Tài liệu Gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ thế và phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGUYỄN THỊ HẢI YẾN GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGUYỄN THỊ HẢI YẾN GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM TRONG CƠ LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. CAO THỊ VI BA Hà Nội – 2016 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao ThịVi Ba,người đã tận tình hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên cho tôi hoàn thành luận văn này. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn. Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 9 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hải Yến MỤC LỤC Mở đầu ………………………………………………………………………………...1 Chuơng 1. Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ………………………………….4 1.1. Gần đúng eikonal trong quang học………..……………………..................4 1.2. Phát biểu bài toán tán xạ……………………………….…………………...8 1.3. Lời giải phương trình Schrodinger……………………….……………….14 Chƣơng 2. Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm……….…25 2.1. Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài ……...25 2.2. Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng………………..........................30 Chƣơng 3. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể…………………………………................41 3.1.ThếYukawa ..…………………………………………………...................41 3.2. Thế Gauss………………………………………………………………...45 Kết luận…………………………………………………………………………...….50 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………...52 Phụ lục…………………………………………………………………………...…..54 MỞ ĐẦU Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biểu diễn eikonal này có thể thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phần (tìm hàm sóng ở xa vô cùng), phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) và phương pháp chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ điển) [3].Các phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiếm hàm cho bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loạn[9]. Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúng eikonaltrên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường lượng tử.Cơ học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuôn khổ của nó với giả thiết tính nhẵn của thế năng, đã thành công trong việc giải thích vật lý những đặc trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron. Do mô hình quang học và phép gần đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thế cho ta cơ sở để đưa vào Vật lý hiện đại phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học. Ở đây, chúng tôi trình bày vắn tắt các kết quả vận dụng phương pháp chuẩn cổ điển hay còn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tán xạ năng lượng cao. Phương pháp WKB được hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cổ điển. Phép khai triển theo sóng riêng phần là một phương pháp chủ yếu để nghiên cứu tán xạ năng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng lồ 1 sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả. Vì vậy, người ta phải đề xuất các cách tiếp cận khác để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạt cơ bản. Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chính là biểu diễn eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3]. Lưu ý, biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao. Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ năng lượng cao ở trường ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử. Luận văn gồm các phần:Mở đầu, Nội dung nghiên cứu được viết thành ba chương, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục. Phần nội dung của luận văn gồm: Chƣơng 1.Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế ngoài.  Mục 1.1:Giới thiệu vắn tắt gần đúng eikonal được sử dụng trong quang học.  Mục 1.2: Phát biểubài toán tán xạ trong cơ học lượng tử.  Mục 1.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngoài ở xa vô cùng, từ đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tán xạ. Chƣơng 2.Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm. Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.  Mục 2.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.  Mục 2.2: Tách các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài để thu được biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phân phiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thẳng và khảo sát dáng điệu tiệm cận của 2 biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Điều kiện sử dụng gần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt và góc tán xạ. Chƣơng 3.Tán xạ trên thế ngoài cụ thể. Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thể.  Mục 3.1: Nghiên cứu tán xạ thế Yukawa.  Mục 3.2: Nghiên cứu tán xạ thế Gauss. Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướng nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới. Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Feynman. Vớivéctơ tọa độ phản biến là  x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x  thì các véctơ tọa độ hiệp biến là  x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z    t ,  x  , trong đótensor metric có dạng g   g  1 0 0 0     0 1 0 0    0 0 1 0     0 0 0 1 Chƣơng 1 GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ[4] 3 1.1. Gần đúng eikonal trong quang học Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học. Phương trình mô tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n mà trong trường hợp  tổng quát là hàm số của tọa độ n  r  và có dạng n2  2   2 2  0 ,(1.1) c t   ở đây  là thành phần bất kỳ của các vectơ E và H . Nếu n là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc  i kr t    0e   . (1.2)  Số sóng k  k , tần số  và bước sóng  liên hệ với nhau bằng hệ thức k n  c  2  . (1.3) Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phẳng trong toàn không gian là không đổi.  Nếu môi trường không đồng nhất thì n  r  sẽ là hàm của tọa độ và sóng phẳng (1.2) với vectơ sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1.1). Tuy nhiên, nếu bước sóng  nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d , mà ở đó chiết  suất n  r  thay đổi đáng kể, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là sóng phẳng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng. Các hướng như vậy được gọi là tia. 4 Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng   aei . (1.4) Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm  được gọi là eikonal. Ta có thể khai triển nó thành chuỗi    0  r   t  . t (1.5) Vì ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi mô, có thể coi là sóng phẳng nên so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được    k   ,    . t (1.6) Thay (1.4) vào (1.1) ta được (aei )  n2  2 (aei )  0, (1.7) 2 2 c t trong đó   (aei )  ((aei ))     (aei  iaei  )           2 aei  aiei   iaei   iaei i  iaei  2        2 a  2ia  ia 2  a( ) 2  ei   (1.8) Tương tự ta có 2  2a 2 a   2     i i  ae     2t  2i t t  ia t 2  a  t   e t 2       Thế (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta được 5 (1.9)    Δa  i 2a  iaΔ  a    2  2 n2  r    2 a a   2      2  2  2i  ia 2  a     0. (1.10) c  t t t t  t     Phương trình (1.10) là phương trình chính xác, hoàn toàn tương đương với phương trình (1.1). Giả thiết rằng a và  là các hàm biến đổi chậm của tọa độ và thời gian, bỏ qua các số   hạng chứa Δa , Δ , a. ,  2 a  2 a  , , trong (1.10), chúng ta thu được phương t 2 t 2 t t trình eikonal cho      2  2  n  r     2     . c   t   (1.11) Thay (1.6) vào (1.11) ta được     2 2      n  r   . (1.12) c  Các phương trình (1.11) và (1.12) được gọi là các phương trình eikonal. Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các mặt    r , t   const ,  (1.13)  còn các tia được hướng theo k  . Lưu ý sự tương tự ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phương trình Hamilton-Jacobi, mà trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong 6   trường thế ngoài1. Trong trường hợp khi hàm Hamilton H  r , p  không phụ thuộc tường minh vào thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng   S  H r,    E ,  r  (1.14)   ở đây E là năng lượng của hạt, S  r , t   S0  r   Et là hàm tác dụng. Xung lượng của hạt bằng      p  S  r , t   S0  r  . (1.15) Theo Vật lý cổ điển, chuyển động của hạt trong hình thức luận Hamilton-Jacobi có thể so với các mặt sóng mà nó được xác định bằng phương trình  S  r , t   const. (1.16) Quỹ đạo của hạt, như ta có thể suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này2.  Đối với hạt chuyển động trong trường thế V  r  thì xung lượng của hạtđược xácđịnh bởi  p 2  2m( E  V (r )). (1.17) Từ (1.15) ta có  p 2  (S )2 . (1.18) Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton 1 thiết lập vào năm 1834. 2  Lưu ý, tốc độ dịch chuyển u của mặt S  r , t   const trong không gian không trùng với tốc độ v của hạt và liên hệ với vbằng hệ thức u  E . mv 7 Kết hợp (1.17) và (1.18) ta thấy phương trình (1.14) có dạng  S  2   2m  E  V  r   (1.19) So sánh (1.15), (1.16) và (1.19) với (1.6), (1.13) và (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học   cổ điển, hàm tác dụng S  r , t  chính là eikonal   r , t  trong quang hình học và đại  lượng 2m  E  V  r   tương tự với tổ hợp các đại lượng quang học   n r  . c  Như vậy, các tia sáng trong môi trường với chiết suất n  r  trùng với quỹ đạo của hạt   trong trường thế V  r  mà đối với nó đại lượng 2m  E  V  r   tỷlệvới  2 c 2  n 2  r  . Hệ số c2  tỷ lệ liên hệ giữa n2  r  và 2m  E  V  r  2 , là một đại lượng có thứ nguyên và không  ω thể xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cổ điển. Nếu sử dụng sự tương tự này giữa quang học sóng và cơ học cổ điển thì ta có thể viết  2m  c2 n2  r   2  E  V  r  2 . (1.20)    1.2. Phát biểu bài toán tán xạ trong cơ học lƣợng tử Trước tiên, chúng ta xem xét gần đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát biểu bài toán tán xạ. Nếusự tán xạ xảy ra trong thế năng có đối xứng cầu thì hàm sóng ở xa vô cùng gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ có dạng  eikr    r  ~ eikz  f   , r trong đó, hàm số f   được gọi là biên độ tán xạ. 8 (1.21) Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độ dòng các hạt tán xạ theo công thức tổng quát      *  *  , (1.22) j  2mi  và lưu ý    f r f (r )  . (1.23) r r Mật độ dòng của các hạt tới      t* t  t  t*  jt    2mi   *   t   t*     t ez  t ez  2mi  z z     e  ikz ez (ik )eikz  eikz ez (ik ) e ikz     2mi   k     2(ik )ez  ez  vez  v , 2mi m  (1.24)  trong đó, ez là véc tơ đơn vị theo trục z, v là vận tốc của hạt tới.  Như vậy, mật độ dòng tới jt có độ lớn là jt  v (1.25) Mật độ dòng của các hạt tán xạ  *    * jtx   tx tx   tx  tx  , (1.26)  2mi   trong đó 9    eikr  tx  f    r    * e  ikr  tx  f   r       eikr eikr  tx r  tx   f ( )  ik  2  r r r r        e  ikr e ikr  r   t*x  f * ( )  ik  2  .   r r r     r  r  (1.27) Thay (1.27) vào (1.26) ta được   1 ik 1   2 r  ik jtx  f ( )  r  r 2  r  r 2  2mi r     2 r  2ik  f ( ) 2   r  r 2mi    2 r  k 1  2 v r  f ( ) 2    f ( ) 2 . r  m r r r (1.28)  Trong trường hợp này, mật độ dòng tán xạ jtx chỉ có thành phần xuyên tâm jtx  f   2 v . (1.29) r2 Xác suất để cho hạt tán xạ rơi vào góc khối dΩ , bằng jtx dS  jtx r 2 dΩ  f   vdΩ. (1.30) 2 Tỷ lệ giữa xác suất hạt tán xạ rơi vào góc khối dΩ và mật độ dòng xác suất của các hạt tớiđược gọi là tiết diện tán xạ vi phân d  Thay (1.25) và (1.30) vào (1.31), ta được 10 jtx dS (1.31) jt d  f   dΩ. (1.32) 2 Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi 2 d  f   . (1.33) d Như vậy, việc xác định tiết diện tán xạ hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiến hành như sau: Tìm nghiệm của phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại các khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó f   là biên độ cần tìm. Để tìm biên độ tán xạ f   , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger  2      E  V  r    r   0. (1.34)   2m   Khi r   thì  r  có dạng tiệm cận (1.21). Trong nhiều trường hợp ta có thể kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điều kiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân. Điều này có thể thực hiện được nếu ta sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do G0  r , r '  , mà nó thỏa mãn   phương trình   E  H 0  i  G0  r , r '    E      2       i  G0 r , r '   r  r ' . (1.35) 2m  Ta cho G0  r , r '   q 2G0  r , r '  , rồi thế vào (1.35) ta được     11       E  H 0  i  G0  r , r '    E     2 2     q  i  G0  r , r '     r  r '  2m        iq  r  r '   2 1     e dq  E  H 0  i  G0  r , r '    E  q 2  i  G0  r , r '   3 2m  2     (1.36) Khi đó hàm G0  r , r '  có dạng       1 G0 r , r '   E  H 0  i  1     iq r  r '      iq r  r '  e e  2m 1   dq  2 dq 3  2 2 3    2  E 2m  q 2  i 2m  2  E   q  i 2 2 2m        2m dq eiq (r  r') 1 2m eik (r  r')  2      (2 )3 k 2  q 2  iò 4  2 | r  r ' | (E  (1.37) 2 k 2 2m ,ò 2  ) 2m  Nhờ có G0  r , r '  phương trình (1.34) sẽ chuyển thành phương trình tích phân    k  r   k  r   G0  r , r ' V  r '  k  r '  dr ' ,        (1.38)    ở đây k  r  là nghiệm bất kỳ của phương trình Schrodinger tự do,ví dụ: k  r   eikr .  Bây giờ, ta chứng minh  k  r  được xác định bằng phương trình (1.38) khi r   có dạng tiệm cận (1.21). Thay (1.37) vào (1.38) ta được   ik r  r ' 1 2m e  ' ' '  k  r   eikr   ' V r  k r dr . 2   4  r r 12     (1.39) Khi lấy tích phân theo dr ' ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng V  r '    (xem hình 1). Khi r   ta có thể tính gần đúng như sau     r 'r  ' r  r r  r   r    r '. r r (1.40) Vậy khi r   biểu thức (1.39) có dạng  eikr 1 2m ikr '  '   '  '  ikr  r   e  e V r  k r dr . r 4 2       k (1.41)   r Đại lượng k  k là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho r hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.   r r '   r' r  V (r ') O Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39) So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ f      m    eikrV r '  k r ' dr ' . (1.42) 2  2      Biểu thức (1.42) cho ta biên độ tán xạ f   , nếu biết nghiệm của phương trình   Schrodinger  k  r ' . Lưu ý, trong biểu thức (1.42) ta cần hiểu  k  r ' không phải toàn  bộ không gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế V  r ' . 13 1.3. Lời giải của phƣơng trình Schrodinger trong gần đúng eikonal Chúng ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.34) có dạng sóng phẳng mà trong quá trình  tương tác với thế năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bổsung   r  . Ta thu được      r   eikr i  r  . (1.43) Thay (1.43) vào (1.34), ta có phương trình chính xác cho  i  2 2 2     Δ  2k      V  r   0 . (1.44)    2m 2m     Nếu ta giả thiết rằng   r  là hàm nhẵn của tọa độ, như ta đã làm khi rút ra phương trình eikonal trong quang học (1.12) thì trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo hàm bậc hai của  . Như vậy trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là     2 2m  2k   r     r    2 V  r  .    (1.45)   So sánh (1.43) với (1.4) ta có vai trò eikonal bây giờ là đại lượng kr    r  . Nếu năng lượng của các hạt va chạm là lớn, thì ở vế trái (1.45) số hạng thứ nhất   2k      2 là vượt trội, và khi đó   m  k   r    2 V  r  .  (1.46)  Hướng vectơ sóng k theo trục z , ta được   x, y, z  z  14 1 V  x, y , z  v (1.47)  Khi z   thì chỉ tồn tại sóng tới  r   eikz . Từ phương trình (1.43) ta suy ra   x, y, z     0 . Giải phương trình (1.47) với điều kiện biên   x, y, z     0, ta được   r    z 1 V  x, y, z dz. v  (1.48) Như vậy, nghiệm của phương trình Schrodinger trong gần đúng đang nghiên cứu có dạng       r   exp ikr    z  i   V  x, y, z dz. v   (1.49) Thay (1.49)vào (1.42) ta được z f       m  e V r  e 2  2   iqr  i V  x , y , z   dz  v   dxdydz , (1.50)  ởđây q  k  k ' . Bây giờ tanghiên cứu tán xạ góc nhỏ, sao cho sự thay đổi xung lượng trong quá trình  1  tán xạ q có thể lấy với độ chính xác vuông góc với k , tức là vuông góc với trục Oz. k Trong trường hợp này,tích phân theo dz trongbiểu thức (1.50) là của một vi phân toàn    phần bởi vì qr  q r nên không phụ thuộc vào z (các vectơ này là vectơ hai chiều, vuông góc với trục z và chúng ta ký hiệu bằng  ). Lấy tích phân theo dz trong (1.50), ta có 15 z f     m 2  2  iqr  dxdye V  x, y, z  e  i V  x , y , z   dz  v   dz z      m  d 2b eiq r    2  2   i  de   i V  x , y , z   dz  v    i   m    2  iq r   v V  x , y , zdz  e   d b e  2  2  i     z  z  z      i  iq r   v  V  x , y , zdz   mv 2  e    1  d be     2 i     z i  iq r   v  V  x , y , zdz   k 2     d b e e   1 .   2 i      z Biên độ tán xạ  i '   iq b   v  V b , z 'dz '    k 2  e  f    f k , k   1 , d be     2 i        (1.51)  mv p  . ở đây b   x, y,0  ; k    Đối với các thế năng có tính đối xứng thì trong (1.51) có thể lấy tích phân theo góc phương vị. Sử dụng công thức tích phân Bessel J n ( z)  1 2 i n 2  d e iz cos in e . (1.52) 0 Trong công thức (1.52)cho n  0, z  qb , ta có 1 2 16 2  d e 0 iqb cos   J 0 (qb). (1.53)