GIÁO TRÌNH LÝ
THUYẾT ĐỒ HỌA
MÁY TÍNH
M CL C
Chương 1: CÁC Y U T CƠ S C A ð H A
1.1. T ng quan v ñ h a máy tính ............................................................................... 1
1.1.1. Gi i thi u v ñ h a máy tính ................................................................................ 1
1.1.2. Các k thu t ñ h a ................................................................................................ 1
1.1.2.1. K thu t ñ h a ñi m........................................................................................ 1
1.1.2.2. K thu t ñ h a vector...................................................................................... 2
1.1.3. ng d ng c a ñ h a máy tính............................................................................... 2
1.1.4. Các lĩnh v c c a ñ h a máy tính .......................................................................... 3
1.1.5. T ng quan v m t h ñ h a .................................................................................. 4
1.2. Màn hình ñ h a ...................................................................................................... 6
1.3. Các khái ni m........................................................................................................... 6
1.3.1. ði m..................................................................................................................... 6
1.3.2. Các bi u di n t a ñ ............................................................................................ 8
1.3.3. ðo n th ng........................................................................................................... 8
1.4. Các thu t toán v ño n th ng................................................................................. 8
1.4.1. Bài toán ................................................................................................................ 8
1.4.2. Thu t toán DDA................................................................................................... 9
1.4.3. Thu t toán Bresenham ....................................................................................... 10
1.4.4. Thu t toán MidPoint .......................................................................................... 12
1.5. Thu t toán v ñư ng tròn ..................................................................................... 14
1.5.1. Thu t toán Bresenham ....................................................................................... 14
1.5.2. Thu t toán MidPoint .......................................................................................... 16
1.6. Thu t toán v Ellipse............................................................................................. 17
1.6.1. Thu t toán Bresenham ....................................................................................... 17
1.6.2. Thu t toán MidPoint .......................................................................................... 20
1.7. Phương pháp v ñ th hàm s ............................................................................. 21
Bài t p ............................................................................................................................ 23
Chương 2: TÔ MÀU
2.1. Gi i thi u các h màu............................................................................................ 25
2.2. Các thu t toán tô màu .......................................................................................... 28
2.2.1. Bài toán .............................................................................................................. 28
2.2.2. Thu t toán xác ñ nh P ∈ S ................................................................................. 28
2.2.3. Thu t toán tô màu theo dòng quét ..................................................................... 30
2.2.4. Thu t toán tô màu theo v t d u loang................................................................ 30
Bài t p ............................................................................................................................ 31
Chương 3: XÉN HÌNH
3.1. ð t v n ñ ............................................................................................................... 32
3.2. Xén ño n th ng vào vùng hình ch nh t............................................................. 32
3.2.1. C nh c a hình ch nh t song song v i các tr c t a ñ ..................................... 32
3.2.1.1. Thu t toán Cohen – Sutherland ...................................................................... 33
3.2.1.2. Thu t toán chia nh phân................................................................................. 34
3.2.1.3. Thu t toán Liang – Barsky ............................................................................. 35
3.2.2. Khi c nh c a hình ch nh t t o v i tr c hoành m t góc α................................ 36
3.3. Xén ño n th ng vào hình tròn .............................................................................. 37
3.4. Xén ñư ng tròn vào hình ch nh t...................................................................... 38
3.5. Xén ña giác vào hình ch nh t ............................................................................. 39
Bài t p ............................................................................................................................ 40
Chương 4: CÁC PHÉP BI N ð I
4.1. Các phép bi n ñ i trong m t ph ng..................................................................... 41
4.1.1. Cơ s toán h c ................................................................................................... 41
4.1.2. Ví d minh h a .................................................................................................. 43
4.2. Các phép bi n ñ i trong không gian .................................................................... 45
4.2.1. Các h tr c t a ñ .............................................................................................. 45
4.2.2. Các công th c bi n ñ i ...................................................................................... 46
4.2.3. Ma tr n ngh ch ñ o ............................................................................................ 48
4.3. Các phép chi u c a v t th trong không gian lên m t ph ng ........................... 48
4.3.1. Phép chi u ph i c nh ......................................................................................... 48
4.3.2. Phép chi u song song......................................................................................... 50
4.4. Công th c c a các phép chi u lên màn hình....................................................... 50
4.5. Ph l c .................................................................................................................... 56
4.6. Ví d minh h a....................................................................................................... 59
Bài t p ............................................................................................................................ 61
Chương 5: BI U DI N CÁC ð I TƯ NG BA CHI U
5.1. Mô hình WireFrame.............................................................................................. 63
5.2. V mô hình WireFrame v i các phép chi u........................................................ 64
5.3. V các m t toán h c............................................................................................... 65
Bài t p ............................................................................................................................ 68
Chương 6: THI T K ðƯ NG VÀ M T CONG BEZIER VÀ B-SPLINE
6.1. ðư ng cong Bezier và m t Bezier ........................................................................ 69
6.1.1. Thu t toán Casteljau .......................................................................................... 70
6.1.2. D ng Bernstein c a ñư ng cong Bezier ............................................................ 70
6.1.3. D ng bi u di n ma tr n c a ñư ng Bezier ........................................................ 71
6.1.4. T o và v ñư ng cong Bezier ............................................................................ 72
6.1.5. Các tính ch t c a ñư ng Bezier ......................................................................... 74
6.1.6. ðánh giá các ñư ng cong Bezier ....................................................................... 76
6.2. ðư ng cong Spline và B-Spline ............................................................................ 77
6.2.1. ð nh nghĩa.......................................................................................................... 77
6.2.2. Các tính ch t h u ích trong vi c thi t k các ñư ng cong B-Spline ................. 78
6.2.3. Thi t k các m t Bezier và B-Spline ................................................................. 79
6.2.4. Các băng Bezier ................................................................................................. 80
6.2.5. Dán các băng Bezier v i nhau ........................................................................... 81
6.2.6. Các băng B-Spline ............................................................................................. 81
Chương 7: KH ðƯ NG VÀ M T KHU T
7.1. Các khái ni m......................................................................................................... 83
7.2. Các phương pháp kh m t khu t ........................................................................ 85
7.2.1. Gi i thu t s p x p theo chi u sâu ...................................................................... 85
7.2.2. Gi i thu t BackFace........................................................................................... 88
7.2.3. Gi i thu t vùng ñ m ñ sâu ............................................................................... 90
Bài t p .......................................................................................................................... 103
Chương 8: T O BÓNG V T TH 3D
8.1. Khái ni m ............................................................................................................. 104
8.2. Ngu n sáng xung quanh...................................................................................... 104
8.3. Ngu n sáng ñ nh hư ng ...................................................................................... 105
8.4. Ngu n sáng ñi m.................................................................................................. 109
8.5. Mô hình bóng Gouraud....................................................................................... 110
Bài t p .......................................................................................................................... 121
Ph l c: M T S CHƯƠNG TRÌNH MINH H A
I. Các thu t toán tô màu ............................................................................................ 122
II. Các thu t toán xén hình ........................................................................................ 129
III. V các ñ i tư ng 3D............................................................................................. 136
Tài li u tham kh o...................................................................................................... 143
L IM
ð U
ð h a là m t trong nh ng lĩnh v c phát tri n r t nhanh c a ngành Công ngh
thông tin. Nó ñư c ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c khoa h c và công ngh .
Ch ng h n như y h c, ki n trúc, gi i trí... ð h a máy tính ñã giúp chúng ta thay ñ i
cách c m nh n và s d ng máy tính, nó ñã tr thành nh ng công c tr c quan quan
tr ng không th thi u trong ñ i s ng h ng ngày. Vì v y môn “ð h a” ñã tr thành
m t trong nh ng môn h c chính trong các chuyên ngành Công ngh thông tin các
trư ng ñ i h c.
Cu n sách “Giáo trình lý thuy t ñ h a” ñư c biên so n theo sát n i dung
chương trình ñào t o c nhân Công ngh thông tin. N i dung c a giáo trình này
cung c p m t s ki n th c cơ b n v lý thuy t và thu t toán xây d ng các công c
ñ h a 2D và 3D. T ñó giúp sinh viên có th ñ c l p xây d ng nh ng thư vi n ñ
h a cho riêng mình và phát tri n các ph n m m ng d ng ñ h a cao hơn.
Giáo trình ñư c chia làm 8 chương và ph n ph l c, sau m i chương ñ u có
ph n bài t p ñ ki m tra ki n th c và rèn luy n kh năng l p trình cho b n ñ c. ð
thu n ti n cho vi c trình bày thu t toán m t cách d hi u, các gi i thu t trong giáo
trình ñư c vi t trên ngôn ng “t a Pascal” và các mã ngu n ñư c cài ñ t trên Turbo
Pascal 7.0. Nh m giúp b n ñ c b t lúng túng trong quá trình cài ñ t các gi i thu t,
ph n ph l c li t kê m t s mã ngu n cài ñ t các thu t toán trong các chương. Tuy
nhiên, b n ñ c nên t cài ñ t các thu t toán ph n lý thuy t, n u c m th y khó
khăn l m m i nên tham kh o ph n ph l c này.
Chương 1, 2 và 3 trình bày v các y u t cơ s c a ñ h a như: màn hình ñ
h a, ñi m, ño n th ng, ñư ng tròn, các h màu và các thu t toán tô màu, xén hình ...
Chương 4 trang b các ki n th c toán h c v các phép bi n ñ i trong không gian 2D
và 3D. Chương 5, 6 và 7 gi i thi u các mô hình ñ h a 3D, các gi i thu t kh m t
khu t và t o bóng cho v t th ... Chương 8 trình bày v phương pháp thi t k các
ñư ng cong Bezier và B-Spline.
M c dù ñã r t c g ng trong quá trình biên so n nhưng ch c ch n giáo trình
này v n không th tránh kh i nh ng thi u sót. Chúng tôi r t mong nh n ñư c nh ng
ý ki n ñóng góp c a b n ñ c cũng như các b n ñ ng nghi p trong lĩnh v c ð h a
ñ giáo trình ngày càng ñư c hoàn thi n hơn trong l n tái b n sau. ð a ch liên l c:
Khoa Công ngh Thông tin, trư ng ð i h c Khoa h c Hu .
ði n tho i: 054.826767. Email:
[email protected]
[email protected]
Hu , tháng 08 năn 2003
Các tác gi
Updatesofts.com
Ebooks Team
CHƯƠNG I
CÁC Y U T
1.1. T NG QUAN V ð
CƠ S
C Að
H A
H A MÁY TÍNH
ð h a máy tính là m t lãnh v c phát tri n nhanh nh t trong Tin h c. Nó ñư c áp
d ng r ng rãi trong nhi u lãnh v c khác nhau thu c v khoa h c, k ngh , y khoa,
ki n trúc và gi i trí.
Thu t ng ñ h a máy tính (Computer Graphics) ñư c ñ xu t b i nhà khoa h c
ngư i M tên là William Fetter vào năm 1960 khi ông ñang nghiên c u xây d ng mô
hình bu ng lái máy bay cho hãng Boeing.
Các chương trình ñ h a ng d ng cho phép chúng ta làm vi c v i máy tính m t
cách tho i mái, t nhiên.
1.1.1 Gi i thi u v ñ h a máy tính
ð h a máy tính là m t ngành khoa h c Tin h c chuyên nghiên c u v các
phương pháp và k thu t ñ có th mô t và thao tác trên các ñ i tư ng c a th gi i
th c b ng máy tính.
V b n ch t: ñó là m t quá trình xây d ng và phát tri n các công c trên c hai
lĩnh v c ph n c ng và ph n m m h tr cho các l p trình viên thi t k các chương
trình có kh năng ñ h a cao.
V i vi c mô t d li u thông qua các hình nh và màu s c ña d ng c a nó, các
chương trình ñ h a thư ng thu hút ngư i s d ng b i tính thân thi n, d dùng,... kích
thích kh năng sáng t o và nâng cao năng su t làm vi c.
1.1.2. CÁC K THU T ð
H A
D a vào các phương pháp x lý d li u trong h th ng, ta phân ra làm hai k thu t
ñ h a:
1.1.2.1. K thu t ñ h a ñi m
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
Nguyên lý c a k thu t này như sau: các hình nh ñư c hi n th thông qua t ng
pixel (t ng m u r i r c). V i k thu t này, chúng ta có th t o ra, xóa ho c thay ñ i
thu c tính c a t ng pixel c a các ñ i tư ng. Các hình nh ñư c hi n th như m t lư i
ñi m r i r c (grid), t ng ñi m ñ u có v trí xác ñ nh ñư c hi n th v i m t giá tr
nguyên bi u th màu s c ho c d sáng c a ñi m ñó. T p h p t t c các pixel c a grid
t o nên hình nh c a ñ i tư ng mà ta mu n bi u di n.
1.1.2.2. K thu t ñ h a vector
Nguyên lý c a k thu t này là xây d ng mô hình hình h c (geometrical model) cho
hình nh ñ i tư ng, xác ñ nh các thu c tính c a mô hình hình h c, sau ñó d a trên mô
hình này ñ th c hi n quá trình tô trát (rendering) ñ hi n th t ng ñi m c a mô hình,
hình nh c a ñ i tư ng.
k thu t này, chúng ta ch lưu tr mô hình toán h c c a các thành ph n trong mô
hình hình h c cùng v i các thu c tính tương ng mà không c n lưu l i toàn b t t c
các pixel c a hình nh ñ i tư ng.
1.1.3.
ng d ng c a ñ h a máy tính hi n nay
Ngày nay, ñ h a máy tính ñư c s d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c khác
nhau như: Công nghi p, thương m i, qu n lý, giáo d c, gi i trí,... Sau ñây là m t s
ng d ng tiêu bi u:
1.1.3.1. T o giao di n (User Interfaces): như các chương trình ng d ng WINDOWS,
WINWORD, EXCEL ... ñang ñư c ña s ngư i s d ng ưa chu ng nh tính thân
thi n, d s d ng.
1.1.3.2. T o ra các bi u ñ dùng trong thương m i, khoa h c và k thu t: Các bi u
ñ ñư c t o ra r t ña d ng, phong phú bao g m c hai chi u l n ba chi u góp ph n
thúc ñ y xu hư ng phát tri n các mô hình d li u h tr ñ c l c cho vi c phân tích
thông tin và tr giúp ra quy t ñ nh.
1.1.3.3. T ñ ng hóa văn phòng và ch b n ñi n t : dùng nh ng ng d ng c a ñ
h a ñ in n các tài li u v i nhi u lo i d li u khác nhau như: văn b n, bi u ñ , ñ th
và nhi u lo i hình nh khác ...
1.1.3.4. Thi t k v i s tr giúp c a máy tính (Computer aided design): M t trong
nh ng l i ích l n nh t c a máy tính là tr giúp con ngư i trong vi c thi t k . Các ng
2
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
d ng ñ h a cho phép chúng ta thi t k các thi t b cơ khí, ñi n, ñi n t , ô tô, máy bay,
... như ph n m m AUTOCAD ...
1.1.3.5. Lĩnh v c gi i trí, ngh thu t: cho phép các h a sĩ t o ra các hình nh ngay
trên màn hình c a máy tính. Ngư i h a sĩ có th t pha màu, tr n màu, th c hi n m t
s thao tác: c t, dán, t y, xóa, phóng to, thu nh ... như các ph n m m PAINTBRUSH,
CORELDRAW,...
1.1.3.6. Lĩnh v c b n ñ : xây d ng và in n các b n ñ ñ a lý. M t trong nh ng ng
d ng hi n nay c a ñ h a là h th ng thông tin ñ a lý (GIS - Geographical Information
System).
1.1.4. Các lĩnh v c c a ñ h a máy tính
1.1.4.1. Các h CAD/CAM (CAD – Computer Aided Design, CAM – Computer
Aided Manufacture)
Các h này xây d ng t p h p các công c ñ h a tr giúp cho vi c thi t k các chi
ti t và các h th ng khác nhau: các thi t b cơ khí, ñi n t ... Ch ng h n như ph n m m
Auto Cad c a h ng AutoDesk...
1.1.4.2. X lý nh (Image Processing)
ðây là lĩnh v c x lý các d li u nh trong cu c s ng. Sau quá trình x lý nh, d
li u ñ u ra là nh c a ñ i tư ng. Trong quá trình x lý nh, chúng ta s s d ng r t
nhi u các k thu t ph c t p: khôi ph c nh, xác ñ nh biên...
Ví d : ph n m m PhotoShop, Corel Draw, ...
1.1.4.3. Khoa h c nh n d ng (Pattern Recognition)
Nh n d ng là m t lĩnh v c trong k thu t x lý nh. T nh ng m u nh có s n, ta
phân lo i theo c u trúc ho c theo các phương pháp xác ñ nh nào ñó và b ng các thu t
toán ch n l c ñ có th phân tích hay t ng h p nh ñã cho thành m t t p h p các nh
g c, các nh g c này ñư c lưu trong m t thư vi n và căn c vào thư vi n này ñ nh n
d ng các nh khác.
Ví d : Ph n m m nh n d ng ch vi t (VnDOCR) c a vi n Công ngh Thông tin
Hà N i, nh n d ng vân tay, nh n d ng m t ngư i trong khoa h c hình s ...
1.1.4.4. ð h a minh h a (Presentation Graphics)
3
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
ðây là lĩnh v c ñ h a bao g m các công c tr giúp cho vi c hi n th các s li u
th ng kê m t cách tr c quan thông qua các m u ñ th ho c bi u ñ có s n. Ch ng h n
như các bi u ñ (Chart) trong các ph n m m Word, Excel...
1.1.4.5. Ho t hình và ngh thu t
Lĩnh v c ñ h a này bao g m các công c giúp cho các h a sĩ, các nhà thi t k
phim nh chuyên nghi p th c hi n các công vi c c a mình thông qua các k x o v
tranh, ho t hình ho c các k x o ñi n nh khác...
Ví d : Ph n m m x
lý các k x o ho t hình như: 3D Animation, 3D Studio
Max..., ph n m m x lý các k x o ñi n nh: Adobe Primiere, Cool 3D,...
1.1.5. T ng quan v m t h ñ h a (Graphics System)
1.1.5.1. H th ng ñ h a
Ph n m m ñ h a: Là t p h p các câu l nh ñ h a c a h th ng. Các câu l nh l p
trình dùng cho các thao tác ñ h a không ñư c các ngôn ng l p trình thông d ng như
PASCAL, C, ... h tr . Thông thư ng, nó ch cung c p như là m t t p công c thêm
vào trong ngôn ng . T p các công c này dùng ñ t o ra các thành ph n cơ s c a m t
hình nh ñ h a như: ði m, ño n th ng, ñư ng tròn, màu s c,... Qua ñó, các nhà l p
trình ph i t o ra các chương trình ñ h a có kh năng ng d ng cao hơn.
Ph n c ng ñ h a: Là các thi t b ñi n t : CPU, Card, màn hình, chu t, phím...
giúp cho vi c th c hi n và phát tri n các ph n m m ñ h a.
1.1.5.2. Các thành ph n c a m t h th ng ñ h a
T p h p các công c này ñư c phân lo i d a trên nh ng công vi c trong t ng hoàn
c nh c th : xu t, nh p, bi n ñ i nh, ... bao g m:
• T p công c t o ra nh g c (output primitives): cung c p các công c cơ b n
nh t cho vi c xây d ng các hình nh. Các nh g c bao g m các chu i ký t , các th c
th hình h c như ñi m, ñư ng th ng, ña giác, ñư ng tròn,...
• T p các công c thay ñ i thu c tính (attributes): dùng ñ thay ñ i thu c tính c a
các nh g c. Các thu c tính c a nh g c bao g m màu s c (color), ki u ñư ng th ng
(line style), ki u văn b n (text style), m u tô vùng (area filling pattern),...
4
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
• T p các công c thay ñ i h quan sát (viewing transformation): M t khi mà các
nh g c và các thu c tính c a nó ñư c xác ñ nh trong h t a ñ th c, ta c n ph i chi u
ph n quan sát c a nh sang m t thi t b xu t c th . Các công c này cho phép ñ nh
nghĩa các vùng quan sát trên h t a ñ th c ñ hi n th hình nh ñó.
• T p các công c ph c v cho các thao tác nh p d li u (input operations): Các
ng d ng ñ h a có th s d ng nhi u lo i thi t b nh p khác nhau như bút v , b ng,
chu t, ... Chính vì v y, c n xây d ng thêm các công c này ñ ñi u khi n và x lý các
d li u nh p sao cho có hi u qu .
M t yêu c u v ph n c ng không th thi u ñ t ra cho các ph n m m ñ h a là:
tính d mang chuy n (portability), có nghĩa là chương trình có th chuy n ñ i m t
cách d dàng gi a các ki u ph n c ng khác nhau. N u không có s chu n hóa, các
chương trình thi t k thư ng không th chuy n ñ i ñ n các h th ng ph n c ng khác
mà không vi t l i g n như toàn b chương trình.
Sau nh ng n l c c a các t ch c chu n hóa qu c t , m t chu n cho vi c phát tri n
các ph n m m ñ h a ñã ra ñ i: ñó là GKS (Graphics Kernel System - H ñ h a cơ
s ). H th ng này ban ñ u ñư c thi t k như là m t t p các công c ñ h a hai chi u,
sau ñó ñư c phát tri n ñ m r ng trong ñ h a ba chi u.
Ngoài ra, còn có m t s chu n ñ h a ph bi n như:
•
CGI (Computer Graphics Interface System): h chu n cho các phương pháp
giao ti p v i các thi t b ngo i vi.
•
OPENGL: thư vi n ñ h a c a h ng Silicon Graphics.
•
DIRECTX: thư vi n ñ h a c a h ng Microsoft.
1.2. MÀN HÌNH ð
H A
M i máy tính ñ u có m t CARD dùng ñ qu n lý màn hình, g i là Video Adapter
hay Graphics Adapter. Có nhi u lo i adapter như: CGA, MCGA, EGA, VGA,
Hercules... Các adapter có th làm vi c
hai ch ñ : văn b n (Text Mode) và ñ h a
(Graphics Mode).
Có nhi u cách ñ kh i t o các mode ñ h a. Ta có th s d ng hàm $00 ng t $10
c a BIOS v i các Mode sau:
5
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
•
Mode $12: ch ñ phân gi i 640x480x16
•
Mode $13: ch ñ phân gi i 320x200x256
Ta có th vi t m t th t c ñ kh i t o ch ñ ñ h a như sau:
Procedure InitGraph(Mode:Word);
var Reg:Registers;
Begin
reg.ah := 0;
reg.al := mode;
intr($10,reg);
End;
Các b n có th tham kh o thêm
các tài li u v l p trình h th ng.
1.3. CÁC KHÁI NI M
1.3.1. ði m (Pixel)
Trong các h th ng ñ h a, m t ñi m ñư c bi u th b i các t a ñ b ng s .
Ví du: Trong m t ph ng, m t ñi m là m t c p (x,y)
Trong không gian ba chi u, m t ñi m là b ba (x,y,z)
Trên màn hình c a máy tính, m t ñi m là m t v trí trong vùng nh màn hình dùng
ñ lưu tr các thông tin v ñ sáng c a ñi m tương ng trên màn hình.
S ñi m v trên màn hình ñư c g i là ñ phân gi i c a màn hình (320x200,
480x640, 1024x1024,...)
Cách hi n th thông tin lên màn hình ñ h a:
Vùng ñ m màn hình hay còn g i là b nh
hi n th ñư c b t ñ u t
ñ a ch
A000h:$0000h. Vì v y, ñ hi n th thông tin ra màn hình thì ta ch c n ñưa thông tin
vào vùng ñ m màn hình b t ñ u t ñ a ch trên là ñư c.
Có nhi u cách ñ v m t ñi m ra màn hình: có th dùng các ph c v c a BIOS ho c
cũng có th truy xu t tr c ti p vào vùng nh màn hình.
• N u dùng ph c v c a BIOS, ta dùng hàm $0C ng t $10:
Procedure PutPixel(Col,Row:Word; Color:Byte);
Var reg:Registers;
Begin
reg.ah:=$0C;
reg.al:=Color;
6
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
reg.bh:=0;
reg.cx:=Col;
reg.dx:=Row;
Intr($10,reg);
End;
• N u mu n truy xu t tr c ti p vào vùng ñ m màn hình: Gi s m t ñi m (x,y)
ñư c v trên màn hình v i ñ phân gi i 320x200x256 (mode 13h), ñi m ñó s ñư c
ñ nh v trong vùng ñ m b t ñ u t ñ a ch segment A000h và ñ a ch offset ñư c tính
theo công th c: Offset = y*320 + x.
Ta có th vi t th t c như sau:
Procedure PutPixel(x,y:Word; Color:Byte);
Var Offset:Word;
Begin
Offset:=(y shl 8) + (y shl 6) + x;
Mem[$A000:Offset]:=Color;
End;
1.3.2. Các bi u di n t a ñ
H u h t các chương trình ñ h a ñ u dùng h t a ñ Decartes (Hình 1.1).
Ta bi n ñ i:
O
Y
O
MaxX
Y
X
X
MaxY
T a ñ th gi i th c
T a ñ thi t b màn hình.
Hình 1.1
1.3.3. ðo n th ng
Trong các h th ng ñ h a, các ño n th ng ñư c bi u th b i vi c “tô” ño n th ng
b t ñ u t ñi m ñ u mút này kéo dài cho ñ n khi g p ñi m ñ u mút kia.
1.4. CÁC THU T TOÁN V ðO N TH NG
7
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
1.4.1. Bài toán: V ño n th ng ñi qua 2 ñi m A(x1,y1) và B(x2,y2)
* Trư ng h p x1=x2 ho c y1=y2: r t ñơn gi n.
* Trư ng h p ñư ng th ng có h s góc m:
Ý tư ng:
Vì các Pixel ñư c v
các v trí nguyên nên ñư ng th ng ñư c v gi ng như hình
b c thang (do làm tròn).
V n ñ ñ t ra là ch n các t a ñ nguyên g n v i ñư ng th ng nh t.
1.4.2. Thu t toán DDA (Digital differential analyzer)
Xét ñư ng th ng có h s góc 0
1: ta hoán ñ i vai trò c a x,y cho nhau. N u ch n ∆y=1 thì:
xk+1
= xk + 1/m
Tương t , n u ñi m B n m bên trái và A n m bên ph i thì:
yk+1
= yk - m
(01, ∆y= -1)
Tóm l i: Ta có thu t toán v ñư ng th ng DDA như sau:
Nh p A(x1,y1) B(x2,y2)
Tính ∆x = x2 - x1
∆y = y2 - y1
Step = Max(|∆x| , |∆y|)
Kh i t o các giá tr :
IncX = ∆x/Step;
x = x1;
IncY = ∆y/Step; {bư c tăng khi v }
{Ch n ñi m v ñ u tiên}
y = y1;
V ñi m (x,y);
Cho i ch y t 1 ñ n Step:
x = x + IncX;
y = y + IncY;
V ñi m (Round(x),Round(y))
T ñó ta có th t c v ño n th ng theo thu t toán DDA như sau:
Procedure DDALine(x1,y1,x2,y2:Integer);
var dx,dy,step,i:integer;
8
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
xInc,yInc,x,y:real;
Begin
dx:=x2-x1; dy:=y2-y1;
If abs(dx)>abs(dy) Then step:=abs(dx)
else step:=abs(dy);
xInc:=dx/step;
yInc:=dy/step;
x:=x1;
y:=y1;
Putpixel(round(x),round(y),15);
for i:=1 to step do
Begin
x:=x+xInc;
y:=y+yInc;
Putpixel(round(x),round(y),15);
End;
End;
1.4.3. Thu t toán Bresenham
Phương trình ñư ng th ng có th phát
bi u dư i d ng: y = m.x + b
(1)
Phương trình ñư ng th ng qua 2 ñi m:
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1
y 2 − y1
ð t
yi+
1
y
(*)
yi
∆x = x2 - x1
∆y = y2 - y1
(*) ⇔ y = x.
xi
∆y
∆y
+ y1 - x1.
∆x
∆x
∆y
∆x
xi+1
Hình 1.2
∆y = m. ∆x
(2)
b = y1 - m.x1
Suy ra m =
(3)
nên
Ta ch xét trư ng h p h s góc 0d2)
V i ñi m mút ñ u tiên, theo (4) ta có:
p1 = 2∆y.x1 - 2∆x.y1 + 2∆y + ∆x[2.(y1 - m.x1) - 1] = 2∆y - ∆x
T ñó, ta có th tóm t t thu t toán v ñư ng th ng theo Bresenham cho trư ng h p h
s góc 0x2 then
begin
x:=x2; y:=y2; xMax:=x1;
end
else
begin
x:=x1;y:=y1;xMax:=x2;
end;
putpixel(x,y,red);
while x 0 n u (x,y) n m phía dư i ñư ng th ng
Lúc này, vi c ch n các ñi m S hay P ñư c ñưa v vi c xét d u c a:
pi = F(M) = F(xi + 1,yi +
1
)
2
N u pi < 0 ⇒ M n m trên ño n
th ng ⇒ Q n m dư i M ⇒ Ch n S
N u pi ≥ 0 ⇒ M n m dư i ño n
P
yi+
1
Q
M
th ng ⇒ Q n m trên M ⇒ Ch n P
M t khác:
pi
pi+1 = F(xi+1 + 1,yi+1 +
S
yi
1
= F(xi + 1,yi + )
2
xi
xi+1
1
)
2
Hình 1.3
nên
pi+1 - pi = F(xi+1 + 1,yi+1 +
1
1
) - F(xi + 1,yi + )
2
2
12
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
= A(xi+1+1) + B(yi+1 +
1
1
) + C - A(xi+1) - B(yi + ) - C
2
2
= A(xi+1 - xi) + B(yi+1 - yi)
= A + B(yi+1 - yi) (vì xi+1 - xi =1)
Suy ra:
pi+1 = pi + A + B(yi+1 - yi)
(*)
*Nh n xét:
. N u pi < 0: Ch n ñi m S: yi+1 = yi
T (*) suy ra pi+1 = pi + A
. N u pi ≥ 0: Ch n ñi m P: yi+1 = yi + 1 T (*) suy ra pi+1 = pi + A + B
V i ñi m mút ñ u tiên, ta có:
p1 = F(x1 + 1,y1 +
1
1
) = A(x1+1) + B(y1 + ) + C
2
2
= Ax1 + Bx1 + C + A +
B
B
=A+
(vì Ax1 + Bx1 + C = 0)
2
2
Thu t toán MidPoint cho k t qu tương t như thu t toán Bresenham.
1.5. THU T TOÁN V ðƯ NG TRÒN
Xét ñư ng tròn (C) tâm O(xc,yc) bán kính R.
(y,x)
(y,x
)
(x,y
)
(-x,y)
(-y,x)
(x,y)
Phương trình t ng quát c a ñư ng tròn có d ng:
(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
⇔ y = yc ±
R2 − ( x − xC ) 2
(*)
(1)
ð ñơn gi n thu t toán, ñ u tiên ta xét ñư ng
tròn có tâm
(x,y)
g c t a ñ (xc=0 và yc=0).
* Ý tư ng:
Do tính ñ i x ng c a ñư ng tròn nên n u ñi m
(
y,-
Hình
1.4
(x,y)∈(C) thì các ñi m (y,x), (-y,x), (-x,y), (-x,-y), (-y,-x), (y,-x), (x,-y) cũng ∈ (C) (Hình 1.4)
Vì v y, ta ch c n v m t ph n tám cung tròn r i l y ñ i x ng qua g c O và 2 tr c to
ñ thì ta có ñư c toàn b ñư ng tròn.
1.5.1. Thu t toán Bresenham
Gi s (xi,yi) ñã v ñư c. C n ch n ñi m k ti p là (xi +1,yi) ho c (xi +1,yi -1)
(Hình 1.5)
T phương trình: x2 + y2 = R2
ta tính ñư c giá tr y th c ng v i xi +1 là:
13
Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
y2 = R2 - (xi +1)2
d1 = yi2 - y2 = yi2 - R2 + (xi + 1)2
ð t:
d2 = y2 - (yi - 1)2 = R2 - (xi + 1)2 - (yi - 1)2
Suy ra:
pi = d1 - d2 = 2.(xi + 1)2 + yi2 + (yi - 1)2 - 2R2
⇒ pi+1 = 2.(xi+1 + 1)2 + y2i+1 + (yi+1 - 1)2 - 2R2
(2)
yi
y
yi1
(3)
T (2) và (3) ta có:
pi+1 - pi = 4xi + 6 + 2.(y2i+1 - yi2) - 2.(yi+1 - yi)
⇒ pi+1 = pi + 4xi + 6 + 2.(y2i+1 - yi2) - 2.(yi+1 - yi)
xi
xi+1
Hình
1.5
(4)
* Nh n xét:
N u pi < 0: ch n yi+1 = yi
(4) ⇒ pi+1 = pi + 4xi + 6
N u pi ≥ 0: ch n yi+1 = yi - 1
(4) ⇒ pi+1 = pi + 4.(xi - yi) + 10
Ta ch n ñi m ñ u tiên c n v (0,R), theo (2) ta có: p1 = 3 - 2R
Tóm l i: Ta có thu t toán v ñư ng tròn:
• Bư c 1: Ch n ñi m ñ u c n v (x1,y1) = (0,R)
• Bư c 2: Tính P ñ u tiên: p1 = 3 - 2R
N u p < 0: ch n ñi m k ti p là (xi +1,yi). Ngư c l i ch n ñi m (xi + 1,yi - 1)
• Bư c 3: x:=x + 1, tính l i p:
N u pi < 0: pi+1 = pi + 4xi + 6. Ngư c l i: pi+1 = pi + 4.(xi - yi) + 10
Khi ñó:
N u pi+1 < 0: ch n ñi m k ti p là (xi +1,yi+1). Ngư c l i ch n ñi m (xi+1,yi+1-1)
• Bư c 4: L p l i bư c 3 cho ñ n khi x = y.
Sau ñây là th t c ñ cài ñ t thu t toán:
Procedure Circle(x0,y0,r:Integer);
Var p,x,y:Integer;
Procedure VeDiem;
Begin
PutPixel( x0 + x , y0 + y , color);
PutPixel( x0 - x , y0 + y , color);
PutPixel( x0 + x , y0 - y , color);
PutPixel( x0 - x , y0 - y , color);
14
.PDF 
147 
273 
142 
