Tài liệu Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm (lv00950)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN QUỐC VIỆT GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ long biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của minh. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và long biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Hà nội, tháng 7 năm 2013 Học viên Trần Quốc Việt LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riên tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà nội, tháng 7 năm 2013 Học viên Trần Quốc Việt Mục lục Mở đầu ........................................................................................................... 01 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị ..................................................................... 03 1.1 . Không gian metric ................................................................................... 03 1.2 . Nguyên lý ánh xạ co................................................................................ 07 1.3 . Không gian Banach ................................................................................. 09 1.4 . Không gian Hilbert.................................................................................. 12 1.5 . Toán tử đơn điệu ..................................................................................... 13 Chương 2 : Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu......... 20 2.1. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert........................ 20 2.2. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach ....................... 24 2.3. Áp dụng giải phương trình toán tử trong không gian l2 ........................ 32 2.4. Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến .......................................................... 40 Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian l2 ................................... 46 Kết luận .......................................................................................................... 54 Tài liệu tham khảo ....................................................................................... .55 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán giải phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn và ý nghĩa thực tiễn cao. Đặc biệt là phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu x  Ax  f . Vì trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính chất gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn đề mà nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề cập đến. Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu luôn phụ thuộc vào không gian hàm chứa miền xác định của toán tử, hơn nữa việc xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ là việc rất cần thiết trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. Bởi vậy tôi chọn đề tài là “Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm” để thực hiện luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết giải xấp xỉ phương trình toán tử trong các không gian hàm và một số ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đề ra nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian hàm cụ thể. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn diệu trong không gian Banach và Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu dã có, từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan đến đề tài. 2 6. Đóng góp mới của luận văn Giải xấp xỉ phương trình toán tử theo phương pháp thác triển theo tham số trên máy tính. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric 1.1.1. Định nghĩa không gian metric Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X  X  được gọi là một khoảng cách (hay một metric) trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau: i) d ( x, y)  0, x, y  X ; d ( x, y)  0  x  y. ii) d ( x, y)  d ( y, x) x, y  X . iii) d ( x, z)  d ( x, y)  d ( y, z) x, y, z  X . Cặp ( X , d ) trong đó d là một khoảng cách trên X được gọi là một không gian metric. Sau này ta viết X thay cho ( X , d ) . 1.1.2. Hình cầu, lân cận trong không gian metric Cho không gian metric X . Tập hợp B  a, r   x  X : d  x, a   r , được gọi là hình cầu mở tâm a bán kính r Tập hợp B  a, r   x  X : d  x, a   r , được gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính r Tập con V  X được gọi là một lân cận của điểm x0  X nếu tồn tại số r  0 sao cho: B  x0 , r   V Từ định nghĩa về lân cận ta suy ra hình cầu B  x0 , r  cũng là lân cận của x0 . 4 1.1.3. Sự hội tụ trong không gian metric Giả sử  xn  là một dãy điểm trong không gian metric X . Điểm x được gọi là giới hạn của dãy  xn  nếu: lim d  xn , x   0 n x  x. Lúc đó ta nói dãy  xn  hội tụ đến x và ký hiệu lim n  n 1.1.4. Không gian metric đầy Cho không gian metric X . Dãy  xn   X được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu:   0, n : d  xn , xm    , n, m   . Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian metric X đều hội tụ thì X được gọi là không gian metric đầy. 1.1.5. Ví dụ Ví dụ 1.1.1. Ký hiệu Ca ,b là không gian các hàm số liên tục trên đoạn  a, b . Xét hàm d : Ca ,b  Ca ,b  cho bởi: d  x, y   sup x  t   y  t  , x, y  Ca ,b . t a ,b Ta có không gian Ca ,b là không gian metric đầy. Thật vậy: x, y  Ca ,b ta có x  t   y  t   0, t   a, b.  sup x  t   y  t   0. t a ,b Vậy d ( x, y)  0, x, y  Ca ,b; d ( x, y)  0  x  y. x, y  Ca ,b ta có sup x  t   y  t   sup y  t   x  t   d  x, y   d  y, x . t a ,b t a ,b t   a, b thì x  t   z  t   x  t   y  t   y t   z t  . 5 Từ đó ta có sup x  t   z  t   sup x  t   y  t   sup y  t   z  t  . t a ,b t a ,b t a ,b Tức là d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  Ca ,b . Lại có, giả sử  xn   Ca ,b là dãy Cauchy tùy ý, nghĩa là   0, n sao cho: xn p  t   xn  t    , n  n , p, t   a, b. Với mỗi t   a, b ta có dãy số tương ứng  xn  t  là dãy Cauchy trong (1.1) . x t . Đặt x  t   lim n  n Trong (1.1) cho p   ta có: x  t   xn  t    , n  n , t   a, b. (1.2) Chứng tỏ hàm liên tục  xn  hội tụ đều đến hàm x , do đó x  Ca ,b . Từ (1.2) suy ra d  xn , x    , n  n .  lim x  x. n n Vậy Ca ,b là không gian metric đầy. Ví dụ 1.1.2.  Ký hiệu l 2  x   x1 , x2 ,..., xi ,... | xi  , i  Xét hàm d : l 2  l 2   *  ,  xi   . 2 i 1 cho bởi: 1  2 2 d  x, y     xi  yi  , x, y  l 2 .  i 1  Ta có không gian l 2 là không gian metric đầy. Thật vậy Nhận xét rằng: d  x, y   0; d  x, y   0  x  y; d  x, y   d  y, x , x, y  l2 . Mặt khác x, y, z  l 2 thì áp dụng bất đẳng thức Minkovski dạng tổng ta có: 6 1 2 d  x, y     xi  yi     xi  zi  zi  yi   i 1   i 1   2  2 1 2 1 2    xi  zi     zi  yi   i 1   i 1   2  2 1 2  d  x, y   d  x, z   d  z, y . Lại có, giả sử  xn  là một dãy Cauchy trong không gian l 2 với xn   xn ,1 , xn ,2 ,...  . Lúc đó ta có:   0, n0   x k 1 Suy ra   0, n0  * , m, n  n0 , k  * :  xn ,k   2 . 2 m ,k * (1.3) , m, n  n0 , k  * : xm,k  xn ,k   . Vậy với mỗi k  * bất kỳ thì dãy  xn ,k  là một dãy Cauchy trong hội tụ. x , k  1,2,... và x   xk  lúc đó ta có: Đặt xk  lim n n , k Từ (1.3) cho m   ta được:  x k 1  xn ,k   2 , n  n0 . 2 k  lim x  x. n n Ta cần chứng minh x  l 2 . Theo bất đẳng thức Minkovski ta có: 1 2    xk     xk  xn k  xn k   k 1   k 1  2   0      xk  xn k  k 1 0 0    2 1 2 1 2 1 2    x 2 2   n k    k 1  0 1 1   2 2 2    xk  xn k     xn k     k 1   k 1  0 0 nên nó 7 Từ đó ta có x   xk   l 2 . Vậy l 2 là không gian metric đầy. Ví dụ 1.1.3. Giả sử X là tập hợp các hàm số x  t  xác định trên đoạn  0,1 thỏa mãn 1  x  t  dt   . 2 0 Hai phần tử x  t  , y  t   X được gọi là trùng nhau nếu chúng chỉ khác nhau trên một tập hợp có độ đo 0 . Với mọi x, y  X ta đặt 1 2 1 2 d  x, y     x  t   y  t  dt  . 0  Khi đó ta thấy + d  x, y   0; d  x, y   0  x  y . + d ( x, y)  d ( y, x) . + Với mọi x, y, z  X , áp dụng bất đẳng thức Minkovski dạng tích phân ta có 1 1 2 2 1 2  1 2 d  x, y     x  t   y  t  dt     x  t   z t   z t   y t  dt  0  0  1 2        x  t   z  t  dt     z  t   y  t  dt  0  0  1 2 1 2 1 2  d  x, z   d  z, y  . Vậy d là một hàm khoảng cách trên X . Lúc đó ta có X cùng với d tạo thành một không gian metric, kí hiệu là L20,1 . 8 1.2. Nguyên lý ánh xạ co 1.2.1. Định nghĩa ánh xạ co Cho không gian metric X . Ta có ánh xạ f : X  X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0    1 sao cho: d  f ( x), f ( y)    d  x, y  , x, y  X . (1.4) Điểm x*  X gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f  x*   x* . 1.2.2. Nguyên lý ánh xạ co Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy X vào chính nó có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Cho  X , d  là không gian metric đầy và f : X  X là ánh xạ thỏa mãn (1.4). Lấy x0  X và xác định dãy  xn  bằng quy nạp như sau: xn1  f  xn   n  0,1,2,.... Lúc đó ta có: d  x1 , x2   d  f  x0  , f  x1     d  x0 , x1  , d  x2 , x3   d  f  x1  , f  x2     2d  x0 , x1 . tiếp tục như trên bằng quy nạp ta được d  xn , xn1    n d  x0 , x1 . Từ đó suy ra d  xn , xn p   d  xn , xn1   d  xn1 , xn2   ...  d  xn p1 , xn p    n   n1  ...   n p 1  d  x0 , x1  n  d  x0 , x1  1  n  0 . Vậy  xn  là dãy Cauchy trong không gian metric đầy X . Do đó  xn  hội tụ. 9 Đặt x*  lim xn . n  Vì ánh xạ co là ánh xạ liên tục nên ta có:   * x*  lim x  lim f x  f lim x  f x    . n  1 n n n n n Vậy x* là điểm bất động của ánh xạ f . Ta cần chứng minh x* là duy nhất. Thật vậy giả sử y * cũng là điểm bất động của f . Ta có bất đẳng thức sau: d  x* , y*   d  f  x*  , f  y*     d  x* , y*  , 0    1. Suy ra d  x* , y*   0 hay x*  y*. Vậy mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy X vào chính nó có duy nhất một  điểm bất động. 1.3. Không gian Banach 1.3.1. Không gian định chuẩn Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực (hay phức). Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu: i) p  x   0 x  X ; p  x   0  x  0. ii) p   x    p  x    K x  X . iii) p  x  y   p  x   p  y  x, y  X . Không gian vectơ X cùng với một chuẩn p trên nó được gọi là không gian định chuẩn. Sau này ta luôn dùng ký hiệu . để chỉ một chuẩn trên không gian định chuẩn X . */ Nhận xét: Không gian định chuẩn X là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn: d  x, y   x  y . 10 1.3.2. Không gian Banach Không gian định chuẩn X là không gian metric đầy với metric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach. 1.3.3. Ví dụ Ví dụ 1.3.1. Cho không gian Ca ,b . Với x  t  , y  t   Ca ,b , k  , ta định nghĩa: i)  x  y  t   x  t   y  t  , t a, b. ii)  kx  t   k.x  t  , t  a, b. Như vậy với hai phép toán trên, không gian Ca ,b là một không gian vectơ trên . Với x  t   Ca ,b , đặt x  max x  t  lúc đó ta có . là một chuẩn trên Ca ,b , t a ,b hơn nữa Ca ,b cùng với . trên là một không gian Banach. Ví dụ 1.3.2.   Xét không gian l 2  x   x1 , x2 ,..., xi ,... | xi  , i  *  ,  xi   . i 1 2 Với x   xi  , y   yi   l2 , k  , ta định nghĩa: i)  x  y i  xi  yi , i  ii)  kx i  k.xi , i  * * . . Khi đó l 2 là một không gian vectơ trên trường số . 1 2 Với x  l 2 đặt x    xi  , lúc đó ta có . là một chuẩn trên l 2 , và l 2 cùng  i 1   2 với chuẩn đó là một không gian Banach. * Chú ý: Mở rộng ví dụ 1.3.2 xét không gian  l p  x   x1 , x2 ,..., xi ,... | xi  , i   *  ,  xi   ; 1  p  . i 1 p 11 Ta có l p là không gian Banach với chuẩn 1 p x    xi  .  i 1   p Khi đó ta có bất đẳng thức Holder như sau. Nếu p, q là cặp số mũ liên hợp, tức là 1  p, q   sao cho 1 1   1, ta có p q với mọi x   x1 , x2 ,..., xn ,...  l p , y   y1 , y2 ,..., yn ,...  l q thì xy  l1 và  xy i 1 i i 1 p 1 q    xi  .  yi   x p . y q .  i 1   i 1   p  q (1.5) Ví dụ 1.3.3. Xét không gian L20,1 , với x  x  t  , y  y  t   L20,1 , k  , ta định nghĩa: i)  x  y  t   x  t   y t  ; t 0,1 . ii)  kx  t   kx  t  ; t 0,1 . Khi đó L20,1 là một không gian vectơ trên trường số . 1 2   Với x  L20,1 đặt x    x  t  dt  , lúc đó ta có . là một chuẩn trên L20,1 0  1 2 hơn nữa L20,1 cùng với chuẩn đó là một không gian Banach. Ví dụ 1.3.4. Xét không gian hữu hạn chiều X  n và ánh xạ tuyến tính A : n  sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ A cho bởi ma trận  aij i , j 1 . n Khi đó ta có ba chuẩn thường dùng trong n + x 1   xi . i 1 1 2 + x 2    xi  .  i 1  n 2 n là: n . Giả 12 + x   max xi . 1i  n Ba chuẩn tương ứng của ma trận A là: n + A 1  max  aij . 1 j  n  i 1  1 2 + A 2  max i  A A . T 1i  n Trong đó i  AT A là các giá trị riêng của ma trận đối xứng AT A . n + A   max  aij . 1i  n 1.4. j 1 Không gian Hilbert 1.4.1. Tích vô hướng Giả sử X là không gian vectơ. Ánh xạ  : X  X  thỏa mãn: i)   x1  x2 , y     x1 , y     x2 , y  x1, x2 , y  X . ii)    x, y     x, y    ; x, y  X . iii)   x, y     y, x  x, y  X . iiii )   x, x   0 x  X ;   x, x   0  x  0. Ánh xạ  như trên được gọi là tích vô hướng trên X . 1.4.2. Không gian tiền Hilbert Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là không gian tiền Hilbert. Sau này với tích vô hướng  thì thay cho việc viết   x, y  ta viết  x, y  và gọi là tích vô hướng của x và y . * Nhận xét: Xét tương ứng x x   x, x  , x  X . Ta thấy tương ứng trên xác định một chuẩn trên X , như vậy không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Do đó một không gian tiền Hilbert ta có thể xét tới tính đầy hay không đầy như một không gian định chuẩn. 13 1.4.3. Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert đầy được gọi là không gian Hilbert. 1.4.4. Ví dụ Ví dụ 1.4.1. Xét không gian  l 2  x   x1 , x2 ,..., xi ,... | xi  , i   *  ,  xi   , 2 i 1 1  2 2 với chuẩn x    xi  . Ánh xạ  : l 2  l 2   i 1  xác định như sau:    x, y    xi yi , x, y  l 2 . i 1 Xác định tích vô hướng trên l 2 và sinh ra chuẩn của nó, tức là: x    x, x  , x  l 2 . 2 Vậy l 2 là không gian Hilbert. 1 2 Ví dụ 1.4.2. Xét không gian L0,1 Ánh xạ  : L20,1  L20,1  2 1 2 với chuẩn x    x  t  dt  . 0  xác định như sau: 1   x, y    x  t  y  t  dt , x, y  L20,1. 0 Xác định tích vô hướng trên L20,1 và sinh ra chuẩn của nó, tức là: x    x, x  , x  L20,1 . 2 Vậy L20,1 là không gian Hilbert. 1.5. Toán tử đơn điệu 1.5.1. Khái niệm toán tử đơn điệu Giả sử X là không gian định chuẩn thực, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A : D  A  X  X * được gọi là toán tử đơn điệu trên D  A nếu: A x   A  y  , x  y  0, x, y  D  A . (1.6) 14 Trong đó A, x  A  x  (Giá trị của phiếm hàm A tại x ). Nếu x, y  D  X  ta có A x   A  y  , x  y  0 thì toán tử A được gọi là đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt). Ví dụ 1.5.1. Cho không gian Hilbert H . Khi đó ta có H *  H , xét toán tử A : H  H. Ta có A x   A y  , x  y   A  x   A  y  , x  y . Lúc đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi  A x   A y  , x  y   0, x, y  H . 1.5.2. Một số khái niệm đơn điệu Toán tử d-đơn điệu Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là d-đơn điệu nếu:  Au  Av, u  v    u     v   u  v . (1.7) Với  là hàm số tăng thật sự trên 0,  . Toán tử đơn điệu đều Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là đơn điệu đều nếu: Au  Av, u  v    u  v . (1.8) Toán tử đơn điệu mạnh Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m  0 sao cho: Au  Av, u  v  m u  v , u, v  X . 2 (1.9) * Nhận xét: + Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử đơn điệu đều với   s   ms 2 . 15 + Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử d_đơn điệu đều với   s   ms . + Nếu toán tử A đơn điệu đều thì toán tử A đơn điệu nghiêm ngặt. + Nếu toán tử A là d-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt. 1.5.3. Một số khái niệm liên tục Toán tử đêmi liên tục Giả sử X ,Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ A : X  Y . Ánh xạ A được gọi là đêmi liên tục tại x0  D  A  X nếu với mọi dãy  xn   D mà xn  x0  0 khi n   thì A  xn  hội tụ yếu về G  x0  . Toán tử hêmi liên tục Giả sử X ,Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ A : X  Y . Ánh xạ A được gọi là Hêmi liên tục tại x0  D  A  X nếu A x0  tx   A  x0  khi t  0. Toán tử rađian liên tục Cho không gian định chuẩn X , ta có toán tử A : X  X * gọi là rađian liên tục nếu u, v  X thì hàm số   s   A u  sv  , v liên tục trên  0,1 . Toán tử liên tục Lipschitz Giả sử X là không gian định chuẩn, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A : X  X * được gọi là liên tục Lipschitz nếu L  const  0 sao cho Ax  Ay  L x  y , x, y  X . (1.10) Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn Giả sử X là không gian định chuẩn, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A : X  X * được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số  đơn điệu tăng trên 0,  sao cho u, v  X : Au  Av    R  , R  max  u , v . (1.11) 16 1.5.4. Toán tử coercive Toán tử A : X  X * ( X là không gian định chuẩn) gọi là toán tử coercive (toán tử bức) nếu tồn tại   s  xác định trên 0;  sao cho: lim   s    và Au, u    u s  u. (1.12) * Nhận xét: Theo định nghĩa ta có : lim u  Au, u  lim   u   . u  u Như vậy nếu A là toán tử coercive thì: lim u  Au, u  . u 1.5.4. Phương trình toán tử Cho X là không gian Banach và toán tử A : X  X . Xét phương trình: x  Ax  f , f  X , (1.13) phương trình (1.13) được gọi là phương trình toán tử loại 2. Phương trình có dạng Ax  f , (1.14) Phương trình (1.14) được gọi là phương trình toán tử loại 1. Ví dụ 1.5.2. Cho không gian Banach X  Ca ,b , hàm số K  t , s  liên tục theo hai biến t , s trên  a, b   a, b . Xét phương trình toán tử tích phân b x  t     K  t , s  x  s ds  f  t  , f  t   Ca ,b . a Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2. Định lý 1.5.1. Giả sử A : X  X * ( X là không gian Banach) là toán tử đơn điệu khi đó A bị chặn địa phương.