Chuyên đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN XOAY
Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên Quang.
1. Một số kiến thức bổ trợ:
a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết:
a.1.Một số công thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V a
3
Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
V B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao.
1
- Thể tích của khối chóp: V .B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao.
3
- Thể tích khối lăng trụ:
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm
A’,B’,C’ khác với S. Ta có:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
.
.
VS . ABC
SA SB SC
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = .R 2 .h (h : độ dài đường cao)
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l
1
- Thể tích khối nón: V = . .R 2 .h
3
- Diện tích mặt cầu: S = 4. .R 2
4
- Thể tích khối cầu: V = .R 3
3
a.2.Một số kiến thức bổ trợ:
3
3
2
Diện tích : S a .
2
4
2
+ Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a. 2 Diện tích S a .
1
1
+ Công thức tính diện tích tam giác: S .a.ha .a.b.sin C .
2
2
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: h a.
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).
Nếu d ( P) thì (
d,( P)) 90
Nếu không vuông góc với ( P) thì
-
Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P).
0
Khi đó : (d,( P)) (d, d ') .
+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
( P) (Q) d
a ( P), a d
(( P),(Q)) (a, b)
b (Q), b d
a b I d
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
* Nếu a b thì
- Dựng mp(P) b và mp(P) a tại A
- Dựng AB vuông góc với b tại B
Khi đó: d(a, b) AB
* Nếu a và b không vuông góc thì
Cách 1:
- Dựng mp(P) a tại O và ( P) b I
- Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P)
-Trong (P) dựng OH vuông góc với b’tại H.
-Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B
-Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại A.
Khi đó: d(a, b) AB
Cách 2:
- Dựng (P) b và mp(P)//a .
- Dựng (Q) thỏa mãn A (Q), A a,
(Q) (P),(Q) (P)= c
- Trong (Q) kẻ AB vuông góc với c tại B
Khi đó: d(a, b) AB
Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.
3 3a 3
3 9a2 3
2
Giải: Ta có : Chiều cao: h 3a.
Diện tích : S 3a .
2
2
4
4
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 5a 6 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông
ABCD.
Giải: Ta có : AC 5a 6. 2 10a 3 và SABCD 5a 6
2
150a2
Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 7,
BC 5a .
Giải: Ta có: AB
BC2 AC2 (5a)2 (a 7)2 18a2 3a 2 Khi đó:
Diện tích tam giác ABC là
2
1
1
a2 14
(đvdt)
SABCD .AC.AB .a 7.a 2
2
2
2
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a 3 ,
ABC 600 .
Giải: Diện tích tam giác ABC là
2
1
1 .5a.2a 3. 3 15a (đvdt)
SABCD .AB.BC.sin ABC
2
2
2
2
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Giải
Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của
tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác
đều nên ta có:
O AM , SO ( ABC)
Khi đó OA là hình chiếu vuông góc của SA trên
(ABC).Do đó
(SA
,( ABC)) (SA
, AO) SAO
b.Vì SO ( ABC) nên
OM là hình chiếu vuông góc của SM trên
(ABC) mà BC OM nên SM BC .Do đó
((
SBC),( ABC)) (SM
,OM ) SMO
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA ( ABCD )
a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD).
b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD
là hình vuông nên ta có: AC BD
Vì SA ( ABCD ) Khi đó AC là hình chiếu
vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó
(SC
,( ABCD)) (SC
, AC) SCA
b.Vì SA ( ABCD ) nên AO là hình chiếu
vuông
góc
của
SO
trên
BD AO nên SO BD
(ABCD)
mà
.Do đó
((
SBD),( ABCD)) (SO
,OA) SOA
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA ( ABCD )
Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
3
Giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta thấy
AC BD và SA BD nên BD (SAC)
Do đó SC BD
(SAC) SC,(SAC) BD tại O
Trong (SAC) kẻ OH vuông góc với SC tại H.
Khi đó :
d( BD, SC) OH
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng ( ABC) .Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC
tại N. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN.
Giải: (ĐH khối A-2011)
Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN cắt d tại
E.
EN AE
EN (SAE) (SEN ) (SAE) .
EN SA
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE. Khi đó
AK (SEN ) .
Vì MN//EN mà EN (SEN ) AM //(SEN )
Do đó
d AB, SN d( AB,(SEN ) d( A,(SEN )) AK
b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm
Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a.
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a 3 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông
ABCD.
Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 5,
BC 4a .
Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a 6 ,
ABC 30 .
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD).
b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD).
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA=SB=SC.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC).
b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC).
0
Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu của A trên
(A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Xác định góc giữa cạnh bên AA’ và mặt đáy (A’B’C’).
Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Xác định
góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’).
4
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề:
a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác.
B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B 3: Áp dụng công thức V =
1
B.h
3
Ví dụ 1.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Giải:
a) Gọi E là trung điểm của BC và O là tâm của
ABC .Vì ABCD là tứ diện đều nên
và
và
DO ( ABC )
AE BC
O AE , AO
2
2a 3
AE
3
3
Trong vuông DAO : DO AD 2 AO 2
(2a ) 2 (
2a 3 2 2a 6
)
3
3
Mặt khác: S ABC
2a
2
3
a2 3 ,
4
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
3
1
V S ABC .DO 1 .a2 3. 2a 6 2a 2
3
3
3
3
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là MH
1
a 6
MH DO
2
3
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp
a.
Biết cạnh bên bằng a 3 .Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ diện
K.ABC theo a.
b.
Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 .
c.
Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 .
d.
Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 45 .
0
0
Giải
5
0
Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của
tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác
đều nên ta có:
O AM , SO ( ABC)
O AM , AO
2
2 a 3 a 3
AM .
3
3 2
3
Trong vuông SAO : SO SA2 AO 2
(a 3) 2 (
a 3 2 2a 6
)
3
3
Mặtkhác:
1
1 a 3 a2 3
S ABC .BC. AM .a.
2
2
2
4
Vậy thể tích chóp S.ABC là
2
3
1
VS . ABC S ABC .SO 1 . a 3 . a 6 a 2
3
3 4
3
12
Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên (ABC).Khi đó H AM , KH //
1
a 6
SO
Vậy
2
3
Tính thể tích khối tứ diện K.ABC là
VK . ABC
1
1 a 2 3 a 6 a3 2
S ABC .KH .
.
(đvtt)
3
3 4
3
12
b.Vì SO ( ABC) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).Do đó
= 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có:
(SA
,( ABC)) (SA
, AO) SAO
2
a 3 . 3 a ; S a 3 (đvdt)
SO=AO.tanSAO
ABC
4
3
1
1 a2 3
a3 3
V
S
.
SO
.
.a
Vậy S . ABC
(đvtt)
ABC
3
3 4
12
c.Vì SO ( ABC) nên OM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà BC OM nên
= 300
SM BC .Do đó ((
SBC),( ABC)) (SM
,OM ) SMO
a 3 1 a
a2 3
(đvdt)
.
; S ABC
4
6
3 6
Trong tam giác vuông SMO ta có: SO=OM.tanSMO
1
1 a2 3 a a3 3
V
S
.
SO
.
.
Vậy S . ABC
(đvtt)
ABC
3
3 4 6 72
450 ,AB=a
d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SAB là tam giác cân đỉnh S mà SAB
0
Do đó SAB vuông cân đỉnh S Ta có: SA AB.sin 45
ng c : SO SA2 AO 2 (
Trong SAO vu趔
Vậy
VS . ABC
a 2
a
a 6
) ( )2
6
2
3
1
1 a2 3 a 6 a3 2
S ABC .SO .
.
(đvtt)
3
3 4
6
24
6
a 2
2
Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a,
SA ( ABCD) .Góc giữa SD và ABCD bằng 450 .
Giải:
a) Vì SA ( ABCD ) nên AD là hình chiếu
vuông góc của SD trên (ABCD).Do đó
450
(SD
,( ABCD)) (SD
, AD) SDA
450 và
Xét tam giác SAD có
SDA
900 nên SA=AD=3a
SAD
2
Ta có S ABCD AB.BC a.3a 3a ,
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
1
1
VS . ABCD S ABCD .SA .3a 2 .a 3a 3
3
3
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B3: Áp dụng công thức
V B.h
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng
2a 15
Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có cạnh
đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15 là
ABCA’B’C’.
Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
a2 3 3a3 5
VABCA ' B'C' AA '.SABC 2a 15.
4
2
3
a 6
(đvtt)
12
Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm
A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của
lăng trụ
7
Giải:
a. Gọi H là hình chiếu của A’trên
(ABC). Do A’A=A’B=A’C nên H là
tâm của tam giác đều ABC.
Ta có AH=
a 3
0
và A'AH=60
3
Trong vuông AA’H ta có
A’H = AH. tan600 =
SABC
a 3
. 3a
3
a2 3
=
4
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCA ' B 'C ' S ABC . A ' H
a2 3
a3 3
.a
4
4
Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng
AC'=2a 6
Giải:
Gọi b là độ dài cạnh của khối lập
phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có
A'C'=a 2; AA' b; AC ' b 3
Mặt khác Theo giả thiết ta có
AC'=2a 6 nên
b 3 =2a 6 b 2a 2
Khi đó SABCD 2a 2
2
8a2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCD. A ' B 'C ' D ' S ABCD . AA '
2a 2.8a 2 16a 2 . 2
Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay
B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay
B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay
B 3: Áp dụng công thức :
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = .R 2 .h ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l
1
- Thể tích khối nón: V = . .R 2 .h
3
- Diện tích mặt cầu: S = 4. .R 2
8
4
.R 3
3
Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối
lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b.
- Thể tích khối cầu: V =
Giải:
Khối trụ có bán kính
Mặt khác Theo giả thiết ta có bán
kính R=AO=
2
2 3a 3
AH=
a 3
3
3 2
- Diện tích xung quanh của hình trụ là
Sxq = 2. .a 3.4b 8ab 3. (đvdt)
- Diện tích toàn phần của hình trụ là
Stp = Sxq +2.Sđ
2
= 2. .a 3.4b 2 .(a 3)
8ab 3. 6a2 . 2a (4b 3 3a)
Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều cao
h=4b là
V=
2
.R2 .h a 3 .4b 12a2 b
Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có chiều cao
0
bằng a và góc ở đỉnh bằng 120 .
Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm
O.Thiết diện qua trục là SAB cân có
0
0
ASB=120
nên ASO=60
Trong vuông ASO Ta có:
R AO SO. tan 600 a 3;
l SA
AO
a 3
2a
0
sin 60
3
2
- Diện tích xung quanh của hình nón là
2
Sxq = Rl .a 3.2a 2a 3. (đvdt)
- Diện tích toàn phần của hình nón là
2
Stp = Sxq +Sđ = Rl R
.a 3.2a a 3
2
2a2 3. 3 a2
a2 (2 3 3) (đvdt)
Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao
h=a là
V=
2
1
1
. .R2 .h . a 3 .a a3
3
3
9
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc với đáy ABC
và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a.
Giải: Do SA ( ABC) nên SA là đường cao
của khối chóp S.ABC.
Trong tam giác vuông ABC.
Ta có:
BC AC2 AB2
(5a)2 (4a)2 3a
1
1
SABC AB.BC .3a.4a 6a2
2
2
Vậy V =
1
3
SABC . SA = 6a (đvtt)
3
Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và
0
đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ABC là tam giác đều nên AM BC mà
SA ( ABC)
Nên AM là hình chiếu vuông góc của SM trên
(ABC) Do đó SM BC hơn nữa
BC ( SBC ) ( ABC ) nên
((
SBC),( ABC)) (SM
, AM )
300
SMA
Trong V SAM ta có
SA = AM. tan300 =
Vậy V =
a 3 3 a
.
2 3 2
1
SABC . SA =
3
1 a2 3 a a3 3
= .
(đvtt)
.
3 4 2
24
Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=a,
SA=SB=SC=
a 3
0
và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 60
2
10
Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S
trên (ABC).Do tam giác ABC vuông tại
A và SA=SB=SC nên H là trung điểm
của BC.
Gọi M là trung điểm của AB.
AM BC Khi đó
((
SAB),( ABC)) (SM
, HM )
600
SMH
Trong V SHC ta có
SH SC2 CH 2
a 3 2 a2 a 2
) ( )
2
2
2
Trong V SHM ta có
(
a 2
a 6
a 6
Do đó AC=2HM=
Khi đó
: 3
2
6
3
1
1
3 a 6 a2 2
SABC = AB.AC= .a
.
2
2 3 3
6
2
1 a 2 a 2 a3
1
Vậy V = SABC . SA = .
(đvtt)
.
3
3 6
2
18
HM = SH: tan600 =
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp
a.Biết cạnh bên bằng a 2 .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA Tính tỷ số thể
tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD.
0
b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 .
0
c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 .
60 .
d. Biết SAB
Giải:
a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì
S.ABCD là hình chóp tam giác đều nên ta có:
0
SO ( ABCD)
O AC , AO
1
1
a 2
AC .a 2
2
2
2
ng c : SO SA2 AO 2
Trong SAO vu趔
(a 2) 2 (
Mặtkhác:
a 2 2 a 6
)
2
2
S ABCD a 2
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
1
VS . ABCD S ABCD .SO 1 .a2. a 6 a 6
3
3
2
6
11
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD).
1
a2
1
1 a 6 a 6 S
Khi đó H AO, MH // SO .
, ABC .S ABCD
2
2
5
5 2
10
Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là
VM . ABC
1
1 a 2 a 6 a3 6
S ABC .KH . .
3
3 2 10
60
a3 6
VM . ABC
60 1
Khi đó : V
a 3 6 10
S . ABCD
6
1
1
1
Cách 2: VS . ABCD .S ABCD .SO .2 S ABC .5MH 10 S ABC .MH 10VM . ABC
3
3
3
V
1
M . ABC
VS . ABCD 10
b.Vì SO ( ABCD ) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD).Do đó
= 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có:
(SA
,( ABCD)) (SA
, AO) SAO
2
a 2 . 3 a 6 ; S a 3 (đvdt)
SO=AO.tanSAO
ABC
4
2
2
1
1 2 a 6 a3 6
V
S
.
SO
.a .
Vậy
(đvtt)
S . ABC
ABC
3
3
2
6
c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì SO ( ABCD ) nên OE là hình chiếu vuông góc của SE trên
(ABCD) mà CD OE nên SE CD .
= 300
Do đó ((
SCD),( ABCD)) (SE
,OE) SEO
Trong tam giác vuông SMO ta có:
2
a . 1 a 3 ; S a 3 (đvdt)
SO=OE.tanSEO
ABC
4
2 3
6
1
1 2 a 3 a3 3
V
S
.
SO
.a .
Vậy S . ABCD
(đvtt)
ABCD
3
3
6
18
600 ,AB=a
d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SAB là tam giác cân đỉnh S mà SAB
Do đó SAB đều cạnh a Ta có: SA AB a
ng c : SO SA2 AO 2 (a ) 2 (
Trong SAO vu趔
a 2 a 2
)
2
2
1
1 2 a 2 a3 2
V
S
.
SO
.a .
Vậy S . ABC
(đvtt)
ABC
3
3
2
6
Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông.
a. Biết AB=,2a SA ( ABCD ) và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 60
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 30
12
0
0
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình
vuông cạnh 2a nên ta có: AC BD và AO =
1
AC a 2
2
Vì SA ( ABCD ) Khi đó AO là hình chiếu vuông góc
của SO trên (ABCD). mà BD AO nên SO BD
Do đó
= 600
((
SBD),( ABCD)) (SO
, AO) SOA
Trong tam giác vuông SAO ta có:
a 2. 1 a 6 ;
SA=AO.tanSOA
6
3
S ABCD 2a 4a 2 (đvdt)
2
1
1 2 a 6 2a3 6
V
S
.
SO
.4a .
Vậy S . ABCD
ABCD
3
3
6
9
b. Vì SA ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó
= 300 .Trong tam giác vuông SAC ta có:
(SC
,( ABCD)) (SC
, AC) SCA
2a. 1 2a 3 ; Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta có
SA=AC.tanSCA
3
3
2
b. 2 2a b a 2 Khi đó S ABCD a 2 2a 2 (đvdt)
Vậy
3
1
VS . ABCD S ABCD .SO 1 .2a2. 2a 3 4a 3 (đvtt)
3
3
3
9
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Mặt bên
(SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là trung điểm của AB
a. CMR SH ( ABCD )
b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
1
c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM AD .Tính VS . ABM theo a.
4
Giải:
a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là trung
điểm của AB nên SH AB
và SH 3a.
Khi đó Ta có :
3 3a 3
2
2
(SAB) ( ABCD)
SH AB
SH ( ABCD)
SH (SAB)
b. Mặtkhác:
S ABCD 3a 9a 2
2
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
VS . ABCD
1
1 2 3a 3 9a3 3
S ABCD .SH .9a .
3
3
2
2
13
c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn AM
S ABM
1
AD nên.Tính
4
1
1 1
1
9a 2
.S ABD . S ABCD S ABCD
4
4 2
8
8
Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là
VS . ABM
1
1 9a 2 3a 3 9a 3 3
S ABM .SH .
.
3
3 8
2
16
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a.
600 , SA SC a 5 , SB SD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
BAD
2
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có SA=SC
và OA=OC nên SO AC (1)
SB=SD và OB=OD nên SO BD (2)
Từ (1) và (2) Ta có SO ( ABCD )
Xét ABD ta có AB = AD = a và
600 nên ABD là tam giác đều cạnh a.
BAD
Khi đó Ta có :
a 3
a2 3
AO
; S ABD
2
4
a2 3
SABCD 2. S ABD
2
Trong vuông SAO Ta có:
a 5 2 a 3 2 a 2
) (
)
2
2
2
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
SO SA2 AO 2 (
2
1
VS . ABCD S ABCD .SO 1 . a 3 . a 2
3
3 2
2
a3 6
(đvtt)
12
Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp
với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên
AA' ( ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a.Khi đó ta
có
SABCD 5a 25a2 và
2
AC là hình chiếu vuông góc của A’C trên ( ABCD )
nên AC'A'=60
Trong V ABC ta có
0
14
AA’ = AC. tan600 = 5a 2 . 3 =5 a 6
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCD. A ' B 'C ' D ' S ABCD . AA ' 25a 2 .5a 6 125a 3 6
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a,
600 .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên (ABC) một góc
ACB
300.Tính thể tích lăng trụ đó.
Giải:
a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên AA ' ( ABC)
Do đó AB là hình chiếu vuông góc của A’B trên
0
(ABC)Ta có: BC'A=30
Trong V ABC ta có: AB = BC. tan600 = a 3
Trong V AA’B Ta có: tan300 =
AA'
AB
1
=a
3
1
1
a2 3
= AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2
AA’=AB.tan300 = a 3 .
SABC
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCA ' B 'C '
a2 3
a3 3
S ABC . AA '
.a
2
2
Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,
600 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc
BCA
300.
a. Tính độ dài cạnh AC’
b. Tính thể tích lăng trụ
Giải:
a. Vì ABC vuông tại A nên BA AC
Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA AA’ Do đó BA ( ACC ' A ')
Ta có BA ( ACC ' A ') nên AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ trên ( ACC ' A ')
0
Theo giả thiết Ta có: BC'A=30
Trong V ABC ta có: tan600 =
AB
AB = AC. tan600 = a 3
AC
15
Trong V BAC’ Ta có:
AB
AB
=AB 3 =3a
AC’ =
AC
tan 300
tan300 =
Trong V AA’C’:
AA'
SABC
AC '2 A ' C '2 (3a ) 2 a 2 2a 2
1
1
a2 3
= AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCA ' B 'C '
a2 3
S ABC . AA '
.2a 2 a 3 6
2
Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh
a , AA'=
a 6
và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của
2
lăng trụ trên.
Giải:
a. Gọi H là trung điểm của B’C’.Theo
giả thiết ta có AH ( A ' B ' C ')
Trong vuông AA ' H Ta có:
AH
(
AA '2 A ' H 2
a 6 2 a 3 2 a 3
) (
)
2
2
2
SA'B'C' =
a2 3
4
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCA ' B 'C ' S ABC . A ' H
a 2 3 a 3 3a 3
.
4
2
8
Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung quanh bằng
2
bằng 2 a .
16
Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm
O.Thiết diện qua trục là SAB
- Diện tích xung quanh của hình nón là
Sxq = Rl Rl 2 a2
2 a2 2 a2
R
a
l
2 a
(đvdt)
Trong vuông SAO Ta có:
SO SA2 AO 2
2a
2
a2 a 3
Vậy Thể tích khối nón có bán kính
R và chiều cao h=a là
1
1 2
a3 3
2
V = . .R .h . a .a 3
3
3
3
c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2 , SA vuông
góc với đáy, SA a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt
SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Lời giải:
1
VS . ABC S ABC .SA
3
SA a
a)Ta có:
+
n c : AC a 2 AB a
+ ABC c怏
1
S ABC a 2
2
1 1
a3
Vậy: VSABC . a 2 .a
3 2
6
b) Gọi I là trung điểm BC.
SG 2
G là trọng tâm,ta có :
SI 3
SM SN SG 2
// BC MN// BC
SB SC SI 3
V
SM SN 4
SAMN
.
VSABC
SB SC 9
4
2a 3
Vậy: VSAMN VSABC
9
27
Bài 2.
17
Yêu cầu:
+Học sinh ghi
được thể tích
khối SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn
thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối.
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích
đối với khối chóp
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và
cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời giải:
HD
a) Gọi I SO AM .
Ta có (AEMF) //BD EF // BD
1
VS . ABCD S ABCD .SO
3
2
+ S ABCD a
b)
+ SOC có : SO AO.tan 60
Vậy :
VS . ABCD
a 6
2
a3 6
6
Yêu cầu:
+Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn
của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau
khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF.
Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối
S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài
5)
c) VS . AEMF :
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
SM 1
Ta có :
SC 2
SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
SI SF 2
SO SD 3
V
SM SF 1
SAMF
.
VSACD SC SD 3
1
1
a3 6
VSAMF VSACD VSACD
3
6
36
VS . AEMF
a3 6 a3 6
2
36
18
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
18
Lời giải:
a)Tính
VABCD
Ta có:
1
1
VABCD S ABC . AD a 3
3
3
b) Ta có: AB AC , AB CD
AB EC
Ta có: DB EC EC ( ABD)
c) Tính
VDCEF :
Yêu cầu:
+Học sinh chứng
minh được đường
thẳng vuông góc mặt phẳng.
DE DF
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số
,
.
DA DB
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy
DE
ra
DA
V
DE DF
Ta có: DCEF
.
(*)
VDABC DA DB
Mà DE.DA DC 2 , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1
2
2
DA DA
2a
2
Tương tự:
DF DC 2
a2
1
2
2
2
DB DB
DC CB
3
Từ (*)
Vậy
VDCEF 1
.
VDABC 6
VDCEF
1
a3
VABCD
6
36
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
SA a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt
SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
d)
Lời giải:
a) Ta có:
VS . ABCD
1
a3 2
S ABCD .SA
3
3
b) Ta có BC ( SAB ) BC AB '
Ta có
SB AB '
Suy ra:
AB ' ( SBC )
c) Tính
+Tính
VS . A B 'C ' D '
VS . AB 'C ' :
VSA ' B 'C ' SB ' SC '
.
(*)
VSABC
SB SC
SC ' 1
SAC vuông cân nên
SC 2
Ta có:
Ta có:
Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng
minh AB ' ( SBC )
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau:
S . AB ' C ', S . AC ' D '
19
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
SB SB 2 SA2 AB 2 3a 2 3
V
1
Từ (*) SA ' B 'C '
VSABC
3
VSA ' B 'C '
+
B
A
O
M
D
c
A'
D'
B'
C'
1 a3 2 a3 2
.
3 3
9
VS . A B 'C ' D ' 2VS . A B 'C '
2a 3 2
9
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’=a, O là giao
điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
Ta có : V AB. AD.AA '
a 3.a2 a3 3
ABD có : DB AB 2 AD 2 2a
.
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao
giống khối hộp nên:
1
a3 3
VOA' B'C ' D' V
3
3
b) M là trung điểm BC OM ( BB ' C ')
Yêu cầu:
+Học
sinh
xác
định
công
thức
thể
tích của khối
1
1 a a 3 a 3
VOBB'C ' SBB'C ' .OM . .
hộp và khối chóp.
3
3 2 2
12
+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là
3V
(BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)
OBB’C’. Ta có : C ' H OBB 'C '
SOBB '
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
2
3
ABD có : DB AB 2 AD 2 2a
1
SOBB ' a 2 C ' H 2a 3
2
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.
20
- Xem thêm -
.PDF 
33 
726 
80 
