Tài liệu đường tròn soddy và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Möc löc Danh möc h¼nh Líi c£m ìn Mð ¦u 1 Ki¸n thùc bê sung 1.1 1.2 iii iv 1 3 Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 ành ngh¾a v  t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Cæng thùc kho£ng c¡ch, t½nh ch§t b£o gi¡c . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 ành ngh¾a v  t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Mët sè k¸t qu£ trong tåa ë barycentric . . . . . . . 11 Tåa ë barycentric thu¦n nh§t 2 C¡c ÷íng trán Soddy 20 2.1 ành ngh¾a v  c¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . 20 2.2 B¡n k½nh c¡c ÷íng trán Soddy 23 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 B¡n k½nh ÷íng trán Soddy nëi . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 B¡n k½nh ÷íng trán Soddy ngo¤i . . . . . . . . . . 24 ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric . . . . . . . . . 25 2.3.1 C¡c iºm Soddy v  ÷íng th¯ng Soddy . . . . . . . 25 2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . . . 28 Tam gi¡c Soddy v  tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy . . . . 3 Mët sè v§n · li¶n quan 3.1 Tam gi¡c kiºu Soddy 29 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ii 3.2 3.3 3.1.1 Mët sè h» thùc h¼nh håc . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tam gi¡c kiºu Soddy v  c¡c t½nh ch§t 3.1.3 Tam gi¡c kiºu Soddy c¤nh nguy¶n 3.1.4 Düng tam gi¡c kiºu Soddy bi¸t mët c¤nh κ = ta + tb + tc . . . 3.2.1 C¡c tam gi¡c Heron lîp κ = 2 3.2.2 C¡c tam gi¡c Heron lîp κ = 4 C¡c tam gi¡c lîp ~ = tb + tc . . . . . 3.3.1 C¡c tam gi¡c Heron lîp ~ = 1 3.3.2 C¡c tam gi¡c Heron lîp ~ = 2 C¡c tam gi¡c lîp K¸t luªn T i li»u tham kh£o 35 . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . 43 . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . 47 . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . 54 57 58 iii Danh möc h¼nh 1.1 ƒnh nghàch £o cõa iºm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 a) ƒnh ÷íng th¯ng khæng qua cüc; b) ƒnh ÷íng trán câ t¥m l  cüc 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ƒnh cõa ÷íng trán khæng qua cüc nghàch £o 4 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 A0 B 0 = R · AB OA.OB 1.4 Kho£ng c¡ch 1.5 T½nh ch§t b£o gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 V½ dö v· cæng thùc Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 ÷íng trán Soddy nëi v  ÷íng trán Soddy ngo¤i . . . . . 21 2.2 C¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Tåa ë barycentric cõa c¡c iºm Soddy v  ÷íng th¯ng Soddy 26 2.4 T¥m Soddy nëi, ngo¤i v  iºm Eppstein . . . . . 30 2.5 C¡c ÷íng th¯ng Euler v  Gergonne . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy vuæng t¤i Fl = `G ∩ `S . . 32 2.7 Mët sè iºm tr¶n c¤nh tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy . . 33 3.1 AD-cevian . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 C¡c t½nh ch§t cõa cevian ti¸p tuy¸n ¿nh A 3.3 C¡c h» thùc li¶n quan ¸n 3.4 P Q ⊥ AD 3.5 Tam gi¡c kiºu Soddy 3.6 ÷íng th¯ng Gergonne song song vîi 3.7 Quÿ t½ch iºm 3.8 Düng tam gi¡c kiºu Soddy bi¸t mët c¤nh 3.9 Tam gi¡c Heron lîp A ti¸p tuy¸n ¿nh E = X481 . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 C θ ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . AD 40 . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.10 Tam gi¡c Heron lîp ~=1. ~=2. . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 iv Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H£i Pháng, th¡ng 12 n«m 2019 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Ngæ Trång Th nh 1 Mð ¦u 1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n C¡c ÷íng trán Soddy cõa tam gi¡c ABC câ nhúng t½nh ch§t °c bi»t, b i to¡n düng c¡c ÷íng trán Soddy l  tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n Apolilonius. Cha ´ cõa ÷íng trán Soddy, iºm Soddy, ÷íng th¯ng Soddy, tam gi¡c Soddy,.. l  Frederick Soddy, ng÷íi ¢ d nh ÷ñc gi£i th÷ðng Nobel v· Hâa håc. Ph¡t triºn c¡c kh¡i ni»m n y trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u t¡c gi£ (N. Dergiades n«m 2007, M. Jackson n«m 2013, M. Jackson v  Takhaev n«m 2015, 2016 ) ¢ cæng bè c¡c ph¡t hi»n h¼nh håc s¥u s­c sinh ra tø ÷íng trán Soddy. B i to¡n °t ra l  l m th¸ n o düng ÷ñc c¡c ÷íng trán Soddy, x¡c ành c¡c b¡n k½nh cõa chóng theo c¡c y¸u tè cõa tam gi¡c cho tr÷îc? c¡c ÷íng trán Soddy, c¡c ÷íng th¯ng Soddy câ li¶n quan g¼ vîi c¡c ÷íng trán v  ÷íng th¯ng ¢ bi¸t kh¡c? Tr¼nh b y c¡ch gi£i quy¸t c¡c b i to¡n tr¶n l  lþ do º tæi chån · t i "÷íng trán Soddy v  c¡c v§n · li¶n quan". Möc ½ch cõa · t i l : - Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, c¡ch x¡c ành ÷íng trán Soddy, t½nh ÷ñc c¡c b¡n k½nh, t¼m ÷ñc c¡c t½nh ch§t mîi cõa ÷íng trán Soddy nëi v  ÷íng trán Soddy ngo¤i. Tø â ÷a ra c¡ch düng v  ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng trán, ÷íng th¯ng Soddy trong tåa ë barycentric. - X¡c ành mèi quan h» cõa tam gi¡c Soddy vîi c¡c iºm v  ÷íng th¯ng °c bi»t kh¡c. - Ph¥n lo¤i ÷ñc c¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc kh£o s¡t c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa 2 lîp â. v  lîp ~ = tb + tc , 2 2. Nëi dung · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t Nëi dung luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc bê sung Nh­c l¤i v  bê sung hai chõ · cì b£n ÷ñc sû döng l m cæng cö gi£i quy¸t b i to¡n °t ra: Ph²p nghàch £o v  tåa ë barycentric, ch÷ìng n y gçm c¡c möc: 1.1. Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng 1.2. Tåa ë barycentric thu¦n nh§t Ch÷ìng 2. C¡c ÷íng trán Soddy Nëi dung ch÷ìng n y · cªp ¸n sü x¡c ành c¡c ÷íng trán Soddy còng c¡c bë phªn cõa nâ b¬ng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc sì c§p v  ph÷ìng ph¡p tåa ë. ¥y l  mët trong nhúng trång t¥m cõa luªn v«n. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau (têng hñp, bê sung tø c¡c b i b¡o [1], [3], [7]): 2.1. ành ngh¾a v  c¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy 2.2. B¡n k½nh c¡c ÷íng trán Soddy 2.3. ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric 2.4. Tam gi¡c Soddy v  tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy Ch÷ìng 3. Mët sè v§n · li¶n quan Ch÷ìng 3 x²t c¡c v§n · li¶n quan ¸n ÷íng trán Soddy, tam gi¡c Soddy, thüc ch§t l  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng quan trång li¶n quan ¸n c¡c kh¡i ni»m kh¡c trong h¼nh håc, ch¯ng h¤n tam gi¡c Heron. Ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o v  têng hñp theo c¡c b i b¡o [4], [5]. Nëi dung gçm: 3.1. Tam gi¡c kiºu Soddy 3.2. C¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc 3.3. C¡c tam gi¡c lîp ~ = tb + tc . 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc bê sung Ta nh­c l¤i v  bê sung hai nëi dung c¦n cho c¡c ch÷ìng sau: Thù nh§t, iºm qua v· ph²p nghàch £o ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong Gi¡o tr¼nh h¼nh håc sì c§p; Thù hai, bê sung th¶m tåa ë barycentric (d¤ng h¼nh håc gi£i t½ch), ph¡t triºn tø kh¡i ni»m t¥m t cü quen thuëc. 1.1 Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng Ta nh­c l¤i mët sè ành ngh¾a, t½nh ch§t quan trång cõa ph²p nghàch £o qua ÷íng trán hay cán gåi l  ph²p èi xùng qua ÷íng trán tr¶n m°t ph¯ng Euclide. C¡c chùng minh chi ti¸t câ thº t¼m th§y trong c¡c gi¡o tr¼nh H¼nh håc sì c§p hi»n h nh. 1.1.1 ành ngh¾a v  t½nh ch§t ành ngh¾a 1.1. Tr¶n m°t ph¯ng cho ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R. Ph²p nghàch £o cüc O, ph÷ìng t½ch k = R2 l  ph²p bi¸n êi tr¶n m°t ph¯ng, bi¸n P 7→ P 0 sao cho n¸u P 6= O th¼ OP.OP 0 = R2 ; n¸u P ≡ O th¼ P 0 ←→ ∞. Ta kþ hi»u ph²p nghàch £o â l  ÷íng trán nghàch £o. fRO2 , ÷íng trán (O, R) ÷ñc gåi l  Ph²p nghàch £o n y công gåi l  ph²p èi xùng qua ÷íng trán. D¹ th§y ph²p nghàch £o câ t½nh ch§t èi hñp, tùc l  fRO2
2 = Id. Tø 4 H¼nh 1.1: ƒnh nghàch £o cõa iºm ành ngh¾a ta suy ra c¡c t½nh ch§t sau cõa ph²p nghàch £o: H¼nh 1.2: a) ƒnh ÷íng th¯ng khæng qua cüc; b) ƒnh ÷íng trán câ t¥m l  cüc a) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , ÷íng trán nghàch £o (O, R) bi¸n th nh ch½nh nâ, nâi c¡ch kh¡c, ÷íng trán nghàch £o l  h¼nh k²p tuy»t èi (t÷ìng tü tröc èi xùng trong ph²p èi xùng). Måi iºm ð trong bi¸n th nh iºm ð ngo i v  ng÷ñc l¤i. (O, R) 5 H¼nh 1.3: ƒnh cõa ÷íng trán khæng qua cüc nghàch £o b) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , måi ÷íng th¯ng i qua O bi¸n th nh ch½nh nâ (h¼nh k²p t÷ìng èi). c) Qua ph²p nghàch £o ÷íng trán i qua fRO2 , måi ÷íng th¯ng khæng i qua O O. d) Qua ph²p nghàch £o th¯ng khæng i qua fRO2 , måi ÷íng trán i qua fRO2 , bi¸n th nh ÷íng måi ÷íng trán khæng i qua O; måi ÷íng trán t¥m O, 2 t¥m O , b¡n k½nh R /r . ÷íng trán khæng i qua th nh ÷íng trán çng (I, r) bi¸n th nh ch½nh t½ch p, vîi p = PO/(I,r) . f) ÷íng trán Chùng minh. O O. e) Qua ph²p nghàch £o ph÷ìng bi¸n th nh O bi¸n th nh b¡n k½nh nâ qua ph²p nghàch £o f r bi¸n cüc O, a), b) hiºn nhi¶n. OH ⊥ ∆, gåi H 0 l  £nh nghàch £o cõa H th¼ H 0 cè ành. Vîi måi M ∈ ∆, M 0 l  £nh cõa M th¼ OM.OM 0 = OH.OH 0 n¶n 4 iºm H , H 0 , M , \ M 0 thuëc mët ÷íng trán. Ta l¤i câ M HH 0 = 90◦ , suy ra M\ M 0 H 0 = 90◦ , 0 0 0 tùc l  M thuëc ÷íng trán ÷íng k½nh OH . £o l¤i, vîi måi N tr¶n c) H¤ 6 ON 0 luæn c­t ∆ t¤i mët 0 0 0 iºm N (n¸u N ≡ O th¼ ta l§y iºm væ tªn tr¶n ∆). Tù gi¡c N HH N ◦ 0 0 2 nëi ti¸p v¼ câ 2 gâc èi di»n b¬ng 90 . Suy ra ON.ON = OH.OH = R 0 0 theo c¡ch x¡c ành H, H . ƒnh cõa måi M ∈ ∆ l  M ∈ δ -÷íng trán 0 ÷íng k½nh OH . Vªy £nh cõa ÷íng th¯ng ∆ khæng qua O l  ÷íng trán δ i qua O. d) Do t½nh èi hñp ta câ ngay £nh cõa ÷íng trán i qua O l  ÷íng th¯ng khæng i qua O , h¼nh 1.2a). ÷íng trán ÷íng k½nh OH 0 . ∆ ⊥ OH 0 V¼ n¶n e) Tø c¡ch düng £nh nghàch £o cõa mët iºm ta suy ra ngay måi ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh r bi¸n th nh ÷íng trán çng t¥m O, h¼nh 1.2 b). Gåi C l  ÷íng trán t¥m O bi¸n C ph÷ìng t½ch cõa cüc ph÷ìng t½ch p s³ C èi vîi khæng qua cüc nghàch £o C, O C l  ÷íng trán C0 l  O, O, t sè và tü b¬ng R2 /p H O ): fRO2 (C) = fRO2 ◦ fpO (C) = HhO (C), HhO (C) p (h¼nh k²p t÷ìng èi). V¼ t½ch hai l  ph²p và tü t¥m n¶n ta câ (Kþ hi»u ph²p và tü t¥m O l  Ta ¢ bi¸t Gåi ta câ ngay ph²p nghàch £o cüc th nh ch½nh ph²p nghàch £o còng cüc O. (d¹ th§y vîi C0 h = R2 /p. khæng i qua O). f) Hiºn nhi¶n theo ành ngh¾a cõa ph÷ìng t½ch. 1.1.2 Cæng thùc kho£ng c¡ch, t½nh ch§t b£o gi¡c Ta i t¼m kho£ng c¡ch giúa hai £nh nghàch £o cõa hai iºm cho tr÷îc: M»nh · 1.1. N¸u (O, R) l  ÷íng trán nghàch £o, A0, B0 l  £nh nghàch £o cõa A, B th¼ R2 AB AB = OA.OB 0 Chùng minh. Ta câ 0 ∆OAB ∼ ∆OB 0 A0 n¶n A0 B 0 OA0 OA · OA0 R2 R2 · AB 0 0 = = = =⇒ A B = . AB OB OA · OB OA · OB OA.OB Minh håa tr¶n h¼nh 1.4. (1.1) 7 2 · AB H¼nh 1.4: Kho£ng c¡ch A0B 0 = ROA.OB H» qu£ 1.1.1. Ph²p nghàch £o b£o to n t sè k²p cõa 4 iºm C 0 A0 D0 A0 : . Thay C 0B 0 D0B 0 R2 CB R2 DA R2 DB R2 CA 0 0 0 0 0 0 ;C B = ;DA = ;DB = , C 0 A0 = OC · OA OC · OB OD · OA OD.OB C 0 A0 D0 A0 ta câ : = (A, B, C, D). C 0B 0 D0B 0 0 0 0 0 Vªy (A , B , C , D ) = (A, B, C, D). Chùng minh. T sè k²p cõa 4 iºm (A0 , B 0 , C 0 , D0 ) = Ph²p nghàch £o trð n¶n °c s­c nhí c¡c °c tr÷ng câ thº bi¸n ÷íng trán th nh ÷íng th¯ng v  ÷íng th¯ng th nh ÷íng trán. Nh÷ng nâ thüc sü hi»u qu£ trong ùng döng nhí t½nh ch§t b£o gi¡c, tùc khæng thay êi gâc giúa 2 ÷íng cong (th¯ng, trán) qua ph²p bi¸n êi. Cö thº M»nh · 1.2. Gi£ sû γ1, γ2 l  hai ÷íng cong (÷íng th¯ng , ÷íng trán ho°c ÷íng tòy þ) tr¶n m°t ph¯ng, ph²p nghich £o fRO2 : γ1 7→ γ10 , γ2 7→ γ20 . Khi â ∠ (γ10 , γ20 ) = ∠ (γ1 , γ2 ). Chùng minh. Ta ch¿ x²t c¡c ÷íng cong γ1 , γ2 l  ÷íng th¯ng ho°c ÷íng trán. Do t½nh ch§t £nh cõa ph²p nghàch £o ta ph£i chia th nh nhi·u tr÷íng hñp v· và tr½ t÷ìng èi cõa (i.) Hai ÷íng th¯ng khæng qua γ1 , γ2 O; èi vîi cüc nghàch £o: 8 (ii.) Mët ÷íng th¯ng qua O v  mët ÷íng th¯ng khæng qua (iii.) Hai ÷íng th¯ng c­t nhau t¤i O; O v  c¡c tr÷íng hñp t÷ìng tü khi γ1 , γ2 còng l  ÷íng trán ho°c mët ÷íng th¯ng, mët ÷íng trán. Ch¯ng h¤n ta chùng minh tr÷íng hñp γ1 ∩ γ2 = P 6= O, h¼nh 1.5. H¼nh 1.5: T½nh ch§t b£o gi¡c γ1 ≡ a bi¸n th nh ÷íng trán qua O, ti¸p tuy¸n cõa nâ t¤i O song song vîi a, t÷ìng tü, ÷íng th¯ng γ2 ≡ b bi¸n th nh ÷íng trán qua O , ti¸p tuy¸n cõa nâ t¤i O song song vîi b. V¼ θ l  1 trong 0 0 c¡c gâc giúa 2 ti¸p tuy¸n t¤i O n¶n nâ l  mët trong hai gâc cõa γ1 v  γ2 . Nh÷ng c¡c ÷íng trán n y khæng ch¿ c­t nhau t¤i O m  cán c­t nhau t¤i P 0 . Do â, gâc θ công l  gâc giúa 2 ÷íng trán t¤i P 0 . Do t½nh èi hñp n¶n m»nh · hiºn nhi¶n trong tr÷íng hñp γ1 , γ2 l  hai ÷íng trán qua O . Chó þ r¬ng vîi 2 ÷íng trán c­t nhau t¤i P ta chuyºn v· x²t 2 ti¸p tuy¸n t¤i P . Ta th§y ÷íng th¯ng M»nh · ÷ñc sû döng th÷íng xuy¶n khi vîi nhau. γ1 , γ2 ti¸p xóc ho°c trüc giao 9 1.2 Tåa ë barycentric thu¦n nh§t 1.2.1 ành ngh¾a v  t½nh ch§t Ta cè ành tam gi¡c Kþ hi»u XY Z ABC , gåi nâ l  tam gi¡c cì sð (khæng suy bi¸n). l  di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c XY Z . Ta câ ành ngh¾a ành ngh¾a 1.2. Gi£ sû ABC l  tam gi¡c cì sð. Tåa ë barycentric cõa iºm M èi vîi tam gi¡c ABC l  bë ba sè (x : y : z) sao cho x : y : z = M BC : M CA : M AB M = (x : y : z) th¼ công câ M = (kx : ky : kz), k = 6 0. Cho ∆ABC gåi G, I, O, H, Oa Tø ành ngh¾a ta suy ra: n¸u l¦n l÷ñt l  trång t¥m, t¥m ÷íng trán nëi ti¸p, t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, trüc t¥m, t¥m ÷íng trán b ng ti¸p trong gâc A trong tam gi¡c â. Khi â ta câ: V½ dö 1.2.1. Ta câ tåa ë barycentric cõa G, I, O, H, Oa : a. G = (1 : 1 : 1) b. I = (a : b : c) c. O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) =



= a2 b2 + c2 − a2 : b2 c2 + a2 − b2 : c2 a2 + b2 − c2 . â l  v¼ v¼ v¼ SGBC = SGCA = SGAB . SIBC = 21 ra, SICA = 12 rb, SIAB = 21 rc. SOBC : SOCA : SOAB =: 1 1 1 = R2 sin 2A : R2 sin 2B : R2 sin 2C 2 2 2 = sin A cos A : sin B cos B : sin C cos C b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 b2 + a2 − c2 :b :c =a 2bc 2ac
2 2
2ba
2 2 2 2 2 2 = a b + c − a : b c + a − b : c2 a2 + b2 − c2 . d. e. −S(Oa BC) : S(Oa CA) : S(Oa AB) = −a : b : c.   1 H = (tan A : tan B : tan C) = 2 : ... : ... . b + c 2 − a2 Oa = (−a : b : c) v¼ 10 f. C¡c iºm tr¶n CA, AB BC (0 : y : z). T÷ìng (x : 0 : z), (x : y : 0). câ tåa ë d¤ng l¦n l÷ñt câ tåa ë tü c¡c iºm tr¶n M = (x : y  : z) m  x + y + z 6= 0 ta thu ÷ñc tåa ë barycentric x y z tuy»t èi cõa M : : : , n¸u x + y + z = 1 x+y+z x+y+z x+y+z th¼ (x : y : z) ÷ñc gåi l  tåa ë barycentric chu©n cõa M . N¸u P (u : v : w), Q(u0 : v 0 : w0 ) thäa m¢n u + v + w = u0 + v 0 + w0 th¼ iºm X chia P Q theo t sè P X : XQ = p : q câ tåa ë l  Khi (qu + pu0 : qv + pv 0 : qw + pw0 ) . V½ dö 1.2.2. T¼m tåa ë c¡c iºm T, T 0, t¥m và tü trong v  ngo i cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p v  ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC . T, T 0 chia i·u háa o¤n th¯ng OI , v  d¹ th§y t sè R abc S abcs = : = . (S l  di»n t½ch, s l  nûa chu vi tam gi¡c ABC) r 4S s 4S 2

2 V¼ O = a b2 + c2 − a2 : . . . : . . . = (s.a2 (b2 + c2 − a2 ) : · · · : · · · )
2 2 2 2 vîi têng c¡c tåa ë b¬ng 4S v  I = (a : b : c) = 8S a : 8S b : 8S c . p OT R döng c¡ch t½nh tr¶n vîi = ta câ tåa ë cõa T l  TI r

4S 2 · sa2 b2 + c2 − a2 + abcs.8S 2 a : . . . : . . .
2 2 Rót gån biºu thùc: 4S · sa b2 + c2 − a2 + abcs.8S 2 a =
= 4sS 2 a2 b2 + c2 − a2 + 2bc
= 4sS 2 a2 (b + c)2 − a2 Líi gi£i. Ta câ = 4sS 2 a2 (b + c + a)(b + c − a) Vªy t¥m và tü trong
T = a2 (b + c − a) : b2 (a + c − b) : c2 (a + b − c) . T÷ìng tü t¥m và tü ngo i: T 0 = (a2 (a + b − c)(c + a − b) : b2 (b + c − a)(a + b − c) : Công câ thº vi¸t c2 (c + a − b)(b + c − a).   2 2 2 b c a : : . T0 = b+c−a c+a−b a+b−c 11 Trong [6], T ≡ X55 , T 0 ≡ X56 . V½ dö 1.2.3. Tåa ë barycentric cõa t¥m Euler  O9 = Chùng minh. iºm  a cos(B − C) : b cos(C − A) : c cos(A − B) . â l  do ta câ t sè OO9 : O9 G = 3 : −1. Trong [5], O9 l  X5 . 1.2.2 Mët sè k¸t qu£ trong tåa ë barycentric Chóng tæi tâm t­t c¡c k¸t qu£ cì b£n ¢ ÷ñc Paul Yiu n¶u trong [7]. (a) C¡c cevian v  v¸t Ba ÷íng th¯ng nèi tø iºm cõa P. Giao iºm gåi l  v¸t cõa P. AP , BP , CP P ¸n 3 ¿nh tam gi¡c gåi l  c¡c cevian cõa c¡c cevian n y vîi c¡c c¤nh tam gi¡c Tåa ë c¡c v¸t câ d¤ng AP = (0 : y : z) BP = (x : 0 : z) CP = (x : y : 0) ành lþ 1.1 . Ba iºm X ∈ BC, Y ∈ CA, Z ∈ AB l  v¸t (ành lþ Ce'va) cõa mët iºm khi v  ch¿ khi chóng câ tåa ë d¤ng X = (0 : y : z), Y = (x : 0 : z), Z = (x : y : 0), (b) iºm Gergonne v  iºm Nagel Ba ti¸p iºm X, Y, Z cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi c¡c c¤nh tam gi¡c câ tåa ë  1 1 X = 0 : : , s − b s − c  1 1 Y = :0 : , s − a s − c   1 1 Z = : :0 . s−a s−b  X = (0 : s − c : s − b), Y = (s − c : 0 : s − a), Z = (s − b : s − a : 0). hay 12 Nh÷ vªy, AX, BY, CZ c­t nhau t¤i iºm câ tåa   1 1 1 : : . s−a s−b s−c â l  iºm Gergonne Ge cõa ∆ABC , ë trong [6] nâ mang nh¢n X7 . Ti¸p iºm cõa c¡c ÷íng trán b ng ti¸p vîi c¡c c¤nh tam gi¡c: X 0 = (0 : s − b : s − c), 0 Y = (s − a : 0 : s − c), 0 Z = (s − a : s − b : 0). (s − a : s − b : s − c), câ gåi l  iºm Nagel Na cõa ∆ABC . Hai iºm Ge v  Na l  v½ dö v· iºm ¯ng hñp (li¶n hñp ¯ng cü). Hai iºm P, Q (khæng nh§t thi¸t â l  v¸t tr¶n méi c¤nh cõa iºm câ tåa ë t¶n hai ð tr¶n c¤nh tam gi¡c) ÷ñc gåi l  hai iºm ¯ng hñp n¸u c¡c v¸t t÷ìng ùng cõa chóng èi xùng nhau qua trung iºm c¤nh t÷ìng ùng. Nh÷ vªy, BAP = AQ C, CBP = BQ A, ACP = CQ B . ∗ cõa P l  P . Ta câ  ∗ 1 1 1 P (x : y : z) ⇔ P : : . x y z Ta s³ kþ hi»u iºm ¯ng hñp (c) Cæng thùc Conway σ = 2SABC σθ = σ. cot θ. Khi â Kþ hi»u (hai l¦n di»n t½ch tam gi¡c b2 + c2 − a2 σA = , 2 c2 + a2 − b2 σB = , 2 ABC ), vîi θ ∈ R, °t a2 + b 2 − c 2 σC = 2 Ch¯ng h¤n: abc cos A abc b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 σA = 2SABC · cot A = 2 · · = 2· · = . 4R sin A 4R sin A.2bc 2 Vîi θ, ϕ tòy þ º cho ti»n khi tr¼nh b y ta °t σθϕ = σθ .σϕ . T½nh ch§t 1.2.1. Ta câ hai t½nh ch§t cõa σθ • σB + σC = a2 , σC + σA = b2 , σA + σB = c2 . 13 • σAB + σBC + σCA = σ 2 . Chùng minh. ¯ng thùc ¦u hiºn nhi¶n. º câ ¯ng thùc thù hai, ta nhªn A + B + C = 1800 n¶n cot(A + B + C) l  ∞. M¨u sè cõa nâ b¬ng cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A − 1 = 0. Tø â, σAB + σBC + σCA = σ 2 · (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = σ 2 . x²t: v¼ V½ dö 1.2.4. Tåa ë trüc t¥m H v  t¥m ngo¤i ti¸p O theo σθ   1 1 1 : : σA σB σC H b¬ng σ 2 . - Trüc t¥m H câ tåa ë ngay têng c¡c tåa ë cõa hay (σBC : σCA : σAB ). Ta câ - T¥m ngo¤i ti¸p câ tåa ë
a2 σA : b2 σB : c2 σC = (σA (σB + σC ) : σB (σC + σA ) : σC (σB + σA )) . Vîi c¡ch biºu di¹n n y, têng c¡c tåa ë cõa O b¬ng 2σ 2 . Chó þ. - Tåa ë iºm t¥m Euler biºu di¹n theo  2 σA , σB , σC 2 2 l   O9 = σ + σBC : σ + σCA : σ + σAB . - Tåa ë iºm èi xùng cõa trüc t¥m qua t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, tùc l  iºm L chia o¤n th¯ng L = (σCA + σAB − σBC 2 HL = : LO −1   1 1 1 + − : ... : ... . : . . . : . . .) = σB σC σA HO theo t sè â l  iºm câ t¶n de Longchamps cõa T½nh ch§t 1.2.2 ∆ABC , trong [6] kþ hi»u l  . Vîi måi iºm P (Cæng thùc Conway) X20 . cõa m°t ph¯ng \ = θ, BCP \ = ϕ th¼ ta câ: ABC kþ hi»u CBP
P −a2 : σC + σϕ : σB + σθ  π π C¡c gâc θ, ϕ n¬m trong kho£ng − , v  gâc θ d÷ìng hay ¥m tòy theo 2 2 \ v  CBA \ kh¡c h÷îng hay còng h÷îng. c¡c gâc CBP Chùng minh trong [7]. V½ dö 1.2.5. X²t h¼nh vuængπ BCX1X2 düng ra ngo i tam gi¡c ABC , h¼nh
π \1 = 1.6. Ta câ c¡c gâc CBX \ 1 = n¶n X1 = −a2 : σC : σB + σ . , BCX 4 2
T÷ìng tü, X2 = −a2 : σC + σ : σB . 14 H¼nh 1.6: V½ dö v· cæng thùc Conway (d) Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng ÷íng th¯ng nèi 2 iºm (x1 : y1 : z1 ), (x2 : y2 : z2 ) l    x y z       x1 y1 z1  = 0    x2 y2 z2  hay (y1 z2 − y2 z1 ) x + (z1 x2 − z2 x1 ) y + (x1 y2 − x2 y2 ) z = 0. V½ dö 1.2.6. Mët sè tr÷íng hñp °c bi»t: x = 0, y = 0, z = 0.
O a2 σA : b2 σB : c2 σC -Ph÷ìng tr¼nh c¡c c¤nh BC, CA, AB l¦n l÷ñt l  -Trung trüc c¤nh BC l  ÷íng th¯ng nèi t¥m vîi trung iºm I(0 : 1 : 1) n¶n câ ph÷ìng tr¼nh
b2 σB − c2 σC x − a2 σA y + a2 σA z = 0.
2 2 2 2 V¼ b σB − c σC = . . . = σA (σB − σC ) = −σA b − c . n¶n vi¸t l¤i th nh
b2 − c2 x + a2 (y − z) = 0. - ÷íng th¯ng Euler l  ÷íng th¯ng nèi trång t¥m t¥m H (σBC : σCA : σAB ) G(1 : 1 : 1) vîi trüc n¶n câ ph÷ìng tr¼nh (σAB − σCA ) x + (σBC − σAB ) y + (σCA − σBC ) z = 0.