Tài liệu định lý grobman hartman cho hệ nhị phân mũ không đều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Ngoan ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Ngoan ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii 1 Nhị phân mũ không đều 1.1 Nhị phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều 1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định . . 1.3 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tính liên tục Hölder . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Bổ đề Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v v vi vii ix x xii xii xii xii 2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian rời rạc xiv 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv 2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều . . . . xiv 2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô . . . . . . . . . . . . . . xviii 2.2 Tính chính quy Hölder của ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . xxiv 2.2.1 Tính chính quy Hölder của ánh xạ liên hợp . . . . . . . . xxiv 2.2.2 Chuẩn Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv 2.2.3 Chứng minh tính chính quy Hölder của ánh xạ liên hợp . xxvii 3 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian liên tục xxxiii 3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii iii 3.2 3.1.1 Phép quy về trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv 3.1.2 Chứng minh định lý Grobman-Hartman . . . . . . . . . . xxxvi Tính chính quy Hölder của ánh xạ liên hợp cho dòng . . . . . . . xl Kết luận xliii Tài liệu tham khảo xliv iv Chương 1 Nhị phân mũ không đều 1.1 Nhị phân mũ đều Trước hết ta nhắc lại khái niệm nhị phân mũ đều. Để đơn giản ta xét trường hợp hệ hữu hạn chiều. Xét một ánh xạ liên tục t 7−→ A(t) sao cho A(t) là toán tử tuyến tính bị chặn trên X = Rn với mỗi t ≥ 0 và phương trình x0 = A(t)x. (1.1) Gọi X(t) là ma trận cơ bản, tức là nghiệm của (1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0). Gọi X(t, s) = X(t)X −1 (s) là ma trận tiến hóa của (1.1). Định nghĩa 1.1. Phương trình (1.1) được gọi là có nhị phân mũ đều nếu tồn tại phép chiếu P và các hằng số K, α ≥ 0 sao cho i) ||X(t)P X −1 (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s, ii) ||X(t)(I − P )X −1 (s)|| ≤ Ke−α(s−t) với s ≥ t. Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi Rn = S ⊕U và tồn tại K, α > 0 sao cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| với s ≥ t, y ∈ U . v Mệnh đề 1.3. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi tồn tại họ các phép chiếu P (t) thỏa mãn sup ||P (t)|| < ∞ với P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s) t∈R ∀t ≥ s và tồn tại các hệ số K, α > 0 sao cho i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ Im P (s), ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với s ≥ t, x ∈ Im Q(s), trong đó Q(t) = Id − P(t). Hệ nhị phân mũ đều có các tính chất rất tốt, ví dụ như tính vững, đặc trưng Peron của hệ nhị phân mũ hay sự tồn tại đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định. Sau đây, chúng ta phát biểu định lý Grobman-Hartman cho trường hợp ôtô-nôm. Định lý 1.4. ([13]) Xét phương trình x0 = Ax (1.2) và phương trình x0 = Ax + f (x), x ∈ Rn sinh ra dòng ϕt , trong đó ||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y||. Giả sử σ(A) ∩ iR = ∅, tức là (1.2) có nhị phân mũ đều. Khi đó, tồn tại đồng phôi H trong lân cận mở của gốc tọa độ sao cho etA ◦ H = H ◦ ϕt . Ví dụ 1.5. (xem [13], trang 140) Cho hệ x0 = x, y 0 = −y + x2 (1.3) Khi đó, chúng ta tìm được đồng phôi H= 1.2 x y− ! x3 3 Khái niệm nhị phân mũ không đều Hệ nhị phân mũ không đều là trường hợp mở rộng của hệ nhị phân mũ đều và ta hãy xem sự khác nhau và giống nhau căn bản của chúng. vi 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) là một hàm liên tục trong khoảng mở J ⊂ R, và B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Xét bài toán giá trị ban đầu v 0 = A(t)v (1.4) v(s) = vs trong đó s ∈ J và vs ∈ X. Ta viết nghiệm duy nhất của phương trình (1.4) dưới dạng v(t) = T (t, s)v(s), trong đó T (t, s) là toán tử tiến hóa và ta có T (t, t) = Id và T (t, s) = T (t, r)T (r, s). (1.5) Định nghĩa 1.6. Phương trình (1.4) có nhị phân mũ không đều trên J nếu tồn tại họ phép chiếu P : J → B(X) với P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) ∀t ≥ s, (1.6) và tồn tại các hệ số a < 0 ≤ b, a, b ≥ 0, D1 , D2 ≥ 1 (1.7) sao cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| (1.8) trong đó Q(t) = Id − P (t). Vậy a, b coi là số mũ Lyapunov, còn a và b đặc trưng cho tính không đều của hệ nhị phân mũ. Nhận xét 1.7. Như vậy từ hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a|s| hoặc b|t|. Thực chất nhị phân mũ không đều tổng quát hơn nhị phân mũ đều rất nhiều. Chẳng hạn, một hệ hữu hạn chiều chỉ cần có một số mũ Lyapunov có phần thực âm là hệ có nhị phân mũ không đều. ([8, Định lý 10.6]) Ta cũng có thể định nghĩa thêm về hệ nhị phân mũ không đều mạnh với các hệ số a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b và a, b > 0. (1.9) vii Định nghĩa 1.8. Ta nói hệ (1.4) là một nhị phân mũ không đều mạnh trong J nếu tồn tại một họ phép chiếu P (t) thỏa mãn (1.6) và tồn tại các hệ số thỏa mãn (1.9) sao cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| , ||T (s, t)P (t)|| ≤ D1 e−a(t−s)+a|t| , ||T (t, s)Q(s)|| ≤ D2 eb(t−s)+b|s| , ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| . (1.10) Nhận xét 1.9. Rõ ràng một nhị phân mũ không đều mạnh là một nhị phân mũ không đều nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Ta xét một số ví dụ đơn giản. Ví dụ 1.10. Xét phương trình cho trong R2 , cho bởi x0 = −x, y 0 = ty. (1.11) Hệ (1.11) là một nhị phân mũ không đều trong R+ với a = −1, b = 0, a = b = 0, và D1 = D2 = 1. Tuy nhiên bất đẳng thức thứ ba trong (1.10) không thỏa mãn nếu b 6= +∞. Do đó (1.11) không là một nhị phân mũ không đều mạnh. Tiếp theo ta xét một ví dụ để phân biệt nhị phân mũ không đều và nhị phân mũ đều. Ví dụ 1.11. Cho w > a > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R2 u0 = (−w − at sin t)u, v 0 = (w + at sin t)v. (1.12) Mệnh đề 1.12. Hệ (1.12) là một nhị phân mũ không đều trong R nhưng không là nhị phân mũ đều. Chứng minh. Có thể kiểm tra rằng u(t) = U (t, s)u(s) và v(t) = V (t, s)v(s) trong đó U (t, s) = e−wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s , V (t, s) = ewt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s . Toán tử tiến hóa của hệ (1.12) là T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v). viii Giả sử P (t) là phép chiếu P (t)(u, v) = u. Thì P thỏa mãn điều kiện (1.6). Ta chỉ ra tồn tại D sao cho U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s, (1.13) V (s, t) ≤ De−(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s. (1.14) và Đầu tiên ta viết lại U (t, s) như sau: U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) . (1.15) Với t, s ≥ 0 thì từ (1.15) có U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2as . Hơn nữa nếu t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N thì U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+2as . (1.16) Với t ≥ 0, s ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s) . Cuối cùng nếu s ≤ t ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|s| . Kết hợp với (1.13) với D = e2a và việc chứng minh cho V (t, s) trong (1.14) là hoàn toàn tương tự. Hơn nữa nếu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π thì V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t| . (1.17) Vậy từ (1.13), (1.14) thì hệ (1.12) là hệ nhị phân mũ không đều. Nhưng ta không thể bỏ e2a|s| và e2a|t| bằng cách cho D hoặc w − a đủ lớn nên hệ (1.12) không là nhị phân mũ đều. 1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều 1.2.2.1 Tính vững X là không gian Banach, A : J → B(X) là hàm liên tục trên J ⊂ R. Xét phương trình v 0 = A(t)v (1.18) v(s) = vs , s ∈ J, vs ∈ X. ix Giả sử phương trình trên có nghiệm t ∈ J và T (t, s) là toán tử tiến hóa. Giả sử phương trình trên là một nhị phân mũ không đều. Ta nói nhị phân là vững nếu với B đủ nhỏ trong hệ v 0 = (A(t) + B(t))v (1.19) cũng là một nhị phân mũ không đều. Với a, b thỏa mãn a < 0 < b, a, b > 0, D1 , D2 > 0 ta đặt e = min{−a, b}, ϑ = max{a, b}, D = max{D1 , D2 } r 2δD e D e c=c 1− , D= . c 1 − δD/(e c + c) Định lý 1.13. (xem [8], trang 28)Toán tử A, B : J → B(X) là hàm liên tục thỏa mãn 1) Phương trình (1.18) là nhị phân mũ không đều trên mỗi khoảng mở J, 2) ||B(t)|| ≤ δe−2ϑ|t| với ϑ < e, với mọi t ∈ J. Nếu δ đủ nhỏ thì hệ (1.19) cũng là nhị phân mũ không đều trên J với hệ số c, ϑ e và D thay bởi e c, 2ϑ và 4DD. 1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định Giả sử hệ phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v là nhị phân mũ không đều trên khoảng mở J ⊂ R. Xét hai không gian con tuyến tính E(t) = P (t)X, F (t) = Q(t)X, (1.20) với mỗi t ∈ J. Chúng ta tương ứng gọi E(t) và F (t) lần lượt là không gian con ổn định và không ổn định tại thời điểm t. Rõ ràng là X = E(t) ⊕ F (t) với mỗi t ∈ J và dim E(t), dim F (t) là không phụ thuộc vào thời điểm t. Nghiệm của (1.18) có thể được viết dưới dạng v(t) = (U (t, s)ξ, V (t, s)η) ∈ E(t) × F (t), ∀t, s ∈ J, t ≤ s trong đó v(s) = (ξ, η) và U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s) V (t, s) := T (t, s)Q(s) = T (t, s)Q(s)2 = Q(t)T (t, s)Q(s). x (1.21) Từ (1.20) ta có thể dễ dàng suy ra rằng U (t, s)E(s) = E(t) và V (t, s)F (s) = F (t) với mỗi t, s ∈ J. Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con ổn định và không gian ổn định không phụ thuộc vào t, tức là E(t) = E, F (t) = F với mọi t, thì toán tử T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F :  T (t, s) = U (t, s) 0 0 V (t, s)  Hơn thế nữa, toán tử U (t, s) : E(s) → E(t) và V (t, s) : F (s) → F (t) là khả nghịch. Ký hiệu toán tử nghịch đảo tương ứng là U (t, s)−1 và V (t, s)−1 . Rõ ràng U (t, s)−1 = U (s, t) và V (t, s)−1 = V (s, t) với mọi t, s ∈ J. Ta có ||U (t, s)|| ≤ D1 .ea(t−s)+a|s| , ||U (t, s)−1 || ≤ D1 .e−a(t−s)+a|t| , ||V (t, s)|| ≤ D2 .eb(t−s)+b|s| , ||V (t, s)−1 || ≤ D2 .e−b(t−s)+b|t| . (1.22) Tương tự, chúng ta có thể thay thế bất đẳng thức trong (1.10) bằng bất đẳng thức đầu và cuối trong (1.22). Đặt t = s trong (1.10) chúng ta suy ra ||P (t)|| ≤ D1 .ea|t| , ||Q(t)|| ≤ D2 .eb|t| . Tiếp theo, ta định nghĩa góc giữa hai không gian con E(t), F (t). α(t) = inf{||x − y|| : x ∈ E(t), y ∈ F (t), ||x|| = ||y|| = 1}. (1.23) Mệnh đề 1.14. Với mọi t ∈ J ta có: 1 2 1 2 ≤ α(t) ≤ và ≤ α(t) ≤ . ||P || ||P || ||Q|| ||Q|| Mệnh đề 1.14 cho ta biết góc của hai không gian con E(t) và F (t) là tách khỏi 0. xi 1.3 1.3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Tính liên tục Hölder Xét f là một hàm trên không gian Euclide d-chiều thỏa mãn điều kiện Hölder hay liên tục Hölder nếu tồn tại hệ số thực không âm C, α thỏa mãn: ||f (x) − f (y)|| ≤ C||x − y||α với mọi x, y thuộc miền xác định của f . Số α được gọi là số mũ Hölder. • Nếu α = 1 thì f thỏa mãn điều kiện Lipschitz. • Nếu α = 0 thì f bị chặn. 1.3.2 Định lý điểm bất động Định nghĩa 1.15. Giả sử X là không gian metric với khoảng cách d. Ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ θ < 1 sao cho d(f (x), f (y)) ≤ θd(x, y) với mọi x, y ∈ X. Điểm x0 ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x0 ) = x0 . Định lý 1.16. (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ X vào chính nó có duy nhất điểm bất động. 1.3.3 Bổ đề Gronwall-Bellman Bổ đề 1.17. Cho λ(t) là hàm thực liên tục và µ(t) là hàm liên tục không âm trên khoảng [a, b]. Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn tính chất Zt y(t) ≤ λ(t) + µ(s)y(s)ds a với mọi t ∈ [a, b], thì cũng trên khoảng đó ta có Rt Zt y(t) ≤ λ(t) + λ(s)µ(s)e s a xii µ(τ )dτ ds. Nếu λ(t) = λ là một hằng số thì Rt y(t) ≤ λea µ(s)ds . Như vậy chương 1 tôi đã trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều, so sánh hai khái niệm này. Tôi cũng đưa ra các tính chất của nhị phân mũ không đều mà không chứng minh, bởi mục tiêu chính của luận văn là chỉ ra sự tương đương tô–pô giữa hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi phân không thuần nhất. xiii Chương 2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian rời rạc Chương 1 tôi đã trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều cho phương trình vi phân. Trong chương 2 ta xét sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc. 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ Chúng ta sẽ chứng minh kết quả cho bài toán liên tục thông qua bài toán rời rạc. Vì vậy, ta xét hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc hay là nhị phân mũ không đều cho dãy các toán tử của phương trình sai phân xm+1 = Am xm + fm (xm ). 2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều Giả sử X là không gian Banach, B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trong X. Trước hết ta xét nhị phân mũ không đều rời rạc hay trường hợp nhị phân mũ không đều cho dãy các toán tử. Xét một số điều kiện sau: xiv F1: Tồn tại toán tử tuyến tính khả nghịch Am ∈ B(X), m ∈ Z với nghịch đảo A−1 m ∈ B(X). F2: Tồn tại ánh xạ liên tục fm : X → X, m ∈ Z và hệ số δ > 0 và ϑ ≥ 0 với mỗi m ∈ Z, ánh xạ Am + fm là đồng phôi và ||fm ||∞ = sup {||fm (x)|| : x ∈ X} ≤ δe−ϑ|m| . (2.1) F3: Tồn tại β ≥ 0, với mọi x, y ∈ X ta có ||fm (x) − fm (y)|| ≤ δe−β|m| ||x − y||, m ∈ Z. (2.2) Nhận thấy rằng điều kiện F1 khá chặt, điều kiện F2 chỉ ra rằng nhiễu fm của Am khá nhỏ khi δ đủ nhỏ, còn điều kiện F3 chỉ ra nhiễu fm của Am nhỏ theo nghĩa hằng số Lipschitz nhỏ. Dễ dàng thử được Gm = Am + fm là khả nghịch và nghịch đảo của nó là Lipschitz. Xét   nếu m > n,  Am−1 · · · An A(m, n) = Id   A−1 · · · A−1 m n−1 nếu m = n, nếu m < n. Bây giờ ta đưa ra khái niệm nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc. Định nghĩa 2.1. Dãy các toán tử (Am )m∈Z là hệ nhị phân mũ không đều nếu tồn tại họ các phép chiếu Pn ∈ B(X) với n ∈ Z để Pm A(m, n) = A(m, n)Pn , ∀m, n ∈ Z, m ≥ n, (2.3) và tồn tại các hệ số a < 0 ≤ b; a, b ≥ 0 và D ≥ 1 sao cho mọi m, n ∈ Z, m ≥ n ta có ||A(m, n)Pn || ≤ Dea(m−n)+a|n| , ||A(m, n)−1 Qm || ≤ De−b(m−n)+b|m| , (2.4) trong đó Qm = Id − Pm . Với một dãy {Am } là hệ nhị phân mũ không đều trong không gian tuyến tính Em = Pm X và Fm = Qm X với mỗi m ∈ Z. Ta gọi Em , Fm là không gian con ổn định và không ổn định. xv Hiển nhiên Em ⊕ Fm = X với mọi m ∈ Z. Hơn nữa, dim Em và dim Fm không phụ thuộc vào m. Dãy toán tử Bm := Am |Em : Em → Em+1 với mỗi m ∈ Z, Cm := Am |Fm : Fm → Fm+1 là toán tử tuyến tính khả nghịch với nghịch đảo liên tục. Ta có phân tích X = Em ⊕ Fm thì  Am = Bm 0 0 Cm  với m ∈ Z. (2.5) Với mỗi dãy {zm }m∈Z ⊂ X thỏa mãn zm+1 = Am zm với mọi m ∈ Z ta có thể viết zm = A(m, n)zn = (B(m, n)xn , C(m, n)yn ), m, n ∈ Z, với zn = (xn ; yn ) ∈ Em × Fm và    Bm−1 · · · Bn B(m, n) = Id   B −1 · · · B −1 m n−1    Cm−1 · · · Cn C(m, n) = Id   C −1 · · · C −1 m n−1 nếu m > n, nếu m = n, nếu m < n. nếu m > n, nếu m = n, nếu m < n. Khi đó (2.4) có thể viết ||B(m, n)|| ≤ Dea(m−n)+a|n| , ||C(m, n)−1 || ≤ De−b(m−n)+b|m| . (2.6) Bây giờ ta sẽ đưa ra khái niệm chuẩn Lyapunov trong trường hợp hệ rời rạc. Chọn % > 0 sao cho % < min{−a, b}. Nếu với mỗi m ∈ Z, ta định nghĩa X ||x||0m = ||B(k, m)x||e(−a−%)(k−m) với x ∈ Em , k≥m (2.7) ||y||0m = X ||C(m, k)−1 y||e(b−%)(m−k) với y ∈ Fm , k≤m xvi và đặt ||(x, y)||0m = ||x||0m + ||y||0m với mỗi (x, y) ∈ Em × Fm . (2.8) Áp dụng (2.6) ta thấy ||x||0m , ||y||0m là hữu hạn và ||x|| ≤ ||x||0m ≤ và ||y|| ≤ ||y||0m Dea|m| ||x|| 1 − e−% Deb|m| ≤ ||y||. 1 − e−% Như vậy ta đã xét mối quan hệ giữa chuẩn thông thường và chuẩn Lyapunov trên không gian con ổn định Em và trên không gian con không ổn định Fm . Bây giờ ta xét mối quan hệ đó trên toàn không gian X. Hệ quả 2.2. Với mỗi z ∈ X và m ∈ Z ta có: 2 ||z|| ≤ ||z||0m 2D ≤ e2 max{a,b}|m| ||z||. 1 − e−% Chứng minh. Ta có: ||(x, y)|| ≤ ||x|| + ||y|| ≤ ||x||0m + ||y||0m = ||(x, y)||0m . Mặt khác từ Pm (x, y) = x, Qm (x, y) = y và từ (2.4) ta có: ||(x, y)||0m ≤ D emax{a,b}|m| (||Pm || + ||Qm ||)||(x, y)|| −% 1−e 2 2D ≤ e2 max{a,b}|m| ||(x, y)||. 1 − e−% Vậy ta đã chứng minh xong Hệ quả 2.2. Hơn thế khi m ≥ n ta có ||B(m, n)x||0m ||B(m, n)|| := sup ≤ e(a+%)(m−n) 0 ||x||n x∈E\{0} 0 ||C(m, n)−1 y||0n ≤ e(−b+%)(m−n) . || := sup 0 ||y||m y∈F \{0} −1 0 ||C(m, n) xvii (2.9) 2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô Định lý Grobman-Hartman chỉ ra tương đương tô-pô hệ tuyến tính Am và hệ nhiễu Am + fm . Vì vậy để xây dựng sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều cho trường hợp rời rạc, ta sẽ chứng minh theo ba bước sau: 1. Ta xây dựng liên hợp trái theo nghĩa: Tồn tại duy nhất hàm ûm liên tục thỏa mãn Am ◦ ûm = ûm+1 ◦ (Am + fm ) A X −−−m −→ x  ûm  (2.10) X x û  m+1 X −−−−−→ X Am +fm sao cho ûm − Id là bị chặn với mỗi m ∈ Z. 2. Ta xây dựng liên hợp phải theo nghĩa: Tồn tại duy nhất v̂m liên tục thỏa mãn v̂m+1 ◦ Am = (Am + fm ) ◦ v̂m A X −−−m −→   v̂m y (2.11) X  v̂ y m+1 X −−−−−→ X Am +fm sao cho v̂m − Id là bị chặn với mỗi m ∈ Z. 3. Với mỗi m ∈ Z, những hàm trên thỏa mãn ûm ◦ v̂m = v̂m ◦ ûm = Id (2.12) và chúng được gọi là ánh xạ liên hợp tô-pô. Thực ra û và v̂ là nghịch đảo của nhau. Ta sẽ tìm hiểu tính chính quy Hölder của ánh xạ liên hợp trong mục 2.2. Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại duy nhất của các hàm ûm thỏa mãn (2.10) và v̂m thỏa mãn (2.11). Để thay thế (2.10), (2.11) ta có thể chứng minh (Am + f m ) ◦ ŵm = ûm+1 ◦ (Am + fm ) (2.13) và chỉ ra sự tồn tại duy nhất hàm liên tục ŵm thỏa mãn (2.13) để có ŵm − Id với mỗi m ∈ Z. Điều này cũng chỉ ra sự tồn tại và liên tục của nghịch đảo của xviii hàm ûm . Dẫn đến f m = 0 ở (2.12) tương ứng với Định lý 2.3 và fm = 0 ở (2.12) tương ứng với Định lý 2.4. Xét không gian X các dãy u = (um )m∈Z của các hàm liên tục um : X → X với ||u||0∞ = sup{||um ||0m : m ∈ Z} < ∞, (2.14) ở đó ||um ||0m = sup{||um (x)||0m : x ∈ X}. Khi đó X là một không gian metric đầy đủ với chuẩn trên. Đầu tiên ta chứng minh tương đương tô-pô liên hợp trái. Định lý 2.3. (xem [8]) Giả sử điều kiện F1, F2 thỏa mãn. Nếu dãy {Am }m∈Z là hệ nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ, thì tồn tại duy nhất dãy {um }m∈Z ∈ X ∀m ∈ Z ta có: Am ◦ ûm = ûm+1 ◦ (Am + fm ), (2.15) ở đó ûm = Id + um . Chứng minh. Đặt Gm = Am + fm Khi đó phương trình (2.15) tương đương: Am ◦ um − um+1 ◦ Gm = fm . (2.16) Ta viết um = (bm , cm ), fm = (gm , hm ) với giá trị trong Em × Fm . Từ điều kiện F1 ta có (2.16) thỏa mãn với mọi m ∈ Z nếu và chỉ nếu ∀m ∈ Z. (bm , cm ) = (bm , cm ) Trong đó bm = (Bm−1 ◦ bm−1 − gm−1 ) ◦ G−1 m−1 (2.17) −1 cm = Cm−1 ◦ (cm+1 ◦ Gm + hm ) (2.18) Giả sử u = (um )m∈Z = (bm , cm )m∈Z ∈ X. Ta định nghĩa S(u) = (bm , cm )m∈Z . Khi đó để chứng minh định lý ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của điểm cố định của S trong không gian X. Hay ta chỉ ra S(X) ⊂ X và S là phép co trong xix không gian metric đủ X. Ta có Gm là đồng phôi nên (bm , cm ) liên tục với mọi m ∈ Z. Mặt khác sử dụng chuẩn Lyapunov trong (2.7), với mỗi z ∈ X ta có X −1 ||bm (z)||0m ≤ ||B(k, m)Bm−1 bm−1 (Gm−1 (z))||e(−a−%)(k−m) k≥m + X (−a−%)(k−m) ||B(k, m)gm−1 (G−1 m−1 (z))||e k≥m X ≤ ea+% (−a−%)(k−(m−1)) ||B(k, m − 1)bm−1 (G−1 m−1 (z))||e k≥m−1 + X ||B(k, m)||||gm−1 ||∞ e(−a−%)(k−m) (2.19) k≥m 0 ≤ ea+% ||bm−1 (G−1 m−1 (z))||m−1 X + Dδ ea(k−m)+ϑ|m| e−ϑ|m−1| e−(a+%)(k−m) k≥m X 0 ϑ ≤ ea+% ||bm−1 (G−1 m−1 (z))||m−1 + Dδe e%(m−k) . k≥m Đặt θ = Dδeϑ /(1 − e−% ), với dãy b = (bm )m∈Z và b = (bm )m∈Z ta có  ||bm ||0∞ = sup ||bm ||0m : m ∈ Z ≤ ea+% ||b||0∞ + θ < ∞. (2.20) Tương tự với mỗi z ∈ X ta có X −1 ||cm (z)||0m ≤ ||C(m, k)−1 Cm cm+1 (Gm (z))||e(b−%)(m−k) k≤m + X −1 ||C(m, k)−1 Cm hm (z)||e(b−%)(m−k) k≤m X ≤ e−b+% ||C(m + 1, k)−1 cm+1 (Gm (z))||e(b−%)(m+1−k) k≤m+1 + X ||C(m + 1, k)−1 ||||hm ||∞ e(b−%)(m−k) (2.21) k≤m ≤ e−b+% ||cm+1 (Gm (z))||0m+1 X + Dδ e−b(m+1−k)+ϑ|m+1| e−ϑ|m| e(b−ϑ)(m−k) k≤m ≤ e−b+% ||cm+1 (Gm (z))||0m+1 + Dθeϑ−b X eϑ(k−m) . k≤m Với dãy c = (cm )m∈Z , c = (cm )m∈Z ta có: ||c||0∞ ≤ e−b+ϑ ||c||0∞ + θ < ∞. xx (2.22)