Tài liệu Giải gần đúng một số phương trình trên máy tính điện tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hùng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Lê Thị Thu Thuỷ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng luận văn thạc sỹ chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Giải gần đúng một số phƣơng trình trên máy tính điện tử” . , tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Lê Thị Thu Thuỷ MỤC LỤC 1 1MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 ................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài .................................................................. 2 Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................... 3 1.1 Các khái niệm cơ bản về số gần đúng và sai số .......................................... 1 1.1.1 Khái niệm về số gần đúng .............................................................. 1 1.1.2. Sai số tính toán ............................................................................. 4 1.1.3. Sai số ngẫu nhiên .......................................................................... 7 ình vi phân .......................................................... 8 ................................................................... 8 . .......................................................................... 9 ..... 9 Chƣơng 2. GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX- 570ES 11 2.1. Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt...................................................................................... 11 2.1.1. Phương pháp chia đôi ................................................................. 12 2.1.2. Phương pháp lặp......................................................................... 14 2.1.3. Phương pháp dây cung ............................................................... 17 2.1.4. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton-Raphson) ........ 21 2.2. Tìm nghiệm gần đúng một số phương trình trên máy tính Casio fx- 570 ES .................................................................................................................... 24 Chƣơng 3. GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX 570- ES VÀ TRÊN MÁY VI TÍNH ......................................... 39 3.1. Một số phương pháp ............................................................................. 39 3.1.1. Phương pháp Euler ..................................................................... 39 3.1.2. Phương pháp Euler cải tiến ........................................................ 43 3.1.3. Phương pháp Runge- Kutta ........................................................ 44 3.2. Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trên máy tính Casio fx- 570ES và trên máy vi tính ............................................................... 50 KẾT LUẬN .................................................................................................... 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 63 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phương trình vi phân và phương g , , kinh tế và các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…), việc giải các phương trình này khá phức tạp, khó có thể đưa được về phương trình cơ bản bằng các phép biến đổi đại số. Hơn nữa, vì các công thức nghiệm của phương trình phi tuyến và phương trình vi phân thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức cũng vẫn gặp nhiều khó khăn.Vì vậy, ngay từ thời Archimedes, các phương pháp giải gần đúng đã được xây dựng, nhiều phương pháp (phương pháp Newton-Raphson giải gần đúng phương trình phi tuyến, phương pháp Euler và phương pháp RungeKutta giải phương trình vi phân) đã trở thành kinh điển và được sử dụng rộng dãi trong thực tế. Với sự phát triển của tin học, các phương pháp giải gần đúng lại càng có ý nghĩa thực tế hơn. Để giải một phương trình bằng tay trên giấy, có khi phải mất hàng ngày với những sai sót dễ sảy ra, thì với máy tính điện tử, thậm chí với máy tính điện tử bỏ túi, chỉ cần vài phút là giải được với độ chính xác cao. Tuy nhiên, việc thực hiện các tính toán toán học trên máy một cách dễ dàng càng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết toán học. Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ chính xác, độ phức tạp tính toán,…) sẽ được soi sáng hơn trong thực hành tính toán cụ thể. Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán là cần thiết cho mọi học sinh, sinh viên. Công cụ tính toán sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu các kiến thức lý thuyết, giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, sẽ giúp học sinh, sinh viên không chỉ tiếp thu tốt hơn các kiến thức khoa học, mà còn tiếp cận tốt hơn với các phương pháp và công cụ tính toán hiện đại. 2 Với mục đích minh họa khả năng sử dụng máy tính điện tử trong giảng dạy và học môn Giải tích số, tôi chọn đề tài: “Giải gần đúng một số phương trình trên máy tính điện tử” . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề về việc sử dụng của máy tính Casio fx- 570 ES và máy vi tính để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và phương trình vi phân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề về việc sử dụng của máy tính Casio fx- 570 ES và máy vi tính để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và phương trình vi phân m vi nghiên cứu Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và vi phân thường trên máy tính Casio fx- 570 ES và máy vi tính. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp giải gần đúng của giải tích số Phương pháp giải phương trình vi phân và phương trình phi tuyến 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Hệ thống một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số, phương trình siêu việt và phương trình vi phân trên máy tính Casio fx570 ES và máy vi tính. 3 Chƣơng 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm cơ bản về số gần đúng và sai số 1.1.1 Khái niệm về số gần đúng 1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a * , nếu a không sai khác a * nhiều. đại lượng gọi là sai số thực sự của a . Do không biết a * : a a* nên ta cũng không biết . Tuy nhiên, ta có thể tìm được a 0 , gọi là sai số tuyệt đối của a , thỏa mãn điều kiện: a a* (1.1) a Hay a a . Đương nhiên, a a* a thỏa mãn điều kiện (1.1) a . |a| càng nhỏ càng tốt. Sai số tương đối của a là a Ví dụ 1 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB , CD ta được a 10cm và b 1cm với a b 0,01 . Khi đó ta có a 0,01 0,1% Còn 10 b 0,01 1% hay 1 b 10 a . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù a b. Như vậy, độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối. 1.1.1.2. Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau: a ( p10 p 10 p 1 ... p 1 Trong đó 0 i 9 (i p s 10 p s ) p 1, p s ) ; p s 0 thì a là số nguyên; p s p 0 là những số nguyên. m(m 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ 4 số. Nếu s , a là số thập phân vô hạn. Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng với a . Quy tắc thu gọn: Giả sử a p 10 p ... i 10i ... p s 10 p s Và ta giữ lại đến số hạng thư j . Gọi phân vứt bỏ là a p 10 p ... 10 j 1 ... j 1 j , ta đặt 10 j Trong đó: j : 1 j j Nếu : nếu 0,5 10 j 10 j nếu 0 0,5 10 j j 0,5 10 j thì j j nếu j là chẵn và j toán với số chẵn tiện hơn. Sai số thu gọn a 0 là mọi số thỏa mãn điều kiện: |a a| a. Vì a p 10 p ... j 10 j 10 p ... j 1 , Còn a p 10 j 1 ... j 10 j Nên |a a | |( j j )10 j | 0.5.10 j Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên | a* a | | a* a | | a a | a a 1.1.2. Sai số tính toán Trong tính toán ta thường gặp 4 loại sai số sau: i , Sai số giả thiết ii , Sai số phương pháp j 1 nếu j lẻ vì tính 5 iii , Sai số các số liệu iv, Sai số tính toán Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán. Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y f ( x1, x2 ,..., xn ) Gọi x*i , y* (i 1, n ) và xi , y (i 1, n) là các giá trị đúng và gần đúng của các đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì |y y* | | f ( x1,..., xn ) f ( x*1,..., x*n ) | n | f 'i || xi x*i | i 1 Trong đó f i' là đạo hàm f f tính tại các điểm trung gian. Do liên tục là xi xi xi khá bé ta có thể coi y | f 'i ( x1 ,..., xn ) | xi , Do đó y n y | y| | i 1 xi ln f | xi Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản 1.1.2.1. Sai số các phép tính cộng trừ Vì n y xi ; i 1 Nên n y xi i 1 Giả sử y xi 1 6 xm max xi 1 i n Và chữ số chắc cuối cùng của xm ở hàng thứ k , nghĩa là xm 10k . Ta có xm 10k , vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên quy tròn các xi đến mức y giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k. Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là | y | xi 1| y| n 1 thì y i 1 , do đó kết quả không chính xác. Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không tránh được thì cần lấy các số có nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc. 1.1.2.2. Sai số của các phép tính nhân chia Giả sử y x1...x p x p 1...xn Khi đó p ln y n ln xi i 1 ln x j j p 1 Suy ra n y xi i 1 Gọi xm max xi và xm 1 i n Ta thấy y k xm do đó y k . Vì vậy khi làm phép tính trung gian để tính y , chỉ cần lấy k+1, k+2 chữ số là đủ. 1.1.2.3. Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo Cho y x a , khi đó y | d ln y | x | | x dx 7 1 (phép lũy thừa) thì y Nếu x , do đó độ chính xác giảm. 1 ta có phép khai căn, khi đó , hay độ chính xác tăng. Nếu 0 1 ta có phép nghịch đảo, y Nếu x nghĩa là độ chính xác không đổi 1.1.3. Sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên trong các kết quả là không thể tránh khỏi trong mọi quá trình thực nghiệm. Do đó xuất hiện sai số tự nhiên. Trong từng trường hợp cụ thể, sai số ngẫu nhiên có thể đánh giá được khi biết phân phối xác suất của nó. Giả sử đại lượng a được đo n lần với các giá trị a1...an trong đó chứa các sai số ngẫu nhiên tương ứng Nếu sai số quan trắc k ak k a có phân bố chuẩn thì xác suất xuất hiện sai số đó có dạng Pk P( k 2 1 k exp( ) 2 2 2 ) k ( k 1, n ) Xác suất cùng suất hiện các sai số đó bằng P( 1, ..., n | a) ( 2 1 )exp( 2 2 n (1.2) 2 k ) k 1 Giá trị chân thực của a thường không biết, ta chỉ có thể xác định giá trị gần đúng a xấp xỉ tốt nhất a theo nghĩa bình thường tối thiểu: n : (a ai )2 min i 1 Từ a 0 suy ra a Dễ thấy a a 1 n nk 1 1 n ak . nk 1 k . Từ (1.2) ta thấy là tham số của công thức cơ bản của lí thuyết sai số ngẫu nhiên. Tham số này liên quan chặt chẽ đến sai số trung phương: 8 m ( 1 n nk 1 2 k )1/2 (1.3) và sai số trung bình m n M (1.4) 1 Thật vậy, đặt h h P ( 2 , ta có n )n exp( h2 2 k ) k 1 Ta sẽ tìm h để P đạt cực đại P h n )n exp{ h2 ( 2 k n }h n 1{n 2h2 k 1 2 k }=0 k 1 Từ đây suy ra 1 2h ( 1 n nk 1 2 k )1/2 m. Trong thực tế ta không biết sai số thực i ai a với trung bình cộng nghĩa là i ai 1 n nk 1 a k i 1 n nk 1 . k Do đó (1.3) , (1.4) được thay bằng các công thức tương ứng m ( 1 n 1i n 2 1/2 i ) 1 ; M ( n 1 n(n 1) i 1 ng quan về phƣơng trình vi phân . 2 1/2 i ) . 9 . Như vậy phươn F (x, y, y , y ,...y(n )) 0, (1.5) F x n n 2 G nào y . Cấp của một phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình. y(x ) khả vi n lần trên khoảng Nghiệm của phương trình (1.5) là hàm y (a,b) (1.5) F (x, y(x ), y (x ),..., y (n 1) (x )) 0, với mọi x thuộc khoảng (a,b) . Đường cong y y(x ), x (a,b) gọi là đường cong tích phân của phương trình (1.5) . Nếu từ phương trình (1.5) y (n ) y (n ) , tức là phương trình (1.5) có dạng y(n ) f (x, y, y ,..., y (n 1) ). (1.6) . Tìm nghiệm y y(x ) của phương trình (1.5) hoặc (1.6) thoả mãn điều kiện y0 y(x 0 ), y0 y (x 0 ),..., y0(n 1) y (n (1.7) 1) (x 0 ) (1.7) . 10 n [1] . 1 ) Cho phương trình vi phân cấp n y(n ) f (x, y, y ,..., y (n 1) ), với điều kiện đầu (3) D:x x0 a, y y0 b, y ( a, b b,..., y (n y0 1) y0(n 1) b f thỏa mãn hai điều kiện 1) f (x, y, y ,..., y (n 1) ) M , với mọi (x, y, y ,..., y (n 2) hàm số f (x, y, y ,..., y (n y, y ,..., y (n 1) 1) ) D; ) thỏa mãn điều kiện Lipchitz đối với 1) L sao cho f (x, y2, y2,..., y2(n 1) ) f (x, y1, y1,..., y1(n L y2 trong đó (x, y1, y1,..., y1(n y 1) y1 y2 1) ) y1 ),(x, y2, y2,..., y2(n ... y2(n 1) D ) y(x ) 1) y1(n 1) , u kiện ban đầu (1.7) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n liên tục trong đoạn x x0 h, trong đó h min a,b. max M , y ,..., y n 1 1 . f f f , ,..., n y y y Chú ý. f 1 liê R y, y ,..., y (n 1) . 11 Chƣơng 2 GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX- 570ES 2.1. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình đại số và phƣơng trình siêu việt Phương trình đại số và phương trình siêu việt thường gặp rất nhiều trong thực tế. Tuy nhiên, ngoài một số lớp phương trình đơn giản như phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn là các phương trình có công thức nghiệm biểu diễn qua các hệ số. Một vài lớp phương trình được giải nhờ các kĩ thuật đại số (phân tích ra thừa số, đặt ẩn phụ,…) để đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, hầu hết các phương trình phi tuyến là không giải được chính xác (không có công thức nghiệm biểu diễn qua các hệ số của phương trình). Và ngay cả khi biết công thức nghiệm, do tính phức tạp của công thức nên giá trị sử dụng của công thức nhiều khi cũng không cao. Vì thế nhiều khi chúng ta chỉ có thể tìm được nghiệm gần đúng của phương trình. Máy tính điện tử là một trong những công cụ được sử dụng khá phổ biến đối với chúng ta. Bởi vì một trong những thế mạnh của máy tính điện tử là khả năng lặp lại một công việc với tốc độ cao, mà giải gần đúng một phương trình thực chất là thực hiện một dãy các bước lặp, nên nhờ máy tính việc giải gần đúng phương trình trở nên đơn giản, nhanh chóng và thuận tiện. Không những thế, máy tính còn cho phép, thông qua lập trình, mô phỏng quá trình thực hiện bước lặp giải phương trình, bởi vậy nó là công cụ tốt trợ giúp học sinh và sinh viên tiếp thu các kiến thức toán học nói chung, các phương pháp giải gần đúng phương trình nói riêng. Do đó trong chương này tôi trình bày một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của một số phương trình đại số và phương trình siêu việt bằng máy tính. 12 2.1.1. Phương pháp chia đôi Nội dung của phương pháp chia đôi rất đơn giản: giả sử f ( x) là môt hàm liên tục trên đoạn a, b và f (a) f (b) 0 . Khi ấy theo Định lí Bolzanocauchy, phương trình f ( x) 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a, b . Chia đôi đoạn a, b và tính f ( Nếu f ( a b ) 0 thì x 2 Nếu f ( a b ). 2 a b là một nghiệm của phương trình f ( x) 0 . 2 a b a b a b ) 0 thì f (a) f ( ) 0 hoặc f ( ) f (b) 0 nên phương 2 2 2 trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, a b a b ) hoặc ( , b) . 2 2 Gọi khoảng mới (khoảng nhỏ) chứa nghiệm là (a1, b1 ) . Lại chia đôi khoảng (a1, b1 ) và tính giá trị tại điểm giữa x a1 b1 . 2 Tiếp tục mãi quá trình này ta đi đến: Hoặc tại bước thứ n nào đó ta có f ( an bn ) 0 tức là x 2 an bn là nghiệm, 2 hoặc ta được một dãy các đoạn thẳng lồng nhau an , bn có các tính chất: a a1 a2 ... an ... ... bn ... b1 b , f (an ) f (bn ) 0 và bn an b a . 2n 2.1.1.1. Sự hội tụ của phương pháp chia đôi Dãy {an } là dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi b , dãy {bn } là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi a nên cả hai dãy đều có giới hạn. Do bn an b a nên lim(bn n 2n an ) 0 hay lim an n lim bn n x. 13 Do tính liên tục của hàm số y f ( x) Lấy giới hạn trong biểu thức: f (an ) f (bn ) 0 Ta được: f 2 ( x ) lim f (an ). f (bn ) 0 n Suy ra f ( x ) 0 hay x là một nghiệm của phương trình f ( x) 0 trong khoảng (a, b) . 2.1.1.2. Đánh giá sai số Tại bước thứ n ta có an bn và bn x an b a . 2n x | bn an b a ; 2n Nếu chọn nghiệm gần đúng là x bn thì | x x | bn an b a ; 2n Nếu chọn nghiệm gần đúng là x an thì | x an bn thì ta có đánh giá: 2 Nếu chọn nghiệm gần đúng là x |x x| bn an 2 b a . 2n 1 Như vậy, sau bước thứ n , nên chọn nghiệm gần đúng là x an bn , ta sẽ được nghiệm chính xác hơn. 2 cn Nếu chọn x an bn thì | x 2 Do đó với mỗi |x x| bn x| 2 b a . 2n 1 0 cho trước (độ chính xác với mọi n log 2 ( b a ). Nếu tại mỗi bước n ta đều chọn x | xn 1 xn | | ( xn 1 x ) ( x an xn ) | an bn thì ta cũng có 2 b a 2n 2 b a 2n 1 b a . 2n 0 cho trước) ta có 14 Do đó khi tính toán(trên máy tính bỏ túi với màn hình hiển thị được 10 chữ số chẳng hạn), ta có thể dừng tính toán khi xn 1 xn xn 1 ... đúng đến số thập phân cần thiết(thí dụ, ta có thể dừng tính toán khi được nghiệm chính xác đến 10 chữ số, tức là 10 10 ). 2.1.2. Phương pháp lặp Giả sử (a, b) là khoảng cách li nghiệm của phương trình f ( x) 0 . Giải phương trình f ( x) 0 bằng phương pháp lặp gồm các bước sau: Bước 1: Đưa phương trình f ( x) 0 về phương trình x g ( x) . Bước 2: Chọn x0 (a, b) làm nghiệm gần đúng đầu tiên. Bước 3: Thay x x0 vào vế phải của phương trình x gần đúng thứ nhất x1 Lại thay x1 g ( x) ta được nghiệm g ( x0 ) . g ( x0 ) vào vế phải của phương trình x nghiệm gần đúng thứ hai x2 g ( x) ta được g ( x1 ) . Lặp lại quá trình trên ta được dãy nghiệm gần đúng x1 g ( x0 ), x2 g ( x1 ), x3 g ( x2 ), x4 g ( x3 ),..., xn g ( xn 1 ),... Nếu dãy nghiệm gần đúng {xn } , n 1,2,... hội tụ nghĩa là tồn tại lim xn n x thì (với giả thiết hàm g ( x ) là liên tục trên đoạn a, b ) ta có: x lim xn x lim g ( xn 1 ) n g (lim xn 1 ) n g(x ) . Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phương trình x g ( x) (điểm bất động ánh xạ g ) hay x là nghiệm đúng của phương trình f ( x) 0 . 2.1.2.1. Tính hội tụ Có nhiều phương trình dạng x g ( x) tương đương với phương trình f ( x) 0 . Phải chọn hàm số g ( x ) sao cho dãy {xn } xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. ta có tiêu chuẩn sau. 15 Định lí 1. Giả sử x là nghiệm của phương trình f ( x) 0 và phương trình x g ( x) tương đương với phương trình f ( x) 0 trên đoạn a, b . Nếu g ( x ) và g ' ( x) là những hàm liên tục trên a, b sao cho | g ' ( x) | q 1 x a, b thì mọi vị trí ban đầu x0 (a, b) dãy {xn } xây dựng theo phương pháp lặp xn g ( xn 1 ) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng (a, b) của phương trình f ( x) 0 . Chứng minh Giả sử x0 (a, b) bất kì. Vì x là nghiệm của phương trình f ( x) 0 trong khoảng (a, b) nên ta có x Mặt khác, vì x1 g(x ) . g ( x0 ) nên x1 x g ( x0 ) g ( x ) . Theo định lý Lagrange tồn tại một điểm c ( x0 , x ) sao cho x1 x g ( x0 ) g ( x ) g ' (c)( x0 Suy ra: | x1 x | | g ' (c)( x0 x) . x ) | q | x0 x | | x0 x |. Chứng tỏ x1 (a, b) . Tương tự ta có: | x2 x | q | x1 x |;| x3 x | q | x2 x |;...;| xn x | q | xn 1 x |;... Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra nếu x0 (a, b) thì xn | xn x | q | xn 1 x | q 2 | xn Do q 1 nên khi n 2 x | ... q n | x0 (a, b) với mọi n và x |. vế phải tiến tới 0 . Chứng tỏ dãy {xn } hội tụ tới x . 2.1.2.2. Đánh giá sai số Để đánh giá sai số của nghiệm gần đúng xn (nhận được bằng phương pháp lặp) và nghiệm chính xác x của phương trình f ( x) 0 tại bước thứ n ta xét hiệu | xn x| Từ chứng minh trên ta có: