Tài liệu Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ ĐỨC HÀ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2014 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, đã có công lao dạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà nội, tháng 4 năm 2014 Tác giả luận văn Ngô Đức Hà i Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức . . . . . . . . . . 4 1.5 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến . . . . . . . . . . . 10 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở 12 2.1 Bài toán Riemann - Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit . . . . . 21 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị 35 3.1 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit . . . . . . . . . . 35 3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy . . . . . . . . . . . 46 3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii Mở đầu Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bài toán giá trị biên của toán học vật lý. Trong quá trình nghiên cứu về phương trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đã đặt ra những vấn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương trình tích phân. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI. Các kỹ thuật này gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, B. N. Mandal, A. Chakrabarti, ... Luận văn “Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng” được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Sau đó là một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thức Poincaré - Bertrand. Chương 2 trình bày phương pháp Riemann - Hilbert và áp dụng phương pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ dị như phương trình tích phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit. Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit. Những phương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương pháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2. Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [5]. iii Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà trong đó hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân. Ví dụ 1.1.1. Xét các phương trình tích phân: a) Phương trình tích phân Fredholm ∫ b Loại 1: K(x, t)φ(t)dt = f (x) a 6 x 6 b. a ∫ b Loại 2: φ(x) + λ K(x, t)φ(t)dt = f (x) a 6 x 6 b. a trong đó λ là hằng số, K(x, t) và f (x) là các hàm đã biết, φ(x) là hàm chưa biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của phương trình tích phân. b) Phương ∫trình tích phân Volterral x Loại 1: K(x, t)φ(t)dt = f (x). a ∫ x K(x, t)φ(t)dt = f (x). Loại 2: φ(x) + λ a trong đó K(x, t), f (x) là các hàm đã biết, φ(x) là hàm chưa biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của phương trình tích phân. 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân. 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Dựa trên tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu. Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân ∫ b K(x, t)dt tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b). a Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho ∫ b K(x, t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann. a Ví dụ 1.2.1. a) Nhân K(x, t) = L(x, t) |x − t|α với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ̸= 0 và α là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân ∫ b K(x, t)dt với a < x < b a tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta có được phương trình tích phân kỳ dị yếu. b) Nhân K(x, t) = L(x, t). ln |x − t| với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ̸= 0. Khi đó, phương trình tích phân ∫ b L(x, t) ln |x − t|φ(t)dt = f (x) φ(x) + λ a là phương trình tích phân kỳ dị yếu. c) Nhân K(x, t) = L(x, t) x−t 2 a 0, kí hiệu Γε là phần của Γ nằm trong hình tròn tâm tại x0 bán kính ε, đặt ∫ I(ε) = f (t)dt. Γ\Γε Nếu giới hạn lim I(ε) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là tích phân với ε→0 nghĩa giá trị chính Cauchy và được ký hiệu ∫ ∫ v.p f (t)dt = lim ε→0 Γ f (t)dt. Γ\Γε Trong luận văn này, các tích phân kỳ dị mạnh đều được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy, tức là ∫ ∫ f (t)dt := v.p Γ f (t)dt. Γ Ví dụ 1.3.1. Xét tích phân ∫ I= a b 1 dx, x−c c ∈ (a, b). (1.3.1) Rõ ràng tích phân (1.3.1) không tồn tại theo nghĩa Riemann. Xét theo nghĩa giá trị chính Cauchy, ta có ∫ I = V.p b 1 dx a x−c ∫ b ] [ ∫ c−ε 1 1 = lim dx + dx ε→+0 x−c c+ε x − c a b − c   = ln  . c−a 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức Định nghĩa 1.4.1. Chu tuyến trong C là một đường cong đơn, đóng trong C. Một chu tuyến trong C luôn được định hướng dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Định nghĩa 1.4.2. Cho Γ là chu tuyến trong C. Khi đó kí hiệu D+ là phần mặt phẳng phức nằm bên trong của chu tuyến Γ, D− là phần mặt phẳng phức nằm bên ngoài của chu tuyến Γ. Định nghĩa 1.4.3. Trong mặt phẳng phức C cho đường cong Γ đo được và hàm φ(τ ) liên tục trên Γ. Khi đó tích phân ∫ φ(τ ) 1 F (z) = dτ, 2πi Γ τ − z được gọi là tích phân dạng Cauchy, hàm φ(τ ) được gọi là hàm mật độ. z ∈ C\Γ 1 được gọi là nhân Cauchy, hàm τ −z Định nghĩa 1.4.4. Giả sử L là một tập liên thông và f (z) là một hàm đơn trị trên L. Hàm f được gọi là thỏa mãn điều kiện Hölder trên L nếu tồn tại các hằng số dương M (gọi là hằng số Hölder) và số dương α, 0 < α 6 1 (gọi là số mũ Hölder) sao cho với mọi cặp điểm z1 , z2 ∈ L ta đều có |f (z1 ) − f (z2 )| 6 M |z1 − z2 |α Định lý 1.4.1. Cho Γ là chu tuyến trong mặt phẳng phức C và hàm φ(τ ) thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ. Đặt 1 Φ(z) = 2πi ∫ Γ φ(τ ) dτ, τ −z z∈ / Γ. (1.4.1) Khi đó Φ(z) là một hàm giải tích trên C\Γ. Định lý 1.4.2. (Bổ đề cơ bản) Cho Γ là chu tuyến trong C và φ là hàm thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ. Đặt ∫ 1 φ(τ ) − φ(t) Ψ(z) = dτ, 2πi τ −z Γ 4 z ∈ C. (1.4.2) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Khi đó hàm Ψ(z) là một hàm liên tục trên Γ, tức là với mỗi t ∈ Γ ta có: 1 lim Ψ(z) = z→t 2πi ∫ Γ φ(τ ) − φ(t) dτ τ −t (1.4.3) tồn tại và bằng Ψ(t). Chú ý : Định lý 1.4.2 đúng với mọi điểm trên Γ, trừ các đầu mút của Γ khi Γ là một đường cong mở trong mặt phẳng phức C. Định lý 1.4.3. (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử D là miền bị chặn với biên Jordan đo được ∂D. Nếu hàm f (z) chỉnh hình trong D và liên tục trong D thì với điểm z ∈ D bất kỳ ta có công thức  ∫ f (z) 1 f (ζ) dζ = 0 2πi ζ −z ∂D nếu z ∈ D, nếu z ∈ / D, (1.4.4) trong đó ∂D là biên có định hướng dương của D. Nhận xét: Công thức tích phân Cauchy biểu thị một tính chất đặc biệt là giá trị của hàm chỉnh hình trong miền D hoàn toàn được xác định bởi các giá trị của nó trên biên. Định lý 1.4.4. Giả sử Γ là một đường cong đóng Jordan trơn và hàm φ(ζ) thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ. Khi đó giá trị chính theo Cauchy của tích phân dạng Cauchy tồn tại tại mọi điểm z0 ∈ Γ và ∫ ∫ 1 φ(ζ) 1 φ(ζ) − φ(z0 ) 1 dζ = dζ + φ(z0 ). 2πi ζ − z0 2πi ζ − z0 2 Γ (1.4.5) Γ Định lý 1.4.5. (Công thức Plemelj - Sokhotski) Cho Γ là một chu tuyến và φ thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ. Đặt ∫ 1 φ(τ ) Φ(z) = dτ, z ∈ Γ, 2πi τ −z Γ với mỗi t ∈ Γ, ký hiệu lim+ Φ(z) = Φ+ (t) và lim− Φ(z) = Φ− (t). z→t z→t 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Khi đó Φ+ (t) và Φ− (t) tồn tại và thỏa mãn các công thức: Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t) t ∈ Γ, ∫ 1 φ(τ ) + − Φ (t) + Φ (t) = dτ, πi τ −t t ∈ Γ. (1.4.6) Γ Trong đó lim+ và lim− được hiểu theo nghĩa điểm z tiến tới t ∈ Γ từ mặt bên z→t z→t trái và tiến tới t ∈ Γ từ mặt bên phải của đường cong định hướng dương Γ . Chứng minh. Gọi D+ là miền mặt phẳng phức nằm trong chu tuyến Γ và D− là miền nằm ngoài chu tuyến Γ (Hình 1.1). Xét hàm φ(t) = 1 chỉnh hình trên D+ và liên tục trong D+ , áp dụng công thức tích phân Cauchy (1.4.4):  ∫ 1 nếu z ∈ D+ , 1 1 dτ = 0 nếu z ∈ D− . 2πi τ −z Γ Với các điểm z0 ∈ Γ, sử dụng công thức (1.4.5) thu được ∫ ∫ 1 1 1−1 1 1 dτ = dτ + .1 = . 2πi τ − z0 τ − z0 2 2 Γ Γ D− D+ Γ Hình 1.1 Như vậy    1   ∫  1 1 dτ = 0  2πi τ −z   Γ  1 2 nếu z ∈ D+ , nếu z ∈ D− , (1.4.7) nếu z ∈ Γ. Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng các kết quả (1.4.7) để chứng minh công thức Plemelj. 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Đặt 1 Ψ(z) = 2πi ∫ Γ khi đó tìm được 1 lim+ Ψ(z) = lim+ z→t z→t 2πi ∫ Γ φ(τ ) − φ(t) dτ, τ −z φ(τ ) 1 dτ − φ(t) lim+ z→t 2πi τ −z ∫ Γ dτ . τ −z Sử dụng kết quả (1.4.7), từ hệ thức trên suy ra Ψ+ (t) = Φ+ (t) − φ(t), t ∈ Γ. (1.4.8) Lập luận tương tự ta tìm được ∫ ∫ 1 1 φ(τ ) dτ lim− Ψ(z) = lim− dτ − φ(t) lim− . z→t 2πi z→t z→t 2πi τ −z τ −z Γ Γ Suy ra Ψ− (t) = Φ− (t) − 0 = Φ− (t), Thực hiện biến đổi t ∈ Γ. ∫ φ(τ ) 1 1 dτ − φ(t) dτ, τ −t 2πi τ −t Γ Γ ∫ φ(τ ) 1 1 = − φ(t) + dτ, t ∈ Γ. 2 2πi τ −t 1 Ψ(t) = 2πi (1.4.9) ∫ t∈Γ Γ Sử dụng Định lý 1.4.2 ta thu được Ψ+ (t) = Ψ− (t) = Ψ(t). Từ hệ thức trên kết hợp với (1.4.8) và (1.4.9), suy ra Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t), t ∈ Γ, và Φ+ (t) + Φ− (t) = 2Ψ(t) + φ(t) ∫ [ 1 1 φ(τ ) ] = 2. − φ(t) + dτ + φ(t), t ∈ Γ 2 2πi τ −t Γ ∫ 1 φ(τ ) = dτ, t ∈ Γ. πi τ −t Γ 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chú ý: 1. Từ các công thức (1.4.6) ta cũng thu được ∫ 1 1 φ(τ ) ± Φ (t) = ± φ(t) + dτ, 2 2πi τ −t t ∈ Γ. (1.4.10) Γ 2. Công thức Plemelj còn đúng trong trường hợp Γ là một đường cong mở (hoặc hợp hữu hạn của đường cong mở) và t không trùng với các đầu mút của Γ. Định lý 1.4.6. Giả sử φ(t) là hàm thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ. Khi đó, tích phân kỳ dị Cauchy 1 Φ(z) = 2πi ∫ Γ φ(τ ) dτ, τ −z z ∈ Γ, thỏa mãn điều kiện Hölder với trên Γ. Định lý 1.4.7. (Công thức Poincaré - Bertrand (PBF)) Cho Γ là một đường cong kín và nếu φ thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ. Khi đó ta có công thức PBF ∫ Γ 1 ( τ −t ∫ Γ φ(s) ) ds dτ = −π 2 φ(t), s−τ Chứng minh. Đặt 1 φ1 (t) = 2πi φ2 (t) = 1 2πi ∫ ∫Γ Γ φ(τ ) dτ, τ −t t ∈ Γ, φ1 (τ ) dτ, τ −t t ∈ Γ. t ∈ Γ. (1.4.11) Do giả thiết φ(τ ) thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ nên theo Định lý 1.4.6 ta có φ1 (t) thỏa mãn điều kiện Hölder với t ∈ Γ. Do vậy, ∫ 1 φ(τ ) Φ(z) = dτ, z ∈ / Γ, 2πi τ −z Γ ∫ φ1 (τ ) 1 dτ, z ∈ / Γ. Φ1 (z) = 2πi τ −z Γ 8 (1.4.12) (1.4.13) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Sử dụng công thức Plemelj (1.4.10) được 1 φ1 (t) = Φ+ (t) − φ(t), t ∈ Γ, 2 1 φ2 (t) = Φ+ t ∈ Γ. 1 (t) − φ1 (t), 2 (1.4.14) (1.4.15) Thay (1.4.14) vào (1.4.13) được ∫ + ∫ 1 1 Φ (τ ) φ(τ ) Φ1 (t) = dτ − dτ 2πi τ −z 4πi τ −z Γ Γ 1 = Φ(z) − Φ(z), z ∈ D+ 2 1 = Φ(z), z ∈ D+ . 2 Do đó 1 + Φ+ t ∈ Γ. 1 (t) = Φ (t), 2 Thay kết quả trên vào (1.4.14) và (1.4.15) thu được: 1 φ1 (t) = Φ+ (t) − φ(t) suy ra 2 1 1 + φ2 (t) = Φ (t) − φ1 (t) 2 2 1 1 1 φ1 (t) = Φ+ (t) − φ(t), 2 2 4 (1.4.17) 1 Từ (1.4.16) và (1.4.17), suy ra φ2 (t) = φ(t), t ∈ Γ. 4 Theo phép đặt ban đầu ∫ 1 φ(τ ) φ1 (t) = dτ, t ∈ Γ, 2πi τ −t ∫Γ φ1 (τ ) 1 dτ, t ∈ Γ. φ2 (t) = 2πi τ −t Γ Suy ra 1 2πi ∫ Γ Do vậy ∫ Γ 1 { 1 τ − t 2πi 1 { τ −t ∫ Γ ∫ Γ (1.4.16) φ(s) } 1 ds dτ = φ(t), s−τ 4 φ(s) } ds dτ = −π 2 φ(t), s−τ 9 t ∈ Γ. t ∈ Γ. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.5 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến Bằng cách sử dụng công thức Plemelj, ta có thể giải được một số phương trình tích phân kỳ dị trên đường cong đơn, kín đơn giản. Ví dụ 1.5.1. Giải phương trình tích phân kỳ dị ∫ t2 − 9t + 18 1 φ(τ ) t(t − 3)φ(t) + dτ = , πi τ −t t t ∈ Γ, (1.5.1) Γ trong đó Γ là đường cong kín đơn sao cho z = 3 thuộc miền ngoài Γ và z = 0 thuộc miền trong Γ (Hình 1.2). Γ D− D+ 3 Hình 1.2 Giải. Đặt ∫ Φ(z) = Γ φ(τ ) dτ, τ −z z∈ / Γ. (1.5.2) Sử dụng công thức Plemelj: Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t), t ∈ Γ, ∫ 1 φ(τ ) + − Φ (t) + Φ (t) = dτ, πi τ −t t ∈ Γ. Γ Thay vào phương trình (1.5.1), thu được 1 t(t − 3)(Φ+ (t) − Φ− (t)) + (t − 3)(t − 6)(Φ+ (t) + Φ− (t)) = , t 10 t ∈ Γ. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Suy ra 1 , t ∈ Γ. 2t(t − 3) 1 1 Nhân cả hai vế phương trình trên với . rồi sau đó lấy tích phân theo 2πi t − z t ∈ Γ, thu được ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 (t − 3)Φ+ (t) 3Φ− (t) 2t(t−3) dt − dt = dt, z ∈ C\Γ. (1.5.3) 2πi t−z 2πi t−z 2πi t−z (t − 3)Φ+ (t) − 3Φ− (t) = Γ Γ Đặt 1 I1 (z) = 2πi ∫ Γ I3 (z) = 1 2πi ∫ Γ Γ (t − 3)Φ+ (t) dt, t−z 1 2t(t−3) t−z dt, 1 I2 (z) = 2πi ∫ Γ 3Φ− (t) dt, t−z t ∈ Γ. Xét các trường hợp: i) z ∈ D+ , sử dụng công thức tích phân Cauchy (1.4.4) ta tìm được I1 = (z − 3)Φ(z), I2 = 0, I3 = 1 . 6(z − 3) Thay các kết quả trên vào (1.5.3) ta được (z − 3)Φ(z) = 1 , 6(z − 3) z ∈ D+ , do đó Φ(z) = 1 , 6(z − 3)2 z ∈ D+ . (1.5.4) ii) z ∈ D− , sử dụng công thức tích phân Cauchy tìm được I1 = 0, I2 = 3Φ− (z), I3 = 1 . 6z Do vậy 1 , z ∈ D− . 18z Sử dụng công thức Plemelj ta tìm được nghiệm của phương trình (1.5.1) là Φ(z) = φ(t) = Φ+ (t) − Φ− (t) = 1 1 9t − t2 − 9 − = . 6(t − 3)2 18t 18t(t − 3)2 11 Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở Xét phương trình tích phân kỳ dị loại 2 với nhân Cauchy ∫ φ(τ ) c(t)φ(t) + dτ = f (t), z ∈ C\Γ. τ −t (2.1) Γ với Γ là hợp hữu hạn các đường cong mở và c(t), f (t),φ(t) là các hàm Hölder liên tục trên Γ. Đặt 1 Φ(z) = 2πi ∫ Γ φ(τ ) dτ, τ −z z ∈ Γ. (2.2) Sử dụng công thức Plemelj (1.4.6), phương trình (2.1) trở thành c(t)[Φ+ (t) − Φ− (t)] + πi[Φ+ (t) + Φ− (t)] = f (t), Do đó Φ+ (t) = c(t) − πi − f (t) Φ (t) + , c(t) + πi c(t) + πi t ∈ Γ. t ∈ Γ, (2.3) với điều kiện c(t) ̸= −πi. Phương trình (2.3) có dạng Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t), t ∈ Γ, trong đó G(t), g(t) là các hàm Hölder liên tục trên Γ. 12 (2.4) Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Bài toán giải phương trình tích phân kỳ dị (2.1) được đưa về tìm hàm Φ(z) giải tích trên C\Γ và thỏa mãn phương trình (2.4). 2.1 Bài toán Riemann - Hilbert Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp tìm hàm Φ(z) giải tích trên C\Γ (Γ là hợp hữu hạn các đường cong đơn, trơn không giao nhau, định hướng dương), với dáng điệu cho trước tại z = ∞, thỏa mãn một trong hai điều kiện i) Điều kiện biên thuần nhất Φ+ (t) = G(t).Φ− (t), t∈Γ (2.1.1) hoặc ii)Điều kiện biên không thuần nhất Φ+ (t) = G(t).Φ− (t) + g(t), t ∈ Γ. (2.1.2) Ở đó G(t), g(t) thỏa mãn điều kiện Hölder trên Γ và G(t) ̸= 0 với mọi t ∈ Γ. a) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) thuần nhất(i). Ký hiệu Φ0 (z) là nghiệm của (2.1.1) , tức là: − Φ+ 0 (t) = G(t).Φ0 (t), t ∈ Γ. Lấy logarit hai vế của phương trình trên và biến đổi, thu được − ln Φ+ 0 (t) − ln Φ0 (t) = ln G(t), Do đó [ ln Φ0 ]+ t ∈ Γ. [ ]− (t) − ln Φ0 (t) = ln G(t), t ∈ Γ. (2.1.3) Từ công thức Plemelj (1.4.6), tìm được 1 ln Φ0 (z) = 2πi ∫ Γ 13 ln G(t) dt. t−z (2.1.4) Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Như vậy nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i) là ∫ 1 ln G(t) Ψ(z) Φ0 (z) = e với Ψ(z) = dt. 2πi t−z Γ b) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) không thuần nhất (ii). Giả sử Φ0 (z) là nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i), khi đó Φ+ (t) G(t) = 0− , Φ0 (t) t ∈ Γ. Thay kết quả trên vào (2.1.2) thu được Φ+ (t) Φ (t) = 0− .Φ− (t) + g(t), Φ0 (t) t ∈ Γ. + Suy ra g(t) Φ+ (t) Φ− (t) − − = + , + Φ0 (t) Φ0 (t) Φ0 (t) t∈Γ Hệ thức (2.1.5) có thể viết dưới dạng [ Φ ]+ [ Φ ]− g(t) (t) − (t) = + , Φ0 Φ0 Φ0 (t) t ∈ Γ. (2.1.5) (2.1.6) Từ công thức Plemelj (1.4.6), ta tìm được ∫ Φ(z) g(t) 1 dt + E(z), = + Φ0 (z) 2πi Φ0 (t)(t − z) Γ hay ] [ 1 ∫ g(t) Φ(z) = Φ0 (z) dt + E(z) 2πi Φ+ 0 (t)(t − z) (2.1.7) Γ trong đó E(z) là một hàm nguyên. Như vậy (2.1.7) cho ta công thức nghiệm của bài toán RHP (ii). Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình (2.1) trong trường hợp c(t) = ρ (ρ là hằng số thực) và Γ là khoảng mở (0, 1): ∫1 ρφ(t) + 0 φ(τ ) dτ = f (t), τ −t t ∈ (0, 1) (2.1.8) với f (t) bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1 và giả thiết rằng hàm φ(t) cũng bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1 14 Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Giải. Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình trên. Đặt 1 Φ(z) = 2πi ∫1 0 φ(τ ) dτ, τ −z z∈ / (0, 1). (2.1.9) Sử dụng các công thức Plemelj Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t), 1 Φ+ (t) + Φ− (t) = πi ∫1 0 t ∈ (0, 1), φ(τ ) dτ, τ −t t ∈ (0, 1). Thay các công thức trên vào (2.1.8) được ρ(Φ+ (t) − Φ− (t)) + πi(Φ+ (t) + Φ− (t)) = f (t), t ∈ (0, 1). Biến đổi hệ thức trên ta thu được Φ+ (t) = ρ − πi − f (t) Φ (t) + , ρ + πi ρ + πi t ∈ (0, 1). (2.1.10) Giả sử Φ0 (t) là nghiệm của bài toán RHP thuần nhất tương ứng, ta có Φ+ 0 (t) = ρ − πi − Φ (t), ρ + πi 0 t ∈ (0, 1). (2.1.11) Phương trình (2.1.10) trở thành Φ+ (t) Φ− (t) f (t) = , + − − Φ0 Φ0 (t) (ρ + π)Φ+ 0 (t) t ∈ (0, 1). (2.1.12) Sử dụng kết quả của bài toán RHP (ii) tìm được ∫1 ] [ 1 f (t) 1 dt + E(z) , Φ(z) = Φ0 (z) . 2πi ρ + πi Φ+ 0 (t)(t − z) 0 ở đó E(z) là hàm nguyên. ( z )α ρ − πi 1 , trong đó α thỏa mãn = e−2πiα (0 < α < ). z−1 ρ + πi 2 Khi đó ρ = π. cot πα. Chọn Φ0 (z) = Bằng cách hạn chế hàm arg trên (0, 2π], ta có ( x )α ( x )α + iπα − Φ0 (x) = e , Φ0 (x) = e3iπα 1−x 1−x 15 x ∈ (0, 1). (2.1.13) Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Ngoài ra, lim Φ0 (z) = 1 và lim Φ(z) = 0. z→∞ z→∞ Do vậy, kết hợp với (2.1.9) và (2.1.12) tìm được E(z) ≡ 0. Như vậy Φ0 (z) 1 Φ(z) = 2πi ρ + πi ∫1 f (t) dt z ∈ / (0, 1). − z) Φ+ 0 (t)(t 0 (2.1.14) Sử dụng công thức Plemelj cho (2.1.14) cùng với kết quả (2.1.13), ta tìm được φ(x) = Φ+ (x) − Φ− (x) Φ+ (x) − Φ− (x) = 2πi(ρ + πi) ∫1 0 f (t) Φ+ (x) + Φ− (x) dt + f (x). Φ+ 2Φ+ 0 (t)(t − x) 0 (x)(ρ + πi) Cụ thể nghiệm của phương trình (2.1.8) là ( x )α 1 [ φ(x) = 2 ρf (x) − ρ + π2 1−x ∫1 ( 0 1 − t )α f (x) ] dt 0 < x < 1. t t−x 1 ) phương trình (2.1.8) với 2 Γ = (0, 1) là phương trình tích phân loại I cho bởi Chú ý Trong trường hợp ρ = 0 (khi đó α = ∫1 0 φ(x) dt = f (x) 0 < x < 1. t−x Với phương pháp trên, ta tìm được nghiệm của phương trình trên là 1 ( x )2 φ(t) = − 2 π 1−x 1 2.2 ∫1 ( 0 1 − t ) 2 f (x) dt, t t−x 1 0 < x < 1. Phương trình tích phân Abel Phương trình tích phân Abel là phương trình có dạng ∫x a(x) α φ(t) dt + b(x) (x − t)µ ∫β x φ(t) dt = f (x), x ∈ (α, β), (t − x)µ 16 (2.2.1)