Tài liệu Giải thức xạ ảnh và giải thức nội xạ của nhóm aben

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN BÁ GIÁP GI¶I THøC X¹ ¶NH Vµ GI¶I THøC NéI X¹ CñA NHãM ABEN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 2 VINH - 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN BÁ GIÁP GI¶I THøC X¹ ¶NH Vµ GI¶I THøC NéI X¹ CñA NHãM ABEN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG 3 VINH - 2010 4 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU.......................................................................................................1 CHƯƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN...........................................3 1.1. Dãy khớp.................................................................................................3 1.2. Hàm tử khớp...........................................................................................10 1.3. Nhóm vi phân..........................................................................................14 1.4. Phức hợp dây chuyền..............................................................................17 1.5 Đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều..........................................................21 1.6. Đồng luân dây chuyền............................................................................25 1.7. Phức hợp đối dây chuyền........................................................................27 CHƯƠNG 2. GIẢI THỨC XẠ ẢNH VÀ GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA NHÓM ABEN................................................................................................30 2.1 Nhóm Aben xạ ảnh..................................................................................30 2.2 Nhóm Aben nội xạ...................................................................................35 2.2 Giải thức xạ ảnh của nhóm Aben.............................................................42 2.3 Giải thức nội xạ của nhóm Aben.............................................................49 KẾT LUẬN...................................................................................................51 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................52 5 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng điều được bắt đầu phát triển vào những năm đầu của thế kỷ. H.Poincaré đã đưa ra các khái niệm về dây chuyền, các chu trình đồng điều của một số không gian con của không gian �. Các khái niệm đó đặt nền móng cho sự phát triển của lý thuyết đồng điều. Sau đó các khái niệm này được mở rộng cho các không gian tôpô bất kỳ. Về nghiên cứu các nhóm đồng điều, có thể tìm thấy trong các công trình của các nhà toán học S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, E.Cech, A.Kolmogorov… Các công trình của P.S.Alexandrov, Cech, Alexandrov đã giải quyết được vấn đề trọng tâm của lý thuyết đồng điều, cụ thể là tính bất biến của các nhóm đồng điều kỳ dị của các đa diện. S.Eilenberg và Steenrod là những người đầu tiên đã xây dựng hệ tiên đề cho một lý thuyết đồng điều trên phạm trù các cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết này trong mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều và lý thuyết phạm trù. Hiện nay tôpô đại số nói chung và lý thuyết đồng điều nói riêng đã trở thành những công cụ hiệu quả trong việc nghiên cứu và phát triển của nhiều ngành toán học hiện đại như Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô vi phân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng điều và cả những ngành của Vật lý lý thuyết. Cấu trúc luận văn được chia làm hai chương: Trong chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm chung về dãy khớp, nhóm vi phân, phức hợp dây chuyền, phức hợp đối dây chuyền, dãy khớp đồng điều, đồng luân dây chuyền. Trong chương 2, chúng tôi tìm hiểu nội dung giải thức xạ ảnh của một nhóm Aben, trên cơ sở đó bằng phép toán đối ngẫu để tìm hiểu về giải thức nội xạ của một nhóm Aben 6 Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán và các Thầy Cô trong bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa đào tạo sau đại học đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới những học viên Cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Ban Giám hiệu và tập thể trường THPT Phan Thúc Trực đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của quý thầy cô cùng các bạn học viên. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh, tháng 12 – 2010 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. DÃY KHỚP 1.1.1. Định nghĩa. Một dãy α’ A’ α” A A” (1) gồm các nhóm Aben A’, A, A” và các đồng cấu α’, α” gọi là khớp nếu ảnh đồng cấu α’ trùng với hạt nhân của đồng cấu α”, tức là nếu Imα’ = Kerα”. Khi chỉ xảy ra Imα’  Ker  ” thì dãy (1) được gọi là nửa khớp. Nếu dãy (1) khớp (nửa khớp) thì người ta nói rằng nó khớp (nửa khớp) tại số hạng A của dãy. 1.1.2. Định nghĩa. Một dãy: … A ki1  ki1 A ki  ki A ki1 … gồm các nhóm Aben A ki , và các đồng cấu  ki  i  � gọi là khớp (nửa khớp) nếu nó khớp (nửa khớp) tại mọi số hạng A ki  i  � của nó. Ta kí hiệu O là nhóm tầm thường (tức là nhóm chỉ có phần tử trung hoà O) và O  A là đồng cấu tầm thường. Dãy khớp có dạng: A’ ’ A A  B gồm các nhóm Aben A, B và đồng O ” A" O (2) được gọi là dãy khớp ngắn. Ví dụ 1. a) Dãy O cấu  là một dãy nửa khớp. Dễ thấy dãy đó khớp khi và chỉ khi  là một đơn cấu. 8 b) Dãy Kerα A  i c) Dãy A  B (trong đó i là đồng cấu nhúng) là một dãy khớp. O là một dãy nửa khớp với mọi đồng cấu  . Dãy đó B khớp khi và chỉ khi  là một toàn cấu. d) Dãy A ' i A A p ' A ' , ở đây A là nhóm con của nhóm Aben A, i là đồng cấu nhúng, còn p là phép chiếu chính tắc, là một dãy khớp. e) Dãy O A' i A p A O, với i, p là các đồng cấu A' trong ví dụ trên là một dãy khớp ngắn. Việc định nghĩa các khái niệm dãy khớp, dãy nửa khớp trong phạm trù các nhóm, phạm trù các môđun cũng hoàn toàn tương tự như trong nhóm Aben được xét ở trên. Trong phạm trù I(AG ), I(AG ), ta định nghĩa dãy khớp (nửa khớp) như sau: Giả sử I là một tập hợp sắp thứ tự từng phần và (Ai,  ij ) ( i ) ( i ) (Bi,  ij) (Ci,  ij) (3) là một dãy các vật và các mũi tên trong phạm trù I(AG ), gọi là khớp (nửa khớp) nếu đối với mọi i  I, dãy Ai' i i Bi' Ci' là khớp (nửa khớp). Tương tự, một dãy ' ' ( Ai ,  ij )  i' ( Bi , ij ) ' ' i' ' ' ( Ci ,  ij ) gồm các vật và mũi tên trong phạm trù I(AG ), gọi là khớp (nửa khớp) nếu đối với i  I, dãy Ai'  i' Bi' i' Ci' 9 là khớp (nửa khớp). Từ Định nghĩa 1.1.1 và các ví dụ b) và c) ta dễ dàng rút ra được hai mệnh đề sau đây. 1.1.3. Mệnh đề. Điều kiện cần và đủ để dãy (1) nửa khớp là  ". '  0. . 1.1.4. Mệnh đề. Giả sử …  A   B … là một dãy khớp các nhóm Aben. Khi đó a) α là một đơn cấu khi và chỉ khi   = 0. b) α là toàn cấu khi và chỉ khi   = 0. c) α là đẳng cấu khi và chỉ khi   = 0,   = 0. 1.1.5. Mệnh đề. Điều kiện cần và đủ để dãy các nhóm Aben O A'  A  A" (5) khớp (nửa khớp) là đối với bất kì một nhóm Aben G, trong phạm trù AG , dãy sau là khớp (nửa khớp O ' AG ( G, A )  AG (G, A)  " AG (G, A ) (6) ở đây   u    u, ,    v    v , (u AG ( G, A’), v  AG (G, A)). Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng: dãy (6) là một dãy trong phạm trù AG, bởi vì với bất kì các nhóm Aben G và A, tập hợp AG (G, A) có cấu trúc ' ' nhóm Aben được cho bởi phép toán  v  v   x   v  x   v  x  . Giả sử dãy (5) là nửa khớp. Khi đó, dãy (6) là nửa khớp tại AG ( G, A’) và AG (G, A), (rút ra từ Ví dụ 1) và Mệnh đề 1.1.4). Bây giờ giả sử dãy (5) khớp, khi đó từ   u    u  0 suy ra u = 0 (bởi vì  là đơn cấu (ví dụ 1)), 10 nghĩa là  là một đơn cấu, theo Ví dụ 1), suy ra dãy (6) khớp tại số hạng AG ( G, A’). Dãy (5) khớp, nên theo chứng minh trên dãy (6) nửa khớp. Vậy Im   Ker   . Bây giờ ta chứng minh Ker    Im  . Giả sử   (v) = 0, do đó  v  0   v  x   0  v  x   Ker =Im . Vậy tồn tại a '  A' sao cho   a '   v  x  . Phần tử a ' là duy nhất vì  là đơn cấu. Ta xác định u  AG ( G, A' ) bằng ' công thức u  x   a . Từ đó rút ra v =  (u). Vậy Ker    Im  và do đó dãy (6) khớp tại số hạng AG (G, A). Ngược lại, giả sử dãy (6) là nửa khớp. Từ ví dụ 1) suy ra dãy (5) là nửa khớp tại số hạng A' . Từ   .   u   0   u  0 đối với mọi nhóm Aben G và u  AG ( G, A’), ta nhận được   0 (khi lấy G  A' và u = IdG). Như vậy dãy (5) là nửa khớp tại số hạng A . Bây giờ, giả sử dãy (6) là khớp, ta sẽ chứng minh Ker  Im . Giả sử a  Ker  . Khi đó ta có   a   0 . Xét G  a là nhóm Aben tự do sinh bởi a và v  AG (G, A) là đồng cấu được định nghĩa qua công thức v(na) = na. Khi đó ta có βv(na) = β(na) = nβ(a)  v Ker    Im   v =  (u) với u  AG ( G, A’), nghĩa là v(a) = αu(a)  a = α(u(a)) với u(a)  A ' . Vậy a Imα. Bằng đối ngẫu ta có mệnh đề sau đây: 1.1.6. Mệnh đề. Điều kiện cần và đủ để các nhóm Aben A'  A  A" O (5’) khớp (nửa khớp) đối với bất kì một nhóm Aben G, trong phạm trù AG dãy sau là khớp (nửa khớp) 11  AG ( A" , G) O AG (A, G)  AG (A’, G) (6’) ở đây   (u) = uβ,  (v) = uα (u  AG (A”, G), v  AG (A, G)). 1.1.7. Định nghĩa. Người ta nói rằng dãy khớp ngắn (2) O α’ A' α” A O A" là chẻ ra nếu nó thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây: a) ' ' ' '  ' có ngược trái  : A  A ,  .  IdA’ b) " " "  " có ngược phải  : A"  A ,    IdA”. Các điều kiện trên là tương đương. Khi đó ta cũng có các đẳng thức:  '  '   " "  Id A ,  ' . "  0. Chứng minh. a)  b). Nếu  ' có ngược trái  ' : A  A' thì  Id A        '  '  '   '   '  ' '  0 . Do đó, đồng cấu Id A   '  ' là tầm thường trên nhóm con Im  '  Ker " . Bởi vì  " là toàn cấu, nên tồn tại duy nhất đồng cấu  " : A"  A sao cho  ". "   Id A   '  '  , nghĩa là ta có công thức  '  '   " "  Id A . Từ công thức  " "  Id A   '  ' ta suy ra  "   " "    "  Id A   ' '      " " "     "   " ' . '      . " " "   ". Vì  " là toàn cấu, suy ra  " "  IdA”. b)  a). Nếu đồng cấu  " : A"  A là ngược phải của  " thì  "  Id A   " "    "    " "   "   "   "  0 . Do đó Im  Id A   " "   Ker "  Im  ' . Vậy tồn tại một đồng cấu  ' : A  A' thoả mãn đẳng thức  '  '  Id A   " " , tức là ta có đẳng thức  '  '   " "  Id A . Đồng cấu  ' là duy nhất vì  ' là đơn cấu. Từ đẳng thức  '  '  Id A   " " suy ra 12  '   ' '    Id A   " "   '   '   "   " '    '   '   ' '    '   ' . '  Id A ’ (vì  ' là đơn cấu). Bây giờ ta chứng minh đẳng thức  ' . "  0 . Từ công thức  '  '   " "  Id A . Ta có  '   '  '    '   " "    '    ' '   '    ' "   "   '   '    ' "   "   '    ' "   "  0   ' . "  0 (vì  " là toàn cấu). Từ Định nghĩa và Mệnh đề trên, ta thấy rằng dãy (2) là dãy khớp chẻ ra khi và chỉ khi  ' (tương ứng  " ) là một trong những thành phần biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp (tương ứng biểu diễn dưới dạng tích trực tiếp) A'  A"  A . Một kết quả rất quan trọng cho việc nghiên cứu trong lĩnh vực đại số và tôpô đại số là Bổ đề về 5 đồng cấu. Bổ đề về 5 đồng cấu. Giả sử, trong phạm trù các nhóm Aben AG, biểu đồ A1 1 φ1 B1 2 A2 φ2 1 B2 3 A3 φ3 2 B3 5 A4 A5 φ4 3 B4 φ5 4 B5 giao hoán với các dòng là các dãy khớp. Khi đó, nếu φ 1, φ2, φ4, φ5 là các đẳng cấu thì φ3 cũng là một đẳng cấu. Chứng minh. a) φ3 là đơn cấu. Giả sử φ3(a3) = 0. Khi đó φ4α3(a3)= β3φ3(a3) = 0 α3(a3) = 0 (do φ4 là đẳng cấu) suy ra có a2  A2 sao cho α2(a2) = a3 (*)  β2φ2(a2) = φ3α2(a2)= φ3(a3) = 0  φ2(a2)  Kerβ2 = Imβ1   b1 B1 sao cho β1(b1) = φ2(a2). Vì φ1 là đẳng cấu nên có a1  A1 sao cho φ1(a1) = b1  φ2α1(a1) = β1φ1(a1) = β1(b1) = φ2(a2)  φ2(α1(a1- a2 ) = 0 13  α1(a1) = a2 (vì φ2 là đẳng cấu ). Kết hợp (*) ta suy ra: α2(a2) = α2(α1(a1)) = (α2α1)(a1) = 0  a3 = 0. b) φ3 là toàn cấu. Với mọi b3  B3, ta có β4β3(b3) = 0. Do φ4 là đẳng cấu nên có a4 A4 sao cho φ4(a4) = β3(b3). Suy ra φ5α4(a4) = β4φ4(a4) = β4β3(b3) = 0  φ5(α4(a4)) = 0  α4(a4) = 0 (do φ5 là đẳng cấu)  có a3  A3 sao cho α3(a3) = a4. Ta có β3(φ3(a3)- b3) = β3φ3(a3) - β3(b3) = φ4α3(a3) - φ4(a4) = φ4(α3(a3)- a4) = β4(0) = 0  β3(φ3(a3)- b3) = 0  φ3(a3)- b3  Kerβ3 = Imβ2  có b2  B2 sao cho β2(b2) = φ3(a3)- b3. Vì φ2 là đẳng cấu nên có a2  A2 sao cho φ2(a2) = b2. Vậy φ3(a3) - b3 = β2φ2(a2) = φ3α2(a2)  φ3(a3- α2(a2)) = b3. Bây giờ, giả sử ta có dãy khớp (nửa khớp) các nhóm Aben G ki 1 …  ki1 G ki  ki G ki 1 … với ki  J (J là tập hợp nhiều nhất là đếm được của các chỉ số thuộc Z ). Ta kí  ki hiệu dãy đó là {G ki  k' i ' Nếu { Gk i G ki 1 } ki  J . Gk' i1 } ki  J là một dãy khớp (nửa khớp) khác. Khi đó một mũi tên từ dãy đầu đến dãy sau là một dãy các đồng cấu t ki : G ki  Gk' i sao cho các biểu đồ sau giao hoán: Gk' i t ki  ki G ki 1 G ki  k' i t ki 1 Gk' i1 đối với mọi chỉ số ki, ki+1  J. Các dãy khớp (nửa khớp) và các mũi tên giữa các dãy được định nghĩa ở trên lập nên một phạm trù và ta kí hiệu phạm trù đó là E J (AG ) tương ứng 14 SeJ(AG )). Trong mỗi phạm trù trên, ta có thể định nghĩa dãy khớp (dãy nửa khớp) cụ thể là: Một dãy. {G ki  ki Gki1 } (tki ) ' { Gk i  k"i Gk' i1 } ( ski ) " { Gk i  k"i Gk"i1 } Các vật và các mũi tên trong phạm trù E J (AG ) (tương ứng trong phạm trù SeJ(AG )) gọi là khớp (nửa khớp) nếu mọi dãy G ki tki Gk' i ski Gk"i là khớp (nửa khớp) trong phạm trù các nhóm Aben AG . Nhận xét: Tất cả các mệnh đề đã nhận xét trong phạm trù AG của phần này đều đúng trong các phạm trù K – mod, I(AG ), I(AG), EJ (AG), SeJ(AG) . 1.2. HÀM TỬ KHỚP Giả sử c1 và c2 là hai phạm trù trong các phạm trù AG, K – mod, I(AG ), I(AG ), EJ(AG ), SeJ(AG ) và giả sử F: c1 c2 là một hàm tử. 1.2.1. Định nghĩa. Hàm tử F gọi là hàm tử cộng, nếu với bất kì các vật A, B của phạm trù C1 và các mũi tên α, β  c1(A, B) ta có đẳng thức F(α + β) = F(α) + F(β). Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu F là hàm tử hiệp biến cộng thì F(0) = 0 và {O A} {O F(A)} (tương ứng {F(A) O} nếu F là hàm tử phản biến), ở đây O được hiểu là nhóm tầm thường, môđun tầm thường hoặc là hệ quy nạp hay hệ xạ ảnh tầm thường. Thật vậy, vì F(Ido) = O  IdF(o) = O  F(O) = O. Giả sử F: C1 C1 là một hàm tử cộng. Xét các dãy khớp trong phạm trù C1: O A’ α A β A” (1) 15 α A’ O A A’ β α A” O β A (2) A” O (3) 1.2.2. Định nghĩa. Hàm tử cộng hiệp biến F gọi là khớp bên trái nếu nó biến dãy (1) thành dãy khớp, tức là dãy O F(α) F(A’) F(β) F(A) F(A”) khớp trong phạm trù c2. Hàm tử cộng hiệp biến F gọi là khớp bên phải nếu có biến dãy (2) thành F(α) một dãy khớp, tức là dãy F(A’) F(A) F(β) F(A”) O khớp trong phạm trù c2. Hàm tử cộng hợp biến F gọi là biến bên phải nếu nó biến dãy (3) thành một dãy khớp, tức là dãy O F(A’) F(α) F(A) F(β) F(A”) O khớp trong phạm trù c2. Người ta đã chứng minh được rằng nếu hàm tử F khớp thì nó biến mọi dãy khớp thành dãy khớp. Qua đối ngẫu ta nhận được các định nghĩa cho một hàm tử cộng phản biến là khớp bên phải, khớp bên trái, khớp. Chẳng hạn như: một hàm tử cộng phản biến là khớp bên trái nếu nó biến dãy (2) thành một dãy khớp, tức là dãy O F(A”) F(β) F(A) F(α) F(A’) khớp trong phạm trù c2 Từ Mệnh đề 1.1.5 suy ra: Hàm tử AGG (còn kí hiệu là Hom (G, *)): AG AG là một hàm tử hiệp biến khớp bên trái. Từ Mệnh đề 1.1.6 suy ra: Hàm tử AG G(còn kí hiệu là Hom(*, G)): AG AG là hàm tử phản biến khớp bên trái. 16 1.2.3. Bổ đề. Tích xentơ của hai toàn cấu là một toàn cấu. Chứng minh. Giả sử α: A A”, β: β B” là hai toàn cấu trong phạm trù K– mod. Khi đó môđun A”  B” được sinh ra các phần tử có dạng a”  b”, ở đây a” A”, b”  B”. Bởi vì α, β là các toàn cấu, nên suy ra A”  B” được sinh bởi các phần tử dạng α(a)  β(b), a  A, b  B. Vì (a  b)(A  B) = α(a)  β(b) nên suy ra A”  B” được sinh ra bởi tập hợp (a  b)(A  B). Từ đây suy ra rằng α  β là một toàn cấu. 1.2.4. Bổ đề. Nếu α và β là hai toàn cấu trong phạm trù K – mod thì hạt nhân của đồng cấu α  β được sinh bởi các phần tử dạng a  b với a  Kerα, b Kerβ. Chúng minh. Giả sử α: A A” và β: B B” là hai toàn cấu trong phạm trù K – mod và C là một môđun con của môđun A  B được sinh bởi các phần tử dạng a  b với a Kerα, b  Kerβ. Ta kí hiệu p: A  B   A  B  C là phép chiếu chính tắc. Khi đó tồn tại một ánh xạ song tuyến tính.  A  B A"  B"  C  a ,b  a p  a  b " " " " Ở đây   a    ,   b   b . Ánh xạ song tuyến tính này sinh ra đồng cấu  : A" Į B"  A  B C a"  b" a p  a  b  với a, b được chọn như trên. Hiển nhiên rằng đồng cấu p trùng với hợp thành A B   A"  B"   A  B C 17 Từ đó rút ra Ker(α  β)  C. Hiển nhiên C  Ker(α  β). Vậy Ker(α  β) = C. 1.2.5. Mệnh đề. Hàm tử tích tenxơ  là hàm tử khớp bên phải. α Chứng minh: Giả sử A’ β A A” O là một dãy khớp bất kì trong phạm trù K – mod. Ta sẽ chứng minh rằng các dãy sau đây A'  B   id A B   id A"  B O (4) B  A' id   B A id   B  A" O (5) là khớp. Từ Bổ đề 1.2.3 suy ra dãy (4) khớp ở số hạng A"  B . Ta có (   id ) (   id )(a’  b) =  a '  b  0 nên Im(   id )  Ker(   id ). ' Từ Bổ đề 1.2.4 ta có a  Kerβ, vậy a    a  , a '  A' . Từ đó suy ra a  b = α(a’)  b =(   id )(a’  b), nghĩa là Ker(   id )  Im(   id ). Vậy dãy (4) khớp. Chứng minh tương tự ta có dãy (5) khớp. Nhận xét: Nói chung hàm tử  không phải là hàm tử khớp. Điều này rút ra từ ví dụ sau đây: Giả sử ta có dãy khớp của các nhóm Aben: O � α � β �2 O với α(1) = 2, β(1)= 1 �2 . Khi đó   id : �Į �2 � �2 không phải là một đơn cấu. thật vậy, ta có � �2  Z2  0 , tuy nhiên (   id ) (1  1 ) = 2  1 = 1  2. 1 = 0. 1.2.6. Mệnh đề. Nếu dãy O A’ α A β A” O 18 là dãy khớp chẻ ra trong phạm trù K – mod và B là một K – môđun bất kì thì các dãy sau đây: O A’  B   id A B   id A"  B O (6) O B  A’ id   B A id   B  A" O (7) là những dãy khớp. Chứng minh. Vì dãy đã cho chẻ ra nên tồn tại đồng cấu  ' : A  A' sao cho  '  IdA’. Khi đó  '  Id: A  B  A'  B có ngược phải là   Id ' (vì    Id  (   Id ) =  '   Id = IdA  Id). Vậy α  Id là đơn cấu, suy ra dãy (6) khớp tại A'  B . Từ Mệnh đề 1.2.5 suy ra dãy (6) khớp ở A  B và A"  B . Vậy dãy (6) khớp. Tương tự, ta cũng chứng minh được rằng dãy (7) khớp. 1.3. NHÓM VI PHÂN 1.3.1. Định nghĩa. Một cặp (A,  ) gồm một nhóm Aben A và một tự đồng cấu  của A gọi là nhóm vi phân nếu dãy A  A  A (1) là nửa khớp. Tự đồng cấu  gọi là toán tử vi phân hay toán tử bờ. Đôi khi người ta kí hiệu tắt nhóm vi phân (A,  ) là A. Từ định nghĩa trên ta suy ra tự đồng cấu  của nhóm A là một toán tử vi phân khi và chỉ khi  .  =  2 = 0. Nếu (A,  ) là một nhóm vi phân, ta kí hiệu Ker  =Z, và Im  =B. Dễ thấy B  Z. Các phần tử của nhóm con Z gọi là chu trình, còn các phần tử của nhóm con B gọi là các bờ. 19 Nhóm thương Z (kí hiệu là H) được gọi là nhóm đồng điều của nhóm vi B phân (A,  ). Các phần tử của nhóm H gọi là các lớp đồng điều. Khi có những nhóm vi phân khác nhau, để phân biệt ta kí hiệu Z = Z(A), B = B(A) và H = H(A). Nếu z là một chu trình của A, thì ta kí hiệu lớp đồng điều của nó là [z]. Nếu [z1] = [z2] thì các chu trình z1 và z2 gọi là đồng điều với nhau và ta kí hiệu z1 : z2. Hiển nhiên rằng z1 : z2 khi và chỉ khi z1 : z2 là một bờ. Nhận xét: Nếu dãy (1) khớp thì dãy đồng điều của nhóm vi phân A là tầm thường. Giả sử (A,  ) và (A’,  ’) là hai nhóm vi phân. Một mũi tên từ nhóm (A,  ) đến nhóm(A’,  ’) là một đồng cấu nhóm  : A  A' sao cho biểu đồ sau đây giao hoán: A  φ A’ A φ ∂’ Tức là ta có  o   o A’ (2) Hiển nhiên rằng hợp thành của hai mũi tên của các nhóm vi phân và mũi tên đồng nhất IdA cũng là mũi tên các nhóm vi phân. vậy ta nhận được một phạm trù con của phạm trù các dãy nửa khớp Se J(AG ), ở đây J là tập hợp các chỉ số với ba phần tử. Nếu φ: (A,  ) (A’,  ’) là một mũi tên các nhóm vi phân, thì khi đó nó cảm sinh duy nhất một đồng cấu φ*: H(A) H(A’) 20 Thật vậy, ta có φ(Z(A))  Z(A’), φ(B(A))  B(A’) nên có thể định nghĩa φ*([z]) = [φ(z)], (bởi vì nếu z’ : z thì  a  A, z’ – z =  a  φ(z’) - φ(z) =  (a) = ∂’φ(a), nghĩa là [φ(z’)] = [φ(z)]). Dễ thấy rằng φ* là một đồng cấu nhóm và người ta còn kí hiệu là H(φ). Từ định nghĩa của φ*, ta dễ thấy rằng nếu φ = IdA và nếu  : (A’,∂’) (A”,∂”) là một mũi tên các nhóm vi phân khác thì ( o )* =  * .* . Vậy ta có Mệnh đề sau đây: 1.3.2. Mệnh đề. Các tương ứng H: (A,  ) H(A), H: φ φ * = H(φ) xác định một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các nhóm vi phân đến phạm trù các nhóm Aben. 1.3.3. Hệ quả. Nếu φ: (A,  ) thì Hφ: H(A) (A’,  ’) là một đẳng cấu các nhóm vi phân H(A’) là một đẳng cấu của các nhóm Aben. 1.3.4. Mệnh đề. Nếu dãy (A’,  ’) O  (A,  )  (A”,  ”) O khớp trong phạm trù các nhóm vi phân thì dãy H(A’) * H(A) * H(A’) khớp trong phạm trù các nhóm Aben. Chứng minh. Ta có ψ*.φ*([z’]) = [(ψφ)(z’)] = [0] = 0. Vậy Imφ*  Kerψ*. Bây giờ, giả sử φ*([z]) = 0. Khi đó ψ(z) = 0  ψ(z) =  ”a” với a”  A”.  là toàn cấu suy ra có a  A sao cho   a   a”    z    "  a     a     z   a  = 0  z với a’  A’. Ta có 0  z   a     a '  '  a '  Ker =  0 'a ' 0 a ' Z  A '  và ta có a Ker = Im 'a' z- a =   a' 