Tài liệu Giải bài toán phẳng dầm bằng hàm lượng giác

Mục lục Lời mở đầầu…………………………………………………………………………………………2 Chương 1 : Các công thức nềần tảng……………………………………………………………..3 I.Phương trình vi phần cần bằầng tĩnh học-động học II.Phương trình hình học II.1.Quan hệ biềến dạng và chuyển vị ( Phương trình Cauchy) II.2.Phương trình liền tục biềến dạng ( Phương trình Saint-Vanant) III.Phương trình vật lí IV. Công thức tính nằng lượng đàn hôầi Clapeyron V. Chuôỗi Fourier Chương 2 : Khái niệm hàm ứng suầết và giải bài toán phẳng dầầm bằầng chuôỗi lượng giác…………………………………………………………………………………………………...5 I. Bài toán ứng suầết phẳng II. Hàm ứng suầết III. Giải bài toán phẳng dầầm bằầng chuôỗi lượng giác Chương 3 : Áp dụng giải bài toán…………………………………………............................10 I.Rút ra công thức ứng suầết và chuôỗi mà lệnh MatLab sử dụng để tính phần bôế ứng suầết II. Tính chuyển vị lớn nhầết trền đoạn dầầm Phụ lục……………………………………………………………………………………………18 I.Biểu đôầ phần bôế hàm ứng suầết trền dầầm II.Tài liệu tham khảo 1 Lời nói đầu Đối với ngành xây dựng công trình dân dụng cũng như công trình giao thông, môn học Lý thuyết đàn hồi là 1 môn học đóng vai trò hết sức quan trọng. Tuy nhiên, hiện nay số lượng ví dụ nhằm minh họa cho những kiến thức và cách giải quyết các bài tập của môn học này còn chưa nhiều vì vậy nên đề tài “ Giải bài toán phẳng dầm bằng hàm lượng giác” nhằm mục đích đóng góp 1 ví dụ cụ thể để giúp bạn đọc có cái nhìn bao quát nắm được kiến thức cơ bản cũng như tiếp cận với phương pháp giải bằng hàm lượng giác. Nhân đây, nhóm nghiên cứu khoa học cũng muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS. Tô Giang Lam- Bộ môn sức bền vật liệu trường đại học Giao thông vận tải đã nhiệt tình giúp đỡ chúng em trong quá trình nghiên cứu về cả mặt lý luận cũng như tài liệu để chúng em hoàn thành đề tài nghiên cứu này. Nhóm sinh viên lớp XDCTGTTT-K51 2 Chương 1: Các công thức nềần tảng I. Phương trình vi phần cần bằầng tĩnh học-động học : ∂❑x ∂❑ yx ∂ ❑zx + + + X =0 ∂x ∂y ∂z ∂❑xy ∂❑ y ∂❑zy + + +Y =0 ∂z ∂x ∂z ∂2 u ∂ t2 ( ) ( ) ( ) ¿ 2 ∂ v ¿ 2 ∂t (1.1) 2 ∂❑xz ∂ yz ∂❑z + + +Z =0 ∂z ∂y ∂x ¿ ∂ w ∂ t2 II. Phương trình hình học II.1.Quan hệ giữa biềến dạng và chuyển vị ( phương trình biềến dạng Cauchy) ∂u ∂ v ∂u ❑x ❑xy= + = ∂x , ∂x ∂ y ❑y z = = ∂v ∂y ∂w ∂z , , ❑zx = ❑ yz= ∂w ∂v + ∂y ∂z (1.2) ∂u ∂ w + ∂z ∂ x II.2. Phương trình liền tục biềến dạng ( phương trình Saint- Venant). ∂2 x ∂ y2 ∂2 ❑ y + ∂ x2 ∂2 y ∂ z2 ∂2 ❑z + ∂ y2 2 ∂z 2 ∂x 2 = ∂ ❑xy ∂x ∂ y = ∂2❑ yz ∂y∂z 2 ∂ ❑x + ∂ z2 2 = ∂ ❑ yz ∂z ∂ x 2 ∂ ❑x ∂ ∂❑zx ∂❑xy ∂❑ yz + − =2 ∂x ∂ y ∂z ∂x ∂ y∂z ( ) 3 (1.3) 2 ∂ ❑y ∂ ∂❑xy ∂❑ yz ∂❑zx + − =2 ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ x ( ) 2 ∂ ❑z ∂ ∂❑ yz ∂❑zx ∂❑xy + − =2 ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ y ( ) III. Phương trình vật lý ( phương trình đàn hôầi). x = y = z = 1 E [❑x − (❑ y +❑z ) ] 1 E [❑ y −( ❑z +❑ x ) ] 1 E [❑z −(❑ x +❑ y ) ] ❑xy= , ❑ yz= , ❑zx = , 1 ❑ G xy 1 ❑ G yz (1.4) 1 ❑ G zx IV. Công thức tính nằng lượng đàn hôầi Clapeyron. ❑x ❑x W = 1¿ 2 ❑ y ❑y +❑z ❑z +❑xy ❑xy +❑ yz ❑ yz +❑zx ❑zx ¿ + V. Chuôỗi Fourier: f ( x ) l à 1 h à m sôế tuầần hoàn với chu kì 2L xác định trong khoảng từ (-L, L) và ngoài khoảng này f ( x + L )=f ( x ) . Khi đó, chuôỗi Fourier dùng để biểu diềỗn f ( x ) có dạng : ∞ ( f ( x )=a0 +∑ an cos n=1 nπx nπx +b n sin L L Trong đó, L an =∫ f ( x ) cos −L nπx L dx 4 ) n=0,1, 2 … . L bn =∫ f ( x ) sin −L nπx L dx Chương 2: Khái niệm hàm ứng suầết và cách giải bài toán phẳng dầầm theo hàm ứng suầết lượng giác Bài toán phẳng của lí thuyềết đàn hôầi là bài toán trong đó các yềếu tôế tính toán cũng như ứng suầết, biềến dạng hoặc chuyển vị chỉ phụ thuộc vào 2 bền. Loại bài toán này có thể chia làm 2 nhóm: biềến dạng phẳng và ứng suầết phẳng. Trong bài toán ứng suầết phẳng, loại kềết cầếu điển hình là dầầm – tường chịu tải trọng khác nhau và lien kềết gôếi khác nhau. 5 Trong trường hợp thứ hai, trạng thái ứng suầết là ba phương, nhưng biềến dạng ch ỉ xẩy ra trong 1 mặt phẳng. Các loại tường chằến, đập nước, vỏ hầầm thuộc bài toán này. Tuy khác nhau vềầ dạng thức và ý nghĩa nhưng mô hình toán học của 2 nhóm bài toán này được giải bằầng phương pháp giôếng nhau. Do sự giôếng nhau vềầ cách thức tiềếp cận bài toán và đặt trong điềầu ki ện của nghiền cứu này nền trong đềầ tài chỉ đềầ cập đềến bài toán ứng suầết phẳng. I .Bài toán ứng suầết phẳng Ta xét 1 tầếm mỏng chịu lực tác dụng ở biền và song song với một mặt phẳng tọa đ ộ, ví dụ mặt xOy. ↘ ↓↙ ↓↓ ↓↓ ↓ ↓ ↗ ↑↖ Ta thầếy trền hai mặt bền của tầếm, tức là khi z = ± h 2 thì z =0, xz =0, zy = 0 Vì tầếm mỏng nền có thể giả thiềết rằầng, trền toàn bộ bềầ dày của tầếm z =0, xz =0, zy = 0 (2.1) Còn các ứng suầết khác thì phần bôế đềầu trền bềầ dày, tức là x, y, xy không phụ thuộc vào loại tọa độ z. Ta xét trường hợp thể tích là trọng lượng bản than của tầếm. Lúc đó X= Z= 0,  Y = -q Trong đó q : là trọng lượng riềng Phương trình cần bằầng biềến dạng 6 ∂❑x ∂x + ∂❑ yx ∂y = 0 (2.2) ∂❑xy ∂x + ∂❑ y ∂y −¿ q=0 Phương trình liền tục của biềến dạng 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂ ❑y + ∂ x2 = ∂2 ❑xy ∂x ∂ y (2.3) Phương trình của định luật Hooke x = y = 1 ❑x −¿ y) E ( 1 −¿  ) x E (y (2.4) 1+¿ ¿ xy = 2¿ xy ¿ Nềếu biểu diềỗn ứng suầết qua biềến dạng, từ (2.3) ta có E x = 1−❑2 (x+ y) E y = 1−❑2 (y+ x) (2.5) 1+¿ 2¿ xy = E xy ¿ Thay (2.4) vào (2.3) ta có 7 ∂2 ∂ y2 (x - y)+ ∂2 ∂ x 2 (y - x) = 2(1+µ) 2 ∂ x ❑xy ∂ x ∂ y (2.6) Lầếy đạo hàm phương trình đầầu của (2.2) đôếi với x và phương trình th ứ hai của (2.2) với y rôầi cộng lại, ta được ∂❑ xy 2 ∂x ∂ y = −∂2 ❑ x −¿ ∂ x2 ∂2 ❑ y ∂ y2 Thay biểu thức này vào (2.6) ta được phương trình liền tục của biềến dạng được biểu diềỗn theo ứng suầết pháp ❑x ∂2 ¿ + ∂ x2 ❑x Hoặc ∇ 2 ¿ + ❑y ¿ ❑y ¿ + ❑x ∂2 ¿ + ∂ y2 ❑y ¿ =0 =0 Ta gọi phương trình này là phương trình LÉVY. II. Hàm ứng suầết. Để giải hệ (2.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suầết Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phần thuầần nhầết (2.1): ∂❑x ∂x + ∂❑ yx ∂y ∂❑xy ∂x + ∂❑ y ∂y = 0 −¿ q=0 Điềầu kiện cầần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phần toàn phầần c ủa 1 hàm u(x,y) nào đó thì gi ữa p và q phải có quan hệ : ∂ p ∂q = ∂y ∂x 8 ∂❑x −∂❑ xy = ∂x ∂y - Phương trình thứ (1) của hệ (2.1)  Tức ( ❑x ❑xy .dy x = quan hệ .dx) là vi phần toàn phầần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nền ta có ∂A ∂y ; yx = −∂ A ∂x (a) Tương tự, phương trình thứ 2( bỏ qua lực thể tích) : ( ❑y .dx - ❑xy .dy) là vi phần toàn phầần của1 hàm B(x,y) nào đó :  Ta có quan hệ : y = − ∂B ∂x ; xy = ∂A ∂x So sánh (a) và (b) ta có : ∂B ∂y ∂B ∂y = (b) (c)  (A.dy + B.dx) là vi phần toàn phầần của 1 hàm (x,y) nào đó : ∂ ∂  Ta có quan hệ : A = ∂ y ; B = ∂x (d) Thay (d) vào (a) và (b) ta có: ❑x = ∂2 ∂ y2 ; ❑y = ∂2 ∂ x2 ❑x ; = ∂2 ∂x ∂ y (2.7) Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suầết Airy, là hàm đ ể gi ải bài toán ph ẳng theo ứng suầết. Tiềếp tục thay (2.7) vào phương trình LÉVY ta được phương trình trùng điềầu hòa có dạng như sau: ∂4 ∂ x4 ∂4 + 2 ∂ x2 ∂ y2 + ∂4 ∂ y4 = 0 (2.8) 9 III. Giải bài toán theo cách dùng hàm lượng giác. Do nhược điểm của cách giải đại sôế chỉ áp dụng được trong các trường hợp đặc biệt nền cách giải theo hàm lượng giác được ứng dụng rộng rãi hơn. Trong trường hợp cụ thể bài toán được nghiền cứu, ta sử dụng chuôỗi lượng giác để giải. Giả thiềết rằầng tải trọng đặt dọc theo mặt cằết hình chữ nhật đềầu có thể khai tri ển thành chuôỗi lượng giác ∞ ∑ Y n sin nπx L (x, y) = ❑n Đặ t n=1 nπ L = . Khi đó, ∂4 =Y n ❑n4 sin ❑n x ; 4 ∂x ∂4 =−Y 'n' ❑2n sin ❑n x ; 2 2 ∂x ∂ y ∂4 =Y IV n sin ❑n x 4 ∂y Thay vào phương trình (2.8) ta được: IV ❑n x+ ¿Y n sin❑n x=0. Y n ❑4n sin❑n x−2Y 'n' ❑2n sin ¿ Hoặc '' 2 4 Y IV n −2 Y n ❑n +Y n ❑n =0. Nghiệm của phương trình trền có dạng : (2.9) ∞ ∑ [ ( A n +B n ) cosh❑n +( C n + Dn ) sinh❑n ] sin❑n x (x,y) = n=1 ∞ + ∑ [ ( E n + Fn ) cosh ❑n +( Gn + H n ) sinh❑n ] cos❑n x n=1 Tùy thuộc vào điềầu kiện ở 2 đầầu dầầm để chọn hàm ứng suầết . Nềếu tại đi ểm đầầu và điểm cuôếi của dầầm mà tải trọng xy =0 và ❑x ≠ 0 thì chọn tổng thứ hai của (2.9) và khi 10 ❑x =0 xy ≠ 0 và thì chọn tổng thứ nhầết của (2.9). Tải trọng q(x) có thể khai triển thành chuôỗi lượng giác trong khoảng từ (0,L). Nềếu q(x) là hàm chằỗn thì chuôỗi khai triển Fourier seỗ trở thành q ( x )= a0 ∞ nπx + ∑ a n cos 2 n=1 L L L 2 2 nπx q ( x ) dx và an = ∫ q ( x ) cos Trong đó: a0 = L ∫ L0 L 0 Ngược lại nềếu tải trọng là hàm lẻ thì ∞ q ( x )=∑ b n sin n=1 nπx L L 2 nπx q ( x ) sin q Trong đó bn = L ∫ L 0 11 Chương 3: Áp dụng phương pháp hàm ứng suầết lượng giác để giải bài toán cụ thể Bài toán : xác định sự phần bôế ứng suầết trền một dầầm giản đơn có độ dài h ữu hạn b ị tác dụng bởi một lực đặt tại tầm. 2 LO  220mm, 2 L1  180mm 2h  30mm,   2mm,   2mm P  960 N Cho biềết : , , . 2 y 2h 2 x 2L1 2 2L0 I.1. Rút ra công thức của ứng suầết : Điềầu kiện biền : +) Mặt trền :  yy ( x,  h)    yy ( x,  h)  0 P 2 | x|  xy ( x,  h)  0 tại các điểm khác trền dầầm. +) Tại 2 đoạn đầầu dầầm :  xx (�Lo, y )  0  xy (�Lo, y )  0 +) Mặt dưới : 12  yy ( x, h)    xy ( x, h)  0 P 4  L1    x   L1   or L1    x  L1   Sử dụng chuôỗi Fourier để biểu diềỗn điềầu kiện biền ở mặt trền và mặt dưới của dầầm �  yy ( x,  h)  Bo  �Bm cos m 1 +) Mặt trền : m x L0 Trong đó : 1 B0  2 L0 Bm  Bm  1 L0 L0 1 f ( x)dx  � 2 L0  L0 L0 �f ( x) cos  L0  P P dx   � 2L  2  m x 1 dx  L0 L0 0  L0 P m x 1 P m x cos dx  cos dx � � 2  L L 2  L 0 0 0  L0  1  P L0 � m m sin  sin � L0 2 m � L0 L0 � P m sin � L0 � m +) Mặt dưới : �  yy ( x, h)  B0'  �Bm' cos m 1 1 B  L0 ' 0 Trong đó : L0 1 f ( x )dx  � L0  L0 m x L0  L1  P 1 dx  � 4 L0  L1  13 L1  P P dx   � L  4 L1  0 Bm'  Bm'   1 L0 L0 �f ( x) cos  L0 1  P L0 L0 4 m m x 1 dx  L0 L0  L1  P m x 1 cos dx  � 4 L0 L0  L1  L1  P �4 cos L1  m x dx L0 � m ( L1   ) m (  L1   ) � sin  sin � � L0 L0 � � m ( L1   ) � 1  P L0 � m ( L1   ) sin  sin � � L0 4 m � L0 L0 � P �  m L1 m �  P � m L1 m � 2 cos sin 2 cos sin � � � � 4m � L0 L0 � 4m � L0 L0 � P m L1 m Bm'  cos sin m L0 L0 Bm'  Hàm ứng suầết AIRY :  ( x, y )   Px 2 � � m y m y � m y  ��   A3m  A4 m y  sinh cos  A1m  A2m y  cosh � 4 L0 m  0 � L0 L0 � L0 Hàm này thỏa mãn hàm trùng điềầu hòa và điềầu kiện biền. Thành phầần ứng suầết :  xx  �2  � y2 +) �  �cos m 1 m x � m 2 2 m y m m y 2 A2 m sinh  � 2  A1m  A2 m y  cosh L0 � L0 L0 L0 L0 m 2 2 m y m m y � 2 A4 m cosh  A3m  A4 m y  cosh � 2 L0 L0 L0 L0 �  yy  +)  �2  � x2  P � m 2 2 m x � m y m y �  � 2 cos   A3m  A4 m y  sinh  A1m  A2 m y  cosh � � 2 L0 m 1 L0 L0 � L0 L0 � 14 �2   xy  �� x y +) � m m x � m m y m y  � sin  A2 m cosh  �  A1m  A2 m y  sinh L0 �L0 L0 L0 m 1 L0 m m y m y �  A4 m sinh  A3m  A4 m y  cosh � L0 L0 L0 � Xem xét điềầu kiện biền ở mặt trền và mặt dưới của dầầm :  yy ( x,  h) +) ứng suầết tại mặt trền của dầầm: 2 � �m �� �m h � �m h � P m  � �� sin  A1m  A2 m h  cosh � �  A3m  A4m h  sinh � ��  L0 �L0 �� � L0 � � L0 � � m  yy ( x,  h) +)ứng suầết tại mặt dưới của dầầm: 2 � �m �� �m h � �m h � P m L1 m  � �� cos sin  A1m  A2m h  cosh � �  A3m  A4m h  sinh � ��  L0 L0 �L0 �� � L0 � � L0 � � m  xy ( x,  h)  0 +) �m � �L �0 � �� �m h � m ( A3m  A4m h ) �m h � �m h � m ( A1m  A2m h ) �m h � A2 m cosh �  cosh �  A4 m sinh �  sinh � � � 0 � � � � � � �L � �L � �L � �L � L0 L0 �� �0 � �0 � �0 � �0 � �  xy ( x,  h)  0 +) �m � �L �0 � �� �m h � m ( A3m  A4m h) �m h � �m h � m ( A1m  A2 m h ) �m h � A2 m cosh �  cosh �  A4 m sinh �  sinh � � � 0 � � � � � � �L � �L � �L � �L � L L �� �0 � �0 � �0 � �0 � 0 0 � Viềết lại các phương trình dưới dạng ma trận . Ta có : 15 2 2 � �m � �m h � �m � �m h � � cosh � � � � � �h cosh � � L L L � �0 � � 0 � �0 � � L0 � � 2 2 �m � �m h � �m � �m h � � cosh  h cosh � � � � � � � � �L �0 � � L0 � �L0 � � L0 � � � m �m h � �m h � m h �m h � � sinh � sinh � � cosh � � � � L0 � L0 � � L0 � L0 � L0 � � � m sinh �m h � cosh �m h � m h sinh �m h � � � � � � � � L0 � L0 � � L0 � L0 � L0 � � � � � � 2 2 �m � �m h � ��A1m � �Bm � �m � �m h �  � �sinh � � � � � �h sinh � � �� A2 m � � �B 'm � �Lo � �Lo � �L0 � � L0 � �� � � � � A 0 �m h � m m h �m h � �m h ��� 3m � � � cosh � cosh � � � sinh � ��� � � A 0 � � L0 Lo �Lo � �Lo ��� 4 m � L0 � � �m h � m h m �m h � �m h � � cosh � cosh � �  � sinh � � � L0 Lo �Lo � �Lo � � L0 � � 2 �m � �m h � � �sinh � � L �0 � � L0 � 2 �m � �m h � � �h sinh � � �Lo � �Lo � Giải hệ phương trình trền ta tìm được các giá trị A1m, A2m, A3m, A4m từ đó ta xác định được hàm ứng suầết trong trường hợp này. I.2.Chương trình tính toán ứng suầết: viềết bằầng Matlab để tính toán các thành phầần ứng suầết. Chương trình được Những ứng suầết này được tính với tổng cộng 61x221điểm lưới điện ở dải. Khoảng cách giữa hai đường lưới liền tiềếp là 0.5mm theo hướng thẳng đứng và 1mm chiềầu ngang.Các tiều chuẩn hội tụ dựa trền chỉ tiều của vector (hệ sôế hằầng sôế): norm( Am ) 1e  16 clear %Initialization P=960; lo=110; l1=90; h=15; ep=2; del=2; sigmaxx=zeros(61,221); sigmayy=zeros(61,221); for i=1:61 for j=1:221 sigmayy(i,j)=-P/(2*lo); end end sigmaxy=zeros(61,221); x=-110:1:110; % for each vertical level for i=1:61 y=(i-31)/2; m=1; A=[1,1,1,1]; %Compute stresses at level i, y=(i-31)/2(mm) while norm(A)>1e-16 %Compute Am at each value of m C11=((m*pi/lo)^2)*cosh(m*pi*h/lo); C12=((m*pi/lo)^2)*h*cosh(m*pi*h/lo); C13=((m*pi/lo)^2)*sinh(m*pi*h/lo); 16 C14=((m*pi/lo)^2)*h*sinh(m*pi*h/lo); C21=((m*pi/lo)^2)*cosh(m*pi*h/lo); C22=-((m*pi/lo)^2)*h*cosh(m*pi*h/lo); C23=-((m*pi/lo)^2)*sinh(m*pi*h/lo); C24=((m*pi/lo)^2)*h*sinh(m*pi*h/lo); C31=(m*pi/lo)*sinh(m*pi*h/lo); C32=cosh(m*pi*h/lo)+(m*pi*h/lo)*sinh(m*pi*h/lo); C33=(m*pi/lo)*cosh(m*pi*h/lo); C34=(m*pi*h/lo)*cosh(m*pi*h/lo)+sinh(m*pi*h/lo); C41=-(m*pi/lo)*sinh(m*pi*h/lo); C42=cosh(m*pi*h/lo)+(m*pi*h/lo)*sinh(m*pi*h/lo); C43=(m*pi/lo)*cosh(m*pi*h/lo); C44=-(m*pi*h/lo)*cosh(m*pi*h/lo)-sinh(m*pi*h/lo); C=[C11 C12 C13 C14 C21 C22 C23 C24 C31 C32 C33 C34 C41 C42 C43 C44]; B=[(P/(m*pi*ep))*sin(m*pi*ep/lo); (P/(m*pi*del))*cos(m*pi*l1/lo)*sin(m*pi*del/lo); 0; 0]; A=C\B; %Compute the stresses sigxx(i,:)=cos(m*pi*x/lo)*(m*pi/lo)*((2*A(4)*cosh(m*pi*y/lo)+... (m*pi/lo)*(A(1)+A(2)*y)*cosh(m*pi*y/lo) +2*A(2)*sinh(m*pi*y/lo)+... (m*pi/lo)*(A(3)+A(4)*y)*sinh(m*pi*y/lo))); sigmaxx(i,:)=sigmaxx(i,:)+sigxx(i,:); sigyy(i,:)=((m*pi/lo)^2)*cos(m*pi*x/lo)*((A(1)+A(2)*y)*cosh(m*pi*y/lo) +... (A(3)+A(4)*y)*sinh(m*pi*y/lo)); sigmayy(i,:)=sigmayy(i,:)-sigyy(i,:); sigxy(i,:)=-(m*pi/lo)*sin(m*pi*x/lo)*(A(2)*cosh(m*pi*y/lo)+... (m*pi/lo)*(A(3)+A(4)*y)*cosh(m*pi*y/lo)+A(4)*sinh(m*pi*y/lo) +... (m*pi/lo)*(A(1)+A(2)*y)*sinh(m*pi*y/lo)); sigmaxy(i,:)=sigmaxy(i,:)+sigxy(i,:); % Increase values of m m=m+1; end end % Correct the stress field Nx=0; Mc=0; for i=1:60 temp=((sigmaxx(i,1)+sigmaxx(i+1,1))/2)*(i-31)/4; Mc=Mc+temp; temp=((sigmaxx(i,1)+sigmaxx(i+1,1))/2)*0.5; Nx=Nx+temp; end for i=1:221 xn=(i-111); for j=1:61 yn=(j-31)/2; sxc(i,j)=-12*Mc*yn/((2*h)^3)-Nx/(2*h); 17 end end sc=sxc'; sigmaxxc=sigmaxx+sc; % Compute the stresses by elementary theory for i=1:221 xn=(i-111); if (xn<-90)|(xn>90) Mz=0; Vy=0; end; if (xn>-90)&(xn<0) Mz=P*(xn+90)/2; Vy=-P/2; end; if (xn>0)&(xn<90) Mz=P*(xn+90)/2-P*xn; Vy=+P/2; end; if (xn==0) Mz=P*(xn+90)/2; Vy=-P/2; end; for j=1:61 yn=(j-31)/2; sxx(i,j)=-12*Mz*yn/((2*h)^3); sxy(i,j)=(6*Vy/((2*h)^3))*((2*h)^2/4-yn^2); end end sxx=sxx'; sxy=sxy'; %compute the deflaction W=0; mi=0.3; E= 2*10^3; for i= 1:220 for j= 1:60 a= (sigmaxxc(i,j) +sigmaxxc(i+1,j) + sigmaxxc(i,j+1)+sigmaxxc(i+1, j+1))/4; b= (sigmayy(i,j)+sigmayy(i+1,j)+sigmayy(i,j+1)+ sigmayy(i+1,j+1))/4; c= (sigmaxy(i,j)+sigmaxy(i+1,j) +sigmaxy(i,j+1)+sigmaxy(i+1,j+1))/4; ep1=(1/E)*(a-b/mi); ep2=(1/E)*(b-a/mi); ep3=(2/E)*(1+mi)*c; W= W+a*ep1+b*ep2+c*ep3; end end Vm = 2* W /P; %Plot the results %[X,Y] = meshgrid(-110:1:110,-15:.5:15); %[C,h] = contourf(X,Y,sigmaxxc,20); 18 %[C,h] = contourf(X,Y,sigmaxx,20); %[C,h] = contourf(X,Y,sigmaxy,10); %[C,h] = contourf(X,Y,sxx,20); %[C,h] = contourf(X,Y,sxy,10); %[C,h] = contourf(X,Y,sigmayy,10); %ylabel('y (mm)') %xlabel('x (mm)') %title('ung suat (\sigma_y_y) p.p ham luong giac') %colormap(jet) %colorbar %set(h,'ShowText','off','TextStep',get(h,'LevelStep')*2) %y=-15:0.5:15; x=-110:1:110; %plot(sigmaxxc(:,221),y,'-r','LineWidth',2) %legend('ket qua da sua chua') %hold on %plot(sxx(:,221),y,'-b','LineWidth',2) %plot(sigmaxx(:,221),y,'-g','LineWidth',2) %plot(sc(:,111),y,'-m','LineWidth',2) %ylabel('y (mm)') %xlabel('\sigma_x_x (N/mm^2)') %title('ung suat (\sigma_x_x) phan bo tai x = 110 mm') %grid on plot(x,sigmayy(:,3),'-b','LineWidth',2) xlabel('x (mm)') ylabel('\sigma_y_y (N/mm^2)') title('ung suat (\sigma_y_y) phan bo tai y = 0 mm') grid on hold off sigmaxx=zeros(61,221); sigmayy=zeros(61,221); II.2. Tính chuyển vị lớn nhầết trền đoạn dầầm. Dựa theo công thức Clapeyron ta có : ❑x ❑x W = 1¿ 2 Lại có công của lực được xác định theo công thức : A= v max + 1 2 ❑ y ❑y +❑xy ❑xy ¿ P v max trong đó là biềến dạng lớn nhầết trền dầầm khi có lực P tác dụng vào. Đôếi với vật thể hoàn toàn đàn hôầi, thì nằng lượng sinh ra khi biềến dạng đ ược b ảo toàn. Do đó công A hoàn toàn chuyển thành thềế nằng của lực đàn hôầi W, nền : W= A 19 Vật liệu có E = 2 GPa, và  = 0.3. Dựa vào các giá trị ứng suầết tính toán được ở trền, ta 3 được W = 3.83* 10 N.mm,từ đó tính được v max = W P = 3.98mm. Phụ lục 1. Để so sánh sự khác nhau giữa các kềết quả tính theo phương pháp hàm lượng giác và tính theo phương pháp sức bềần chúng ta sử dụng matlab minh h ọa các giá trị tại các vị trí khác nhau trền dầầm 20