Tài liệu Giáo án ôn thi đại học môn toán bài giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định trên D   . Ta có  f  x   M x  D  f  x   m x  D M  max f  x    ; m  min f  x    xD xD x0  D : f  x0   M x0  D : f  x0   m 2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn  a; b  , ta làm như sau:  B1 Tìm các điểm x1 , x2 , …, xm thuộc khoảng  a; b  mà tại đó hàm số f có đạo  hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. B2 Tính f  x1  , f  x2  , …, f  xm  , f  a  , f  b  .  B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn  a; b  ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn  a; b  . max f  x   max  f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a ;b  min f  x   min  f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a ;b Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f . B. Một số ví dụ 2 x 2  3x  3 Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  trên đoạn  0; 2  . x 1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Giải. Ta có y  2  TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  4 x  3 x  1   2 x 2  3x  3 2 x 2  4 x y'  0 2 2  x  1  x  1 x   0; 2  . Lại có y  0   3 , 17 17 . Suy ra min y  3 , max y  . x  0;2 x  0;2     3 3 Nhận xét.   min f  x   f  a   xa;b f đồng biến trên  a; b    ; max f x  f b      xa;b   min f  x   f  b   xa;b f nghịch biến trên  a; b    . max f x  f a      xa;b Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  4  x 2 . Giải. TXÑ   2; 2 . Ta có y '  1 x 4  x2  x  4  x2 4  x2 ( x   2; 2  ). Với mọi x   2; 2  , ta có y'  0  4  x2  x  0  x  0  x 2. 4  x2  x   2 2 4  x  x  Vậy   2   min 2; 2; 2 2  2 , đạt được    2   min 2; 2; 2 2  2 min y  min y  2  ; y  2  ; y max y  max y  2  ; y  2  ; y x 1 Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x2  1 x  2 ; 2 , đạt được  2. trên đoạn  1; 2 . Giải. Ta có x 2  1   x  1 y' x 1 2 x x 1  THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 1 x 2 x 2  1 x 2  1 . DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Với mọi x   1; 2  ta có y'  0  x 1. Vậy  3 5  min y  min  y  1 ; y  2  ; y 1  min 0; ; 2   0 , đạt được  x  1 ;  5   3 5  max y  max  y  1 ; y  2  ; y 1  max 0; ; 2   2 , đạt được  x  1 .  5  Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  ln 2 x trên đoạn 1; e3  . x Giải. Ta có  ln x  2 2  .x  ln x 2 ln x  ln 2 x x  . y'   x2 x2 Với mọi x  1; e3  ta có y '  0  2ln x  ln 2 x  0  ln x  0 hoặc ln x  2  x  1 hoặc x  e2  x  e2 ( 1  1; e3  ). Vậy      9 4 min y  min y 1 ; y  e3  ; y  e 2   min 0; 3 ; 2   0 , đạt được  x  1 .  e e   9 4 4 max y  max y 1 ; y  e3  ; y  e   max 0; 3 ; 2   2 , đạt được  x  e2 .  e e  e Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số y   x 2  4 x  21   x 2  3 x  10 .  x 2  4 x  21  0  3  x  7 Giải. x  TXÑ   2    2  x  5 , suy ra TXÑ=  2;5 . Ta  x  3x  10  0  2  x  5 có y'  x2  x  4 x  21 2  THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 2x  3 2  x 2  3 x  10 . DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC y'  0  x2  x 2  4 x  21 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  2x  3 2  x 2  3 x  10  x2  4x  4 4 x 2  12 x  9   x 2  4 x  21 4   x 2  3 x  10   4   x 2  3 x  10  x 2  4 x  4     x 2  4 x  21 4 x 2  12 x  9   51x 2  104 x  29  0  x  Thử lại, ta thấy chỉ có x  1 29 hoặc x  . 3 17 1 là nghiệm của y ' . 3 1 1 y  2   3 , y  5   4 , y    2  min y  2 , đạt được  x  . 3 3 C. Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y  4  x 2 . 2) y  x 2  2 x  5 trên đoạn  2;3 . 3) y   x 2  2 x  4 trên đoạn  2; 4  . 3  4) y  x 3  3 x  3 trên đoạn  3;  . 2  1 5) y  x 3  2 x 2  3 x  4 trên đoạn  4;0 . 3 6) y  x 3  3 x 2  9 x  1 trên đoạn  4; 4 . 7) y  x 3  5 x  4 trên đoạn  3;1 . 8) y  x 4  8 x 2  16 trên đoạn 1;3 . 1 trên khoảng  0;   . x 1 10) y  x  trên khoảng 1;   . x 1 1 11) y  x  trên nửa khoảng  0; 2  . x x 12) y  trên nửa khoảng  2; 4 . x2 9) y  x  2 x2  5x  4 13) y  trên đoạn  0;1 . x2 14) y  sin 4 x  cos 4 x . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15) y  2sin 2 x  2sin x  1 . 16) y  cos 2 2 x  sin x cos x  4 . 17) y  cos3 x  6 cos 2 x  9 cos x  5 . 18) y  sin 3 x  cos 2 x  sin x  2 . 19) y   sin 3 x  3sin 3 x 20) y  2 cos 2  cos x  1 cos 1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:  Xác định ẩn phụ t .  Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .  Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  4 . Tìm GTLN, GTNN của S   x 3  1 y 3  1 .  x  y Giải. Đặt t  xy , suy ra 0  t  2 4  4 . Ta có S   xy    x  y   x  y   3xy   1  t 3  4  4 2  3t   1  t 3  12t  63 .   3 2 Xét hàm f  t   t 3  12t  63 , với t   0; 4  . Ta có f '  t   3t 2  12  0 t   0; 4  f  t  đồng biến trên  0; 4  . Do đó  min S  min f  t   f  0   63 , đạt được khi và chỉ khi t0;4 x  y  4    xy  0   x; y    4; 0  hoặc  x; y    0; 4  . max S  max f  t   f  4   49 , đạt được khi và chỉ khi t0;4 x  y  4    xy  4  x; y    2; 2  . Ví dụ 2. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  2 . Tìm GTLN, GTNN của S  x  y  xy . Giải. Đặt t  x  y  t  0 . Ta có t 2   x  y   2  x2  y2   4  t  2 , 2 t 2   x  y   x 2  y 2  2 xy  x 2  y 2  2  t  2 . 2 Suy ra t   2; 2  . Lại có xy   x  y 2   x2  y 2  2 1 1  t 2 1  S  f t    t 2  t  1. 2 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Ta có f '  t   t  1  0 với mọi t     2; 2 , f  2   1 , f 1  3 . Do đó 2 x  y  2 x  1 .   min S  f  2   1 , đạt được   2 2 y 1 x  y  2   1 3 1 3 x  x    x  y  1 3   2 2 . max S  f 1  , đạt được   2  hoặc    2 2 x  y  2  y  1 3  y  1 3   2 2 x y Ví dụ 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  8 . Tìm GTLN, GTNN của S  .  y 1 x 1 Giải. Đặt t  x  y , ta có  x  y 2  x  y 2  2  x 2  y 2   2  8  16  t  4 ,  x 2  y 2  2 xy  x 2  y 2  8  t  2 2 . Suy ra 2 2  t  4 . Lại có x y   x  y 2   x2  y 2  2  t2  8 . 2 Ta có biến đổi sau đây 2 2 2 x  x  1  y  y  1  x  y    x  y   2 xy t  t   t  8  t 8   2 2 . S   2 t 8 t  2t  6 x  y  xy  1  y  1 x  1 t 1 2 Xét hàm f  t   f 't  t 8 với 2 2  t  4 . Ta có t  2t  6 t  2 2  2t  6    t  8  2t  2  t 2  2t  6  2  t 2  16t  22 t 2  2t  6  2  0 , t : 2 2  t  4 .   2 Suy ra f nghịch biến trên  2 2; 4  . Do đó min f  t   f  4   . max f  t   f 2 2  2 . t 2 2 ;4  3  x2  y2  8 4 4 +) S  2  min f  t   , dấu bằng xảy ra    x  y  2 . Vậy min S  , đạt t 2 2;4 3 3 x  y  4 được  x  y  2 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  x 2  y 2  8  x  0  x  2 2 +) S  2  max f  t   4 2 , dấu bằng xảy ra   hoặc  .   t 2 2 ;4   y  0  x  y  2 2  y  2 2 Vậy max S   x  0  x  2 2 4 , đạt được   hoặc  . 3  y  2 2  y  0 Ví dụ 4. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của S x2 y2 1 .   y 1 x 1 x  y  3 Giải. Đặt  xy  3  t  0  xy  3  t  .   t  x y   t2 2  t  3 3  t     4 Ta có x3  y 3  x 2  y 2 1   S   x  1 y  1 x  y  3   x  y 3  3xy  x  y    x  y   2 xy 1  xy   x  y   1 x y 3 2 t 3  33  t  t  t 2  2 3  t  1 t 3 2 7t 1 3   t    . t 3 4 4 t 3 2 3  t   t  1 t 3 2 7t 1 3 Xét hàm f  t    t    , t   2;3 . 4 4 t 3 2 Ta có f '  t   3t 2 7 1  2t    0 , t   2;3  f 1 đồng biến trên  2;3 . 4 4  t  3 2 Do đó  S  f t   f  2   min S    x  y  xy  3 4 . Dấu “  ” xảy ra    x  y 1 5 x  y  2 4 , Đạt được  x  y  1 . 5 S  f  t   f  3   x  y  xy  3 x  0 x  3 35 . Dấu “  ” xảy ra   hoặc  .   6 x  y  3 y  3 y  0 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC  max S  TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ x  0 x  3 35 , Đạt được   hoặc  . 6 y  3 y  0 Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn x 2  xy  y 2  1 . Tìm GTLN, GTNN của S  x 2  xy  y 2 . Giải. Cách 1. Từ giả thiết suy ra 1   x  y   xy   x  y  2 t   x  y  thì 2  x  y  4 2 3 x  y  . Do đó, nếu đặt  4 2  2 3 2 3 3 2 t  1 , hay t    ; . 3  4  3 Ta có xy   x  y   1  t 2  1 , suy ra 2 S   x  y   3 xy  t 2  3  t 2  1  2t 2  3 . 2  2 3 2 3 ; Xét hàm f  t   2t 2  3 với t     . Ta có f '  t   4t , f '  t  có nghiệm duy nhất 3 3    2 3 2 3 t  0    ; . 3   3 2 3  2 3 1 Ta có f  0   3 , f    f     .  3   3  3 Do đó 1 min S  , đạt được chẳng hạn khi 3   2 3  2 3  2 3 x y   x  y  x  y     3  3     3   x  y 2  xy  1  x 2  xy  y 2  1  xy  1    3   1 1  ; .  3 3  x; y    max S  3 , đạt được khi và chỉ khi  x  y  0 x  y  0 x  y  0      2 2 2  xy  1  x  y   xy  1  x  xy  y  1   x; y   1; 1 hoặc  x; y    1;1 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Cách 2. Ta có S  TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ x 2  xy  y 2 . x 2  xy  y 2  Xét y  0 . Khi đó S  1 .  Xét y  0 . Chia cả tử và mẫu của S cho y 2 và đặt t  S x , ta được y t2  t 1 2t .  1 2 2 t  t 1 t  t 1 2  t 2  1 2t Xét hàm f  t   1  2 , ta có f '  t   . 2 t  t 1  t 2  t  1 Bảng biến thiên của hàm f  t  : 2   t lim f  t   lim  1  t  t  1  1   12 t t      1.   Suy ra: 1 +) min S  , đạt được khi và chỉ khi 3 x  y 1   x; y    1 ; 1  hoặc  x; y     1 ;  1  .      3 3  3 3   x 2  xy  y 2  1  +) max S  3 . Đạt được khi và chỉ khi x  y  1   x; y   1; 1 hoặc  x; y    1;1 .   x 2  xy  y 2  1  Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  x  y   4 xy  2 . Tìm GTNN của 3 A  3  x4  y 4  x2 y 2   2  x2  y 2   1. Giải. Áp dụng bất đẳng thức  a 2  b 2  ab   THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 3 2  a  b  với a  x 2 , b  y 2 ta được 4 DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC x 4  y 4  x2 y 2   TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 2 3 2 9 x  y 2   A   x2  y 2   2  x2  y 2   1 .  4 4 Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có 2  x  y   x  y 3 2 2   x  y  1  x  y  2  2  x  y   2  0  x  y  1  (do  x  y   2  x  y   2   x  y  1  1  0 x , y ). 2 2   x  y 2 1  t  2 2 Đặt t  x 2  y 2   . 9  A  f t  t 2  2t  1   4 9 1 1 9 Xét hàm f  t   t 2  2t  1 , t  . Ta có f '  t   t  2  0 t   f  t  đồng biến trên 4 2 2 2 1 1  1 9  2 ;    f  t   f  2   16 t  2 . Như vậy S  9 , dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 16 x  y  1 1  1 1  2 1   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   . 2 2 2  2 2  x  y  2 9 1 1  1 1 , đạt được   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   . 16 2 2  2 2 Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và Vậy min S  x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 5  y 5  z 5 . Giải. Từ x  y  z  0 suy ra z    x  y  , thay z    x  y  vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được 1  x 2  y 2   x  y   2  x  y   2 xy  2  x  y   2 2 2 1 3 2 2  x  y   x  y 2 2 Do đó, nếu đặt t  x  y thì ta có  6 6 3 2 2t 2  1 ; t  1  t   , . xy   3 3 2 2   Biến đổi P  x5  y 5   x  y  5   x 3  y 3  x 2  y 2   x 2 y 2  x  y    x  y  5 3 2 5   x  y   3 xy  x  y    x  y   2 xy   x 2 y 2  x  y    x  y     THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2  5 3 2t 2  1   2 2t 2  1   2t 2  1  5  t 3  3   t  t  2    t  t    2t  t  .  2 2   2  4   Xét hàm f  t    t  6 6 5 3 5 2 2t  t  , với t    ;   . Ta có f '  t     6t  1 có hai nghiệm là 4 4  3 3  6  6 6   ;  6  3 3 .   6 5 6   6 6 5 6 6 5 6 5 6 Ta có f   , f   , f  , f  .           3 36 6 36 6 36 3 36         5 6 6 6 , đạt được chẳng hạn khi x  y  , z . 36 6 3 3 Ví dụ 8. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  . Tìm GTNN của biểu thức 2 1 1 1 S  x2  y 2  z 2  2  2  2 . x y y z z x Vậy min P   Giải. Đặt t  3 xyz . Ta có t  0 và 3 1  x  y  z  3 3 xyz  t  . 2 2  1 Suy ra t   0;  .  2 Lại có x 2  y 2  z 2  3 3 x 2 y 2 z 2  3t 2 , 1 1 1 1 1 1 3 3  2  2  33 2  2  2   3 2 x y y z z x x y y z z x xyz t 1   S  3 t 2  3  . t   1 3 2t 5  3  1  1 t  0; f ' t  2 t    0 t   0;  , suy ra f với . Ta có    3 4 4  t t t  2  2  1  1  99 nghịch biến trên  0;  . Vậy min S  3 f    , đạt được khi và chỉ khi  2 2 4 Xét hàm f  t   t 2  THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ x  y  z 1  3 1  x yz . 2  xyz  2 Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng: x2   1 Giải. Xét a  x;  ,  x 1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 . 2 x y z 1  1   1      1 1 1 b  y;  , c  z;  , ta có a  b  c   x  y  z;    . x y z  z  y        Từ a  b  c  a  b  c suy ra 1 1 1 x  2  y2  2  z2  2  x y z 2  x  y  z 2 1 1 1     x y z 2 Đến đây ta có hai cách đi tiếp: Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: x  y  z  3 3 xyz , 1 1 1 1    33 . x y z xyz Do đó VT 1  9t  9 , với t  t  3 xyz . 2 Ta có 2  x yz 1 0t    . 3   9 Xét f  t   9t  9  1 với t   0;  . Ta có t  9 f ' t   9  9 1  0 t   0;   f  t  nghịch biến trên 2 t  9 1  f  t   f    82  VT 1  9  1  0;  .  9 f (t )  82 (ĐPCM). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Cách 2.  x  y  z  TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2       81 x  y  z        80  x  y  z  x y z x y z 2 1 1 1 2  2 81 x  y  z       80  x  y  z  x y z 2 1 1 1 2  18  x  y  z       80  x  y  z   18.9 – 80  82 . x y z Từ đó suy ra điều phải chứng minh. C. Bài tập Bài 1. [ĐHD09] Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của S   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25xy . Bài 2. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của x y .  y 1 x 1 Bài 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của S S   x 2  1 y 2  1  x 2  y 2  1 . Bài 4. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của S x y 6 .   x  2 y  2 x  y 1 Bài 5. Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1  xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  x4  y 4  x 2 y 2 . Bài 6. Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  1 x  1 y . Bài 7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32 . Tìm GTNN của 2 2 A  x 3  y 3  3  xy  1 x  y  2  . Bài 8. [ĐHA06] Cho x  0 , y  0 thỏa mãn  x  y  xy  x 2  y 2  xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 1  . x3 y 3 Bài 9. [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P 2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG . DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 10. Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  xy  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  x 2  2 xy  y 2 . Bài 11. Cho x , y thỏa mãn 2 x 2  y 2  xy  1 . Tìm GTNN của biểu thức S  x2  y 2 . 3 . Tìm GTNN của biểu thức 2 1 1 1 S  x yz   . x y z Bài 13. [ĐHB10] Cho a , b , c  0 thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTNN của biểu thức Bài 12. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  M  3  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2   3  ab  bc  ca   2 a 2  b 2  a 2 . Bài 14. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  P 3 . Tìm GTNN của biểu thức 2 x y x x5 y 5 z 5      . y 2 z z 2 x x2 y y z x THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15