Tài liệu Giải số hệ phương trình khuếch tán đồng thời bốn thành phần (b, as, i và v) tìm phân bố nồng độ trong vật liệu silic dựa trên lý thuyết nhiệt động học không thuận nghịch

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ  PHAN ANH TUẤN GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI BỐN THÀNH PHẤN (B, As, I VÀ V) TÌM PHÂN BỐ NỒNG ĐỘ TRONG VẬT LIỆU SILIC DỰA TRÊN LÝ THUYẾT NHIỆT ĐỘNG HỌC KHÔNG THUẬN NGHỊCH Chuyên ngành: Vật liệu và linh kiện nanô LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Đào Khắc An HANOI - 2007 i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. iv Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ........................................................... v Danh mục các bảng ......................................................................................... vi Danh mục các hình vẽ, đồ thị ......................................................................... vii MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chƣơng 1 – KHÁI QUÁT VỀ MÔ HÌNH HÓA, MÔ PHỎNG TRONG KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NANÔ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI SỐ ..... 4 1.1. Khái về mô hình hóa và mô phỏng ................................................... 4 1.2. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn sử dụng cho giải số ....................... 7 Chƣơng 2 - KHÁI QUÁT VỀ KHUẾCH TÁN ĐƠN VÀ ĐA THÀNH PHẦN TRONG VẬT LIỆU BÁN DẪN ........................................................ 12 2.1. Các cơ chế khuếch tán trong bán dẫn ............................................ 12 2.2. Định luật Fick I và II ....................................................................... 14 2.3. Bài toán về quá trình khuếch tán trong vật liệu ............................ 17 2.4. Hệ số khuếch tán .............................................................................. 21 2.5. Khuếch tán đa thành phần sử dụng lý thuyết nhiệt động học không thuận nghịch ........................................................................................... 30 Chƣơng 3 - HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI BỐN THÀNH PHẦN TRONG BÁN DẪN SILIC TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT NHIỆT ĐỘNG HỌC KHÔNG THUẬN NGHỊCH ...................................... 31 3.1. Khái niệm cơ bản của nhiệt động học không thuận nghịch .......... 31 3.2. Hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời bốn thành phần (B, As, I và V) trên cơ sở lý thuyết nhiệt động học không thuận nghịch ................ 33 Chƣơng 4 - GIẢI SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐA THÀNH PHẦN BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN VÀ KẾT QUẢ ... 45 4.1. Sơ đồ giải thuật của chƣơng trình .................................................. 45 ii 4.2. Các môđun chính và chức năng trong chƣơng trình ..................... 47 4.3. Các kết quả tính toán và thảo luận ................................................. 48 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 53 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .............................................. 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 55 PHỤ LỤC........................................................................................................ 59 v Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt V – nguyên tử vacancy (lỗ trống, xen kẽ) I – nguyên tử interstitial hoặc self-interstitial (xen kẽ, điền kẽ hoặc tự xen kẽ) B – nguyên tử boron As – nguyên tử asenic Nhiệt động học không thuận nghịch - NĐHKTN vi Danh mục các bảng Trang Bảng 2.1. Các sai hỏng được sinh ra trong các quá trình chế tạo IC 23 [41] Bảng 2.2. Thành phần khuếch tán xen kẽ của quá trình khuếch tán [4, 41, 44 ] 24 vii Danh mục các hình vẽ, đồ thị Trang Hình 1.1. Mối quan hệ giữa thang kích thước mô phỏng và thang thời 4 gian đáp ứng với đối tượng mô phỏng [26] Hình 1.2. Sơ đồ quá trình xây dựng mô hình mô phỏng [15] 7 Hình 1.3. Lưới sai phân của phương pháp sai phân tiến với bước không 8 gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) Hình 1.4. Lưới sai phân của phương pháp sai phân Richardson với 9 bước không gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) Hình 1.5. Lưới sai phân của phương pháp sai phân lùi với bước không 10 gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) Hình 1.6. Lưới sai phân của phương pháp sai phân Crank-Nicolson với bước không gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) 11 Hình 2.1. Mô hình mô tả cơ chế khuếch tán lỗ trống và xen kẽ. 13 Hình 2.2. Mô hình mô tả cơ chế khuếch tán hỗn hợp Hình 2.3. Nguyên tử tạp chất khuếch tán dọc theo thế tuần hoàn [41] 13 14 Hình 2.4. Khuếch tán của tạp chất theo gradient nồng độ Hình 2.5. Sự phụ thuộc của hàm sai bù nồng độ loga và tuyến tính theo 15 18 thời gian [41] Hình 2.6. Phân bố Gaussian nồng độ chuẩn hóa phụ thuộc chiều sâu 20 đối với các giá trị 2 Dt khác nhau [41] Hình 2.7. So sánh hàm Gaussian và hàm sai bù theo z [41] 21 Hình 2.8 Hệ số khuếch tán của arsenic trong silic phụ thuộc vào nhiệt 28 độ và nồng độ Hình 2.9. Hệ số khuếch tán của boron trong silic phụ thuộc nhiệt độ và 29 nồng độ của boron Hình 3.1. Mô hình tương tác của các nguyên tử boron, asenic, tự điền 35 kẽ và lỗ trống theo cơ chế hỗn hợp tại hai thời điểm t1 và t2 [18]. Hình 4.1. Giải thuật chương trình tính toán profile nồng độ của B, As, I và V 46 Hình 4.2. Phân bố nồng độ của B, As, I và V theo thời gian 30 giây, 60 giây, 90 giây, 120 giây, 150 giây, 180 giây, 240 giây ở nhiệt độ 1273K 4952 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, kỹ thuật mô hình hóa và mô phỏng bằng máy tính ngày càng được sử dụng một cách rộng rãi và không thể thiếu trong những ngành khoa học hiện đại mũi nhọn. Sự ra đời, phát triển một cách mạnh mẽ của các linh kiện bán dẫn phụ thuộc rất nhiều vào sự hỗ trợ của mô phỏng các quá trình thiết kế và chế tạo linh kiện. Sự giảm kích thước của các linh kiện cần thiết phải có những mô hình mô phỏng tiên tiến cho phép tiên đoán được những hiệu ứng có thể xảy ra trong đó, hay đối với mô phỏng quá trình công nghệ như quá trình khuếch tán phải tiên đoán được sự phân bố nồng độ tạp chất. Quá trình công nghệ chế tạo linh kiện có thể phân chia đơn giản thành hai nhóm chính [41]: (1) là quá trình tạo chế tạo các cấu trúc (như ăn mòn, lắng đọng, tạo mặt nạ), trong quá trình này đặc trưng của các vật liệu bán dẫn được sử dụng bị thay đổi, và (2) là quá trình xử lý nhiệt và pha tạp (nung ủ, cấy ion) trong quá trình này phân bố của tạp chất được điều khiển. Tuy nhiên có một số quá trình công nghệ không thể phân loại một cách rõ ràng ví dụ như epitaxy chùm phân tử được sử dụng như phương pháp lắng đọng để chế tạo các màng mỏng. Bằng cách thêm vào các tạp chất trong chùm phân tử nhằm pha tạp cho các lớp màng mỏng để có được những tính chất mong muốn. Các phương pháp mô phỏng quá trình công nghệ thường bao gồm các quá trình như quang khắc, ăn mòn và lắng đọng, cấy ion, ủ nhiệt và ôxy hóa. Trong luận văn này tôi chỉ đề cập đến quá trình khuếch tán bằng ủ nhiệt mà không đề cập tới các quá trình khác. Khuếch tán các tạp chất là phần vô cùng quan trọng trong quá trình công nghệ chế tạo vật liệu và linh kiện. Hiện nay, hướng nghiên cứu về quá trình khuếch tán được nghiên cứu rất mạnh mẽ trên thế giới, tuy nhiên ở Việt Nam có rất ít các cơ sở nghiên cứu trong lĩnh vực này. Các hội nghị, hội thảo khoa học chuyên đề về khuếch tán được tổ chức liên tục hàng năm là nơi để các nhà khoa học có thể trao đổi kinh nghiệm, hợp tác và công bố những công trình khoa học mới. Có thể kể ra như Hội nghị quốc tế về khuếch tán trong vật liệu (DIMAT – DIffusion in MATerials), Hội nghị quốc tế về khuếch tán trong chất rắn và chất lỏng (DSL – Diffusion in Solids and Liquids), diễn đàn về sai hỏng và khuếch tán (DDF – Defect and Diffusion Forum) trên trang web về khoa học vật liệu http://www.scientific.net, và các tiểu ban chuyên đề trong các hội nghị, hội thảo trong nước và quốc tế về công nghệ nanô và các tạp chí khoa học quốc tế khác. 2 Các chuyên đề được đề cập như cơ sở của quá trình khuếch tán (sai hỏng, tính toán nguyên lý ban đầu, bước nhảy nguyên tử, lý thuyết bước ngẫu nhiên, các hiện tượng hay hiệu ứng…); các công cụ cho nghiên cứu khuếch tán (các phương pháp mô phỏng, công cụ thực nghiệm, cơ sở dữ liệu, phần mềm…); Khuếch tán trong các loại vật liệu khác nhau (kim loại và hợp kim, bán dẫn, giả tinh thể, polyme, vô định hình, gốm,…); các quá trình điều khiển khuếch tán; khuếch tán ở kích thước nanô (hiện tượng luận, vận chuyển ở kích thước nanô, khuếch tán trong nanô điện tử và vật liệu nanô…);… Ở Việt Nam nhóm nghiên cứu của GS. TSKH. Đào Khắc An tại Viện Khoa học Vật liệu, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam đã quan tâm nghiên cứu về khuếch tán từ lâu có nhiều đề tài khoa học cơ bản cấp nhà nước trong các giai đoạn khác nhau. Vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu là mô phỏng, giải số bài toán pha tạp đa thành phần trên cơ sở hệ phương trình khuếch tán được thiết lập dựa trên lý thuyết nhiệt động học không thuận. Vấn đề khuếch tán đồng thời rất được quan tâm nghiên cứu trên thế giới [xem phụ lục], cho đến nay đã có bốn học viên cao học quan tâm nghiên cứu trong lĩnh vực này, và cũng có nhiều công trình khoa học đã được xuất bản trên các tạp chí và trên các hội nghị trong nước và quốc tế [1, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 29, 45]. Tuy nhiên, đề tài mà luận văn nghiên cứu là giải số bài toán khuếch tán pha tạp bốn thành phần (B, As, I và V) dựa trên lý thuyết nhiệt động học không thuận nghịch để tìm phân bố nồng độ của chúng trong bán dẫn silic. Đề tài này là bước nghiên cứu sâu hơn so với trước đó là bài toán khuếch tán ba thành phần (B, I và V) và một số vấn đề khác [1, 3, 45]. Vấn đề về quá trình khuếch tán đa thành phần là vấn đề khó giải quyết và nó thực sự hấp dẫn đối với các nhà khoa học, các hiện tượng xảy ra khi pha tạp đa thành phần có nhiều mới lạ, mang tính tiên đoán dựa trên hiện tượng luận nhiều hơn so với việc xác định bằng thực nghiệm. Đề tài này là một phần của đề tài nghiên cứu cơ bản cấp nhà nước do GS. TSKH. Đào Khắc An chủ trì trong giai đoạn 2006-2007. 2. Mục đích, đối tƣợng và ý nghĩa khoa học của đề tài Mục đích của quá trình khuếch tán nhằm đưa vào và điều khiển nồng độ tạp chất trong các vật liệu bán dẫn để tạo thành các vùng tích cực của các linh kiện bán dẫn, nồng độ tạp chất có thể thay đổi vài bậc độ lớn. Nói chung, có ba cách thông thường để tạo phân bố nồng độ của tạp chất: (1) khuếch tán từ nguồn bay hơi hóa học, (2) khuếch tán từ các lớp vật liệu được pha tạp, đặc biệt là khuếch tán ngoài từ lớp silicide hoặc lớp đa tinh thể silic là hướng quan trọng rất được quan tâm, và (3) khuếch tán, ủ nhiệt từ một lớp đã được cấy ion. Phương 3 pháp đầu tiên được dùng để tạo ra nồng độ tạp cao trên bề mặt bằng với giới hạn hòa tan hóa học của tạp chất. Phương pháp cấy ion được sử dụng rộng rãi trong công nghệ bán dẫn, phương pháp này cho phép điều khiển chính xác nồng độ tạp chất trong phạm vi vài bậc độ lớn, nhưng lại có nhược điểm là gây sai hỏng tinh thể trong quá trình cấy ion. Điều này cần có các kỹ thuật nung ủ đặc biệt giống như gia nhiệt nhanh (Rapid thermal annealing - RTA) để đảm bảo sự dịch chuyển nhỏ của các tạp chất và sự phục hồi trật tự mạng tinh thể. Mục đích cuối cùng của những nghiên cứu về khuếch tán là xác định được phân bố nồng độ tạp chất có hoạt tính điện cần thiết đáp ứng những yêu cầu đặc biệt của linh kiện. Lý thuyết khuếch tán được phát triển theo hai hướng tiếp cận chính: (1) lý thuyết liên tục mô tả quá trình khuếch tán theo các định luật khuếch tán của Fick và (2) lý thuyết nguyên tử đòi hỏi tính đến các tương tác của sai hỏng điểm và các phương trình chứa tương tác trao đổi giữa các thành phần khuếch tán. Đối với silic ở điều kiện pha tạp thuần áp dụng lý thuyết liên tục khá thành công nhưng chi tiết về các tương tác không được biết. Với các mô hình hệ số khuếch tán mở rộng cũng có thể áp dụng lý thuyết liên tục cho các điều kiện pha tạp nồng độ cao. Thật không may là có nhiều hiện tượng xuất hiện giống như sự kết tủa hoặc các hiệu ứng tụ đám, điều đó làm hạn chế tính ứng dụng của cách tiếp cận theo lý thuyết Fick cho các vùng pha tạp ngoại lai. Các mô hình khuếch tán nguyên tử khác nhau bao gồm các sai hỏng trong các điều kiện cân bằng hoặc không cân bằng đã đề cập nhiều đến hành vi khuếch tán dị thường trong silic [5, 14, 45]. Các phương pháp đo phân bố nồng độ tạp trên phạm vi rộng sử dụng đánh dấu tạp chất được phát triển để xác nhận cơ chế khuếch tán tăng cường hay làm chậm đối với các thành phần khuếch tán khác nhau. Mô phỏng khuếch tán nguyên tử và đa thành phần vẫn đang trải qua quá trình phát triển và hoàn thiện và nó sẽ trở nên quan trọng cho thế hệ kế tiếp của các linh kiện thu nhỏ về kích thước. Các sai hỏng trong vật liệu không chỉ thể hiện các hiệu ứng thứ yếu mà còn làm ảnh hưởng lên dòng tạp chất (sự phân bố nồng độ tạp chất) làm ảnh hưởng đến hoạt tính điện và do đó ảnh hưởng trực tiếp đến tính chất của linh kiện. Chính vì những lý do đó mà nghiên cứu khuếch tán và sai hỏng đang là chủ đề thời sự trong nghiên cứu cả về lý thuyết, thực nghiệm và đặc biệt là mô hình hoá và mô phỏng trong công nghệ vật liệu và linh kiện nanô. 4 Chƣơng 1 - KHÁI QUÁT VỀ MÔ HÌNH HÓA, MÔ PHỎNG TRONG KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NANÔ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI SỐ 1.1. Khái quát về mô hình hóa và mô phỏng Khái niệm mô hình hóa và mô phỏng hiện nay thường được dùng song song với nhau, đôi khi lại trùng lặp nên thường gây ra những cách hiểu nhầm lẫn. Mô hình hóa bằng máy tính (computer modeling) và mô phỏng bằng máy tính (computer simulation) có thể được hiểu như sau. Thứ nhất, mô hình hóa là xây dựng hay tìm hiểu một vấn đề từ cơ chế hoạt động (bản chất nội tại hay quy luật họat động) của nó, để đơn giản ta thường chỉ đưa các yếu tố quan trọng nhất vào mà không quan tâm đến các yếu tố hay hiệu ứng phụ do đó làm nổi bật lên bản chất của vấn đề trong phạm vi ứng dụng của mô hình. Thứ hai, mô phỏng được hiểu là khái niệm “bắt chước”, tức là ta đi từ số liệu thực nghiệm hoặc từ tính chất nào đó của vấn đề (thường là các biểu hiện bên ngoài) để dự đoán tiến trình mà không đề cập đến cơ chế hoạt động (thường không biết được cơ chế hoặc bản chất của nó là quá trình ngẫu nhiên). Việc sử dụng cùng lúc hai khái niệm này cho thấy vấn đề chưa được biết một cách rõ ràng về nội dung hay bản chất của nó [2]. Hình 1.1. Mối quan hệ giữa thang kích thước mô phỏng và thang thời gian đáp ứng với đối tượng mô phỏng [26] Mô hình hoá và mô phỏng các vật liệu cho ta những hiểu biết về cấu trúc, các tính chất và các quá trình xảy ra trong vật liệu. Thông thường người ta chia hệ thành ba loại dựa trên thang đo về kích thước là (1) thang nanô, (2) thang 5 mesô và (3) thang macrô. Đối với hệ chỉ xét với một số ít các nguyên tử thì hệ đang xét nằm trong thang nanô hay thang mức nguyên tử, còn đối với hệ lớn hơn có thể lên đến hàng triệu nguyên tử, tức nằm trong khoảng giữa thang nguyên tử và phân tử thì được xem như nằm trong thang mesô và cuối cùng thang macrô cho các hệ lớn hơn mức phân tử thì việc mô tả hệ này bằng sai phân hữu hạn là phù hợp. Điều này có thể được thấy trên hình 1.1. Về lịch sử của mô hình hoá và mô phỏng trong vật liệu rất phát triển, được nhiều nhà khoa học quan tâm và xây dựng đồng thời với sự phát triển của các máy tính cho tính toán, dưới đây sẽ trình bày sơ lược theo từng giai đoạn phát triển của nó [26]. Những năm 1960 & 1970: Khai sinh hoá học tính toán Cốt lõi của các công cụ mô hình hoá và mô phỏng vật liệu là các phương pháp tính toán hoá học. Giai đoạn 1910 đến 1960 được xem là có những tiến bộ lớn về cả lý thuyết lẫn thực nghiệm trong hiểu biết về hoá học lượng tử và cấu trúc phân tử. Bao gồm: sự khai sinh cơ học lượng tử, các kỹ thuật phân tích mới như phổ hồng ngoại, cộng hưởng từ hạt nhân (NMR), và kỹ thuật nhiễu xạ đã xác định được ngày càng nhiều các cấu trúc phân tử phức tạp, đáng kể nhất là sự khám phá ra chuỗi xoắn kép của DNA năm 1953. Những năm 1960 được xem là giai đoạn mà các máy tính xuất hiện kết hợp với những hiểu biết về hóa học lượng tử và cấu trúc phân tử để tạo ra những công cụ nghiên cứu hữu ích, khai sinh ra hóa học tính toán, phải kể đến Chương trình trao đổi hóa lượng tử (Quantum Chemistry Program Exchange - QCPE) vào năm 1962. Chương trình này giúp cho các nhà hóa học có thể phát triển, chia sẻ và ứng dụng phần mềm cơ học lượng tử để hiểu được các quá trình hóa học cơ bản. Hóa học tính toán thực sự phát triển mạnh vào những năm 1970, các nhà khoa học đã tập trung phát triển nhiều phương pháp mô phỏng nguyên tử bằng các phép tính xấp xỉ và các kỹ thuật tính toán tiên tiến. Các công cụ này cho phép nghiên cứu một lượng lớn các phân tử và động học hành vi và các tương tác giữa chúng. Những năm 1980: Những kết quả đạt đƣợc của hóa học tính toán Những năm đầu thập kỷ 80 hóa học tính toán đã tiếp cận được những nơi mà các những tính toán cơ học lượng tử có thể tiên đoán cấu trúc và tương tác của các phân tử hữu cơ nhỏ, trong khi các phương pháp mô phỏng nguyên tử có thể được ứng dụng để nghiên cứu các hệ chứa hàng trăm nguyên tử. Điều này mở ra khả năng mô phỏng cấu trúc của protein, ví dụ như một bài báo đi tiên phong là CHARMm (Chemistry at HARvard Macromolecular Mechanics) được xuất bản tại Harvard năm 1983. Nhờ đó, tạo ra tiền đề cho việc phát triển rất 6 nhiều các chương trình tính toán, công cụ hữu ích cho các nhà vật liệu học trong việc tìm ra các vật liệu, cấu trúc có chức năng mới, đồng thời thúc đẩy các ngành khoa học khác phát triển theo. Những năm 1990: Bƣớc tiến vào khoa học vật liệu Cuối những năm 1980 và đầu những năm 1990 người ta nhận thấy khả năng ứng dụng của các phương pháp trong hóa học hữu cơ mở ra những ứng dụng mới trong khoa học vật liệu, tạo tiền đề cho việc tìm ra các hợp chất mới với các thành phần có thể điều khiển được để có những tính chất mong muốn. Bước tiến của mô hình hóa và mô phỏng vào khoa học vật liệu mang lại nhiều thành tựu to lớn, nhất là vật liệu bán dẫn phát triển mạnh mẽ, các bộ vi xử lý có tốc độ tính toán cao được phát triển theo định luật Moore. Những công cụ, phần mềm nghiên cứu vật liệu được tích hợp, cập nhật thường xuyên các chất mới, cấu trúc và tính chất của nó cho phép các nhà khoa học tiếp cận và tiến nhanh hơn với yêu cầu của cuộc sống đặt ra. Thời đại hoàng kim mới: Mô hình hóa và mô phỏng trong công nghệ nanô Công nghệ nanô được xem là công nghệ của thế kỷ 21, các nhà khoa học đang hết sức tập trung vào nghiên cứu trong lĩnh vực này, khi giảm kích thước các cấu trúc xuống dưới 100nm (các cấu trúc thấp chiều) các hiệu ứng lượng tử hoá kích thước bắt đầu xuất hiện và gây nhiều điều mới lạ và thú vị. Trên cơ sở các lý thuyết mới được đưa ra, kết hợp với các phương pháp mô hình hoá và mô phỏng cho biết nhiều thông tin hữu ích làm giảm các chi phí khi thử nghiệm chế tạo vật liệu và linh kiện, đồng thời cho hiệu suất làm thí nghiệm cao hơn. Các phƣơng pháp mô phỏng trong công nghệ Các phương pháp mô phỏng thường được sử dụng nhiều hiện nay trong những nghiên cứu về công nghệ micro và nanô nói chung thường dùng là Nguyên lý ban đầu, Monte Carlo, Liên kết chặt, Động lực học phân tử, các phương pháp số [2, 10, 11, 12, 15, 16, 21, 24, 30, 31, 34, 36, 38, 39, 46, 48, 49, 50]. Trong đó, phương pháp mô phỏng Nguyên lý ban đầu hiện rất được nhiều nhà khoa học quan tâm và đang được ứng dụng rộng rãi, phương pháp này dựa trên việc giải phương trình Schorodinger cho hệ nhiều điện tử và không sử dụng các dữ liệu thực nghiệm. Nhưng hạn chế của phương pháp này là chỉ áp dụng cho các hệ nhỏ chứa từ vài chục đến vài trăm nguyên tử. Trong phương pháp mô phỏng Monte Carlo việc tính toán dựa trên sự chuyển đổi cùng một lúc vị trí của các nguyên tử theo thống kê Boltzmann. Trong phương pháp Liên kết chặt tính toán Hamintonien và các ma trận cơ sở dựa trên các dữ liệu thực nghiệm và xét đến ảnh hưởng của các hiệu ứng lượng tử. Phương pháp này có thể áp dụng 7 được cho những hệ chứa số lượng các nguyên tử, được áp dụng để nghiên cứu cấu trúc điện tử. Còn phương pháp Động lực học phân tử các tính toán dựa trên phưong trình chuyển động Newton cho các nguyên tử. Bằng phương pháp này có thể theo dõi được chuyển động của một tập hợp các nguyên tử theo thời gian và có thể xác định ảnh hưởng của nhiệt độ, áp suất,… đến các tính chất của chúng. Đồng thời còn có thể khảo sát được một số tính chất vật lý như cấu trúc địa phương, các tính chất nhiệt động, tính chất khuếch tán. Phương pháp số rất hữu dụng trong những nghiên cứu về công nghệ để giải quyết các bài toán, phương trình phi tuyến, từ đó rút ra được nhiều thông tin quan trọng về đặc tính cũng như những tính chất khác của đối tượng nghiên cứu. Sơ đồ mô hình hóa và mô phỏng được thể hiện trên hình 1.2, sơ đồ này cho biết mối quan hệ hữu cơ giữa mô hình hóa, mô phỏng bằng máy tính với quá trình thực mà ta nghiên cứu. QUÁ TRÌNH THỰC MÔ HÌNH GẦN ĐÚNG + SAI SỐ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM HAY KẾT QUẢ THỰC + SAI SỐ (Không xây dựng mô hình thực) 1. Thiết lập mô hình và lý thuyết tốt 2. Hiểu biết về: - bản chất quá trình - các phƣơng pháp - các công cụ Mô hình sấp xỉ 1. Giải số 2. Mô phỏng 3. Chọn công cụ và phƣơng pháp tốt 4. Sử dụng PC Kết quả sấp xỉ + sai số và Kiểm tra so sánh Hình 1.2. Sơ đồ quá trình xây dựng mô hình mô phỏng [15] 1.2. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn sử dụng cho giải số Phương trình khuếch tán là dạng phương trình parabolic, thường không giải được bằng phương pháp giải tích do đó phương trình này đòi hỏi phải giải số bằng phương pháp số trên máy tính. Để giải số phương trình khuếch tán thì các phương trình này phải được sai phân theo cả thời gian và không gian. Trong phương trình khuếch tán đơn giản như phương trình Fick II thì chỉ chứa đạo hàm riêng bậc một của nồng độ theo thời gian và đạo hàm riêng bậc 8 hai của nồng độ theo không gian. Còn trong phương trình khuếch tán đa thành phần được thiết lập dựa trên lý thuyết nhiệt động học bất thuận nghịch sẽ được trình bày trong chương sau phức tạp hơn nhiều so với phương trình Fick II. Trong đó ngoài các thành phần như đạo hàm riêng bậc một của nồng độ theo thời gian, đạo hàm riêng bậc hai của nồng độ theo không gian của các thành phần còn chứa thêm đạo hàm bậc nhất của nồng độ theo không gian của các thành phần khuếch tán. Để giải các phương trình khuếch tán bằng phương pháp số hay phương pháp sai phân hữu hạn bằng cách thay các đạo hàm riêng tương ứng trong phương trình bằng các sai phân theo thời gian và theo bậc của đạo hàm riêng đối với không gian tương ứng. Các phương pháp sai phân hữu hạn thường được dùng cho giải số các phương trình khuếch tán trên máy tính gồm [27]: - Phương pháp sai phân thời gian tiến, không gian trung tâm - Phương pháp sai phân Richardson (Leapfrog) - Phương pháp sai phân Dufort-Frankel - Phương pháp sai phân thời gian lùi, không gian trung tâm - Phương pháp sai phân Crank-Nicolson 1.2.1. Phương pháp sai phân tiến Trong phương pháp này đạo hàm riêng bậc nhất theo thời gian của hàm f(t,x) được sai phân như sau: f f in 1  f in  t t (1.1) Còn đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai theo không gian của hàm f(t,x) được sai phân theo phương trình sau: f f in1  f in  x x  2f x 2  (1.2) f in1  2f in  f in1 (1.3) x 2 (i, n+1) (i-1, n) (i, n) (i+1, n) Hình 1.3. Lưới sai phân của phương pháp sai phân tiến với bước không gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) 9 Nếu coi hàm f(t,x) ở trên chính là hàm của nồng độ vật chất khuếch tán theo thời gian và không gian, thay vào phương trình khuếch tán Fick II ta sẽ có:  Cin 1  Cin  d Cin1  2Cin  Cin1 Trong đó d  D  (1.4) t , D là hệ số khuếch tán (D là hằng số), d là như nhau trong x 2 các phương pháp được trình bày dưới đây. 1.2.2. Phương pháp Richardson (Leapfrog) Trong phương pháp này đạo hàm riêng bậc nhất theo thời gian, đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai theo không gian của hàm f(t,x) được sai phân theo phương trình tương ứng như sau: f f in 1  f in  t 2t (1.5) f f in1  f in  x 2x (1.6)  2f x 2  f in1  2f in  f in1 (1.7) x 2 (i, n+1) (i-1, n) (i+1, n) (i, n-1) Hình 1.4. Lưới sai phân của phương pháp sai phân Richardson với bước không gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) Thay hàm f(i,n) bằng hàm của nồng độ vật chất khuếch tán theo thời gian và không gian, thay vào phương trình khuếch tán Fick II ta sẽ có:  Cin 1  Cin 1  2d Cin1  2Cin  Cin1  (1.8) 10 1.2.3. Phương pháp sai phân Dufort-Frankel Trong phương pháp này đạo hàm riêng bậc nhất theo thời gian, đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai theo không gian của hàm f(t,x) được sai phân theo phương trình tương ứng như sau: f f in 1  f in 1  t 2t (1.9) f f in1  f in1  x 2x (1.10)  2f x 2    f in1  f in 1  f in 1  f in1 (1.11) x 2 Thay hàm f(i,n) bằng hàm của nồng độ vật chất khuếch tán theo thời gian và không gian, thay vào phương trình khuếch tán Fick II ta sẽ có: 1  2dCin 1  1  2d Cin 1  2dCin1  Cin1  (1.12) 1.2.4. Phương pháp sai phân thời gian lùi, không gian trung tâm (Backward time centered space) Trong phương pháp này đạo hàm riêng bậc nhất theo thời gian, đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai theo không gian của hàm f(t,x) được sai phân theo phương trình tương ứng như sau: f f in 1  f in  t t (1.13) f f in11  f in 1  x x (1.14)  2f x 2  f in11  2f in 1  f in11 (1.15) x 2 (i-1, n) (i+1, n) (i, n-1) Hình 1.5. Lưới sai phân của phương pháp sai phân lùi với bước không gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) 11 Thay hàm f(i,n) bằng hàm của nồng độ vật chất khuếch tán theo thời gian và không gian, thay vào phương trình khuếch tán Fick II ta sẽ có: Cin  dCin11  1  2d Cin 1  dCin11 (1.16) 1.2.5. Phương pháp sai phân Crank-Nicolson f f in 1  f in  t t (1.17) f f in1  f in  x x (1.18) 1  f in11  2f in 1  f in11 f in1  2f in  f in1     x 2 2  x 2 x 2  (1.19)  2f (i-1, n+1) (i, n+1) (i+1, n+1) (i, n+1/2) (i-1, n) (i, n) (i+1, n) Hình 1.6. Lưới sai phân của phương pháp sai phân Crank-Nicolson với bước không gian i và bước thời gian n, điểm cơ sở là (i,n) Thay hàm f(i,n) bằng hàm của nồng độ vật chất khuếch tán theo thời gian và không gian, thay vào phương trình khuếch tán Fick II ta sẽ có:  dCin11  21  d Cin 1  dCin11  dCin1  21  d Cin  dCin1 (1.21) Nhận xét trong năm phương pháp đã trình bày ở trên thì phương pháp sai phân thời gian tiến, không gian trung tâm; phương pháp sai phân Richardson (Leapfrog) và phương pháp sai phân Dufort-Frankel là phương pháp hiện (tường minh) còn hai phương pháp sai phân thời gian lùi, không gian trung tâm và phương pháp sai phân Crank-Nicolson là phương pháp ẩn tức là phương pháp tính lùi theo thời gian, do đó việc áp dụng các phương pháp này không phù hợp với bài toán phức tạp. Trong luận văn này chúng tôi chọn phương pháp sai phân thời gian tiến, không gian trung tâm trong chương trình tính, do phương pháp này phù hợp với yêu cầu bài toán đặt ra và đảm bảo về mặt sai số của phương pháp. 12 Chƣơng 2 - KHÁI QUÁT VỀ KHUẾCH TÁN ĐƠN VÀ ĐA THÀNH PHẦN TRONG VẬT LIỆU BÁN DẪN Trong chương 2 sẽ trình bày khái quát về quá trình khuếch tán tạp chất trong vật liệu bán dẫn mà ở đây chủ yếu là trong silic đơn tinh thể, trong đó bao gồm các cơ chế khuếch tán, định luật khuếch tán Fick I và Fick II, hệ số khuếch tán và các vấn đề khác liên quan. 2.1. Các cơ chế khuếch tán trong bán dẫn Cho đến nay có rất nhiều cơ chế khuếch tán trong bán dẫn silic đã được đưa ra, tùy theo tạp chất nào dùng để pha tạp thì sẽ có một số cơ chế nổi trội, các cơ chế bao gồm [4, 7, 8, 9, 10, 14, 20, 22, 23, 30, 31, 35, 42, 43, 44] - cơ chế khuếch tán lỗ trống - cơ chế khuếch tán xen kẽ trực tiếp - cơ chế khuếch tán xen kẽ gián tiếp cho tự xen kẽ - cơ chế khuếch tán “Kick-out” cho các nguyên tử tạp chất - cơ chế khuếch tán Frank-Turnbull - … Trong quá trình khuếch tán các nguyên tử tạp chất vào bán dẫn silic, các tạp chất khuếch tán theo một số cơ chế nổi trội sau: cơ chế lỗ trống (vacancy mechanism), cơ chế xen kẽ (interstitial mechanism) hoặc kết hợp cả hai cơ chế trên gọi là cơ chế kết hợp (interstitialcy mechanism). Trong đó các cơ chế khuếch tán được mô tả như sau:  Cơ chế khuếch tán lỗ trống xảy ra khi một nguyên tử thế chỗ trao đổi vị trí với lỗ trống, cơ chế này đòi hỏi phải có mặt của lỗ trống, được trình bày trên hình 2.1.  Cơ chế khuếch tán xen kẽ xảy ra khi nguyên tử xen kẽ nhảy sang vị trí xen kẽ khác, được trình bày trên hình 2.1.  Cơ chế khuếch tán hỗn hợp là kết quả của một nguyên tử tự xen kẽ silic nhảy vào chiếm chỗ của nguyên tử tạp chất ở vị trí nút mạng và đẩy nguyên tử tạp chất ra vị trí xen kẽ, điều này đòi hỏi phải có mặt của nguyên tử tự xen kẽ silic, sau đó nguyên tử tạp ở vị trí xen kẽ có thể đẩy nguyên tử silic ở nút mạng khác ra vị trí xen kẽ, điều này được mô tả trên hình 2.2. 13 Cơ chế khuếch tán hỗn hợp thực chất bao gồm hai cơ chế sau: - Cơ chế Kick-out A i  Si  A s  I (2.1) - Cơ chế Frank Turnbull As  Ai  V (2.2) Lỗ trống Nguyên tử Si Nguyên tử tạp chất Hình 2.1. Mô hình mô tả cơ chế khuếch tán lỗ trống và xen kẽ Tự xen kẽ Si Nguyên tử Si Nguyên tử tạp chất Hình 2.2. Mô hình mô tả cơ chế khuếch tán hỗn hợp Một điều quan trọng có thể thấy là các nguyên tử tạp chất như phốt pho, asenic, boron chiếm đóng ở các vị trí thế chỗ trong mạng tinh thể cũng được kích hoạt, và sự khuếch tán các tạp chất này được điều khiển bởi các sai hỏng điểm là xen kẽ và lỗ trống [41]. Vì các nguyên tử tạp chất chiếm đóng ở vị trí điền kẽ hoặc thay thế tại nút mạng trong đơn tinh thể silic, các nguyên tử bị bẫy trong một thế tuần hoàn bởi ô mạng, điều này có thể thấy trên hình 2.3 sau. Xác suất để nguyên tử nhảy từ vị trí này sang vị trí khác tăng theo hàm mũ với sự tăng của nhiệt độ. 14 Hình 2.3. Nguyên tử tạp chất khuếch tán dọc theo thế tuần hoàn [41] 2.2. Định luật Fick I và II 2.2.1. Định luật Fick I Xem xét hai phiến chất rắn có chiều dày bằng nhau nhưng có nồng độ pha tạp khác nhau lần lượt là C1 và C2. C1  N1 N và C 2  2 A A (2.3) Trong đó N1 và N2 lần lượt là số nguyên tử tạp chất trong phiến 1 và trong phiến 2, A là diện tích tiết diện mặt cắt của các phiến và  là chiều dày phiến. Các nguyên tử trong toàn bộ phiến dao động không đổi do năng lượng nhiệt. Tại nhiệt độ nhất định mỗi nguyên tử trong phiến có một tần số nhảy  sang phiến lân cận với xác suất nhảy theo các hướng là như nhau vì thế tần số nhảy từ phiến này sang phiến nọ là /2. Đối với mặt phân cách phiến 1 và phiến 2 thông lượng của nguyên tử nhảy qua biên phân cách là  N1 2 N1  t 2 (2.4)  N 2 1 N 2   t 2 (2.5) và trong đó t là thời gian. Chú ý rằng hướng chuyển động của các nguyên tử được quy ước là chiều dương từ trái sang phải và chiều âm là từ phải sang trái. Kết hợp hai phương trình (2.4) và (2.5) cho ta dòng thực đi qua biên phân cách N   N1  N 2  t 2 (2.6) Thay thế nồng độ từ phương trình (2.3) vào phương trình (2.6) ta có C C1  C2 A  t 2 từ gradient nồng độ (2.7)