Tài liệu Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ----------------------------- CAO VĂN THÀNH ĐƢỜNG CÔNIC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƢỜNG CÔNIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ----------------------------- CAO VĂN THÀNH ĐƢỜNG CÔNIC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƢỜNG CÔNIC Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời nói đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 Vấn đề xác định đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Lý thuyết chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Đường bậc hai và phương trình chính tắc . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Phương trình đường cônic với tiêu điểm và đường chuẩn . 7 Phương trình tiếp tuyến của đường cônic . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai . . . . . . . . . 9 1.2.2 Phương trình tiếp tuyến của cônic . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Phương tích của một điểm đối với một đường cônic . . . . . . . . 12 1.4 Đường đẳng phương của hai đường cônic . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 1.4.1 Đường đẳng phương của hai đường cônic . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic . . 20 1.5.1 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường elip và hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Một số dạng bài tập về đường cônic 2.1 23 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp đường cônic . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp parabol . . . . . . . . 23 2.1.2 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp elip . . . . . . . . . . 25 2.1.3 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp hypebol . . . . . . . . 29 2.2 Bài toán về đa giác nội tiếp trong một đường cônic . . . . . . . . 31 2.3 Bài toán về khoảng cách từ một đường cônic đến một đường thẳng 36 2.4 Bài toán con bướm cho các đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . 41 ii 2.5 Bài toán định tính liên quan đến đường cônic . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Bài toán định lượng liên quan đến đường cônic . . . . . . . . . . . 49 2.7 Bài toán quĩ tích liên quan đến đường cônic . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 Bài toán tham số hóa đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8.1 Bài toán tham số hóa đường parabol . . . . . . . . . . . . 62 2.8.2 Bài toán tham số hóa đường elip . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.8.3 Bài toán tham số hóa đường hypebol . . . . . . . . . . . . 70 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 1 Lời nói đầu Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, các dạng bài tập, đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng nói riêng ta thường gặp một số bài toán về elip, hypebol và parabol. So với các bài toán về đường thẳng, đường tròn, các bài toán về ba đường cônic tuy có mặt không nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng những năm gần đây, nhưng nó là một chủ đề không thể thiếu được trong việc ôn luyện thi học sinh giỏi, ôn luyện thi môn toán vào các trường Đại học, Cao đẳng. Tuy nhiên một số học sinh chưa khai thác có hiệu quả mảng bài tập này, lý do chính là các em chưa nắm được các dạng bài tập và cách vận dụng kiến thức về đường cônic để giải bài toán. Hiện nay một số học viên cao học chuyên nghành Phương pháp toán sơ cấp của trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên cũng đã khai thác có hiệu quả một số vấn đề liên quan đến đường cônic, ví dụ như Hoàng Văn Trọng với luận văn "Những bài toán tổng hợp về các đường cônic". Luận văn của Hoàng Văn Trọng tập trung vào các vấn đề liên quan đến đường cônic thông qua các bài toán tổng hợp trong chương trình toán THPT, chưa đi sâu tìm hiểu về một số nội dung có trong chuyên đề dành cho học sinh giỏi, học sinh chuyên toán THPT. Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trường THPT, tôi chọn hướng nghiên cứu làm luận văn Thạc sĩ với đề tài: " Đường cônic và một số dạng toán về đường cônic". Một số kiến thức, bài tập được trình bầy trong luận văn có trong một số chuyên đề dành cho học sinh chuyên toán và nằm ngoài chương trình sách giáo khoa THPT. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm hai chương Chương 1: Trình bày một số vấn đề về xác định đường cônic, phương trình tiếp tuyến của đường cônic, phương tích của một điểm đối với một đường cônic, đường đẳng phương của hai đường cônic, điều kiện cần và đủ để đường thẳng 2 tiếp xúc với đường cônic. Chương 2: Trình bày một số dạng toán về đường cônic như: Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp đường cônic, bài toán về tam giác, tứ giác nội tiếp trong một đường cônic, khoảng cách từ một đường cônic đến đường thẳng, tham số hóa đường cônic, bài toán quỹ tích... Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu có sẵn theo chủ đề đặt ra với những lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu nhất có thể với nhiều ví dụ và bài toán minh họa phong phú, cụ thể. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS. TS. Trịnh Thanh Hải, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm khoa Toán- Tin, cùng các GS, PGS, TS đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường THPT Trần Quốc Tuấn, huyện Đồng Hỷ, tỉnh Thái Nguyên, tập thể lớp cao học Toán K8A (khóa 2014-2016) đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình. Thái Nguyên, ngày 26 tháng 5 năm 2016 Tác giả luận văn Cao Văn Thành 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương 1 ngoài việc điểm qua một số khái niệm, tính chất cơ bản về đường cônic, chương 1 sẽ trình bầy thêm một số khái niệm, tính chất không được trình bầy trong sách giáo khoa phổ thông, các khái niệm, tính chất này được tiếp cận từ góc độ toán cao cấp nhằm cung cấp thêm công cụ để giải quyết các bài toán khó, dạng mới về đường cônic. 1.1 1.1.1 Vấn đề xác định đường cônic Lý thuyết chung Định nghĩa 1.1.1. Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng ` cắt ∆ tại O và không vuông góc với ∆. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng ` khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón). ∆ gọi là trục của mặt nón. ` gọi là đường sinh của mặt nón. O gọi là đỉnh của mặt nón. Nhận xét 1.1.2. Khoảng thế kỷ thứ ba trước công nguyên, nhà toán học Apollonius đã chứng minh được rằng: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng (P ) không đi qua đỉnh của mặt nón thì giao tuyến sẽ là a) Một đường elip nếu mp(P ) cắt mọi đường sinh (đặc biệt, nếu (P ) vuông góc với trục của mặt nón thì giao là đường tròn). b) Một đường parabol nếu mp(P ) song song với chỉ một đường sinh. c) Một đường hypebol nếu mp(P ) song song với hai đường sinh. Chính vì vậy các giao tuyến đó có tên gọi là đường cônic. 4 Phương trình chính tắc của ba đường cônic là những phương trình bậc hai đối với x, y . Đó cũng là các trường hợp riêng của đường bậc hai trong mặt phẳng có dạng Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0. 1.1.2 Đường bậc hai và phương trình chính tắc Trong một hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy , ta xét một đường bậc hai có phương trình tổng quát Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1) các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0. Sau đây ta tìm tất cả các đường bậc hai dạng chính tắc cho bởi (1). Dùng phép quay tâm O, góc quay α biến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ Ox0 y 0 , theo công thức đổi tọa độ  x = x0 cos α − y 0 sin α (2) y = x0 sin α + y 0 cos α Khi đó M (x; y) đối với hệ trục tọa độ cũ sẽ có tọa độ (x0 ; y 0 ) đối với hệ trục tọa độ mới Ox0 y 0 , thay (2) vào (1) ta được phương trình của đường bậc hai đã cho trong hệ tọa độ mới có dạng A0 x02 + 2B 0 x0 y 0 + C 0 y 02 + 2D0 x0 + 2E 0 y 0 + F = 0 (3) Trong đó A0 = Acos2 α + 2B cos α. sin α + Csin2 α B 0 = −A sin α cos α + Bcos2 α − Bsin2 α + C sin α cos α 1 = (C − A) sin 2α + B cos 2α 2 C 0 = Asin2 α − 2B sin α cos α + Csin2 α D0 = D cos α + E sin α E 0 = E cos α − D sin α Nếu B 6= 0 ta có thể chọn α để B 0 = 0 bằng cách giải phương trình 1 (C − A) sin 2α + B cos 2α = 0 2 A−C ⇔ cot 2α = (4) 2B 5 Vậy nếu trong phương trình (1), B 6= 0 thì bằng cách quay hệ trục tọa độ góc α thỏa mãn điều kiện (4) ta đưa phương trình (3) về dạng A0 x02 + C 0 y 02 + 2D0 x0 + 2E 0 y 0 + F = 0 (5) Xét các trường hợp trong phương trình (5) 1) Nếu A0 6= 0, C 0 6= 0 khi đó (5) được viết lại như sau D0 0 E0 0 0 02 A (x + 2 0 x ) + C (y + 2 0 y ) + F = 0 A C 0 02 Hay    0 2  0 2 0 2 0 2 D E D E A0 x0 + 0 + C 0 y 0 + 0 + F − − =0 A C A0 C0 (6) Dùng phép tịnh tiến  D0   x = x0 + A00   y = y0 + E C0 Khi đó phương trình (6) trở thành A0 x2 + C 0 y 2 = F 0 (7) Trong đó   0 2 E D0 2 + F = −F + A0 C0 F0 F0 a) Nếu A0 > 0, C 0 > 0, F 0 > 0, đặt 0 = a2 , 0 = b2 thì phương trình A C (7) trở thành x2 y 2 + =1 a2 b2 ta được phương trình chính tắc của đường elip. F0 F0 0 0 0 2 b) Nếu A > 0, C > 0, F < 0, đặt − 0 = a , − 0 = b2 thì phương A C trình (7) trở thành x2 y 2 + = −1 a2 b 2 không có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình. F0 F0 0 0 0 2 c) Nếu A > 0, C < 0, F > 0, đặt 0 = a , − 0 = b2 thì phương A C trình (7) trở thành x2 y 2 − =1 a2 b2 0  6 ta được phương trình chính tắc của đường hypebol. 0 F0 0 0 0 2 F d) Nếu A > 0, C < 0, F < 0, đặt 0 = a , 0 = b2 thì phương trình A C (7) trở thành y 2 x2 − =1 b2 a2 ta được phương trình chính tắc của đường hypebol. e) Nếu A0 > 0, C 0 < 0, F 0 = 0, thì phương trình (7) trở thành x2 y 2 − =0 a2 b2 phương trình này xác định một cặp đường thẳng x y x y − = 0; + =0 a b a b chúng cắt nhau tại gốc tọa độ. f) Nếu A0 > 0, C 0 > 0, F 0 = 0, thì phương trình (7) trở thành x2 y 2 + =0 a2 b2 chỉ có một điểm thỏa mãn phương trình này, điểm đó chính là gốc tọa độ. 2) Nếu A0 6= 0, C 0 = 0, E 0 6= 0 khi đó phương trình (5) được viết lại như sau     D0 0 F 0 02 0 0 A x + 2 0 x + 2E y + =0 A 2E 0 Hay     D0 2 F D02 0 02 0 0 − A x + 2 0 + 2E y + =0 (8) A 2E 0 2E 0 A0 Thực phép tịnh tiến tọa độ  D0   x = x0 + A0 02   y = y0 + F − D 2E 0 2E 0 A0 Khi đó phương trình (8) có dạng A0 x2 + 2E 0 y 0 = 0 (9) E0 a) Nếu A E < 0 , đặt 0 = P thì phương trình (9) trở thành A 0 0 x2 = 2P y 7 ta được phương trình chính tắc của parabol. E0 0 0 b) Nếu A E > 0, đặt 0 = P thì phương trình (9) trở thành A x2 = −2P y ta được phương trình chính tắc của parabol. 3) Nếu A0 6= 0, C 0 = 0, E 0 = 0 thì phương trình (5) được viết lại như sau   D0 0 0 02 A x +2 0x +F = 0 A Hay   D0 2 D02 0 0 A x + 0 +F − 0 =0 (10) A A Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ  D0  x = x0 + 0  y = y0 A Khi đó phương trình (10) có dạng x2 + F 0 = 0 (11) trong đó F D02 − A0 A02 a) Nếu F 0 < 0 đặt −F 0 = a2 thì ta được phương trình x2 − a2 = 0, phương trình này biểu thị một cặp đường thẳng song song x = a, x = −a. b) Nếu F 0 > 0 thì không có điểm nào thỏa mãn phương trình (11). c) Nếu F 0 = 0 thì phương trình (11) có dạng x2 = 0, phương trình này là phương trình của cặp đường thẳng trùng nhau x = 0. F0 = Nhận xét 1.1.3. Phương trình (1) trong hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy là phương trình của những đường bậc hai sau: elip, hypebol, parabol, cặp đường thẳng cắt nhau, cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng trùng nhau, một điểm hoặc tập hợp rỗng. 1.1.3 Phương trình đường cônic với tiêu điểm và đường chuẩn [7, tr. 145-147] 8 Định nghĩa 1.1.4. Cho đường thẳng d và một điểm F không nằm trên nó. Tập hợp những điểm T sao cho tỉ số khoảng cách từ T đến điểm F và từ T đến đường thẳng d luôn bằng một số dương e không đổi gọi là một đường cônic với tiêu điểm F , đường chuẩn d và tâm sai e. Sau đây ta tìm quỹ tích các điểm T sao cho tỉ số khoảng cách từ T đến F và từ T đến d bằng một số dương không đổi e. Gọi J là hình chiếu vuông góc của T trên d và T J cắt Oy tại I . Ta tìm TF quỹ tích của T sao cho = e (e > 0, không đổi). Gọi K là hình chiếu TJ của F trên d. Đặt KF = p. Chọn điểm O trên đường thẳng KF sao cho OF OF = −e (như vậy O là điểm thuộc quỹ tích vì = e). OK OK Lập hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy sao cho trục hoành Ox chứa KF , chiều dương từ K đến F , trục tung Oy vuông góc với Ox tại O (Hình 1.1) OF pe −p Từ = −e ta được OF = và OK = . Tọa độ của F là 1+e 1+e OK pe −p F( ; 0), tọa độ của K là K( ; 0). Gọi T là điểm có tọa độ (x; y), 1+e 1+e ta có   p T J = T I + IJ = T I + OK = − x + 1+e và   pe 2 2 TF = x − + y2. 1+e 9 TF = e ta được T F 2 = e2 T J 2 TJ    2 pe 2 p 2 2 ⇔ x− +y =e x+ 1+e 1+e 2 2 2 ⇔ (1 − e) x − 2pex + y = 0 Từ (12) Ta được phương trình (12) là phương trình quỹ tích của T . a) Nếu e = 1 thì phương trình (12) trở thành y 2 = 2px, quỹ tích là một parabol. b) Xét 0 < e 6= 1. pe Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy , lấy Q( ; 0) làm gốc hệ trục mới 1 − e2 QXY thì công thức tịnh tiến hệ trục là ( pe x=X+ 1 − e2 y=Y Lúc đó (12) trở thành

1 − e2 X 2 + 1 − e2 Y 2 = p2 e2 X2 Y2 ⇔ 2 + 2 2 = 1 pe pe 1 − e2 1 − e2 (13) Với hệ trục tọa độ QXY ta thấy • Nếu 0 < e < 1 thì (13) là phương trình chính tắc của một elip. • Nếu e > 1 thì (13) là phương trình chính tắc của một hypebol. Do đó (12), (13) được gọi chung là phương trình của ba đường cônic (Γ) theo tâm sai e và tham số tiêu p. 1.2 1.2.1 Phương trình tiếp tuyến của đường cônic Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai Định nghĩa 1.2.1. Cho một đường bậc hai (ε) có phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1) với các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0, và một đường thẳng ∆ có x = x0 + at phương trình . Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của đường y = y0 + bt 10 bậc hai (ε) nếu nó cắt (ε) tại hai điểm trùng nhau hoặc nó hoàn toàn nằm trên (ε), khi đó điểm chung của ∆ và (ε) gọi là tiếp điểm. Sau đây ta thiết lập phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại điểm M (x0 ; y0 ) của nó. Giả sử tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) là đường − thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương là → u (a; b), khi đó phương trình của nó có dạng  x = x0 + at (14) y = y0 + bt Giao điểm của ∆ với (ε) được xác định như sau Ta thay các giá trị x, y trong phương trình (14) vào phương trình (1) để được phương trình đối với t A(x0 + at)2 + 2B (x0 + at) (y0 + bt) + C(y0 + bt)2 +2D (x0 + at) + 2E (y0 + bt) + F = 0 Rút gọn ta được phương trình P t2 + 2Qt + R = 0 (15) Trong đó P = Aa2 + 2Bab + Cb2 Q = (Aa + Bb)x0 + (Ba + Cb) y0 + Da + Eb R = Ax0 2 + 2Bx0 y0 + Cy0 2 + 2Dx0 + 2Ey0 + F Vì M0 nằm trên (ε) nên R = 0. Vậy ta có phương trình P t2 + 2Qt = 0 (16) a) Nếu P = 0 thì Q = 0, vì nếu Q 6= 0 thì phương trình (16) có nghiệm duy nhất. b) Nếu P 6= 0 thì phương trình (16) có nghiệm là t = 0 và nghiệm thứ hai cũng phải bằng 0, do đó Q = 0. Vậy trong mọi trường hợp ta đều đi đến Q = 0 tức là (Aa + Bb)x0 + (Ba + Cb) y0 + Da + Eb = 0 Đẳng thức trên được viết là (Ax0 + By0 + D)a + (Bx0 + Cy0 + E) b = 0 11 Nếu hai giá trị (Ax0 + By0 + D) và (Bx0 + Cy0 + E) đều bằng không thì a và b có thể chọn tùy ý và do đó mọi đường thẳng đi qua M0 đều là tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại điểm M0 . Nếu hai giá trị (Ax0 + By0 + D) và (Bx0 + Cy0 + E) không đồng thời bằng không thì ta có thể lấy a = Bx0 + Cy0 + E và b = −(Ax0 +By0 +D) khi đó phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có thể viết dưới dạng b(x − x0 ) = a(y − y0 ) hay (Ax0 + By0 + D)(x − x0 ) + (Bx0 + Cy0 + E) (y − y0 ) = 0 (17) Phương trình (17) chính là phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại điểm M0 (x0 ; y0 ). 1.2.2 Phương trình tiếp tuyến của cônic x2 y 2 • Đối với elip (E) có phương trình 2 + 2 = 1, phương trình tiếp tuyến a b tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng x0 y0 (x − x ) + (y − y0 ) = 0 0 a2 b2 hay x0 x y0 y x20 y02 + 2 − 2 − 2 =0 a2 b a b vì x20 y02 + =1 a2 b2 nên ta có phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng x0 x y0 y + 2 =1 (18) a2 b • Đối với hypebol (H) có phương trình x2 y 2 − =1 a2 b2 phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng x0 y0 (x − x ) − (y − y0 ) = 0 0 a2 b2 12 hay x0 x y0 y x20 y02 − 2 − 2 + 2 =0 a2 b a b vì x20 y02 − =1 a2 b2 nên ta có phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng x 0 x y0 y − 2 =1 (19) a2 b • Đối với parabol (P ) có phương trình y 2 = 2px, phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng −p(x − x0 ) + y0 (y − y0 ) = 0 hay yy0 − y02 = px − px0 vì y0 = 2px0 nên ta có phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng y y0 = p (x + x0 ) (20) Nhận xét 1.2.2. Trong mục này trình bầy phương trình tiếp tuyến của đường cônic tại điểm M0 (x0 ; y0 ), nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đường cônic đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) ta sử dụng điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic sẽ được trình bầy ở mục 1.5. 1.3 Phương tích của một điểm đối với một đường cônic [7, tr. 145-147] Ta đã biết khi tâm sai e của đường cônic tiến tới 0 thì đường cônic suy biến về một đường tròn. Đối với đường tròn (C) tâm O bán kính R, một đường thẳng (chuyển động) ∆ luôn đi qua một điểm cố định M , cắt (C) tại hai điểm A, B thì phương tích của điểm M đối với (C) được xác định là 2 M A.M B = M O − R2 Phương tích của điểm M đối với (C) là một đại lượng đại số, có giá trị dương hoặc âm hoặc bằng không tùy theo điểm M nằm ngoài, nằm trong, hoặc nằm trên (C). Vậy trong trường hợp tổng quát, liệu đối với đường cônic (Γ) có xác định được phương tích của một điểm cố định M đối với (Γ) hay không, để đại lượng đó là không đổi đối với M và (Γ) đã chọn? 13 Trong mục này ta tìm cách mở rộng khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn sang khái niêm phương tích của một điểm đối với một đường cônic. Trên mặt phẳng cho đường cônic (Γ), tiêu điểm F , đường chuẩn d ứng với F (chẳng hạn xem parabol trên hình 1.2), ∆ là một đường thẳng (chuyển động) luôn đi qua một điểm cố định M , cắt (Γ) tại A và B , hợp với trục tiêu của cônic góc α với 0 ≤ α ≤ π (trục tiêu là đường thẳng qua F vuông góc với d). Ta xét đại lượng M A.M B.(1 − e2 cos2 α) trong đó e là tâm sai của cônic. Trong phần tiếp theo ta chứng minh với M và (Γ) đã cho và H là hình chiếu vuông góc của M trên d thì 2 M A.M B.(1 − e2 cos2 α) = M F − e2 M H 2 nên đại lượng M A.M B.(1 − e2 cos2 α) không đổi. Giả sử đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ~u∆ = (cos α; sin α) Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ) là  x = x0 + t cos α y = y0 + t sin α 14 với t ∈ R là tham số. Giả sử điểm N chạy trên ∆, xét M N = t (t là tham số). Khi N ở A đặt M A = tA , khi N ở B đặt M B = tB . Trong mục 1.1.3 ta đã xây dựng được phương trình của cônic (Γ) đối với tiêu điểm và đường chuẩn là
(Γ) : 1 − e2 x2 − 2pex + y 2 = 0 Khi đó tọa độ của A và B là nghiệm của hệ phương trình
(Γ) : 1 − e2 x2 − 2pex + y 2 = 0  x = x0 + t cos α (∆) : y = y0 + t sin α (21) (22) Thay giá trị của x, y từ hệ phương trình (22) của (∆) vào phương trình (21) của (Γ) ta được phương trình bậc hai (ẩn t) là 
 (1 − e2 cos2 α)t2 + 2 1 − e2 (x0 cos α − pe cos α) + y0 sin α t
+ 1 − e2 x20 − 2pex0 + y02 = 0. (23) Vì theo giả thiết (∆) cắt (Γ) tại hai điểm A, B nên phương trình (23) có hai nghiệm tA , tB . Theo định lý Viète ta được
1 − e2 x0 − 2pex0 + y02 tA .tB = . 1 − e2 cos2 α Do đó M A.M B(1 − e2 cos2 α) = (1 − e2 )x20 − 2pex0 + y02 . Vậy phương tích của điểm M đối với đường cônic (Γ): (1 − e2 )x2 − 2pex + y 2 = 0 là (1 − e2 )x20 − 2pex0 + y02 Kết quả này tương tự với phương tích của điểm M (x0 ; y0 ) đối với đường tròn (C) khi thay x bởi x0 và thay y bởi y0 . 2 2 Bây giờ ta chứng minh M A.M B.(1−e2 cos2 α) = M F −e2 M H (không đổi). 15 Gọi Q là giao điểm của M H với trục Oy . Ta có M H = M Q + QH = −x0 + OK = −x − p . 1+e Do đó  pe M F − e2 M H = x0 − 1+e 2 2 2 = (1 − e )x0 − 2pex0 + y0 . 2 2 2 + y02 − e2  p x+ 1+e 2 Vậy phương tích của điểm M đối với đường cônic (Γ) là 2 M A. M B(1 − e2 cos2 α) = M F − e2 M H 2 = (1 − e2 )x20 − 2pex0 + y02 . Nhận xét 1.3.1. Nếu tịnh tiến rồi quay hệ trục Oxy một góc nào đó dẫn đến hệ trục tọa độ mới QXY mà điểm M có tọa độ mới M (X0 ; Y0 ), đường (Γ) với phương trình Γ (x; y) = 0 có phương trình mới Γ (X; Y ) = 0 là AX 2 + 2BXY + CY 2 + 2DX + 2EY + F = 0 và phương tích của điểm M (X0 ; Y0 ) đối với Γ(X; Y ) = 0 sẽ là AX0 2 + 2BX0 Y0 + CY0 2 + 2DX0 + 2EY0 + F Do đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy , phương tích của điểm M (x0 ; y0 ) đối với đường cônic (dạng tổng quát) Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 là Ax0 2 + 2Bx0 y0 + Cy0 2 + 2Dx0 + 2Ey0 + F 1.4 Đường đẳng phương của hai đường cônic [7, tr. 149-150] Ta đã biết tập hợp các điểm có cùng phương tích với hai đường tròn là một đường thẳng, đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn. Vậy tập hợp những điểm có cùng phương tích với hai đường cônic là đường gì? Trong mục này ta đi tìm tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường cônic. 16 1.4.1 Đường đẳng phương của hai đường cônic Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường cônic (Γ1 ) : A1 x2 + 2B1 xy + C1 y 2 + 2D1 x + 2E1 y + F1 = 0 (Γ2 ) : A2 x2 + 2B2 xy + C2 y 2 + 2D2 x + 2E2 y + F2 = 0. Ta tìm tập hợp các điểm M (x0 ; y0 ) có cùng phương tích đối với (Γ1 ) và (Γ2 ), nghĩa là Γ1 (x0 ; y0 ) = Γ2 (x0 ; y0 ) hay là (A1 − A2 ) x20 + 2 (B1 − B2 ) x0 y0 + (C1 − C2 ) y02 + 2 (D1 − D2 ) x0 +2 (E1 − E2 ) y0 + F1 − F2 = 0 Đặt A3 = A1 − A3 , B3 = B1 − B2 , C3 = C1 − C2 , D3 = D1 − D2 , E3 = E1 − E2 , F3 = F1 − F2 ta được A3 x20 + 2B3 xy + C3 y02 + 2D3 x0 + 2E3 y0 + F3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường (Γ3 ) có phương trình A3 x20 + 2B3 xy + C3 y02 + 2D3 x0 + 2E3 y0 + F3 = 0 (24) Ta gọi (24) là đường đẳng phương của hai đường cônic (Γ1 ), (Γ2 ). Nhận xét 1.4.1. Khi biểu diễn hình học đường đẳng phương (cũng là biểu diễn hình học đường bậc hai có phương trình (24)) trong hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy , ta sẽ được một trong ba đường cônic (elip, hypebol, parabol), hoặc một đường tròn, cặp đường thẳng cắt nhau, cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng trùng nhau, một điểm hoặc tập hợp rỗng. 1.4.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.4.2. Cho hai đường cônic (Γ1 ) : x2 − y = 0 (Γ2 ) : x2 + x + 1 − y = 0. Đường đẳng phương của chúng là (Γ3 ) : x + 1 = 0. Đó là một đường thẳng (hình 1.3).