Tài liệu định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liêm quan

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN THỊ YẾN LY ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề này vẫn mang tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng. 2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả ñang nghiên cứu. 5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm. 2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. - Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính. - Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm liên quan. - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan. CHƯƠNG 1 HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liêụ [2] , [5], [6]. Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre, người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy f (x y)  f (x) f ( y)  với mọi x, y □ , Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng tính. Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987), Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày ở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của chúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính. 1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f : □ , trong ñó □ là tập các số thực, ñược □ gọi là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy. f (x y)  f (x) f ( y)  (1.1) với mọi x, y □ . Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A. M. Legendre (1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát. Định nghĩa 1.1.2. Một hàm có dạng f: □ □ ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nó f (x) mx x □  , trong ñó m là một hằng số bất kì. Định lý 1.1.1. f : □ là một hàm cộng tính liên tục. Khi ñó f là tuyến Cho □ tính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý. Định nghĩa 1.1.3. Một f : □ ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nó hàm □ khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn . Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tính Định nghĩa 1.1.4. Một f : □ ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu hàm □ f  rx rf x  , với mọi x R (1.2) và mọi số hữu tỉ r. Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp nơi. 1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN Trong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm, các hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính gián ñoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi hàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về hàm cộng tính gián ñoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người ñầu tiên thành công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián ñoạn. Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (không tuyến tính). Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị của một f : □ là tập hợp hàm □ G x, y / x □ f x  . ,y Dễ dàng thấy rằng ñồ thị G của một hàm f: □ □ là một tập con của mặt phẳng □ 2 . Định lý 1.2.1. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến tính f: □ □ là trù mật khắp nơi trong mặt phẳng □ 2 . Định nghĩa 1.2.2. Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S. Khi ñó B ñược gọi là một cơ sở Hamel ñối với S nếu mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B. Định lý 1.2.2. Cho B là một cơ sở Hamel ñối với □ . Nếu hai hàm cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau. Định lý 1.2.3. Cho B là 1 cơ sở Hamel ñối với □ . Cho g : B □ là một hàm tùy ý xác ñịnh trên B . Khi ñó tồn tại một hàm cộng tính f : □ f  b g □ sao cho với mọi b B . b 1.3. TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH Chúng ta ñã thấy rằng ñồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trong mặt phẳng . Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một ñiểm (x,y) sao cho y x  . Chúng ta cũng ñã nhận thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành  f tuyến tính khi áp ñặt tính liên tục trên f . Chúng ta có thể làm yếu ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm. Trong ñoạn này, chúng ta trình bày một số ñiều kiện chính qui nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính. Định lý 1.3.1. Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc ñơn ñiệu thì f là tuyến tính Định nghĩa 1.3.1: Một hàm f : □ □ ñược gọi là nhân tính nếu f (xy)  f (x) f ( y), x, y □ . Định lý 1.3.2 : Nếu một hàm cộng tính f cũng là nhân tính thì f là tuyến tính 1.4. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC Trong mục này, ñầu tiên chúng ta trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm cộng tính trên mặt phẳng □ 2 và sau ñó nghiên cứu hàm cộng tính giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu mục này với kết quả sau ñây. Định lý 1.4.1. Nếu hàm cộng tính với mọi f : □ 2 □ là cộng tính trên mặt phẳng □ thì tồn tại các 2 A1 , A2 : □ sao cho □ f (x1 , x2 ) A1 (x1 ) A2 (x2 ) (1.3) x1 , x2 □ . Định lý 1.4.2. Nếu f : □ 2 □ là một hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng 2 □ thì tồn tại các hằng c1 , sao cho số c2 f x1 , x2 c1 x1 (1.4) với c2 x2 x1 , x2 □ . mọi Bổ ñề 1.4.1. Nếu một hàm cộng tính f : □ 2 □ liên tục theo từng biến thì nó là hàm liên tục. f : □ n □ là một hàm cộng tính liên tục trên □ thì tồn Định lý 1.4.3. n Nếu tại các hằng số c1 , c2 ,..., sao cho cn f (x1 , x2 ,..., xn ) c1 x1 c2 x2 ... (1.5) với cn xn x1 , x2 ,..., xn □ . mọi Chú ý 1.4.1. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng tính có giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu với một giới thiệu ngắn gọn về hệ số phức. Các số có dạng a 1 , trong ñó a và b là những số thực, b ñược gọi là các số phức. Vào ñầu thế kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Vào thế kỉ 18, các hàm liên quan ñến số phức ñược tìm thấy bởi Euler. Trong một thời gian dài, các số phức ít ñược quan tâm và nói chung không ñược xét ñến như các số chính thống cho ñến giữa thế kỉ 19. Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và ñặt tên chúng là ảo. Euler cũng cảm thấy các số phức “tồn tại chỉ trong tưởng tượng” và xem các nghiệm phức của một phương trình chỉ hữu ích trong việc chứng tỏ rằng các phương trình này thực sự vô nghiệm. Gauss ñưa ra một biểu diễn hình học ñối với số phức và nhận ra rằng thật là không ñúng nếu cho rằng “có một bí mật mờ mịt nào ñó trong các số này”. Ngày nay, các số phức ñược chấp nhận rộng rãi theo công trình của Gaus. Định nghĩa hình thức về số phức ñược cho bởi William Hamilton. Hệ số phức □ là tập hợp các cặp thứ tự các số thực ( x,y) với phép cộng và phép nhân xác ñịnh bởi (x, y) (u, v) (x u, y v) x, y,u, v □ với mọi . (x, y)(u, v) (xu yv, xv yu) Đồng nhất số thực x với cặp (x, 0) và kí hiệu i là số thuần ảo (0,1), ta có thể viết lại biểu thức sau (x, y) (x, 0) (0,1)( y, 0) thành (x, y) x iy . Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là z thì ta có z x iy . Số thực x ñược gọi là phần thực của z, kí hiệu là Rez. Tương tự, số thực y ñược gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz. Nếu z là một số phức có dạng x thì số phức x ñược gọi là liên hợp của z và kí hiệu là z . iy iy Một hàm bất kì f : □ □ có thể ñược viết thành: f z  f1 z if2 z , (1.6) trong ñó f : □ f2 : □ ñược cho bởi 1 và □ □ f1 (z)  Re f (z) f2 (z) Im f (z). , Nếu f cộng tính thì theo (1.6) và (1.7), ta có: (1.7) f1 z1 z2 Re f z1 z2  = Re f f z2   z1  = Re f z1 Re f z2  = f1 z1 f1 z2  .  Tương tự, f 2 z1 z2 Im f z1 z2 = Im f z1  f z2   = Im f z1 Im f z2  = f2 z1 f2 z2  .  Định lý 1.4.4. f: □ Nếu fkj : □ □  k, j 1, □ là cộng tính thì tồn tại các hàm cộng tính sao cho 2 f z  f11 Rez f12 Im z if21  Re z if22  Im z .  Định lý 1.4.5. f: □ Nếu hằng số phức c1 và □ là một hàm cộng tính liên tục thì tồn tại các c2 sao cho f z c1 z c2 z (1.8) Trong ñó z kí hiệu số phức liên hợp với z . Lưu ý rằng không như các hàm cộng tính liên tục giá trị thực trên □ , các hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên □ là không tuyến tính. Tính tuyến tính có thể ñược khôi phục nếu ta giả sử ñiều kiện chính quy mạnh hơn như là tính giải tích thay vì tính liên tục. Định nghĩa 1. 4.1. Một hàm f : □ ñược gọi là giải tích nếu f khả vi trên □ □. Định lý 1.4.6. f: □ Nếu □ là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một hằng số phức c sao cho f z cz , nghĩa là f tuyến tính. 1.5. HÀM SONG CỘNG TÍNH Định nghĩa 1.5.1. Một hàm f : □ 2 □ ñược gọi là song cộng tính nếu nó cộng tính theo từng biến, nghĩa là f x y, z f x, z f y, z f x, y z f x, y f x, z   ,    với mọi x, y, z □ . (1.9) Ví dụ duy nhất về hàm cộng tính dễ dàng thấy ñược là một bội của tích các biến ñộc lập. Vì vậy nếu m là một hằng và ta ñịnh nghĩa f bởi thì f là song cộng tính. f x, y mxy , x, y □ Định lý 1.1.5. Mỗi hàm song cộng tính liên tục f : □ 2 □ có dạng f x, y mxy với mọi x, y □ và hằng số m tùy ý nào ñó trong □ . Định lý 1.5.2. Mỗi hàm cộng tính n f x, y  sj 1 n x  rk bk , trong ñó k 1 rk , sj k f : □ 2 □ có thể ñược biểu diển dưới m dạng (1.10) kj rk , j 1 m y s jb j , j1 là hữu tỉ, trong khi b j là các phần tử của một cơ sở Hamel B và kj tùy ý phụ thuộc vào bj và bk . CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu [1], [2], [3], [5]. Mục ñích của chương này là nhằm trình bày ñịnh lý giá trị trung bình của phép tính vi phân cùng với một số ứng dụng của nó và bàn ñến nhiều phương trình hàm ñược thúc ñẩy việc sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình. Tất cả các phương trình hàm ñề cập trong chương này ñược sử dụng theo ña thức ñặc trưng. Ớ ñây, chúng ta cũng khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân và ñưa ra một số ứng dụng trong việc xác ñịnh trung bình hàm. Cuối cùng, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình của Cauchy và chỉ ra các phương trình hàm khác nhau có thể là ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát này. 2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Một trong các ñịnh lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange. Định lý này ñược khám phá ñầu tiên bởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc ứng dụng ñịnh lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp ñược cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy nhiên, phát biểu ñầu tiên của ñịnh lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý học nổi tiếng André-Marie Ampère (1775-1836). Như ñã biết nhiều kết quả của giải tích thực cổ ñiển là một hệ quả của ñịnh lý giá trị trung bình. Chứng minh của ñịnh lý Rolle dựa vào hai kết quả ñơn giản sau ñây. 13 Mệnh ñề 2.1.1. Nếu một hàm khả vi f : □ thuộc khoảng mở (a,b) thì f '  c 0 . Mệnh ñề 2.1.2. Một hàm liên tục f : □ và bị chặn bất kỳ  a,b  . □ ñạt cực trị trên một khoảng ñóng Chúng ta bắt ñầu ñịnh lý Rolle như sau: Định lý 2.1.1. Nếu f x1  □ ñạt cực trị tại một ñiểm c f liên tục trên  x1 , x2 , khả f x2 , thì tồn tại một ñiểm  x1 , mà sao cho x2  vi trên x1 , x2  và f '0 . Định lý 2.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên khoảng I và với mọi cặp x1 x2 trong I , tồn tại một ñiểm  phụ thuộc f x1  f x2  x1 và f 'x1 , x2 x2 sao cho . (2.1) x1 x2  2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học như sau. Tiếp tuyến với ñồ thị của hàm f tại  (x1 , x2 song song với cát tuyến nối các ñiểm ) x , f x . 2 x , f x và 1 1 2 Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và tích phân sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange. Bổ ñề 2.2.1. f với mọi x trong khoảng  a,b  thì f là hằng trên Nếu 'x 0  a,b  . Bồ ñề 2.2.2. Nếu hằng số trên  a,b  . Bồ ñề 2.2.3. Nếu f thực sự trên  a,b  . f 'x g 'x  với mọi ' x  (< 0) , với mọi 0 x   a,b  th f và g sai khác một ì thì hàm f tăng ( giảm ) x   a,b  14 Bồ ñề 2.2.4. Nếu f , với ''x 0 mọi x   a,b  thì f là lõm trên khoảng  a,b  . Định lý cơ bản của phép tính phát biểu rằng nếu f là một hàm liên tục trên  a,b  và F là một nguyên hàm của f trên  a,b  thì b f t dt F  bF  a  . a (2.2) Định lý này cũng có thể ñược thiết lập bằng cách ñưa vào ñịnh lý giá trị trung bình Ngoài những ứng dụng lý thuyết, ñịnh lý giá trị trung bình còn có những ứng dụng khác. Các ví dụ sau ñây minh họa một số ứng dụng khác của ñịnh lý giá trị trung bình. Ví dụ 2.2.1. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng minh bất ñẳng thức Bernoullis: Nếu x 1 thì 1x n 1nx , với mọi n □ . Ví dụ 2.2.2. Định giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc chứng minh bất ñẳng thức x 1ln x (2.3) x, 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1. Ví dụ 2.2.3. Định lý giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc thiết lập bất ñẳng thức sau ñây a  ab 1 b với 0  1 và a,b là hai số thực dương .  1 , (2.5) Ví dụ 2.2.4 . Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng tỏ 1  1x  x là hàm tăng, trong khi 1  1 1 x  x là một hàm giảm với x 0 Ví dụ 2.2.5. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng trong việc ñể thiết lập công thức (2.6) b  với  0 và b 0 1 b x dx  0 1 Ví dụ 2.2.6. Cho f là một hàm xác ñịnh trên  a,b  và giả sử f '  c  tồn tại với c   a,b  nào ñó. Cho g khả vi trên khoảng chứa f (c h) sử g liên tục tại f  c . Khi ñó g o ' f khả vi tại c và với h ñủ nhỏ và giả g o f  '  c g 'f 'c.  c  f Ví dụ 2.2.7. Định lý giá trị trung bình cũng có thể ñược dùng trong việc giới thiệu một họ vô hạn các trung bình, như là trung bình Stolarsky. Định nghĩa f x x , trong ñó  là một tham số thực. Áp dụng ñịnh lý  giá trị trung bình ñối với f trên khoảng  x, y  . Tồn tại một ñiểm  với x ( phụ thuộc vào x, y y và  ) sao cho f '  x, y  f x f y  x 1  y 1  x   y x, y   . (x y)  Lưu ý rằng ta sử dụng  x, y thay vì  ñể nhấn mạnh sự phụ thuộc của   vào x, y và  .Từ ñiều này, ta có ñược một họ vô hạn các trung bình bằng cách thay ñổi tham số  .Các trung bình này ñược biết là trung bình Stolarsky . Nếu  1, thì ta có trung bình hình học:  1 (x, y)   xy; Nếu  2 thì ta có trung bình số học x y :  x, y  2 Nếu  0 , thì ta có trung bình lôgarit : lim 0 Nếu  1, thì ta có trung bình identric : ; 2 x, y   x y ln x ln y 1 x, y  y lim   ; y yx .   Dể dàng mở rộng ñịnh nghĩa về trung bình số học và trung bình hình học 1   e 1 x ñối với n số thực dương, lần lượt là x1 x2 ... Ax1 , ,...xn , G x1 , ,...x  . n x2 xn n x1 , x2 ,...xn n  x2 2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Trong mục này, chúng ta minh họa một phương trình hàm xuất hiện từ ñịnh lý giá trị trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phương trình hàm này và các suy rộng khác nhau của nó. Định nghĩa 2.3.1. Với các số thực phân biệt x1 , x2 ,..., xn , tỉ sai phân của hàm f: □ □ ñược ñịnh nghĩa là f  x1 , ,..., xn x2  Định lý 2.3.1. Các hàm , f  x1 f x2 ,  n 2 . f  x1 , x2 ,..., xn1 f  x2 , x3 ,..., xn  với ,  f h: □ x1 xn □ thỏa mãn phương trình hàm f  x, y h x y , x y , f x ax2 bx c khi và chỉ khi thực tùy ý. Hệ quả 2.3.1. Hàm f: □ (2.7) và h  b trong ñó a, b, c là các số xax □ thỏa mãn phương trình hàm f x  f y x y f ' y  x , x y ,    2  khi và chỉ khi f x ax2 bx c , với a,b, c là các hằng số thực tùy ý. Định lý 2.3.2. Nếu ña thức bậc hai f x ax2 bx c , với nghiệm của phương trình hàm f x f x h f 'x  0 1 h   h  ñược giả sử với mọi x □ , h □ \{0} thì   1  a 0 , là một (2.8) . Đảo lại, nếu một hàm f thỏa 2 mãn phương trình hàm ở trên với   1 thì nghiệm duy nhất là một ña thức có 2 bậc nhiều nhất bằng hai. Định lý 2.3.3. Với các tham số f , g, h : □ thỏa mãn s , t các thực hàm □ f x g y  (2.9) h  sx ty  x y với x, y □ x khi và chỉ khi mọi y , ax b  ax b  ax b   2  tx ax f x  b nÕu s 0 t nÕu s 0 t 0 ,    A tx  b nÕu nÕu  t    x b nÕu s t 0 ay b  g y  ty2 ay   t    y b tùy ý víi  a trong ñó A: □ ( 2.10) nÕu s 0 t nÕu s 0 t 0 , nÕu s 0 , t nÕu 0 (2.11) nÕu s t 0 s t 0 c nÕu s2 t 2 h(0) a a  h y  y  (c a    b)t A y      y  y s t 0 nÕu s2 t 2 ay b  ay b  b  A  ty  s 0 , t 0 nÕ s 0 t u nÕu s 0 t 0 , nÕ s 0 , t u 0 nÕ u s t 0 (2.12) nÕu s t 0 y nÕu s2 t 2 , □ là một hàm cộng tính a,b, c,,  là các hằng số thực tùy và ý. Định lý 2.3.4. Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm f [x, y, z] h(x y z) (2.13) thì f là một ña thức có bậc nhiều nhất là ba. Năm 1992 Bailey ñặt ra câu hỏi có hay không mỗi hàm liên tục ( hoặc khả vi) f thỏa mãn phương trình hàm f  x1 , x2 ,...xn g(x1 x2 ... xn ) (2.14) là một ña thức có bậc nhiều nhất n . Sử dụng một số kỹ thuật sơ cấp, Kannappan và Sahoo (1995) ñã giải bài toán Bailey. Định lý sau ñây là lời giải với n 3 . Định lý 2.3.5. Cho f thỏa mãn phương trình hàm (2.15) f  x1 , x2 , x3 g(x1 x2 x3 ) với mọi x1 , x2 , x3 □ mà x1 x2 , x2 x3 và x1 x3 . Khi ñó f là một ña thức có bậc nhiều nhất ba và g là tuyến tính. Bổ ñề 2.3.1. Cho S S ) và cho là tập con hữu hạn của □ và ñối xứng qua 0 ( nghĩa là, f , g : □ là các hàm thỏa mãn phương trình hàm □ f (x)  với mọi S x, y □ f ( y) (x y)g(x y) \ S . Khi ñó f (x) ax2 bx c, với mọi x, y □ \S và Định lý 2.3.6. Cho x1 , x 2 , ..., xn tuyến tính . (2.16) g( y) ay b y □ , trong ñó (2.17) a,b, c là các hằng số nào ñó. f , g : □ thỏa mãn phương trình hàm (2.14) với □ phân biệt. Khi ñó f là một ña thức có bậc nhiều nhất n và g là