TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH PHAÂN
A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
I - NGUYÊN HÀM
1 - Tính chất của nguyên hàm:
1) ( f(x)dx )’ = f(x)
2) af(x)dx = a f(x)dx (a 0)
3) [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
4) f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C
2 - Bảng các nguyên hàm thường gặp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
du u C
dx x C
x 1
x dx 1 C
1
x dx ln x C
Hàm số hợp tương ứng
(dưới đây u = u(x))
( -1)
(x 0)
ax
a dx ln a C
( -1)
(u 0)
u
u
e
du
e
C
x
x
e
dx
e
C
x
u 1
u du 1 C
1
u du ln u C
(0 < a 1)
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
1
cos 2 x dx tan x C
1
sin 2 x dx cot x C
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
au
a du ln a C
u
(0 < a 1)
cos udu sin u C
sin udu cos u C
1
cos 2 u du tan u C
1
sin 2 u du cot u C
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
1
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
Hệ quả:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
1 (axb)1
(axb) dx a. 1 C ( -1)
1
1
dx
ln ax b C
ax b
a
ax b
e
dx
a
mx n
1 ax b
e
C
a
1 a mx n
dx .
C
m ln a
cos( ax b )dx
1
sin( ax b ) C
a
1
sin(
ax
b
)
dx
cos( ax b ) C
a
1
1
cos 2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1
1
dx
cot( ax b) C
sin 2 (ax b)
a
II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 – Định nghĩa:
b
b
f(x)dx = F(x) a = F(b) – F(a)
a
(Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x))
2 – Tính chất của tích phân xác định
a
(1)
(2)
f ( x)dx 0
a
b
a
a
b
b
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
(3) kf ( x)dx k f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
(4) [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
2
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
(5)
c
b
c
a
a
b
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
(6) f(x) 0, x [a; b] f ( x)dx 0
a
b
b
a
a
(7) f(x) g(x), x [a; b] f ( x)dx g ( x)
b
(8) m f(x) M , x [a; b] m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
B. CÁC DẠNG TOÁN
Chủ điểm 1
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân
Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:
x 4 2x 3 x 2 2x 1
dx
1)
2
x
2010
ln
x
dx
3)
x
3x 2 1
5)
dx
3
x x
2
1
7) x 3 dx
x
1 3
9) x dx
x
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
3
1
2) x 3 dx
x
cos x
dx
4)
1 sin x
1
6) 2
dx
(x 3x 2) 2
8)
4 x 5 3x 4 1
x4
dx
10) x 23 x dx
3
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
3
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
11) 3 x 1x - x 2 dx
4
1
13) x 2 dx
1 3
12) x dx
14)
x
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
x
x 2 4x
dx
x
x4 x4 2
15) ax b dx
16)
17) xx a x b dx
18) 2 x e x dx
2
3
2
19) 2 x e x dx
x3
20) e x e - x 2dx
e 2-5x 1
21) e e 2dx
22)
dx
23)
x 1
24) 1 - cos2xdx
x
dx
-x
x-1
4sin 2 x
25)
dx
1 cosx
ex
26)
e
dx
2009 x
1
dx
2010
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. f(x) = x2 – 3x +
1
x
x 3 3x 2
ln x C
ĐS. F(x) =
3
2
2x 4 3
2. f(x) =
x2
2x3 3
C
ĐS. F(x) =
3
x
3. f(x) =
ĐS. F(x) = lnx +
x 1
x2
( x 2 1) 2
4. f(x) =
x2
5. f(x) =
x 3 x 4 x
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
1
x
+C
x3
1
2
x
C
ĐS. F(x) =
3
x
3
2
ĐS. F(x) =
4
3
5
4
2x
3x
4x
C
3
4
5
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
4
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
6. f(x) =
1
3
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
2
ĐS. F(x) = 2 x 3 x C
3
x
x
( x 1) 2
7. f(x) =
x
8. f(x) =
2
ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
x 1
3
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
ĐS. F(x) =
x
5
3
2
3
x x C
x
2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
2
9. f(x) = 2 sin
13. f(x) =
14. f(x) =
sin
2
1
x . cos
2
x
cos 2 x
sin 2 x. cos 2 x
1
1
x sin 2 x C
2
4
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x
1
cos 3 x C
ĐS. F(x) =
3
16. f(x) = 2sin3xcos2x
ĐS. F(x) = cos 5 x cos x C
1
5
1 2x
e ex C
2
17. f(x) = ex(ex – 1)
ĐS. F(x) =
x
e
)
18. f(x) = ex(2 +
cos 2 x
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
19. f(x) = 2ax + 3x
2a x 3 x
C
ĐS. F(x) =
ln a ln 3
20. f(x) = e3x+1
1 3 x 1
C
ĐS. F(x) = 3 e
Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
5
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
x3
1
ĐS. f(x) = 2 x
3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
8 x x x 2 40
ĐS. f(x) =
3
2
3
2
x
1
3
2x
ĐS. f(x) =
2 x
2
3. f’(x) = 4 x x và f(4) = 0
4. f’(x) = x -
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
1
2 và f(1) = 2
x2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
x2 1 5
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) 0, f (1) 4, f (1) 2 ĐS. f(x) =
2 x 2
x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:
e x
x
dx
1. e 1
2. 2 x.3x 1dx
x2
dx
e x dx
3.
4. 2x
x.ln 2 x
e 1
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
x
x
x
cos 2x
dx
1. sin cos dx
2. sin 2 dx
3.
2
2
2
2
2
cos x.sin x
cos 2x
dx
4.
5. cot 2 x dx
6. tan 3 x dx
sin x cos x
cot x
7.
8. cos3 x dx
9. sin 4 x dx
dx
9
1 sin x
dx
ln(ex)
dx
10. tan 5 x dx
11.
12.
4
3
5
1
x
ln
x
sin x cos x
π
2
dx
13. I = 4
π sin x
π
4
dx
14.
4
0 cos x
π
2 3
sin 3 x sin x
15.
cotx dx
sin 3 x
π
4
16.
3
dx
π
cos x.cos(x )
4
π
3
17.
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
π
6
dx
π
sin x.sin(x )
6
3
(ds:2.ln )
2
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
6
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
4
13. ( )
3
ĐS (TPXĐ):
4
14. ( )
3
15. (
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
1
83 3
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau:
2
1
1. 3 x
dx
x
x 4 2x 2 x 2
2.
dx
x2 x 1
3.
dx
x3 x5
dx
4. 3
x x
x3
5. 8
dx
x 2
6.
(3x 1)
dx
(x 1)3
dx
x 2 x 1
8.
10. (2x 3) 2x 1 dx
11.
dx
3 2x
12.
3x 1
dx
2x 3
2x 2 7x 7
13.
dx
x2
14.
4x 7
dx
2x 2 7x 7
15.
x2
dx
x 2 3x 2
dx
16.
x(x n a) m
1 ex
17.
dx
1 ex
18.
dx
dx
e 2x 3
7.
2x
x x2 1
9. (4x 2 4x 1)5 dx
dx
Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1) (5 x 1)dx
4)
dx
2x 1
dx
2) (3 2 x) 5
5)
2
7
(
2
x
1
)
xdx
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
3)
6)
(x
5 2 x dx
3
5) 4 x 2 dx
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
7
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
7)
10)
x 1.xdx
2
8)
dx
x (1
24)
dx
x
dx
x2 5
ln
3
dx
17)
sin x
21)
25)
x
e x dx
e 3
x
2
1 x .dx
2
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
9)
x
dx
x
sin x
dx
14)
cos 5 x
11)
x )2
13) sin 4 x cos xdx
tan xdx
16)
cos 2 x
e x
dx
20)
x
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
12)
3x 2
5 2x
x.e
3
x 2 1
dx
dx
1 ex
dx
x
1
e
0
ln 2
15)
dx
18)
cos x
19)
tan xdx
e tan x
dx
22)
cos 2 x
23)
26)
dx
1 x2
27)
1 x 2 .dx
x 2 dx
1 x2
dx
dx
3
2
28) 2
29) cos x sin xdx
30) x x 1.dx
31) x
e 1
x x 1
xdx
2
2
25 3
3
2
32) x x 1.dx 33) 2x x 1dx 34) x 1 x dx 35) x x 2dx 36) 2
x 1
37)
4 x2
xdx
x2 1
41) sin3 x cos xdx
45) e sin(e )dx
x
x
38)
42)
x4 dx
x5 4
cosxdx
3
46)
sin2 x
(2x-3)dx
x 3x 8
2
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
39)
x3dx
3
43)
40)
x4 1
ln x
dx
x
47 )
2 3x2 5x 6
44)
xdx
1 x
(6x-5)dx
2
48)
dx
cos2 x 1 tan x
x 2 dx
x3 1
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
8
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
49)
ex dx
ex 1
57)
x
62)
2x 4
2
x 4x 2
dx
3
66) e x 1 dx
65) x x 1dx
x3
2
x 2x 1
dx
70)
x
x7
4
1
2
55)
52) cot xdx
sin2x
1 cos2 x
dx
2
3
60) ex x 2dx
59) ex xdx
dx
63)
xlnx
67)
x
1 x2
64)
68)
dx
71)
dx
dx
x ln x
56)
2x
dx
2
x x 1
x4
x 2 2x 1
dx
72)
xdx
x 1 3
x 2 1dx
73) cos 4 xdx
a
e
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
51) tan xdx
2
58) esin x cos xdx
61) 3x 14 dx
x
2x
54) cot(2x 1)dx
lnxm dx
69)
e2x dx
50)
53) tan 3xdx
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
x 3 dx
74)
tan
77)
x 4 42
3
dx
sin 2 xcos 2 x
75) x 2x - 1dx
76)
3
78) 2x 3 1 x 2dx 79) sin 5 x cos xdx
xdx
80) e x dx
x
1
81)
e tgx
2
82)
dx
cos x
dx
x ln x. lnln x
1
1 x
2
ln
1 x
dx 83)
1 x
x
33
1 x 2 dx
84)
Bài 2: Tính các tích phân sau:
3
2
1) I = (2x 3). x 3x 5 dx
dx
2) J =
x ln x
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
1
3) T =
0
dx
1 x2
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
9
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
1
x2 1
x3 x
x4
1
dx 5) L = 6
dx 6)
dx
dx 7)
4) K = 4
X
1 8X
x 1
x 4x 4 4x 2 1
1 1 2
HD và ĐS: 3) Đặt x = tant T = ln( 2 + 1)
4) Giả sử x 0, chia tử và mẫu cho x2
1
1
x 2 2x 1
Sau đó đặt u = x + ĐS: K =
ln | 2
| C
x
2 2
x 2x 1
5) Giả sử x 0, chia tử và mẫu cho x3, Sau đó đặt u = x +
1
x
1 x 4 2x 2 1
ĐS: K = ln 4
C
2 x 2x 2 1
1
8x
ln
C
Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS:
ln 8 1 8x
Vấn đề 3: Phương pháp tích phân từng phần
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
Bài 1:
1
2
x
1) (x 2x).e dx
0
HD-ĐS: 1) e
e
2) (1 x).ln x dx
e2 5
2)
4 4
1
e
3) ln 2 x dx
1
3) Đặt u = ln2x, dv = dx: ĐS: e-2
Bài 2:
1
1) (1 x) 2 .e 2x dx (Đặt u = (1 x) 2 , dv = e2xdx)
0
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
e
2) x.ln 2 x dx
1
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
10
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
e
2
ln x
1
3)
(Đặt
u
=
lnx
,
dv
=
.dx)
dx
2
2
(1 x)
1 (x 1)
ln x
dx
2
1 x
4)
e
1
5) x 2 1 dx (Đặt u =
x 2 1 , dv = dx)
0
π
4
dx
3
0 cos x
7) x.sin x.cos 2 x dx (Đặt u = x, dv = sin x.cos 2 x dx )
0
eπ
9) cos(lnx) dx (Đặt u = cos(lnx), dv = dx)
1
1 sin x x
e dx
11)
0 1 cos x
ĐS:
e
2
6) x.cos 2 x dx
6)
π
π
2
π
2
0
π
2
8) e x .cos 2 x dx
0
2
1
10) x 2 ln(1+ ) dx
x
1
(x 2 1) x
e dx
12)
2
0 (x 1)
1
ĐS: 1
HD ĐS:
5e 2 1
1)
4
e2 1
2)
4
3) 0
1
4) (1 ln 2)
2
1
dx
2 1
, dv =
,
ĐS:
6 ) Đặt u =
ln( 2 1)
cos x
2 2
cos 2 x
1
9) - (e π 1)
2
π2 1
5)
16 4
π
7)
3
π
1
8) (2e 2 3)
5
1
10
1
10) Đặt u = ln(1+ ) , dv = x2dx, ĐS: 3ln3- ln2+
x
3
6
Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Nắm các dạng cơ bản:
b0 b0 b0 b1
, , , .
b1 bk b2 b2
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
11
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
- Dạng tổng quát:
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
Pm (x)
dx
Q n (x)
B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
4x 3
dx
2x 1
x 2 4x 2
dx
4) I =
(x 1)3
1
5x 13
dx
7) I 2
0 x 5x 6
1) I =
x4 1
10) I 6 dx
0 x 1
1
1
1
13) I 2
dx
x
x
1
0
dx
x 2 4x 1
x5
dx
5) I = 4
x 3x 2 2
e
2x 5
8) I 3
dx
2
1 x 3x 4
2x 3
dx
x 3 x 2 2x
3x 2 3x 3
dx
6) I = 3
x 3x 2
3
x3
dx
9) I 2
0 x 2x 1
3x 3
11) I 2
dx
0 x 2x 1
x2
12) I 2
dx
1 x 7x 12
2) I =
2
14)
x3 1
4x 3 x
3) I =
2
dx
1
1
x2 3
ln | 2x 1| C
ln |
| C
2) I =
2
2 3
x2 3
2x 3
A
B
C
3
5
1
3) 3
A
=
,
B
=
,
C
=
2
3
6
x x 2 2x x x 1 x 2
A
B
C
A = 1, B = 2, C = - 1
4) I
x 1 (x 1) 2 (x 1)3
Ax B Cx D
B = D = 0, C= -1, A = 4
2
5) I 2
x 2
x 1
x2
1
-2ln(x 2 +2)+ ln(x 2 +1)+C
ĐS:
2
2
A
B
C
A = 3, B = 2, C = 1
6) I
2
x 1 x 1
(x 1)
9
1
7
x2
ln |
| +C
7) -ln18 8)
9) 3ln4 4
3(x 2) 9
x 1
HD ĐS: 1) I = 2x +
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
12
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
10)
π
3
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
11) – 8 +
9
ln9
2
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
12) 1 + 25ln2 – 16ln3 13)
3
9
Vấn đề 5: Tích phân hàm vô tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:
1)
f ( x,
n
ax b )dx
10)
2)
f ( x k , n ax k b ).x k 1dx
m
11)
ax k b , n ax k b ).x k 1dx
12)
4)
a 2 x 2 dx
5)
6)
7)
...
a x
2
2
x a
2
1
x k
2
2
8)
9)
dx
( x a)( x b)dx
1
dx
( x a)( x b)
xa
dx, a>0
xa
15)
dx
(mx n)
16)
x 2 k dx
ax 2 bx c
dx
1
13)
17)
dx
dx
ax 2 bx c dx
14)
...
ax bx c
2
3) f (
1
dx
ax 2 bx c
dx
p( x) a p( x) b
dx
p( x)
p( x)
2
b
B. Bài tập tự luyện:
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
13
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
Tính các tích phân sau đây:
Bài 1:
1) 3 (2x 3) 2 dx
dx
4)
01 x
7) x
5
2
1 x dx
0
2
x 1
2
10)
2
x 1 x
2
13) x
3
2
2
16)
x2
1 x
2
0
2
19)
x
1
dx
1 x
x 1
dx
5) 3
0 3x 1
7
x3
8)
dx
3
2
0
1 x
e
ln x
11)
dx
x
1
ln
x
1
2
dx
2
3
2
x x 1
1
dx
14)
17)
0
dx
2
dx
x 1dx
1
2/2
(2x 3)
3) (x 2) 2x 3 dx
3
7
3
1
3
dx
2)
2
2
1 x
dx
6) x 3 1 x 2 dx
0
1
9) (1 x 2 )3 dx
0
x2 1
12)
dx
x
1
0
3
2
2
x2
15)
1 x
0
2
dx
1
2
20) x 2 4 x 2 dx
0
1
18)
1 x 2 dx
0
1
21)
0 (x
3x 2
2
1) x 3x 3
dx
HD ĐS:
(Cbú ý: Ngoài căn, trong căn cùng bậc 2 thì nên dùng hàm lượng giác)
46
2
141
4) 2(1 – ln2)
5)
6)
7)14,2
8)
15
15
20
2.( 3 1)
2
106
8
10) 3 5 ln
)
11) (2 2) 12)
13)
3
15
15
( 5 1)
π
1 π
14)
15) ( 1)
12
4 2
2
dx
x 2 2x 3
Bài 2: 1)
2)
3) x 2 4 x 2 dx ()
dx
x 1
0
x2 1 x2
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
14
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
dx
2x 1 3 2x 1
dx
Bài 4: 1)
x(4 x 3 x)
Bài 3: 1)
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
dx
2x 1 4 2x 1
dx
2)
x3x
2)
1 x2
HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS:
C Với x = sint
x
1
u 1 1
2) ĐS: 2[ ln |
| ] + C Với u = cost, x + 1 =
2
u 1 u
t3 t 2
Bài 3: 1) ĐS: 3 [ t ln | t 1| ] C Với t = 6 2x 1 )
3 2
2) ĐS: 2x 1 2 4 2x 1 2ln | 4 2x 1 1| C
t2
Bài 4: 1) ĐS: -12 [
t ln | t 1| ] C Với t = 12 x
2
t3 t 2
2) ĐS: 6 [ t ln | t 1| ] C Với t = 6 x )
3 2
2 tgt
Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:
1) (sin, cos, ...)ndx
2) (tan, cot, ...)ndx
1
dx
3
(sin, cos, ...)n
4) tích( sin, cos)dx
5)
dx
a sin x bcosx c
6)
a sin x bcosx c
dx
msin x pcosx q
dx
7)
sin(ax ).sin(ax )
dx
8)
sin(ax ).cos(ax )
dx
9)
cos(ax ).cos(ax )
10) tan(ax ).tan(ax )dx
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
15
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
11) tan(ax ).cot(ax )dx
14) I
12) cot(ax ).cot(ax )dx
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
dx
dx
asin x b sin x cos x c cos 2 x
2
π
2
0
sin α x / cosα x
13)
dx
sin α x cosα x
B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân
π
2
8
dx
Bài 1: I1 sin x dx ( ) I 2
15
sin x.cos 2 x
0
sin 2 x
I4
dx
I5 cos 4 x dx
6
cos x
dx
I7 sin 2 x.cos3 x dx I8 3
sin x.cos 2 x
5
I10
dx
sin 4 x.cosx
dx
I13
sin 2x 2sin x
I11
3
sin x.cos xdx
1 cos 2 x
π
2
4sin 3 x
I14
dx
0 1 cos x
sin 3 x dx
I3
cosx. 3 cosx
I6 sin 2 x.cos 4 x dx
I9
dx
sin x.cos5 x
3
π
2
I12 cos 4 2x dx (
0
π
4
3π
)
16
sin 6 x cos6 x
I15
dx
x
6
1
π
4
x
x
I 2 cos x.cos .cos dx
2
4
π
π
π
dx
4
I3 0 tan x.tan(x )dx
I 4 π3
π
4
6 sin x.cos(x )
6
dx
dx
dx
I2
(m 1)
I3
Bài 3: I1
1 sin x cosx
sin x m
sin x
Bài 2: I1 sin 2x.cos5x dx
π
2
π
2
6
π
3
π
2
1 sin 2x cos2x
dx (1) I 2 cos 2x(sin 4 x cos 4 x) dx (0)
sin x cosx
π
0
Bài 4: I1
sin x
dx
0 sin x cosx
I3
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
π
I 4 cos 2 x.cos 2 2x dx ( )
8
0
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
16
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
0
Bài 5: I1 (sin x cos x) 4 dx
π
4
π
2
5
sin x
I3 5
dx
5
0 sin x cos x
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
π
2
sin x 7 cos x 6
dx
4sin
x
3cosx
5
0
I2
π
3
cos 2 x
I4
dx
0 sin x 3cosx
b
Vấn đề 7: Tích phân các hàm trị tuyệt đối | f(x) | dx
a
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
1
1
I1 = 4x 4x 1 dx (ĐS: )
2
0
2
3π
4
I3 = | sin 2x | dx (ĐS: 1)
π
4
π
I5 = | cos x | sin x dx
0
4
(ĐS: )
3
π
I2 = 1 cos2x dx (ĐS: 2 2 )
0
π
I4 = 1 sin 2x dx (ĐS: 2 2 )
0
2π
I6 = 1 sin x dx (ĐS: 4 2 )
0
Chủ điểm 2
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng
A. Phương pháp
. Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:
x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho
bởi công thức sau:
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
17
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
b
S = | f(x) | dx
a
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
(1)
. Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b
(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:
b
S = | f(x) - g(x) | dx (2)
a
Chú ý: Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.
Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân
hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.
Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C)
b
phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b S = | f(x) | dx .
a
’
Dùng (2): Gọi (C): y = f(x), (C ): y = g(x) thì ta phải tìm điểm
chung của (C) và (C’) trên [a, b]:
Nếu tìm được hai điểm chung mà hoành độ là a, b hoặc
b
không có điểm chung S = | f(x) - g(x) | dx .
a
Nếu tìm được một điểm chung c [a, b]
b
c
b
S = | f(x) - g(x) | dx = | f(x) - g(x) | dx + | f(x) - g(x) | dx
a
a
c
’
(Dựa vào hình vẽ của (C) và (C ) hoặc xét dấu để phá trị tuyệt đối)
Nói chung:
- Nếu miền giới hạn bởi hai đường, không cho a, b: Tìm các nghiệm
x 1 x2 ... xn . Khi đó S
xn
|
f g | dx =…
x1
- Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 2x + 2,
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
18
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
4
đvdt)
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x4 – 2x2 + 1,
16
trục hoành.
(S =
đvdt)
15
2x
Bài 3: Tính diện tích giới hạn bởi (H): y =
x2
trục hoành Ox và đường thẳng x = 2.
(S = 4(1-ln2) đvdt)
Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0 x 2)
5
trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2. (S = đvdt)
2
2
x 2x
Bài 5: a) Vẽ (C): y = f(x) =
x 1
trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S =
b) Tính diện tích S(a) giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C) và hai
đường thẳng x = a, x = 2a (a > 1). Tìm a để S(a) = ln3.
( b S(a) = ln
2a 1
đvdt, a = 2)
a 1
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = 2 - x2 và đường thẳng
9
(d): y = x
(S = đvdt)
2
2
2
Bài 7: Cho (C): y = f(x) = (x – 1) và (P): y = g(x) = - 3x2 + 2x + 1
a) Tìm điểm chung của (C) và (P)
b) Vẽ (C) và (P) trong cùng mặt phẳng (Oxy)
7
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P). (S =
đvdt)
15
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
x2
27
2
y=x , y=
, y=
(S = 27.ln3 đvdt)
27
x
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
a2
2
2
ax = y , ay = x
(a > 0)
(S =
đvdt)
3
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
19
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI
245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN
ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
x 2 8x 7
7x
y=và y
(S = 9 – 8ln2 đvdt)
3
3 3
x 3
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
5
3
8
y = x2 x 1
và y = - x 2 x 1
(S = đvdt)
2
2
3
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x 3 2x 2 4x 3 (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại
64
điểm có hoành độ bằng 2.
(S =
đvdt)
3
Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
4
(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2) (S = đvdt)
3
Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2)
39
và B(4; 5)
(S =
đvdt)
9
Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong:
x2 3
y
(C) và đường thẳng y = - x + 3
(S = 3 – 4ln2 đvdt)
x 1
Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây:
1
y = 2x2 và x = y2
(S = đvdt)
6
Vấn đề 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay
A.Phương pháp
. Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục
b 2
Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox = π f (x)dx
a
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý
20
- Xem thêm -
.PDF 
39 
114 
112 
