Tài liệu Giáo trình đại số đại cương đỗ nguyên sơn ( www.sites.google.com/site/thuvientailieuvip )

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT F7G GIAÙO TRÌNH ÑAÏI SOÁ ÑAÏI CÖÔNG ÑOÃ NGUYEÂN SÔN 2000 Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -2- MUÏC LUÏC muïc luïc ..........................................................................................................................2 CHÖÔNG 1: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ ................................................7 1. Taäp hôïp - AÙnh xaï - Quan heä..................................................................................7 1.1 Taäp hôïp. ...........................................................................................................7 1.2 AÙnh xaï ..............................................................................................................8 ⎧ f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) ....................................................................8 A, B ⊂ X ⇒ ⎨ ⎩ f ( A ∩ B) ⊂ f ( A) ∩ f ( B) ⎧⎪ f −1 (U ∪ V ) = f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) U, V ⊂ Y ⇒ ⎨ −1 .........................................................9 ⎪⎩ f (U ∩ V ) = f −1 (U ) ∩ f −1 (V ) 1.3 Taäp höõu haïn - voâ haïn - ñeám ñöôïc....................................................................9 1.4 Quan heä hai ngoâi. ...........................................................................................9 1.5 Quan heä töông ñöông. ...................................................................................10 1.6 Meänh ñeà.........................................................................................................11 1.7 Quan heä thöù töï ...............................................................................................12 2. Caáu truùc ñaïi soá .....................................................................................................13 2.1 Pheùp toùan ñaïi soá .............................................................................................13 2.2 Caùc tính chaát cuûa pheùp toaùn ñaïi soá...............................................................14 2.3 Caùc phaàn töû ñaëc bieät......................................................................................15 2.4 Caáu truùc ñaïi soá...............................................................................................15 2.5 Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn .............................................................................16 BAØI TAÄP ......................................................................................................................18 CHÖÔNG 2: SOÁ HOÏC TREÂN 9..............................................................................21 1. Soá töï nhieân ...........................................................................................................21 1.1 Xaây döïng soá töï nhieân .....................................................................................21 1.2 Pheùp coäng treân ∠...........................................................................................21 1.3 Ñònh lí.............................................................................................................22 1.4 Pheùp nhaân treân ∠...........................................................................................23 1.5 Ñònh lí..............................................................................................................23 1.6 Quan heä thöù töï treân taäp hôïp soá töï nhieân .......................................................23 1.7 Ñònh lí: ............................................................................................................23 2. Vaønh soá nguyeân ...................................................................................................24 2.1 Xaây döïng taäp soá nguyeân ................................................................................24 2.2 Pheùp coäng ......................................................................................................25 2.3 Pheùp nhaân .....................................................................................................25 2.4 Ñònh lí.............................................................................................................26 2.5 Quan heä thöù töï treân 9....................................................................................27 3. Söï chia heát treân taäp soá nguyeân ...........................................................................27 3.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................27 3.2 Tính chaát ( a, b, c, d laø caùc soá nguyeân) ........................................................27 3.3 Ñònh lí ( pheùp chia Euclide) ..........................................................................28 3.4 Öôùc chung lôùn nhaát (ÖCLN) .........................................................................28 3.5 Ñònh líù ............................................................................................................28 3.6 Heä quaû...........................................................................................................29 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -3- 3.7 Ñònh líù ............................................................................................................29 3.8 Ñònh lí..............................................................................................................30 3.9 Thuaät toaùn tìm ÖCLN cuûa hai soá.................................................................30 4. Soá nguyeân toá cuøng nhau. ....................................................................................30 4.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................30 4.2 Ñònh lí (Bezout) ..............................................................................................31 4.3 Ñònh lí (Gauss)...............................................................................................31 4.4 Ñònh lí.............................................................................................................31 5 Boäi chung nhoû nhaát (BCNN) ...............................................................................32 5.1 Ñònh nghóa :.....................................................................................................32 5.2 Meänh ñeà.........................................................................................................32 5.3 Meänh ñeà..........................................................................................................33 6. Soá nguyeân toá .......................................................................................................33 6.1 Ñònh nghóa......................................................................................................33 6.2 Ñònh lí..............................................................................................................33 6.3 Ñònh lí..............................................................................................................33 6.4 Ñònh lí.............................................................................................................34 6.5 Ñònh líù .............................................................................................................34 6.6 Ñònh lí.............................................................................................................34 6.7 Saøng Eratostheøne...........................................................................................34 6.8 Ñònh lí ( cô baûn cuûa soá hoïc) ..........................................................................35 6.9 Daïng phaân tích chính taéc...............................................................................36 6.10 Ñònh lí...........................................................................................................36 6.11 Caùch tìm ÖCLN vaø BCNN........................................................................36 7 Ñoàng dö .................................................................................................................37 7.1 Ñònh nghóa......................................................................................................37 7.2 Lôùp ñoàng dö ..................................................................................................37 7.3 Tính chaát ........................................................................................................38 BAØI TAÄP ......................................................................................................................39 CHÖÔNG 3: NHOÙM ...................................................................................................42 1 Nöûa nhoùm - Vò nhoùm ............................................................................................42 1.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................42 1.2 Tích cuûa n phaàn töû trong nöûa nhoùm ..............................................................42 1.3 Ñònh lí..............................................................................................................42 1.4 Ñònh lí..............................................................................................................43 2 Nhoùm .....................................................................................................................44 2.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................44 2.2 Caùc tính chaát cô baûn cuûa nhoùm .....................................................................45 3. Nhoùm con ............................................................................................................47 3.1 Ñònh nghóa......................................................................................................47 3.2 Ñònh lí (tieâu chuaån ñeå nhaän bieát moät nhoùm con) ..........................................47 3.3 Nhoùm con sinh bôûi moät taäp con cuûa nhoùm ...................................................48 4. Nhoùm con chuaån taéc - Nhoùm thöông..................................................................49 4.1 Lôùp keà - Quan heä töông ñöông xaùc ñònh bôûi moät nhoùm con .......................49 4.2 Meänh ñeà.........................................................................................................50 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -4- 4.3 Ñònh lí (Lagrange) .........................................................................................51 4.4 Nhoùm con chuaån taéc ......................................................................................51 4.5 Nhoùm thöông .................................................................................................52 5. Ñoàng caáu nhoùm ....................................................................................................54 5.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................54 5.2 AÛnh vaø nhaân cuûa ñoàng caáu ...........................................................................55 5.3 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu nhoùm .................................................................55 5.4 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu nhoùm).............................................................57 5.5 Heä quaû.............................................................................................................58 6. Nhoùm cyclic .........................................................................................................58 6.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................58 6.2 Caáp cuûa moät phaàn töû trong nhoùm .................................................................58 6.3 Ñònh lí ( phaân loaïi nhoùm tuaàn hoaøn)..............................................................59 7. Taùc ñoäng cuûa moät nhoùm leân moät taäp hôïp ...........................................................59 7.1 Ñònh nghóa:......................................................................................................59 7.2 Nhoùm con oån ñònh cuûa moät phaàn töû ..............................................................60 7.3 Quyõ ñaïo cuûa moät phaàn töû ..............................................................................60 8. Nhoùm ñoái xöùng ....................................................................................................60 8.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................60 8.2 Ñònh lí (Ceyley) ..............................................................................................61 8.3 Nhoùm ñoái xöùng Sn..........................................................................................61 8.4 r - chu trình....................................................................................................61 8.5 Tính chaát .........................................................................................................62 8.6 Ñònh lí.............................................................................................................62 8.7 Ñònh liù .............................................................................................................62 8.8 Heä quaû.............................................................................................................63 BAØI TAÄP ......................................................................................................................65 CHÖÔNG 4: VAØNH VAØ TRÖÔØNG..........................................................................70 1. Vaønh vaø tröôøng ....................................................................................................70 1.1 Ñònh nghóa......................................................................................................70 1.2 Caùc tính chaát .................................................................................................71 2. Vaønh con – Tröôøng con........................................................................................72 2.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................72 2.2 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät vaønh con).................................................73 2.3 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät tröôøng con) ............................................73 3. Ideal - Vaønh thöông .............................................................................................74 3.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................74 3. 2 Ideal chính.....................................................................................................75 3. 3 Vaønh thöông..................................................................................................75 4. Ñoàng caáu vaønh .....................................................................................................76 4.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................76 4.2 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu vaønh...................................................................77 4.3 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu vaønh).............................................................78 4.4 Heä quaû............................................................................................................78 4.5 Ñaëc soá cuûa vaønh .............................................................................................78 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -5- 5. Caùc ñònh lí nhuùng ñaúng caáu .................................................................................78 5.1 Ñònh lí (nhuùng ñaúng caáu moät vò nhoùm)..........................................................78 5.2 Ñònh lí ( nhuùng ñaúng caáu moät vaønh nguyeân).................................................80 6. Soá hoïc treân vaønh nguyeân - Vaønh chính - Vaønh Euclide - Vaønh Gauss ............82 6.1 Caùc ñònh nghóa ................................................................................................82 6.2 Caùc tính chaát .................................................................................................83 6.3 Vaønh chính .....................................................................................................84 6.4 Ñònh líù .............................................................................................................84 6.5 Ñònh lí..............................................................................................................85 6.6 Vaønh Euclide ................................................................................................86 6.7 Ñònh lí..............................................................................................................86 6.8 Thuaät toùan tìm ÖCLN....................................................................................86 6.9 Vaønh Gauss (Vaønh nhaân töû hoùa)...................................................................87 6.10 Ñònh lí............................................................................................................88 6.11 Ñònh lí............................................................................................................89 BAØI TAÄP ......................................................................................................................91 CHÖÔNG 5: VAØNH ÑA THÖÙC .............................................................................96 1 Vaønh ña thöùc moät bieán .........................................................................................96 1.1 Ñònh nghóa......................................................................................................96 1.2 Ñònh lí.............................................................................................................97 1.3 Ñònh lí..............................................................................................................97 1.4 Ñònh lí..............................................................................................................98 1.5 Khoâng ñieåm cuûa ña thöùc ...............................................................................99 1.6 Ñònh lí............................................................................................................100 1.7 Caáp cuûa khoâng ñieåm ..................................................................................100 1.8 Ñònh lí............................................................................................................100 1.9 Ñònh lí............................................................................................................100 1.10 Ñònh lí..........................................................................................................101 1.11 Haøm ña thöùc ................................................................................................101 1.12 Ñònh lí..........................................................................................................102 1.13 Ñònh lí.........................................................................................................103 2. Vaønh ña thöùc nhieàu bieán ...................................................................................104 2.1 Ñònh nghóa.....................................................................................................104 2.2 Caùch saép xeáp ña thöùc theo loái töï ñieån .......................................................105 2.3 Ñònh lí...........................................................................................................105 2.4 Ña thöùc ñoái xöùng ........................................................................................106 2.5 Ñònh lí...........................................................................................................106 2.6 Ñònh lí...........................................................................................................107 3. Caùc ña thöùc treân tröôøng soá ................................................................................108 3.1 Ñònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................108 3.2 Ñònh lí............................................................................................................108 3.3 Ñònh lí ( tieâu chuaån Eisenstein) ..................................................................109 BAØI TAÄP ....................................................................................................................110 PHUÏ LUÏC ..................................................................................................................112 1. Tröôøng soá thöïc ..................................................................................................112 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -6- 1.1 Laùt caét höõu tæ................................................................................................112 1.2 Caùc quan heä treân 3 .......................................................................................112 1.3 Pheùp coäng .....................................................................................................113 1.4 Pheùp nhaân .....................................................................................................113 2. Tröôøng soá phöùc ..................................................................................................113 2.1 Xaây döïng soá phöùc .........................................................................................113 2.2 Ñònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................115 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -7- CHÖÔNG 1: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ 1. Taäp hôïp - AÙnh xaï - Quan heä. 1.1 Taäp hôïp. • Taäp hôïp laø moät khaùi nieäm ban ñaàu. Taäp hôïp ñöôïc moâ taû nhö moät toøan theå naøo ñoù bao goàm nhöõng ñoái töôïng naøo ñoù coù cuøng moät daáu hieäu hay moät tính chaát nhaát ñònh. Caùc ñoái töôïng laäp neân taäp hôïp goïi laø phaàn töû. Ta thöôøng kí hieäu caùc taäp hôïp baèng caùc chöõ caùi A, B, X, Y.... coøn caùc phaàn töû cuûa chuùng baèng caùc chöõ caùi nhoû a, b, x, y… Coù hai caùch ñeå xaùc ñònh moät taäp hôïp, moät laø lieät keâ ra taát caû caùc phaàn töû cuûa noù, A = {a1 ,a2 ,…an }; hai laø mieâu taû ñaëc tính caùc phaàn töû taïo neân taäp hôïp, X = {x : x coù tính chaát E }. Neáu a laø phaàn töû cuûa taäp hôïp A thì ta vieát a ∈ A. Neáu a khoâng laø phaàn töû cuûa taäp hôïp A thì ta vieát a ∉A. Taäp hôïp khoâng chöùa moät phaàn töû naøo ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng vaø kí hieäu laø ∅ . Ví duï, caùc taäp hôïp soá maø ta ñaõ quen bieát : taäp caùc soá töï nhieân (khoâng coù soá 0) ∠ = {1, 2, 3, …, n,…}; taäp soá töï nhieân (vôùi soá 0), ∠0 = {0,1, 2, …, n,…}; taäp caùc soá : m ∈9, n ∈∠}; taäp nguyeân 9 = {0, ± 1, ± 2,…, ± n,…}; taäp caùc soá höõu tæ Θ = { m n caùc soá thöïc 3; taäp caùc soá phöùc ∀ = {a + bi : a,b ∈ 3}. • Neáu moïi phaàn töû cuûa taäp hôïp A ñeàu laø caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp B thì ta noùi A naèm trong B, hay B chöùa A, hay A laø taäp con cuûa B , vaø kí hieäu laø A ⊂ B hoaëc B ⊃ A. • Hôïp cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû thuoäc ít nhaát moät trong caùc taäp hôïp ñaõ cho. Hôïp cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A ∪ B. Hôïp cuûa hoï caùc taäp hôïp {A α } laø moät taäp hôïp B goàm taát caû caùc phaàn töû thuoäc ít nhaát moät trong caùc taäp hôïp A α vaø ñöôïc kí hieäu laø B = ∪ A α α ∞ ∪ [0, 1 – • VÍ DUÏ: n =1 1 n ] = [0, 1) • Giao cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû ñoàng thôøi thuoäc taäp hôïp A vaø taäp hôïp B. Giao cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A ∩ B. • Giao cuûa hoï caùc taäp hôïp {A α } laø moät taäp hôïp B goàm taát caû caùc phaàn töû ñoàng thôøi thuoäc vaøo moïi taäp hôïp A α vaø ñöôïc kí hieäu laø B = ∩ A α . α • VÍ DUÏ: ∞ ∩ [– n =1 1 n , n1 ] = {0} • Hôïp vaø giao caùc taäp hôïp coù caùc tính chaát 1) A ∪ B = B ∪ A 2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Ñoã Nguyeân Sôn A∩ B = B∩ A (Giao hoùan) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Keát hôïp) Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -8- 3) A ∩ ( ∪ A α ) = ∪ (A ∩ A α ) α A ∪ ( ∩ A α ) = ∩ (A ∪ A α ) α α α (Phaân phoái) • Hieäu cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp A maø khoâng phaûi laø phaàn töû cuûa taäp hôïp B. Hieäu cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A \ B hay A – B • Hieäu ñoái xöùng cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø taäp hôïp (A – B) ∪ (B – A). Hieäu ñoái xöùng cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A ∆ B. Roõ raøng raèng A ∆ B = B ∆ A. • Tích tröïc tieáp hay tích Descartes cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm moïi caëp (x,y) ôû ñaây x ∈A vaø y ∈B, vaø ñöôïc kí hieäu laø A × B. Tích Descartes cuûa hoï caùc taäp hôïp {A α } α∈.I laø moät taäp hôïp goàm caùc hoï (a α ) α∈.I , vôùi a α ∈ A α vôùi moïi α ∈ I, vaø ñöôïc kí hieäu laø ∏ A α . α∈I • Neáu B laø taäp con cuûa taäp hôïp A thì A – B ñöôïc goïi laø phaàn buø cuûa taäp hôïp B ñoái vôùi taäp hôïp A vaø ñöôïc kí hieäu laø C A B. Ñoái vôùi phaàn buø ta coù luaät ñoái ngaãu C( ∪ A α ) = ∩ ( CA α ) C( ∩ A α ) = ∪ ( CA α ). α α α α 1.2 AÙnh xaï • Cho hai taäp hôïp X vaø Y. Moät aùnh xaï töø X vaøo Y laø moät qui luaät f naøo ñoù cho töông öùng moät phaàn töû x ∈X vôùi duy nhaát moät phaàn töû y ∈ Y . X ñöôïc goïi laø taäp nguoàn hay mieàn xaùc ñònh coøn Y laø taäp ñích hay mieàn giaù trò. Phaàn töû y ñöôïc goïi laø aûnh cuûa x, coøn x ñöôïc goïi laø taïo aûnh cuûa y qua aùnh xaï f, khi ñoù ta vieát y = f(x). Ñeå chæ moät aùnh xa töø X vaøo Y thöôøng duøng kí hieäu f : X → Y, x a y = f(x) • Cho aùnh xaï f : X → Y vaø U, V laàn löôït laø caùc taäp con cuûa X vaø Y. Taäp hôïp f (U) = {f(x) : x ∈U} ñöôïc goïi laø aûnh cuûa taäp hôïp U qua aùnh xaï f, coøn taäp hôïp f – 1 (V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V } ñöôïc goïi laø nghòch aûnh cuûa taäp hôïp V. • AÙnh xaï f U :U → Y, xaùc ñònh bôûi f U (x) = f(x) vôùi moïi x ∈U, ñöôïc goïi laø haïn cheá cuûa aùnh xaï f treân U. AÙnh xaï idX : X → X, idX(x) = x, ñöôïc goïi laø aùnh xaï ñoàng nhaát treân X. • Ta coù caùc tính chaát sau ⎧f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ⎩f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) A, B ⊂ X ⇒ ⎨ Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông -9- ⎧f −1 (U ∪ V) = f −1 (U) ∪ f −1 ( V) U, V ⊂ Y ⇒ ⎨ −1 −1 −1 ⎩f (U ∩ V) = f (U) ∩ f ( V) CHUÙ YÙ : Ñaúng thöùc f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) noùi chung khoâng ñuùng. Chaúng haïn, ], B = [ π2 , 3π ]. xeùt aùnh xaï f : 3 → 3 , f(x) = sinx; vaø A = [0, 3π 4 2 • Hai aùnh xaï f1 : X1 → Y1 vaø f2 : X2 → Y2 ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu X1 = X2 vaø f1(x) = f2(x) vôùi moïi x ∈ X1, khi ñoù ta vieát f1 = f2. • Cho hai aùnh xaï f : X → Y vaø g : Y → Z . Hôïp cuûa f vôùi g, kyù hieäu laø gof, laø aùnh xaï töø X vaøo Z, ñöôïc xaùc ñònh bôûi (gof)(x) = g(f(x)). Neáu h : Z → T laø moät aùnh xaï khaùc thì ta coù ho(gof) = (hog)o f. • AÙnh xaï f : X → Y ñöôïc goïi laø ñôn aùnh neáu aûnh cuûa hai phaàn töû khaùc nhau trong X laø hai phaàn töû khaùc nhau trong Y. AÙnh xaï f ñöôïc goïi laø toøan aùnh neáu f(X) = Y, töùc laø ñoái vôùi moãi phaàn töû y ∈ Y toàn taïi moät phaàn töû x ∈ X sao cho y = f(x). Moät aùnh xaï vöøa ñôn aùnh vöøa toøan aùnh ñöôïc goïi laø song aùnh. • Neáu f : X → Y laø moät song aùnh thì ñoái vôùi moãi y thuoäc Y coù duy nhaát moät x thuoäc X sao cho y = f(x). Ñieàu naøy cho pheùp xaùc ñònh moät aùnh xaï f –1 töø Y vaøo X vôùi f –1(y) := x neáu f(x) = y. AÙnh xaï f –1 ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa aùnh xaï f. Hieån nhieân raèng f–1o f = idX vaø f o f–1 = idY. Ta cuõng coù theå deã kieåm tra raèng, neáu f : X → Y, g : Y → Z laø caùc song aùnh thì f –1 : Y → X, (g o f) : X → Z cuõng laø caùc song aùnh vaø (g o f)–1 = f –1 o g–1. 1.3 Taäp höõu haïn - voâ haïn - ñeám ñöôïc Neáu coù moät song aùnh f : X → Y töø taäp hôïp X vaøo taäp hôïp Y thì ta noùi X vaø Y coù cuøng löïc löôïng. Taäp hôïp X goïi laø ñeám ñöôïc neáu noù cuøng löïc löôïng vôùi taäp hôïp caùc soá töï nhieân ∠. Noùi caùch khaùc, taäp hôïp ñeám ñöôïc laø taäp hôïp maø caùc phaàn töû cuûa noù coù theå ñaùnh soá thaønh daõy voâ haïn x1, x2, …, xn,…. Moät taäp hôïp X goïi laø höõu haïn neáu noù cuøng löïc löôïng vôùi taäp hôïp {n ∈ ∠:1 ≤ n ≤ ko } (vôùi ko laø moät soá töï nhieân naøo ñoù). Taäp hôïp khoâng höõu haïn goïi laø voâ haïn. • VÍ DUÏ:Taäp hôïp caùc soá nguyeân coù cuøng löïc löôïng vôùi taäp soá töï nhieân vì ta coù song aùnh f : 9 → ∠, ñöôïc xaùc ñònh bôûi f(n) = 2n +1 neáu n ≥ 0, vaø f(n) = 2 n neáu n < 0. 1.4 Quan heä hai ngoâi. • Quan heä (hai ngoâi) treân taäp X laø moät taäp con R cuûa X × X. Neáu caëp phaàn töû (x, y) ∈ R thì ta noùi x coù quan heä R vôi y, vaø vieát x R y. • Moät quan heä R treân taäp X ñöôïc goïi laø coù tính chaát Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 10 - 1) phaûn xaï neáu 2) ñoái xöùng neáu 3) phaûn xöùng neáu x R x, ∀ x ∈ X x R y ⇒ y R x. x R y vaø y R x ⇒ x = y. 4) baéc caàu x R y vaø y R z ⇒ x R z. neáu • VÍ DUÏ: a) Quan heä beù hôn '' ≤ '' thoâng thöôøng treân taäp ∠ laø phaûn xaï, khoâng ñoái xöùng, phaûn xöùng, baéc caàu. b) Quan heä vuoâng goùc trong taäp hôïp caùc ñöôøng thaúng cuûa maët phaúng laø ñoái xöùng, khoâng phaûn xaï, khoâng phaûn xöùng, khoâng baéc caàu. 1.5 Quan heä töông ñöông. • Quan heä R treân taäp X ñöôïc goïi laø quan heä töông ñöông neáu noù coù caùc tính chaát: phaûn xaï, ñoái xöùng vaø baéc caàu. Ngöôøi ta thöôøng kí hieäu quan heä töông ñöông R baèng daáu '' ~ '' vaø ñoïc '' a ~ b'' laø a töông ñöông vôùi b. • Cho R laø moät quan heä töông ñöông treân X. Ñoái vôùi moãi x thuoäc X, taäp hôïp con { y ∈ X : x R y } cuûa X ñöôïc goïi laø moät lôùp töông ñöông cuûa x (modulo R) ∧ vaø ñöôïc kí hieäu laø [x] R , hoaëc [x], hoaëc x , hoaëc x . Moãi phaàn töû cuûa [x] R ñöôïc goïi laø moät ñaïi dieän cuûa [x] R . • Taäp hôïp X R := { [x] : x ∈ X } ñöôïc goïi laø taäp thöông cuûa X ñoái vôùi quan heä töông ñöông R . AÙnh xaï π : X → X R , π (x) = [x], laø moät toøan aùnh vaø ñöôïc goïi laø toøan caáu chính taéc. VÍ DUÏ: a) Quan heä baèng nhau trong moät taäp hôïp baát kì X laø moät quan heä töông ñöông. Vôùi moãi x thuoäc X, ta coù [x] = {x} vaø X R = {{x}, x ∈ X}. b) Vôùi moãi n ∈ ∠, quan heä ñoàng dö modulo n treân 9, kí hieäu x ≡ y(mod n) vaø ñoïc laø '' x laø ñoàng dö vôùi y modulo n '', ñöôïc xaùc ñònh bôûi: x ≡ y(mod n) ⇔ x – y chia heát cho n laø moät quan heä töông ñöông. Lôùp töông ñöông cuûa x ñöôïc goïi laø lôùp ñoàng dö modulo n cuûa x , vaø thöôøng ñöôïc kí hieäu laø x = {x + kn, k ∈ 9 }. • Moät hoï P = {X α } α∈I cacù taäp con cuûa X goïi laø moät phaân lôùp (hay phaân hoaïch) cuûa X neáu 1) Ñoã Nguyeân Sôn X α ≠ ∅ , ∀ α ∈ I. Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 11 - = ∪ Xα α∈I 2) X 3) Xα ∩ Xβ ≠ ∅ ⇒ Xα = Xβ . 1.6 Meänh ñeà a) Neáu R laø moät quan heä töông ñöông trong X thì taäp thöông X R laø moät phaân lôùp cuûa X. b) Neáu P = {X α } α∈I laø moät phaân lôùp cuûa X thì R(P) = {(x,y) ∈X × X : toàn taïi X α ∈ P ñeå x, y ∈ X α } laø moät quan heä töông ñöông treân X, vaø P = X R ( P ) . Chöùng minh: a) Giaû söû R laø moät quan heä töông ñöông trong X. • Vì neáu x thuoäc X thì x thuoäc [x] neân [x] ≠ ∅ vaø X = ∪ [x]. x∈X • Neáu [x] ∩ [y] ≠ ∅, töùc laø toàn taïi z ∈ [x] ∩ [y]. Khi ñoù zRx vaø zRy. Vì vaäy xRy (do tính ñoái xöùng vaø baéc caàu cuûa R). Töø ñoù, [x]= [y]. b) Giaû söû P = {X α } α∈I laø moät phaân lôùp cuûa X vaø R(P) laø quan heä treân X xaùc ñònh bôûi : x R(P) y ⇔ ∃ X α ∈ P, x, y ∈ X α . • Tính phaûn xaï vaø tính ñoái xöùng cuûa R(P) laø roõ raøng. Giaû söû x, y, z ∈ X sao cho x R(P) y vaø y R(P) z. Khi ñoù toàn taïi X α vaø X β sao cho x, y ∈ X α vaø y, z ∈ X β . Nhö vaäy, X α ∩ X β ≠ ∅ vaø do P laø phaân lôùp cuûa X neân X α = X β . Töø ñoù, x, z thuoäc X α = X β , töùc laø x R(P) z. Ñieàu naøy suy ra tính baéc caàu cuûa R(P). • Ta coù nhaän xeùt raèng, neáu x ∈ Xα thì [x] R ( P ) = Xα . Thaät vaäy, neáu laáy baát kì y thuoäc [x] R ( P ) thì y R(P) x neân toàn taïi X β ∈ P sao cho y, x ∈ X β . Nhöng khi ñoù, vì X β vaø Xα coù chung phaàn töû x neân truøng nhau; töùc laø y cuõng laø phaàn töû cuûa Xα , ñieàu naøy suy ra [x] R ( P ) ⊂ Xα . Ngöôïc laïi, neáu laáy baát kì y thuoäc Xα thì do x cuõng thuoäc Xα neân x R(P) y, töùc laø y ∈ [x] R ( P ) . Töø ñoù, Xα ⊂ [x] R ( P ) . • Nhaän xeùt treân suy ra phaàn coøn laïi cuûa meänh ñeà. • NHAÄN XEÙT : a) Neáu R laø moät quan heä töông ñöông trong X, thì vôùi moïi x, y thuoäc X ta coù x R y ⇔ [x] = [y] ⇔ x ∈ [y] ⇔ y ∈ [x] b) Meänh ñeà 1.6 cho thaáy moät söï töông öùng 1 – 1 giöõa taäp caùc quan heä töông ñöông treân X vaø taäp caùc phaân hoaïch cuûa X. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 12 - 1.7 Quan heä thöù töï • Quan heä 2 ngoâi R treân taäp X ñöôïc goïi laø quan heä thöù töï khoâng chaët neáu noù coù caùc tính chaát phaûn xaï, phaûn xöùng vaø baéc caàu, vaø ñöôïc goïi laø quan heä thöù töï chaët neáu noù chæ coùù caùc tính phaûn xöùng vaø baéc caàu . • Cho R laø quan heä thöù töï treân X. Hai phaàn töû a, b ∈ X ñöôïc goïi laø so saùnh ñöôïc ñoái vôùi R neáu luoân luoân coù a R b hoaëc b R a. Moät quan heä thöù töï R treân X goïi laø quan heä thöù töï toøan phaàn neáu moïi caëp phaàn töû khaùc nhau cuûa X ñeàu so saùnh ñöôïc, coøn traùi laïi thì ñöôïc goïi laø quan heä thöù töï boä phaän. • VÍ DUÏ: a) Quan heä beù hôn toøan phaàn. ≤ thoâng thöôøng trong 3 laø moät quan heä thöù töï khoâng chaët, b) Quan heä chia heát trong ∠, ñöôïc kí hieäu laø a ξ b vaø ñoïc laø a chia heát b, laø moät quan heä thöù töï khoâng chaët, boä phaän. c) Quan heä bao haøm ⊂ trong taäp caùc taäp con cuûa X laø moät quan heä thöù töï boä phaän. • Neáu R laø moät quan heä thöù töï trong X thì ta thöôøng kí hieäu R baèng daáu ≤ vaø ñoïc '' a ≤ b '' laø '' a beù hôn b''. Ta xem kí hieäu b ≥ a laø ñoàng nghóa vôùi a ≤ b vaø ñoïc laø '' b lôùn hôn a ''. • Taäp hôïp X ñöôïc goïi laø ñöôïc saép thöù töï ( hay ñöôïc saép) (chaët, khoâng chaët, boä phaän, toøan phaàn) neáu trong noù coù xaùc ñònh moät quan heä thöù töï (chaët, khoâng chaët, boä phaän, toøan phaàn) ≤ , vaø vieát (X, ≤ ). • Giaû söû (X, ≤ ) laø moät taäp ñöôïc saép. Phaàn töû a ∈ X goïi laø phaàn töû cöïc tieåu (töông öùng: cöïc ñaïi ) cuûa X khi vaø chæ khi neáu coù quan heä x ≤ a (töông öùng: x ≥ a ) thì keùo theo x = a . Phaàn töû a ∈ X goïi laø phaàn töû beù nhaát ( töông öùng: phaàn töû lôùn nhaát ) cuûa X khi vaø chæ khi a ≤ x ( a ≥ x) vôùi moïi x ∈ X. • NHAÄN XEÙT: a) Neáu taäp ñöôïc saép (X, ≤ ) coù phaàn töû beù nhaát ( phaàn töû lôùn nhaát ) a thì a laø phaàn töû beù nhaát (töông öùng: lôùn nhaát ) duy nhaát. Thaät vaäy, giaû söû coøn coù b laø phaàn töû beù nhaát thì ta suy ra a ≤ b vaø b ≤ a, töø ñoù, do tính phaûn xaï, a = b. b) Moät boä phaän A cuûa taäp ñöôïc saép (X, ≤ ) coù theå coù hoaëc khoâng coù phaàn töû lôùn nhaát hoaëc beù nhaát. Chaúng haïn trong (3 , ≤ ), taäp ∠0 coù phaàn töû beù nhaát laø 0, nhöng khoâng coù phaàn töû lôùn nhaát. c) Moät boä phaän A cuûa taäp ñöôïc saép (X, ≤ ) coù theå khoâng coù phaàn töû cöïc ñaïi, cöïc tieåu hoaëc coù moät, hoaëc coù nhieàu. Chaúng haïn: Trong (3 , ≤ ) boä phaän ∠0 khoâng coù phaàn töû cöïc ñaïi, ñoaïn [0, 1] coù moät phaàn töû cöïc ñaïi vaø chæ moät, ñoù laø 1 ñoù cuõng Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 13 - laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa [0,1]; trong (∠ – {1}, ξ ) coù voâ soá phaàn töû cöïc tieåu, ñoù laø caùc soá nguyeân toá. d) Neáu (X, ≤ ) ñöôïc saép thöù töï toaøn phaàn thì X coù nhieàu nhaát moät phaàn töû cöïc ñaïi, ñoù cuõng laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa X. Thaät vaäy, neáu a laø phaàn töû cöïc ñaïi cuûa X. Laáy baát kì x thuoäc X , vì ≤ laø quan heä thöù töï toaøn phaàn neân ta coù x ≤ a hoaëc a ≤ x. Trong tröôøng hôïp a ≤ x, vì a laø cöïc ñaïi neân suy ra a = x. Vaäy, ta luoân coù x ≤ a vôùi moïi x ∈ X, töùc laø a laø phaàn töû lôùn nhaát. • Ta noùi moät taäp hôïp X laø saép thöù töï toát neáu noù laø saép thöù töï vaø moïi boä phaän khaùc roãng cuûa X coù moät phaàn töû beù nhaát. Chaúng haïn, (∠, ≤ ) laø taäp ñöôïc saép toát. 2. Caáu truùc ñaïi soá 2.1 Pheùp toùan ñaïi soá • Cho X vaø Y laø hai taäp khaùc ∅. Pheùp toùan trong ( hay luaät hôïp thaønh trong) treân X laø moät aùnh xaï F : X x X → X. Pheùp toùan ngoøai(hay luaät hôïp thaønh ngoøai) treân X vôùi taäp toùan töû Y laø aùnh xaï G : Y x X → X. Phaàn töû F(x,y), G(x,y) ñöôïc goïi laø caùi hôïp thaønh cuûa x vaø y. • Ngöôøi ta thöôøng vieát caùi hôïp thaønh cuûa x vaø y baèng caùch vieát x vaø y theo moät thöù töï nhaát ñònh vôùi moät daáu ñaëc tröng cho pheùp toaùn ñaët giöõa x vaø y. Chaúng haïn, F(x,y) = x + y, F(x,y) = x.y, F(x,y) = x* y, F(x,y) = x ⊥ y, …. Pheùp toaùn trong kí hieäu baèng daáu + ñöôïc goïi laø pheùp coäng, caùi hôïp thaønh x + y luùc naøy ñöôïc goïi laø toång cuûa x vaø y. Pheùp toaùn trong kí hieäu baèng daáu • ñöôïc goïi laø pheùp nhaân, caùi hôïp thaønh x • y (ñoâi khi cuõng ñöôïc vieát xy) luùc naøy ñöôïc goïi laø tích cuûa x vaø y. • VÍ DUÏ: a) Treân 9 caùc aùnh xaï (x,y) a xy; (x,y) a x + y ( pheùp nhaân vaø coäng thoâng thöôøng) laø caùc pheùp toaùn trong. AÙnh xaï (x,y) a x * y = 2x + 6xy + 5y cuõng laø pheùp toaùn trong treân 9. Tuy nhieân aùnh xaï (x,y) a xy khoâng phaûi laø pheùp toaùn treân 9, vì noùi chung xy khoâng thuoäc 9. b) Treân P(X) = {A : A ⊂ X }, caùc aùnh xaï (A, B) a A ∪ B, (A, B) a A ∩ B laø caùc pheùp toaùn trong. c) Treân taäp M(X) = {f : X → X}, caùc aùnh xaï töø X vaøo X, aùnh xaï (f, g) a f o g laø pheùp toaùn trong d) Ñoái vôùi moãi soá thöïc x vaø soá töï nhieân n, caùc aùnh xaï (n, x) a nx, (n,x) a xn laø caùc pheùp toaùn ngoøai treân 3 vôùi taäp toaùn töû ∠. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 14 - • Moät pheùp toaùn * treân moät taäp höõu haïn X = {x1, x2, …, xn} thöôøng ñöôïc cho baèng caùch trình baøy döôùi daïng moät baûng. Trong baûng , ngöôøi ta vieát caùc phaàn töû cuûa X ôû beân treân vaø beân traùi cuûa baûng, daáu * cuûa pheùp toaùn ñöôïc ñaët ôû goùc traùi phía treân. Trong phaàn giao cuûa haøng thöù i vaø coät thöù j, ngöôøi ta vieát caùi hôïp thaønh xi * xj. x1 : xi : x1 x 1* x 1 : x i* x 1 : xn x n* x 1 ... x n* x j ... x n* x n * ... xj ... x 1* x j : : ... x i* x j : : ... xn ... x 1* x n : : ... x i* x n : : 2.2 Caùc tính chaát cuûa pheùp toaùn ñaïi soá Moät pheùp toaùn * treân taäp X coù theå thoûa maõn moät soá trong caùc tính chaát sau ñaây: • Tính keát hôïp : • Tính giao hoaùn : (a * b) * c = a * (b * c) a*b = b*a vôùi moïi a, b, c ∈ X vôùi moïi a, b ∈ X • Tính phaân phoái : Giaû söû ⊥ laø moät pheùp toaùn khaùc treân X. Khi ñoù pheùp toaùn * ñöôïc goïi laø a) phaân phoái traùi ñoái vôùi ⊥ neáu a * (b ⊥ c) = a * b ⊥ a * c, ∀ a, b, c ∈ X b) phaân phoái phaûi ñoái vôùi ⊥ neáu (b ⊥ c) * a = b * a ⊥ c * a, ∀ a, b, c ∈ X c) phaân phoái ñoái vôùi pheùp toaùn ⊥ neáu noù phaân phoái traùi laãn phaân phoái phaûi. • Thoûa luaät giaûn öôùc : Pheùp toùan * ñöôïc goïi laø thoûa maõn a) luaät giaûn öôùc traùi neáu vôùi moïi a, b, c ∈ X, töø a * b = a * c keùo theo b = c b) luaät giaûn öôùc phaûi neáu vôùi moïi a, b, c ∈ X, töø b * a = c * a keùo theo b = c c) luaät giaûn öôùc neáu noù thoûa luaät giaûn öôùc traùi laãn luaät giaûn öôùc phaûi. • VÍ DUÏ: 1) Trong taäp caùc soá töï nhieân ∠, pheùp coäng vaø pheùp nhaân thoâng thöôøng coù tiùnh keát hôïp, giao hoaùn, pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng; pheùp toaùn muõ hoùa (m, 2 n) a mn khoâng giao hoaùn ( 21 ≠ 12), khoâng keát hôïp ( (21)2 ≠ 2 (1 ) ). 2) Trong taäp hôïp caùc aùnh xaï töø X vaøo X, pheùp toaùn hôïp g o f coù tính keát hôïp, khoâng giao hoaùn ( neáu X coù nhieàu hôn moät phaàn töû ) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 15 - 2.3 Caùc phaàn töû ñaëc bieät Cho taäp hôïp X vaø treân ñoù coù moät pheùp toaùn * . • Phaàn töû e ∈ X ñöôïc goïi laø – phaàn töû ñôn vò traùi ñoái vôùi pheùp toaùn * neáu e * a = a, vôùi moïi a ∈ X. – phaàn töû ñôn vò phaûi ñoái vôùi pheùp toaùn * neáu a * e = a, vôùi moïi a ∈ X. – phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp toaùn * neáu e * a = a * e = a, vôùi moïi a ∈ X. • Giaû söû e laø phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp toaùn * treân X. Phaàn töû a' ∈ X ñöôïc goïi laø – nghòch ñaûo traùi cuûa x ∈ X neáu a' * a = e – nghòch ñaûo phaûi cuûa x ∈ X neáu a * a' = e neáu a' * a = a * a' = e – nghòch ñaûo cuûa x ∈ X • CHUÙ YÙ: 1) Neáu ñoái vôùi pheùp toaùn * treân X coù phaàn töû ñôn vò traùi e' vaø phaàn töû ñôn vò phaûi e'' thì e' = e''. Ñieàu naøy suy ra töø e' = e'* e'' = e'' ( ñaúng thöùc thöù nhaát do e'' laø ñôn vò phaûi, ñaúng thöùc thöù hai do e' laø ñôn vò traùi). Töø ñieàu treân suy ra ngay laäp töùc raèng, ñoái vôùi moät pheùp toaùn trong coù nhieàu nhaát laø moät phaàn töû ñôn vò. 3) Phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp coäng thöôøng ñöôïc kí hieäu baèng 0, vaø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x ñöôïc kí hieäu laø – x. Phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp nhaân thöôøng ñöôïc kí hieäu baèng 1, vaø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x ñöôïc kí hieäu laø x–1. • VÍ DUÏ: 1) Trong taäp P(X) caùc taäp con cuûa X, phaàn töû ñôn vò cuûa pheùp toaùn ∪ laø e = ∅, phaàn töû ñôn vò cuûa pheùp toaùn ∩ laø e = X. 2) Trong 9, phaàn töû ñôn vò cuûa pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø soá 0, phaàn töû ñôn vò cuûa pheùp toaùn nhaân thoâng thöôøng laø soá 1. 3) Ñoái vôùi pheùp toaùn hôïp treân taäp caùc aùnh xaï töø X vaøo X, phaàn töû ñôn vò laø aùnh xaï ñoàng nhaát idX. 2.4 Caáu truùc ñaïi soá • Moät boä (X, T1, T2, ...,Tn ; Y1, ⊥1, Y2, ⊥2, ..., Ym, ⊥m ) bao goàm taäp hôïp X khaùc ∅ , caùc pheùp toùan trong Ti treân X ( 1 ≤ i ≤ n), caùc pheùp toùan ngoøai ⊥j treân X vôùi taäp toùan töû Yj ( 1 ≤ j ≤ m ) ñöôïc goïi laø moät caáu truùc ñaïi soá. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 16 - • Giaû söû (X, T1, T2, ...,Tn ; Y1, ⊥1, Y2, ⊥2, ..., Ym, ⊥m ) vaø (X ', T'1, T'2, ...,T'n ; Y1, ⊥'1, Y2, ⊥'2, ..., Ym, ⊥'m ) laø hai caáu truùc ñaïi soá coù cuøng soá löôïng caùc pheùp toaùn trong, coù cuøng soá löôïng caùc pheùp toaùn ngoøai vôùi cuøng caùc taäp toaùn töû. Khi ñoù aùnh xaï f : X → X' ñöôïc goïi laø moät ñoàng caáu giöõa hai caáu truùc ñaïi soá naøy neáu : a) f(a Ti b) = f(a) T'i f(b), vôùi moïi a, b ∈ X, vôùi moïi i = 1, 2, …, n. b) f( α ⊥j b) = α ⊥'j f(b), vôùi moïi α ∈ Yj, b ∈ X, vôùi moïi j = 1, 2, …, m. • Ñoàng caáu f ñöôïc goïi laø ñôn caáu, toøan caáu, ñaúng caáu neáu aùnh xaï f töông öùng laø ñôn aùnh, toaøn aùnh, song aùnh. 2.5 Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn • Caáu truùc ñaïi soá (X, *), trong ñoù * laø pheùp toaùn trong treân X, ñöôïc goïi laø a) nöûa nhoùm neáu pheùp toaùn * coù tính chaát keát hôïp. b) vò nhoùm neáu pheùp toaùn * coù tính keát hôïp, coù phaàn töû ñôn vò c) nhoùm neáu pheùp toaùn * coù tính keát hôïp, coù phaàn töû ñôn vò, vaø moïi phaàn töû cuûa X ñeàu coù nghòch ñaûo. Neáu pheùp toaùn * coù tính giao hoaùn thì (X, *) ñöôïc goïi laø nhoùm ( vò nhoùm, nöûa nhoùm) giao hoaùn. • Caáu truùc ñaïi soá (X, +, • ), trong ñoù + vaø • laø hai pheùp toaùn trong treân X, ñöôïc goïi laø moät vaønh neáu: a) (X, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. b) (X, • ) laø moät vò nhoùm. c) Pheùp toaùn • phaân phoái ñoái vôùi pheùp +. Phaàn töû ñôn vò ( kí hieäu laø 1) cuûa vò nhoùm (X, • ) cuõng ñöôïc goïi laø phaàn töû ñôn vò cuûa vaønh. Neáu pheùp toaùn • coù tính giao hoaùn thì vaønh (X, +. • ) ñöôïc goïi laø vaønh giao hoaùn. Cho (X, +, • ) laø moät vaønh, noù coù theå xaûy ra tröôøng hôïp raèng, toàn taïi caùc phaàn töû a, b ∈ X sao cho a ≠ 0, b ≠ 0 ( 0 laø phaàn töû ñôn vò cuûa nhoùm (X,+)) nhöng xy = 0. Nhöõng phaàn töû nhö theá ñöôïc goïi laø öôùc cuûa khoâng. Moät vaønh giao hoaùn, khoâng coù öôùc cuûa khoâng vaø 1 ≠ 0 ñöôïc goïi laø vaønh nguyeân hoaëc mieàn nguyeân. • Vaønh (X, +, • ) ñöôïc goïi laø moät tröôøng neáu noù laø giao hoaùn, phaàn töû ñôn vò 1 khaùc 0, vaø moïi phaàn töû khaùc 0 deàu coù nghòch ñaûo ñoái vôùi pheùp toaùn • . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 17 - • Cho (A, +, • ) laø moät vaønh vôùi phaàn töû ñôn vò laø 1. Caáu truùc ñaïi soá (M, +, • ), trong ñoù + laø pheùp toaùn trong treân M vaø • laø pheùp toaùn ngoøai treân M vôùi taäp toaùn töû A, ñöôïc goïi laø moät modul treân vaønh A neáu : a) (M, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. b) Pheùp toaùn ngoøai • thoûa caùc ñieàu kieän sau i) α (x + y) ii) ( α + β)x ( α β)x iii) 1x = = = = αx + αy αx + βx α ( βx) x vôùi moïi α ∈ A, vôùi moïi x,y ∈ M. vôùi moïi α , β ∈ A, vôùi moïi x ∈ M. vôùi moïi x ∈ X. • Moät modul treân moät tröôøng ñöôïc goïi laø laø moät khoâng gian vector hay khoâng gian tuyeán tính. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 18 - BAØI TAÄP 1. Chöùng minh raèng : 1) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A vaø A ∪ B = B 2) A ∩ B = A ⇒ A ⊂ B 3) A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B 2. Cho X, Y laø hai taäp con cuûa Z, haõy chöùng toû 1) Z – X ⊂ Z – Y ⇔ Y ⊂ X 2) (Z –Y) ∪ Y = X ⇔ Y ⊂ X 3. Chöùng minh raèng : n n n k =1 k =1 k =1 ( ∪ Ak) – ( ∪ Bk) ⊂ ( ∪ (Ak – Bk). Cho ví duï chöùng toû noùi chung daáu ' = ' khoâng xaûy ra. 4. Chöùng minh raèng vôùi caùc taäp hôïp baát kì A, B, C thì 1) 2) 3) 4) A × (B ∪ C) (A ∪ B)×C A ×(B ∩ C) (A ∩ B) ×C = = = = (A ×B) ∪ (A ×C) (A ×C) ∪ (B ×C) (A ×B ) ∩ (A ×C) (A ×C) ∩ (B ×C) 5. Xeùt taäp hôïp {A1,A2 ,…….,An } maø caùc phaàn töû A1,A2 ,…….,An laø nhöõng taäp hôïp. Chöùng minh raèng coù ít nhaát moät taäp hôïp Ai khoâng chöùa moät taäp hôïp naøo trong caùc taäp hôïp coøn laïi. 6. Cho n0 laø moät soá töï nhieân. Xeùt tính ñôn aùnh, toøan aùnh, song aùnh cuûa aùnh xaï ⎧n 0 − n ⎩n 0 + n f : ∠ → ∠, f(n) := ⎨ khi n < n 0 khi n ≥ n 0 7. Cho f : X → Y, g : Y → Z laø caùc aùnh xaï vaø h = go f laø hôïp cuûa f vaø g, chöùng minh: 1) 2) 3) 4) Neáu h ñôn aùnh thì f ñôn aùnh Neáu h ñôn aùnh vaø f toøan aùnh thì g ñôn aùnh. Neáu h laø toøan anh ù thì g laø toøan aùnh. Neáu h toøan aùnh vaø g ñôn aùnh thì f toøan aùnh. 8. Cho ba aùnh xaï f : X → Y vaø g1, g2 : A → X, haõy chöùng minh 1) Neáu f ñôn aùnh vaø f o g1 = f o g2 thì g1 = g2. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 19 - 2) Neáu vôùi moïi g1, g2 maø töø fo g1 = fo g2 keùo theo g1 = g2, thì f laø ñôn aùnh. 9. Cho ba aùnh xaï f : X → Y vaø g1, g2 : Y → A, haõy chöùng minh 1) Neáu f toøan aùnh vaø g1 o f = g2 o f thì g = g‘. 2) Neáu vôùi moïi g1, g2 maø g1 o f = g2 o f keùo theo g1 = g2, thì f laø toøan aùnh. 10. Haõy thieát laäp caùc song aùnh giöõa caùc taäp hôïp sau 1) 2) 3) 4) 5) 6) Taäp hôïp caùc soá töï nhieân vaø taäp hôïp caùc soá töï nhieân chaün. Taäp hôïp caùc soá töï nhieân vaø taäp hôïp caùc soá nguyeân chaün. Taäp hôïp caùc soá höõu tæ ôû trong ñoïan [0, 1 ] vaø taäp hôïp caùc soá töï nhieân . Ñoaïn [0, 1 ] vaø ñoaïn [a, b ] Ñoaïn [0, 1 ] vaø nöûa truïc [a, + ∞ ], a > 0. Ñoaïn [0, 1 ] vaø khoaûng (0, 1 ) 11. Chæ ra raèng caùc taäp hôïp ∠ vaø ∠ ×∠ , trong ñoù ∠ laø taäp hôïp caùc soá töï nhieân, coù cuøng löïc luôïng. 12. Cho E laø moät taäp hôïp, R laø moät quan heä phaûn xaï trong E sao cho vôùi moïi x, y, z ∈ E, töø xRy vaø yRz keùo theo zRx. Chöùng toû R laø moät quan heä töông ñöông. 14. Cho E laø moät taäp hôïp, R laø moät quan heä phaûn xaï vaø baéc caàu trong E. S laø moät quan heä trong E xaùc ñònh bôûi x S y ⇔ (xRy vaø yRx). Chöùng toû R laø moät quan heä töông ñöông. 14. Cho aùnh xaï f : 3 → 3 , f(x) = x2 – x. Treân 3 xaùc ñònh moät quan heä S nhö sau x Sy ⇔ f(x) = f(y). Chöùng toû R laø moät quan heä töông ñöông, vaø xaùc ñònh lôùp töông ñöông chöùa phaàn töû x: [x]S . 15. Cho moät ñôn aùnh f : X → ∠. Treân X xaùc ñònh moät quan heä R nhö sau xRy ⇔ f(x) ≤ f(y). Chöùng toû R laø quan heä thöù töï toaøn phaàn. 16. Xeùt tính keát hôïp, giao hoaùn, toàn taïi phaàn töû ñôn vò traùi - phaûi cuûa pheùp toaùn * treân taäp hôïp X. 1) a* b = 2a + b – a2, X = 9 ⎧a + b khi b ≥ 0 , X=9 khi b < 0 ⎩a 2) a* b = ⎨ 3) a* b = a 2 + b 2 , X = (0, + ∞ ). Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 20 - 4) a* b = a + b – ab, X = 3 5) a* b = ex + y, X = 3 6) a* b = ab, X = ∠ 17. Cho X laø moät taäp hôïp maø treân ñoù coù hai pheùp toaùn trong * vaø ⊥ vôùi phaàn töû ñôn vò töông öùng laø e0 vaø e. Ngoøai ra pheùp toaùn * phaân phoái traùi ñoái vôùi pheùp ⊥ vaø pheùp toaùn ⊥ phaân phoái traùi ñoái vôùi pheùp * . Chöùng minh raèng a * a = a vaø a ⊥ a = a vôùi moïi a ∈ X. 18. Pheùp nhaân caùc soá voâ tæ coù phaûi laø pheùp toùan trong treân taäp caùc soá voâ tæ khoâng? Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin