Tài liệu Giải tích giới hạn và liên tục ( www.sites.google.com/site/thuvientailieuvip )

Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vô cùng bé, Vô cùng lớn. 1. Hàm số Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z . Khi đó tồn tại hàm hợp f g : X  Z . h  f g  f ( g ( x)) Ví dụ. g ( x)  x  3; f ( x)  x 2  f g ( x)  f ( g ( x)  f ( x  3)   x  3  g f ( x)  g ( f ( x))  g ( x )  x  3 2 2 2 Ví dụ. Cho f ( x)  x ; g ( x)  2  x . Tìm các hàm sau và miền xác định của nó: a) f g ; b) g f ; c) f f; d) g g.  Df g  (,2] b) g f ( x )  2  x  Dg f   0,4 f ( x)  4 x  Df f   0,   d ) g g ( x)  2  2  x  Dg g   2,2 a) f g ( x)  c) f 2 x  4 2 x Đầu vào Đầu ra Định nghĩa (hàm 1 – 1) Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu x1  x2  D f thì f ( x1 )  f ( x2 ). Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Ví dụ. Hàm 1 – 1 Không là hàm 1 – 1 Định nghĩa (hàm ngược) Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền giá trị E. Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, ký hiệu x  f 1 ( y ), xác định bởi x  f 1 ( y )  y  f ( x). Chú ý: Vì a  f 1 (b)  b  f (a) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của f 1. Đồ thị y = f(x) và đồ thị của f qua đường thẳng y = x. Ví dụ. Vẽ đồ thị của Vẽ đồ thị của y   x  1 và đồ thị hàm ngược. 1 đối xứng nhau qua Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = sin x  -   Trên đoạn  ,  , y = sin x là hàm 1 – 1.  2 2 Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arcsin x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = cos x Trên đoạn 0,  , y = cos x là hàm 1 – 1. Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccos x Hàm arcsin x Miền xác định: [-1,1] Miền giá trị:  -   ,  2 2  Hàm luôn luôn tăng. Hàm arccos x Miền xác định: [-1,1] Hàm luôn luôn giảm. Miền giá trị: 0,  Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = tanx    Trên khoảng   ,  , y = tan x là hàm 1 – 1.  2 2 Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arctanx Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = cot x Trên khoảng  0,  , y = cot x là hàm 1 – 1. Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccot x Hàm arctan x Miền xác định: R Miền giá trị:  -    ,   2 2 Hàm luôn luôn tăng. Hàm arccotan x Miền xác định: R Hàm luôn luôn giảm. Miền giá trị:  0,  Định nghĩa (hàm Hyperbolic) sin hyperbolic cos hyperbolic tan hyperbolic cotan hyperbolic e x  e x sinh( x)  2 e x  e x cosh( x)  2 sinh( x) tanh( x)  cosh( x) cosh( x) coth( x)  sinh( x) Hàm y  cosh( x) Hàm y  sinh( x) Hàm y  tanh( x) Hàm y  coth( x) Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác) 1) cosh 2 (a)  sinh 2 (a)  1 2) sinh(2a)  2sinh(a)cosh(a); cosh(2a)  cosh ( a)  sinh (a) 2 3) cosh(a  b)  cosh(a)cosh(b)  sinh(a)sinh(b) 4) cosh(a  b)  cosh(a)cosh(b)  sinh(a)sinh(b) 5) sinh(a  b)  sinh(a)cosh(b)  sinh(b)cosh(a) 6) sinh(a  b)  sinh(a)cosh(b)  sinh(b)cosh(b) 2 và các công thức lượng giác hyperbolic khác. Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh. Ví dụ. Từ công thức cos a  sin a  1 2 ta có 2 cosh a  i sin a  1 2 2 2  cosh a  sinh a  1 2 2