Tài liệu đồng điều kỳ diệu và ứng dụng

1 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành tại HỒ THỊ DẠ THẢO ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Đà Nẵng, Năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 4 4. Cấu trúc của luận văn 1. Lý do chọn ñề tài Trong topo có các ñịnh lý phát biểu tuy ñơn giản nhưng ñể Nội dung của luận văn ngoài phần mở ñầu và kết luận gồm có ba chương: chứng minh thì rất phức tạp, ví dụ như ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Chương 1: Những kiến thức cơ bản Brouwer, ñịnh lý của Ulam Borsuk, … Phần lớn các chứng minh này Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về các phức ñơn ñều dùng ñến topo ñại số. Mục ñích của topo ñại số là xây dựng các hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, ñồng luân và hàm tử từ phạm trù các không gian topo (hoặc các phạm trù con của ñồng ñiều ñơn hình. các không gian topo) vào các phạm trù ñại số (chẳng hạn như nhóm, Chương 2: Đồng ñiều kỳ dị vành, module …) và biến mỗi ánh xạ liên tục thành một ñồng cấu. Chương 2 trình bày về hàm tử ñồng ñiều kỳ dị, các ñồng cấu Đồng ñiều kỳ dị là hàm tử từ phạm trù các không gian topo vào cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức ñơn hình, tính nhóm phạm trù các nhóm Abel hoặc vào các module. Bằng việc khảo sát ñồng ñiều của một số không gian topo ñơn giản, ñịnh lý Khoét và hàm tử này người ta chứng minh ñược nhiều ñịnh lý nổi tiếng như một số tính chất liên quan. ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Brouwer, ñịnh lý của Ulam Borsuk, ñịnh Chương 3: Ứng dụng của ñồng ñiều kỳ dị. lý bảo toàn miền của Brouwer…. Vì vậy, ñề tài “Đồng ñiều kỳ dị và Chương 3 trình bày về các ứng dụng của ñồng ñiều kỳ dị trong ứng dụng” mục ñích là ñể tìm hiểu hàm tử ñồng ñiều kỳ dị và cách chứng minh của các ñịnh lý này. ñồng ñiều ñịa phương và ña tạp. 5. Đóng góp của ñề tài 2. Mục ñích nghiên cứu Nghiên cứu về ñồng ñiều kỳ dị và các ứng dụng của nó. Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người tìm hiểu về Lý thuyết ñồng ñiều kỳ dị. 3. Phương pháp nghiên cứu Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến Lý thuyết ñồng ñiều kỳ dị và các ứng dụng. Tham gia các buổi thảo luận ñể trao ñổi các kết quả ñang nghiên cứu. 5 6 CHƯƠNG 1 Đường kính của K ký hiệu là meshK và ñường kính này ñược ñịnh meshK max() / K  nghĩa như sau: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Phức ñơn hình và ña diện Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình Trong không gian □ n , cho tập hợp các ñiểm lập Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con. p ,..., p ñộc 0 affine. Tập hợp tất cả các ñiểm  k k n x □ x   p ,  0,1,    i i i  i  1  i0 ñược gọi là một ñơn hình k – chiều hay k – ñơn hình. Ta ký hiệu  p0 ,..., pk , trong  hình  ñó dimk là chiều của ñơn hình . p0 ,..., pk i0 k là các ñỉnh của ñơn Nếu K thì mỗi mặt của cũng thuộc K . Nếu , K thì hoặc I  thì L ñược gọi là phức ñơn hình con của K . Khi ñó, (L,L) ñược gọi là ña diện con của ña diện (K ,K ) , với L là giá của L . Định nghĩa 1.1.4. Cho (K ,K ) là một ña diện K . Tập hợp tất cả trong không gian □ n thỏa tính chất sau  L K . Nếu L cũng là phức ñơn hình  Định nghĩa 1.1.2. Phức ñơn hình. Một phức ñơn hình là họ hữu hạn K  gồm các ñơn hình (i) Cho (K ,K ) là một ña diện, hoặc Ilà một các mặt thật sự của ký hiệu là & . Khi ñó & F() \ . Định nghĩa 1.1.5. Cho (K ,K là một ña x K . Khi ñó, ) diện, K ñược gọi là giá của x , ký hiệu (x) , nếu là ñơn hình có chiều nhỏ nhất chứa x .  là duy nhất và có thể biểu diễn dưới (x) dạng (x) IK , x . Định nghĩa 1.1.6. Cho (K ,K ) là một ña diện. Với mọi ñỉnh tập hợp K \ UK , p  mặt chung của và  Vớ i K  ñược gọi là hình sao của U K p, ký hiệu là Stp. p K , 5 6 Cặp (K ,K ñược gọi là một ña diện. Khi ñó, K sdK ñược gọi ) là phân tích ñơn hình của ña diện, K K ñược gọi là giá của K . Định lý 1.1.1. Cho ñó Chiều của ña diện (K ,K ) , ký hiệu là (i Ii 0 Stpi )  như sau p0 , p1 ,..., pn n dim(K ,K ) dim(K ,K ) maxdim/  K  ñược ñịnh nghĩa K. (ii) Nếu khi và chỉ khi  là các ñỉnh của ña diện (K ,K ). Khi p 0 , p1 ,..., pn là một ñơn hình của   p0 , p1 ,..., pn là một ñơn hình của K thì Iin0 Stpi là tập hợp gồm tất cả các ñiểm x K mà  nhận làm mặt. (x) 7 Ta nhận xét rằng nếu p0 , p1 ,..., pt là các ñỉnh của ña diện 8  K thì với mỗi dạng x t  i 0 Ta có i (x) pi (x). Khi ñó, i ñược gọi là ( x) 0,1nếu tọa ñộ của x ñối với pi . Ngược lại, i (x) 0 nếu p n  i i 0 Nếu thì trọng tâm của trùng với chính nó.  pi 1 Định nghĩa 1.2.2. Cho (K ,K là một ña diện. Khi Sd K gồm ñó, ) tất cả các ñơn hình pi   (x).  0,1 , với mỗi K Hàm số i :  b ,b ,...,b , trong ñó 0 1  s là   0 , ñược gọi là 1 s  hàm dãy tăng nghiêm ngặt các mặt của K . tọa ñộ trọng tâm của . Ta có i là hàm liên tục. Định lý 1.2.1. Cho (K ,K ) là một ña diện có ñường kính là Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân f,g:X Y liên tục. Hai ánh Cho hai ánh xạ  xạ hiệu thỏa  x K , x ñược biểu diễn một cách duy nhất dưới i (x) pi trong ñó i 0,1, với i , 1,t. là ñồng luân, ký 1 b   n 1 f □ g, nếu tồn tại ánh xạ f , g ñược gọi H : X I  ñó, ñường kính của 1 Sd K  n . n 1 Hệ quả 1.2.1. Cho dimK n, khi ñó meshSd K m n ( ) meshK . m Y H (x, 0)  f (x); . Khi n 1 H (x,1) g(x), x X . Khi ñó, H ñược gọi là ñồng luân của f ñối với g . Định lý 1.1.2. Cho (K ,K ) là một ña diện trong không gian 1.3. Ánh xạ ñơn hình và xấp xỉ ñơn hình □n, Y Định nghĩa 1.3.1. Cho (K ,K ) , (L,L) ánh xạ n là hai ña diện trong □ . Xét là không gian topo bất kỳ và vào K. Nếu với mỗi f( y), g( y)  y Y , 7 f , g là hai ánh xạ liên tục từ Y tồn tại một ñơn hình K thỏa mãn : (K ,K )  1.2. Thứ phân trọng tâm Cho một phân tích ñơn hình K của K , chúng ta sẽ xây dựng một 8 ñược gọi là ánh xạ ñơn hình nếu thỏa mãn hai ñiều kiện sau:  thì f và g ñồng luân.  (L,L),  Với mọi p 0 , p1 ,..., ps  K , các ñiểm  ( p0 ), ( p1 ),...,( p là các ñỉnh của một ñơn hình s) thuộc L . Ánh xạ  là ánh xạ afine với mỗi K , nghĩa là s phân tích ñơn hình K khác của K, ñược gọi là thứ phân trọng tâm của K . Định nghĩa 1.2.1. Cho ñơn hình po , p1 ,..., pn  trọng tâm của  là một ñiểm, ký hiệu b hay [] ñược xác ñịnh như sau   s si pi i( pi ) i0  i0 trong ñó  i0 i 1 và i 0 với i 1, s. Định nghĩa 1.3.2. Cho f : K  L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ r ñược gọi là một xấp xỉ ñơn hình của f nếu ñơn hình 0 với r f (Stp) St( p) với mọi ñỉnh p Sd K . 9 Định lý 1.3.1. Cho f:K  10  L là một ánh xạ liên tục. Khi ñó, tồn tại xấp xỉ ñơn hình : (K , Sd K )  r (L,L) của f với r ñủ lớn f , g trong phạm trù C Hợp thành gf của hai cấu xạ ñều trùng với hợp thành của các cấu xạ ñó trong phạm và mỗi xấp xỉ ñơn hình của f ñều ñồng luân với f trù P. . Một phạm trù con C của phạm trù P ñược gọi là ñầy nếu 1.4. Phạm trù và hàm tử Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù. A, B C Một phạm trù P bao gồm: A, B,C... ñược gọi là những vật  Một lớp P gồm các vật của phạm trù P  Với mỗi cặp vật ( A, B) của phạm trù P cho một tập hợp B P g, f và thỏa mãn các tiên ñề sau: gf A,C  P  Phép hợp thành có tính chất kết hợp.  P Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi ñầu, vật tận cùng với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A ñến X Một vật A trong phạm trù P ñược gọi là vật tận cùng nếu với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X ñến A . P Với mỗi bộ ba vật ( A, với mỗi cặp cấu xạ B,C), f A, P g tồn tại gf ñược gọi là   B,C , phép B , hợp thành của hai cấu xạ A, B trong phạm trù C. với mỗi cặp Mỗi vật A trong phạm trù P ñược gọi là vật khởi ñầu nếu gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A ñến B , ký hiệu A, BP . Mỗi phần tử của A, ñược ký hiệu là f .  A, B , Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1A A, AP ñược gọi là cấu xạ ñồng nhất sao cho với mọi Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử Cho hai phạm trù P, P. Một hàm tử hiệp biến H từ phạm trù P ñến phạm trù P, ký hiệu H :P  Plà một cặp ánh xạ gồm ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ.  Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P, f   B, A , 9 một vật của phạm trù P, ký hiệu là H ( A). g ta có 1A f  f , g1A P g   B,C , 10 P Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con.  Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ f  A, B , một cấu xạ thuộc H ( A), H (B)  , ký hiệu là H ( f ) P P và thỏa mãn các ñiều kiện sau: Một phạm trù C ñược gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu   Mỗi vật của phạm trù C ñều là một vật của phạm trù P H (1A ) 1H ( A) , với mọi A P .  H (gf ) H (g)H ( f ), với mọi hợp thành gf trong phạm trù P , nghĩa là .  Mỗi cấu xạ của phạm trù C ñều là một cấu xạ của phạm trù P.  Các xạ ñồng nhất của phạm trù C ñều là một xạ ñồng nhất của phạm trù P. A f H (A ) B g gf C H(f ) H (B ) H (g) H (gf ) H (C) 11 12 1.5. Nhóm Abel tự do, Module tự do Mệnh ñề 1.5.1. A là tập hợp khác rỗng x, y,... thuộc A .Ta ñặt: với mọi là các phần tử :A □ Ahữu X f  hạn, AA : f (x) 0, x A \ A f , g X , ta ñịnh nghĩa phép cộng trên X như sau f g x  f x g x  , x A Khi ñó, X cùng với phép cộng, phép nhân ngoài lập thành một V Module. Định nghĩa 1.5.2 Module tự do. Module X ñược thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A 1.6. Đồng ñiều ñơn hình Khi ñó, X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel. 1.6.1. Các ñịnh nghĩa. Cho K là một phức ñơn hình hữu hạn với các ñỉnh ñược sắp thứ tự Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do tuyến tính. Khi ñó, mỗi ñơn hình q0 , q1 ,..., qn có thể ñược viết duy  Nhóm Abel X ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi A. p , p1 ,..., pn với ( p0 p1 pn )  ñơn hình ñịnh hướng. nhất thành và ñược gọi là n – 0 Định nghĩa 1.5.2. Giả sử R là một V module, S R . Khi ñó, Định nghĩa 1.6.1.1. Với mỗi n 0 , nhóm Abel tự do Cn (K S ñược gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R ñều ñược biểu bởi các n – ñơn hình ñịnh hướng của K ñược gọi là nhóm các xích n - chiều của K . Rõ ràng, Cn (K ) 0 nếu n dim K . Với mỗi n 1 , toán tử biên : C (K ) C (K là ñồng cấu xác )  diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S . ) n 1 n Hệ quả 1.5.1. Cho R là một V module. Nếu S là cơ sở của R thì S là hệ sinh ñộc lập tuyến tính. Mệnh ñề 1.5.2. Cho A là tập hợp khác rỗng, sinh ñịnh  , p0 1 trên ,..., mỗi  n pn (1)  i i 0 x, y,... là các phần tử phần tử sinh , ,..., □ ,..., p0 p1 pi pn . bởi công thức 11 Bổ ñề 1.6.1.1. Cho G, Glà các nhóm giao H , H lần lượt là hoán; thuộc A ; V là một vành, , ,... là các phần tử thuộc V . Ta ñặt V A hữu hạn , A A : f (x) 0, x A \ X  f : A  A   Với mọi g, f X , với mọi V nhân ngoài trên X như sau : ta ñịnh nghĩa phép cộng, phép ( f g)(x)  f (x) g(x), x A (f )(x) f (x), x A 12 G, G ; các nhóm con của : G  G ; là ñồng cấu nhóm thỏa (H ) H . Khi ñó, tồn tại ñồng cấu nhóm : G H  g H GH   (g)  H  Hơn nữa, nếu  là ñẳng cấu và và  (H ) H thì  là ñẳng cấu  ñược gọi là ñồng cấu cảm sinh bởi . 13 Bổ ñề 1.6.1.2. Cho 14 X , X là các không gian vector trên trường G; Y , Y lần lượt là các không gian vector con của : X  X , X . Nếu X là ánh xạ tuyến tính và (Y ) Y thì : X Y  x Y   o Sd : C (K )  X Y C (K ) là ánh xạ ñồng nhất trên C (K )   # ) : C(K   (ii Sd o ) #   C(K ) là ñồng luân xích với ánh xạ ñồng nhất trên C(K ) .  (x) Y  cũng là ánh xạ tuyến tính. Nếu  là ñẳng cấu và (Y ) Y thì  1.6.3. Đồng cấu cảm sinh Cho K ,L là hai phức ñơn hình. Một ánh xạ ñơn hình : K  L H(L,G) . Ta sẽ xây dựng cảm sinh một ñồng cấu : H (K ,G)  một ñồng cấu duy nhất cũng là ñẳng cấu. 1.6.2. Các phép biến ñổi xích và các xích ñồng luân Cho K , L là hai phức ñơn hình. f: H (K ,G)  f : K  L Định nghĩa 1.6.2.1 Một họ  n các ñồng cấu n :Cn (K , G) Sao cho  n1n 1 nn1 , n 0 Định lý 1.6.2.1. Ta có Cn (L, G), n 0 H(L,G) Bổ ñề 1.6.3.1. Cho ánh xạ hình ñối với f:K  mỗi : K m 1 xạ L,  L của f (m, s 0) . Khi ñó, các ñồng cấu   Sd m ;  Sd m s : H (K ,G)  H (L,G) trùng nhau.  ñược gọi là một biến ñổi xích hay một ánh xạ xích. Định nghĩa 1.6.2.2 . Cho ,    :C(K ,G)    C(L, G) liên tục L liên tục, hai xấp xỉ ñơn : K  m ánh 13 14 là hai ánh xạ xích. Một ñồng luân xích nối ,  là họ Dn :Cn (K ,G)  1.6.3.1. Định Cn1 (L,G) , n nghĩa D Dn các ñồng  : K m  cấu thỏ , Dn 1 Cn1 (K , G) Dn Cn (K , G) n1 , n1 n Cn1 (L, G)    Cn (L, G)  m  C0 (K , G) 0 D0 n , 0 , 0  L là một xấp xỉ ñơn hình của f . Khi ñó, ñồng cấu ñược ký hiệu Sd : H (K ,G)  là các xích ñồng luân nếu D tồn tại L là ánh xạ liên tục bất kỳ giữa f : H (K ,G)  0 a n n n1 Dn Dn 1n , n 1 Ta nói f:K  Cho các ñại diện, 1 C0 (L, G 0 0 Định lý 1.6.3.1. Cho (idK )idH (K ,G ) .  H (L,G) H (L,G)    K  f L P . Khi ñó, g g f (gf ) và 15 16 Bổ ñề 1.6.3.2. Cho K là một ña diện. Giả sử ,  : 0,1  0,1 ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ là hai ánh xạ liên tục mà   và (id  ) (id ) :H (PI ) H ( I ) . Khi ñó, với mỗi ña P  ñiện P , các ánh xạ ñồng f,g:K P cảm sinh các ñồng  luân cấu f g: H (K ,G)  Định lý 1.6.3.2. Cho f,g:K  f g: H (P)  CHƯƠNG 2 2.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị n 2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ n □ ; i 0, n 1, ei (0,...0,1, 0,..., 0) □ là n – ñơn hình chuẩn P, K là các ña ñiện hữu   hạn ; P là ánh Nếu xạ f g tục.    n □ , i 0,1,..., n ,  ta ñặt Với mỗi ñồng phôi thì ánh xạ sau ñẳng cấu h : H (P,G) H(K ,G)  . K Định lý 1.6.3.4. Cho P,K là các phức ñơn hình, f : P  là một tương ñối ñồng luân thì cấu. f: H (P)  H(K ) là một ñẳng 1.6.4 Đồng ñiều tương ñối Cho K là ña diện, L là ña diện con của K . Xét nhóm thương n 1 t 1,ti n n gọi   0 i i0 i  (t0 ,...,tn )  P,K là các phức ñơn hình, h : P  K  □  H(K ) ,  e1 , e2 ,..., en n t0 ,...,tn thì Định lý 1.6.3.3. Cho  n liên  n1 dị H (P,G) .   ti 0  ñược  n ei gọi là mặt thứ i của  ñối diện với ñỉnh Định nghĩa 2.1.1.1 Cho X là một không gian topo , một n – ñơn hình kỳ dị trong X là một ánh xạ liên tục T n : Định nghĩa 2.1.1.2. Cho f: X  Y liên Nế tục. u n T:   X . X,Y là hai không gian topo, 15 Cn (K ) Cn (L) và ñồng cấu biên $ bởi : Cn (K ) Cn (L ) Cn1 (K ) Cn1 (L) xác ñịnh  bởi $ (cn Cn (L )) (cn ) Cn1 (L) hay ký hiệu $  cn  cn  16 X là một n – ñơn hình kỳ dị trong X thì hợ f o T :  p  hiệu fT. n Y là một n – ñơn hình kỳ dị trong Y và ñược ký c Với mọi   niTi Cn ( X ) ta , ñặt Cn ( f ) :Cn ( X )  Khi ñó ta ñược một ñồng cấu Cn ( f )(c)  Cn (Y ) n ( fT ) . i i cảm sinh bởi f . 2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị C( X ) n 1, xét d :  n1   n là ánh xạ xác ñịnh bởi: i di t0 ,t1 ,...,tn1 t0 ,...,ti1, 0,ti ,...,tn1  i 0,1,..., n 17 18 Định nghĩa 2.1.2.1. Xét ñồng cấu biên  n : Cn ( X )  như sau Với T :   Cn1 ( X ) X ,  n 0 là một n – ñơn hình kỳ dị n thì  n T  Td n  (1) Bổ ñề 2.1.2.1. Cho của X thì i 0 n  là những thành phần liên thông ñường    n     n T C X thì   c    n  T   i i X  Hn X   Hn X  i i0 Khi ñó, với c  nghĩa là f# nn1 n1 f# n1 i n i n n1 Bổ ñề 2.1.2.2. Cho X , X liên thông ñường thì H 0 X □ Định nghĩa 2.1.2.2. Cho không gian X bất kỳ, dãy C X C X n   , n ñược gọi là phức kỳ dị của X và dãy n 0,1, 2,...  HX  Hn X H CX  H n CX  ñược gọi là nhóm ñồng ñiều kỳ dị phân bậc của Đối với một ánh xạ liên tục  H f  H n f : H n X H n Y f:X  Y, H0 ( p) □ , H n ( p) 0,n 1 2.1.3. Nhóm tương ñối, dãy khớp dài Định lý 2.1.3.1. Dãy ñồng ñiều của một cặp cho là ñồng cấu phân bậc của   X. Bổ ñề 2.1.2.3. Cho p là một ñiểm của X thì Định lý.2.1.3.2. Dãy ñồng ñiều của bộ ba các nhóm ñồng ñiều kỳ dị cảm sinh bởi ánh xạ xích C f  H n f : H n X  z Bn X  Định nghĩa 2.1.2.3. Cho Y  H n Y 2.2 . Tính bất biến của ñồng luân ñối với thứ phân trọng tâm  Cn  f  z   Bn Định lý 2.2.1. Cho f,g:X Y là ñồng luân. Khi ñó n 0 ,  fn gn : H n ( X X ,Y là không gian topo, )  17 18 Hn (Y ) f : X  f # n : Cn ( X )  n T c  i i f , g : ( X , A) (Y , liên tục, ñồng luân B) Định lý 2.2.2. Cho Y liên tục F : X I  Y liên tục:  F (x, 0)  f (x) Cn (Y ) xác ñịnh bởi n f o Cn f  c  Ti  i F (x,1) g(x) F (a,t) B, thì f là ñồng cấu, từ ñây ta suy ra sơ ñồ sau giao hoán n1  Cn1 ( X )  f# n1  Cn (Y ) n11  Cn ( X ) f# n Cn (Y ) n ) n Cn1 ( X f# n1 Cn1 (Y )  C1 ( X )  f#1 C1 (Y )  1 1 C0 ( X ) f#0 C0 (Y ) 0 0 g : H Khi ñó f n  0 0 n ( X , A)  n x X a A; t I H ( X , B) n 19 2.2. 20 Định lý Khoét Định nghĩa 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , T :  n X là  n – ñơn hình. Ta xây dựng (n+1)- ñơn hình xuất phát từ T vào w, ký hiệu ñơn hình này là w c   n T C ( X i i n ), tính biên của c, w T , w. Khi ñó ta ký hiệu c, w  T , X (A U liên tục với  n T , w. Bây giờ ta i Định lý 2.3.2.Cho A là họ các tập con của X mà có phần trong phủ i m □ 0 :  x Khi ñó w i i  n1 c, w   c, w  (1)  (c)Tw c X Cn1 ( X ) sao n X X mX n X liên Y X Dn1 f # n1  f # n2D n1 . là w - ñơn hình. n T    :C ( X )  D  Dn cho : n1Dn (T ) Dn1n (T ) n (T ) T với T : Sd   tục. X là tự nhiên, f:X Y thì Hơn nữa nếu  X là 0 - ñơn hình, w với c m Bổ ñề 2.3.3. m □ , X là không gian bất kỳ,  X Dn  sao cho mỗi thành phần của Sd T là A - nhỏ. X Cho T  X liên tục. Khi ñó sẽ Bổ ñề 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , c là n – xích kỳ dị của X. U , IntUX ). Cho T :  n   Định lý 2.3.2. Cho X là không gian topo, A U n1 c nếu n >0  các tập con của X mà X  nếu n=0 Định nghĩa 2.3.2. Cho X là không gian Topo, A U là một họ   A là một U IntU . Khi ñó ánh xạ nhúng  i# n : Cn ( X )  n T c  i i 19 Cn ( X ) c phủ của X mà X  U IntU thì A ñược gọi A  nhỏ. Bổ ñề 2.3.2. Cho T : n  , ( p ,..., p    0 cảm sinh một ñẳng cấu giữa các nhóm ñồng ñiều Hn ( X ), H n ( X ) (cũng ñúng cho ñồng ñiều thu gọn) là n – ñơn hình) n là phép ñồng phôi tuyến tính. Khi ñó mỗi thành phần T : n  phôi tuyến tính từ  n thứ nhất của . i   n củ a 20 A X Sd T sẽ là phép ñồng Định lý 2.3.3. Định lý Khoét Ch A X , U mở trong X sao cho U IntA thì phép nhúng o n ñến T ( ) là một thành phần trong thứ phân  j:(X\U,A\U) ( X , A) cảm sinh một ñẳng cấu trong ñồng ñiều kỳ dị. Định nghĩa 2.3.3. Dãy Mayer - Vietoris  Cho X X1 U X 2 cho C( X1 ) C( X 2 ) , C A (X) với A  X1 , X 2 . 21 22 Ta nói  X 1 , X 2 là một cặp khoét nếu phép nhúng C( X 1 ) C( X 2 )  Định lý 2.4.1. Với phép tương ứng trên, ta ñược một ñồng cấu h :  1 ( X , x0 )  C( X ) cảm sinh một ñẳng cấu các nhóm ñồng ñiều. H1 ( X ) Nếu X liên thông ñường thì h là toàn cấu và Kerh là nhóm con giao hoán tử của 1 ( X , x0 ) . Vì thế nếu 1 ( X , x0 ) là nhóm Abel Định lý 2.3.4. Dãy Mayer – Vietoris Ch X X1 U X 2  X1 , X 2 là một cặp khoét của X thì dãy sau o , thì h là một ñẳng cấu.  ñây khớp     n Hn ( A) Bổ ñề 2.4.1. Cho G là một nhóm, H là nhóm con giao hoán tử của n Hn (X 1 ) Hn ( X2 ) gọi là dãy Mayer – Vietoris của  X 1 , X 2  với nghĩa (a) i(a), j(a) (x1 , x2 ) k(x1 ) l(x2 ) với ánh xạ H n ( X ) H n1(A) A X1 I X 2 . Định  2 1 2  c 1, x j xi j1,...,n k l X 2.4. Tính nhóm ñồng ñiều của một số không gian topo ñơn giản Cho X là không gian topo, f : I  X là một ñường ñi, G, 1 hay   (x , x ,..., x n  j X2 Bổ ñề 2.4.2. Cho G là nhóm, H là nhóm con giao hoán tử của G . x x 1 x  ...x n X1 n, Abel. Cho i A G . Khi ñó H là nhóm con chuẩn tắc của G và G H là nhóm 1 2 n i j 0 thì x H 1;i 1, n ) . Nếu i 21 ta ñặt p : 1  □f : 1 22 1 I xác ñịnh bởi p(t ,t ) t ; (t ,t )  . 0 1 0 0 1 X ñược xác ñịnh bởi □f  f o p . Khi ñó □f là 1-  ñơn hình kỳ dị. Nếu f là 1-loop ( f (0)  f (1) x, x nào ñó X ), khi ñó □f 0