Đặt 2 2ab nên có a+b lim an = α, lim bn = β. n→∞ Khi đó từ giả thiết an+1 = n→∞ a n + bn , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được 2 α+β α= ⇔ α = β. 2 Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim an = lim bn . n→∞ n→∞ Từ lim (an bn ) = lim (ab) = ab ta có lim an . lim bn = ab. Do đó αβ = ab, mà α = β ≥ 0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ √ nên suy ra α = β = ab. Vậy √ lim an = lim bn = ab. n→∞ n→∞ +∞ Bài toán 3 (Nhân cùng-điều hòa cùng). Cho các dãy số (an )+∞ n=1 , (bn )n=1 xác định như sau a1 = a > 0, b1 = b > 0, an+1 = 2 1 1 + a n bn , bn+1 = p an bn (∀n = 1, 2, . . .) Chứng minh hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 6 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có 1 an+1 Đặt 1 1 r + 1 1 1 a n bn = , = . , ∀n = 1, 2, . . . 2 bn+1 a n bn 1 1 1 1 = xn , = yn . Khi đó x1 = > 0, y1 = > 0 và an bn a b xn + yn √ xn+1 = , yn+1 = xn yn , ∀n = 1, 2, . . . 2 Vậy theo bài toán 1 suy ra hai dãy (xn ), (yn ) hội tụ và lim xn = lim yn . Do đó hai dãy n→+∞ n→+∞ (an ), (bn ) hội tụ và lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ Bài toán 4 (Trung bình bậc r cùng-nhân cùng). Cho trước ba số dương a, b và r. Xét +∞ hai dãy số (xn )+∞ n=1 và (yn )n=1 như sau x1 = a, y1 = b, xn+1 =  xrn + ynr 2  1r √ xn yn . , yn+1 = Chứng minh rằng hai dãy số đã cho hội tụ và lim xn = lim yn . n→∞ n→∞ Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì xn > 0, yn > 0. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: xn+1 = Suy ra  xrn + ynr 2  1r yn+1 = ≥ p xrn .ynr
r1 = √ xn yn = yn+1 , ∀n = 1, 2, . . . √ √ xn yn ≥ yn yn = yn , ∀n = 2, 3, . . . Vậy yn ≥ yn−1 ≥ · · · ≥ y2 = √ ab. Tương tự ta có xn+1 = Suy ra Vậy nên xrn + xrn 2  1r xn+1 ≤ xn ≤ · · · ≤ x2 =   xrn + ynr 2  1r ≤  = xn , ∀n = 2, 3, . . . a r + br 2 1 r . √ ab ≤ y2 ≤ y3 ≤ · · · ≤ yn ≤ xn ≤ · · · ≤ x3 ≤ x2 = 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình  a r + br 2  1r . www.mathvn.com 7 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Suy ra dãy số (xn ) giảm, bị chặn dưới bởi  r 1 a + br r . Do đó chúng hội tụ. Đặt 2 √ ab còn dãy (yn ) tăng và bị chặn trên bởi lim xn = α, lim yn = β. n→∞ Khi đó từ giả thiết xn+1 = α=   xrn + ynr 2 αr + β r 2  1r n→∞  1r , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được. ⇔ αr = αr + β r ⇔ αr = β r ⇔ α = β. 2 Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim xn = lim yn . n→∞ 0.1.2 n→∞ Trường hợp lệch chỉ số +∞ Bài toán 5 (Cộng cùng-cộng lệch). Cho trước a, b ∈ R. Xét hai dãy (un )+∞ n=1 và (bn )n=1 như sau: u1 = a, v1 = b, un+1 = un + v n un+1 + vn , vn+1 = 2 2 Tìm lim un , lim vn . n→∞ n→∞ Giải. Ta có un + v n un + 3vn , vn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . 2 4 Suy ra với mọi n = 1, 2, . . . , ta có     un + v n un + 3vn 1 λ 1 3λ un+1 + λvn+1 = +λ = + un + + vn . 2 4 2 4 2 4 un+1 = Ta chọn λ sao cho    1 3λ 1 λ λ = −1 2 + =λ + ⇔λ −λ−2=0⇔ λ = 2. 2 4 2 4 Vậy với λ ∈ {−1, 2}, ta có: un+1 + λvn+1 =   1 λ + 2 4   1 λ + xn , ∀n = 1, 2, . . . 2 4 (un + λvn ) , ∀n = 1, 2, . . . Đặt un + λvn = xn , suy ra xn+1 = www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 8 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Vậy dãy số (xn )+∞ n=1 tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu x1 = a + λb, công bội 1 λ q = + . Do đó 2 4  n−1 1 λ xn = (a + λb) + , ∀n = 1, 2, . . . 2 4 Lần lượt lấy λ = −1, λ = 2 ta được: ( un − vn = (a − b) . un + 2vn = a + 2b Suy ra lim un = lim vn = n→∞ n→∞ 1 4n−1 1 (a + 2b) . 3  2 1 1   un = (a + 2b) + (a − b) . . n−1 3 3 4 ⇔ 1 1   vn = a + 2b − (a − b) . n−1 3 4 Bài toán 6 (Nhân cùng-nhân lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (un ) , (vn ) như sau: u1 = a, v1 = b, un+1 = √ un vn , vn+1 = √ un+1 vn (∀n = 1, 2, . . . ) Hãy tìm lim un và lim vn . n→∞ n→∞ Hướng dẫn. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . ta có un > 0 và vn > 0. Gọi xn = ln un , yn = ln vn (∀n = 1, 2, . . .). Khi đó x1 = ln a, y1 = ln b và với mọi n = 1, 2, . . . , ta có xn+1 = ln un + ln vn xn + yn ln un+1 + ln vn xn+1 + yn = , yn+1 = = . 2 2 2 2 Theo bài tập 5 ta có lim xn = lim yn = n→∞ n→∞ Vì hàm số mũ liên tục nên suy ra
1 ln a + 2 ln b ln ab2 = = ln ab2 3 . 3 3 1 lim xn lim un = lim vn = lim eln un = lim exn = en→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 1
2 3 = eln(ab ) = ab2 3 . Bài toán 7 (Điều hòa cùng-điều hòa lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (un ) , (vn ) như sau: u1 = a, v1 = b, un+1 = 2 2 , vn+1 = (∀n = 1, 2, . . . ) 1 1 1 1 + + un v n un+1 vn Hãy tìm lim un và lim vn . n→∞ n→∞ www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 9 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có 1 un+1 Vậy đặt 1 1 1 1 + + 1 u vn u vn = n , = n+1 , ∀n = 1, 2, . . . 2 vn+1 2 1 1 = xn , = yn . Khi đó un vn 1 1 xn + yn xn+1 + yn > 0, y1 = > 0, xn+1 = , yn+1 = . a b 2 2 x1 = Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 5. Bài toán 8 (Trung bình bậc r cùng-trung bình bậc r lệch). Cho trước hai số dương a, b và cho trước r 6= 0. Xét hai dãy số (un ) , (vn ) như sau: u1 = a, v1 = b, un+1 =  urn + vnr 2 1 r , vn+1 =  urn+1 + vnr 2 1 r Hãy tìm lim un và lim vn . n→∞ n→∞ Hướng dẫn. Dễ thấy rằng với mọi n = 1, 2, . . . ta có un > 0, vn > 0. Với mọi n = 1, 2, . . . , và với mọi λ ∈ R, ta có: r urn+1 + λvn+1 urn + vnr + vnr + + + 2 = +λ = +λ 2 2 2    2  r r r r un + v n un + 3vn 1 λ 1 3λ r +λ = + + = un + vnr . 2 4 2 4 2 4 urn urn+1 vnr vnr urn vnr Tương tự như bài tập 5, ta chứng minh được lim urn = lim vnr = n→∞ n→∞ a + 2b . 3 1 Do đó và vì hàm số f(x) = x r liên tục trên (0; +∞) nên 1 lim un = lim vn = lim n→∞ n→∞ n→∞ (vnr ) r =  lim n→∞ vnr  r1 =  a + 2b 3  1r . Chú ý 2. Hàm sin hypebôlic và hàm cos hypebôlic lần lượt là hàm sinh x = ex − e−x ex + e−x , cosh x = . 2 2 www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 10 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Bài toán 9 (Cộng cùng-nhân lệch). Cho trước hai số dương a, b. Xét các dãy số (an )+∞ n=1 và (bn )+∞ n=1 như sau: x1 = a, y1 = b, xn+1 = xn + yn √ , yn+1 = xn+1 yn , ∀n = 1, 2, . . . 2 Tìm lim xn , lim yn . n→∞ n→∞ Giải. Trường hợp 1: a = b. Khi đó an = bn = a, ∀n = 1, 2, . . . Bởi vậy lim an = lim bn = a. n→∞ n→∞ a < 1. Do đó đặt b  a π = cos v 0 < v < . b 2 Trường hợp 2: a < b. Vì 0 b. Vì a > b > 0 nên > 1. Gọi α là số để = cosh α, tức là b b a eα + e−α = . b 2 Ta có:  x x 2
ex + e−x 1 e 2 + e− 2 x x −x 1 + cosh x = 1 + = 2+e +e =2 = 2 cosh2 . 2 2 2 2 x x x x x −x − − e −e e2 + e 2 e2 − e 2 x x =2 . = 2 sinh . cosh . sinh x = 2 2 2 2 2 1 x lim (1 + x) = e. x→0 Vì hàm số f(x) = ln x liên tục trên khoảng (0; +∞) nên i h 1 ln(1 + x) 1 lim = lim ln(1 + x) x = ln lim (1 + x) x = ln e = 1. x→0 x→0 x→0 x Đặt ex − 1 = y, khi đó ex − 1 y 1 = lim = lim = 1. x→0 y→0 ln(1 + y) y→0 ln(1 + y) x y x −x sinh x e −e 1 e2x − 1 lim = lim = lim x lim = 1. x→0 x→0 x→0 e x→0 x 2x 2x ex + e−x lim cosh x = lim = 1. x→0 x→0 2 lim Ta có: a+b b cosh α + b b(1 + cosh α) α = = = b cosh2 , 2 2 2 r 2 p α α b1 = a1 b = b2 cosh2 = b cosh , 2 2 α α 2 α b cosh + b cosh 1 + cosh α 2 2 = b cosh . 2 = b cosh α cosh2 α , a2 = 2 2 2 2 22 a1 = www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 12 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. p b2 = a 2 b1 = r b2 cosh2 GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. α α α α cosh2 2 = b cosh cosh 2 , 2 2 2 2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:  α α  α α an = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, . . . 2 2 2 2 α α α α bn = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, . . . 2 2 2 2 sinh 2x (với sinh x 6= 0), ta có Theo công thức cosh x = 2 sinh x α α α sinh n−2 sinh n−1 sinh α sinh 2 b sinh α 2 2 bn = b α. α ··· α . α = n α. 2 sinh 2 sinh 2 2 sinh n−1 2 sinh n 2 sinh n 2 2 2 2 2 Do đó α sinh α b sinh α 2n = b sinh α =b lim lim bn = lim α n→∞ n→∞ n α n→∞ sinh α α 2 sinh n 2 2n α Từ an = bn cosh n ta có 2 α sinh α lim an = lim bn . lim cosh n = b . n→∞ n→∞ n→∞ 2 α Bài toán 10 (Đề thi Ôlympic 30/04/2004). Cho hai số dương a, b không đổi thỏa mãn a < b. Xét các dãy số (an ) và (bn ) như sau p p p a+b a 1 + b1 an−1 + bn−1 , b1 = a1b, a2 = , b2 = a2b1 , ..., an = , bn = an bn−1 . a1 = 2 2 2 Tìm lim an , n→+∞ lim bn . n→+∞ Hướng dẫn. Bài toán này là trường hợp đặc biệt của bài toán 9. Bài toán 11 (Điều hòa cùng-nhân lệch). Cho các dãy số (an )n=1 , (bn )n=1 xác định như +∞ sau: a1 > 0, b1 > 0, an+1 = 2 1 1 + a n bn , bn+1 = +∞ p an+1 bn (∀n = 1, 2, . . .) Tìm lim an , lim bn . n→∞ n→∞ Giải. Từ giả thiết suy ra an > 0, bn > 0, ∀n = 1, 2, . . . Ta có 1 an+1 1 1 s + 1 1 1 a bn = n , = . , ∀n = 1, 2, . . . 2 bn+1 an+1 bn 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 13 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. Vậy đặt GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. 1 1 = xn , = yn . Khi đó an bn x1 = 1 xn + yn 1 √ > 0, y1 = > 0, xn+1 = , yn+1 = xn+1 yn . a1 b1 2 Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 9. Lưu ý. Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải trực tiếp cũng được kết quả. Bài toán 12 (HSG Quốc gia - 1993 - Bảng A). Cho a0 = 2, b0 = 1. Lập hai dãy số (an ) và (bn ) với n = 0, 1, 2, . . . theo quy tắc sau an+1 = p 2an bn , bn+1 = an+1 bn . a n + bn Chứng minh rằng các dãy (an ) và (bn ) có cùng một giới hạn chung khi n dần tới dương vô cực. Tìm giới hạn chung đó. Hướng dẫn. Bài toán này chỉ là một trường hợp riêng của bài toán 11. Bài toán 13 (Nhân cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: an+1 + bn . 2 Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. a1 = a, b1 = b, an+1 = p an bn , bn+1 = Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N∗ ta có an > 0 và bn > 0. Trường hợp 1. a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n = 1, 2, . . . , suy ra lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ Trường hợp 2. a > b. Khi đó a1 > b1 . Giả sử ak > bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó p bk < ak bk < ak ⇒ bk < ak+1 < ak . Suy ra bk = bk + bk ak+1 + bk a k + bk ak + ak < < < = ak ⇒ bk < bk+1 < ak . 2 2 2 2 Do đó bk+1 = ak+1 + bk ak+1 + bk+1 < ⇒ 2bk+1 < ak+1 + bk+1 ⇒ ak+1 > bk+1 . 2 2 Theo nguyên lí quy nạp suy ra an > bn , ∀n = 1, 2, . . . 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Do đó an+1 = Vậy p a n bn < √ an an = an , bn+1 = an+1 + bn bn+1 + bn > ⇒ bn+1 > bn . 2 2 b = b1 < b2 < · · · < bn < bn+1 < an+1 < an < · · · < a2 < a1 = a. Suy ra dãy (an ) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (bn ) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó an+1 + bn , ∀n = 1, 2, . . . , hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = n→+∞ n→+∞ 2 cho n → +∞ ta được y= x+y ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ 2 Trường hợp 3. a < b. Khi đó a1 < b1 . Giả sử ak < bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó p ak < ak bk < bk ⇒ ak < ak+1 < bk . Suy ra bk = bk + bk ak+1 + bk a k + bk ak + ak > > > = ak ⇒ bk > bk+1 > ak . 2 2 2 2 Do đó bk+1 = ak+1 + bk ak+1 + bk+1 > ⇒ 2bk+1 > ak+1 + bk+1 ⇒ ak+1 < bk+1 . 2 2 Theo nguyên lí quy nạp suy ra an < bn , ∀n = 1, 2, . . . Do đó an+1 = Vậy p a n bn > √ an an = an , bn+1 = an+1 + bn bn+1 + bn < ⇒ bn+1 < bn . 2 2 a = a1 < a2 < · · · < an < an+1 < bn+1 < bn < · · · < b2 < b1 = b. Suy ra dãy (an ) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (bn ) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó an+1 + bn hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . , n→+∞ n→+∞ 2 cho n → +∞ ta được y= x+y ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ 2 Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (an ), (bn ) có giới hạn hữu hạn và lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Bài toán 14 (Điều hoà cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = 2 1 1 + a n bn , bn+1 = an+1 + bn . 2 Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N∗ ta có an > 0 và bn > 0. Trường hợp 1. a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n = 1, 2, . . . , suy ra lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ Trường hợp 2. a > b. Khi đó a1 > b1 . Giả sử ak > bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó 1 2 1 1 2 1 < ⇒ < + < . ak bk ak a k bk bk Suy ra bk < 2 1 1 + a k bk < ak ⇒ bk < ak+1 < ak . Do đó ak+1 + bk ak+1 + ak+1 < ⇒ bk+1 < ak+1 . 2 2 1 1 1 1 + > + . Do Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra an > bn , ∀n = 1, 2, . . . Vậy a n bn an an đó bk+1 = an+1 = 2 1 1 + a n bn < 2 1 1 + an an = an , bn+1 = an+1 + bn bn+1 + bn > ⇒ bn+1 > bn . 2 2 Ta viết lại b = b1 < b2 < · · · < bn < bn+1 < an+1 < an < · · · < a2 < a1 = a. Suy ra dãy (an ) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (bn ) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó an+1 + bn hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . , n→+∞ n→+∞ 2 cho n → +∞ ta được y= x+y ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ 2 Trường hợp 3. a < b. Khi đó a1 < b1 . Giả sử ak < bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó 1 1 2 1 1 2 > ⇒ < + < . ak bk bk a k bk ak 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 16 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Suy ra ak < 2 < bk ⇒ ak < ak+1 < bk . 1 1 + a k bk Vậy ak+1 + ak+1 ak+1 + bk > ⇒ bk+1 > ak+1 . 2 2 1 1 1 1 Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra an < bn , ∀n = 1, 2, . . . Vậy + < + . Do a n bn an an đó bk+1 = an+1 = 2 1 1 + a n bn > 2 1 1 + an an = an , bn+1 = an+1 + bn bn+1 + bn < ⇒ bn+1 < bn . 2 2 Ta viết lại a = a1 < a2 < · · · < an < an+1 < bn+1 < bn < · · · < b2 < b1 = b. Suy ra dãy (an ) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (bn ) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó an+1 + bn hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . , n→+∞ n→+∞ 2 cho n → +∞ ta được y= x+y ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ 2 Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (an ), (bn ) có giới hạn hữu hạn và lim an = lim bn . n→+∞ n→+∞ Bài toán 15 (Cộng cùng-điều hoà lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = a n + bn , bn+1 = 2 2 1 an+1 1 + bn . Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. Hướng dẫn. Đặt 1 1 = xn , = yn . Ta đươc an bn xn+1 = 2 xn+1 + yn , yn+1 = . 1 1 2 + xn yn Sau đó sử dụng kết quả bài toán 14 www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 17 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Bài toán 16 (Nhân cùng-điều hoà lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = p an bn , bn+1 = 2 1 an+1 1 + an . Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. Hướng dẫn. Đặt 1 1 = xn , = yn . Ta đươc an bn xn+1 = √ xn+1 + yn . xn yn , yn+1 = 2 Sau đó sử dụng kết quả bài toán 13 Bài toán 17 (Trung bình bậc r cùng-nhân lệch). Cho r 6= 0, a > 0, b > 0, xét các dãy +∞ số (an )+∞ n=0 và (bn )n=0 như sau: a0 = a, b0 = b, an+1 =  arn + brn 2  1r , bn+1 = Tìm lim an và lim bn . n→+∞ p an+1 bn (∀n = 0, 1, 2, . . .) . n→+∞ Giải. Trường hợp 1: r > 0. Trường hợp 1.1: a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n ∈ N. Suy ra lim an = lim bn = 1. n→∞ n→∞ Trường hợp 1.2: a < b. Khi đó a r < br ⇒ 0 < Do đó đặt ar < 1. br  ar π = cos v 0 < v < . br 2 Ta có a r + br br cos v + br br (1 + cos v) v = = = br cos2 , 2 2 2 2 r  p r r  r 1 v v 2 v br1 = a1 b = b2 cos r = b cos r = br cos , 2 2 2   v v v v br cos br cos2 + br cos 1 + cos r 2 2 2 2 = br cos v cos2 v , a2 = = 2 2 2 22 ar1 = www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 18 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. r r p v v 2 v 2 v 2 = a 2 b1 = b cos r cos r 2 = br cos cos 2 , 2 2 2 2 v v v v br cos cos2 2 + br cos cos 2 r 2 2 2 2 = br cos v cos v cos2 v , a3 = 2 2 22 23 p v v v b3 = a3 b2 = br cos cos 2 cos 3 . 2 2 2 br2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:  v v v  v arn = br cos cos 2 · · · cos n−1 cos2 n , ∀n = 2, 3, . . . 2 2 2 2 v v v v r r bn = b cos cos 2 · · · cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, . . . 2 2 2 2 sin 2x Theo công thức cos x = (với sin x 6= 0), ta có 2 sin x v v v sin sin sin sin v 2 ··· 2n−2 . 2n−1 = br sin v . brn = br v. v v v v 2 sin 2 sin 2 2 sin n−1 2 sin n 2n sin n 2 2 2 2 2 Do đó v sin v n sin v r sin v lim 2 v = br lim brn = br lim v = b v n→∞ n→∞ n→∞ n v 2 sin n sin n 2 2 Từ arn = brn cos Do đó v ta có 2n  v v sin v lim arn = lim brn cos n = lim brn . lim cos n = lim brn = br . n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 2 2 v 1 sin v r . lim an = lim bn = b n→∞ n→∞ v ar Trường hợp 1.3: a > b > 0. Khi đó r > 1. Gọi α là số để b ar = cosh α. br  Ta có a r + br br cosh α + br br (1 + cosh α) α = = = br cosh2 , 2 2 2 2 r p r r 2 α α br1 = a1 b = b2 cosh r = br cosh , 2 2 α α α br cosh2 + br cosh 1 + cosh α 2 2 = br cosh . 2 = br cosh α cosh2 α , ar2 = 2 2 2 2 22 ar1 = www.mathvn.com 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 19 www.MATHVN.com Chương 0. Nguyễn Tài Chung. br2 = r b2 GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. 2 α α cosh cosh r 2 2 2 2 r r = br cosh α α cosh 2 , 2 2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:  α α α  α r r an = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, . . . 2 2 2 2 α α α α r r bn = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, . . . 2 2 2 2 sinh 2x (với sinh x 6= 0), ta có 2 sinh x α α α sinh sinh n−2 sinh n−1 sinh α br sinh α 2 ··· 2 2 . . = brn = br α α α α α. 2 sinh 2 sinh 2 2 sinh n−1 2 sinh n 2n sinh n 2 2 2 2 2 Theo công thức cosh x = Do đó α r b sinh α sinh α 2n = br sinh α . lim brn = lim = br lim α n→∞ n→∞ n α n→∞ sinh α α 2 sinh n 2 2n α Từ arn = brn cosh n ta có 2 lim arn = lim brn . lim cosh n→∞ n→∞ n→∞ α sinh α = br . n 2 α Bởi vậy lim an = lim bn = b n→∞ n→∞ Trường hợp 2: r < 0.  sinhα α  r1 . Trường hợp 2.1: a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n ∈ N. Suy ra lim an = lim bn = 1. n→∞ n→∞ Trường hợp 2.2: a > b. Khi đó a r < br ⇒ 0 < ar < 1. br Do đó đặt  ar π = cos v 0 < v < . br 2 Tương tự như trường hợp 1.2, ta chứng minh được  1 sin v r lim an = lim bn = b . n→∞ n→∞ v 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 20