I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
L NH QUÝNH
ÀNH LÞ IM BT ËNG CÕA NH X NÛA TÜA CO
SUY RËNG V ÙNG DÖNG
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
L NH QUÝNH
ÀNH LÞ IM BT ËNG CÕA NH X NÛA TÜA CO
SUY RËNG V ÙNG DÖNG
Ng nh: TON GII TCH
M¢ sè: 8460102
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc
TS. BÒI TH HÒNG
Th¡i Nguy¶n - 2019
Líi cam oan
Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung
thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi
sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng
tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019
Ng÷íi vi¸t luªn v«n
L¶ ¼nh Quýnh
X¡c nhªn
cõa tr÷ðng khoa To¡n
X¡c nhªn
cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc
TS. Bòi Th¸ Hòng
i
Líi c£m ìn
Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng
bi¸t ìn s¥u sc tîi TS. Bòi Th¸ Hòng, ng÷íi th¦y tªn t¼nh h÷îng d¨n
tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n
n y.
Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thº
c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúng
ki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n âng
gâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n.
B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼
vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c
b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn.
Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» tæi
trong thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019
T¡c gi£
L¶ ¼nh Quýnh
ii
Möc löc
Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng 1. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach . .
1.1. ành ngh¾a v v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Sü hëi tö trong khæng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Khæng gian metric ¦y õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ii
iv
1
3
3
4
6
6
Ch÷ìng 2. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy
rëng v ùng döng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co suy rëng. . . . . . . . . . .
2.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng . . . . . .
2.5. Ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
21
25
31
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt
N
N∗
R
R+
C
{xn }
∅
A∪B
A×B
(X, d)
O(x; ∞)
B(S)
2
tªp c¡c sè tü nhi¶n
tªp c¡c sè tü nhi¶n kh¡c khæng
tªp c¡c sè thüc
tªp sè thüc khæng ¥m
tªp c¡c sè phùc
d¢y sè
tªp réng
hñp cõa hai tªp hñp A v B
t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v B
khæng gian metric
quÿ ¤o cõa ¡nh x¤ T t¤i iºm x
tªp t§t c£ c¡c h m thüc bà ch°n tr¶n S vîi chu©n supremum
k¸t thóc chùng minh
iv
Mð ¦u
Lþ thuy¸t iºm b§t ëng v ùng döng l l¾nh vüc nghi¶n cùu h§p d¨n
cõa to¡n håc hi»n ¤i. ¥y l l¾nh vüc ¢ v ang thu hót ÷ñc sü quan
t¥m cõa r§t nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc. Lþ thuy¸t iºm b§t
ëng l mët cæng cö quan trång º nghi¶n cùu c¡c hi»n t÷ñng phi tuy¸n
t½nh. Nâ câ nhi·u ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡n
håc nh÷ sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi, t½ch ph¥n, h» ph÷ìng
tr¼nh tuy¸n t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m, quÿ ¤o âng cõa h» ëng lüc, ...
Hìn núa, nâ cán câ nhi·u ùng döng trong c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷
khoa håc m¡y t½nh, lþ thuy¸t i·u khiºn, lþ thuy¸t trá chìi, vªt lþ to¡n,
sinh håc, kinh t¸, ... Sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng
câ thº nâi bt nguçn tø nhúng ùng döng rëng r¢i cõa nâ.
Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach l trung t¥m cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng
tr¶n khæng gian metric. Sü ra íi cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach còng
vîi ùng döng cõa nâ ¢ mð ra sü ph¡t triºn mîi cõa mët lþ thuy¸t iºm
b§t ëng metric. Lþ thuy¸t iºm b§t ëng metric ph¡t triºn chõ y¸u theo
ba v§n · sau: Mð rëng c¡c i·u ki»n co cho c¡c ¡nh x¤; mð rëng c¡c
ành lþ iºm b§t ëng ¢ bi¸t l¶n c¡c khæng gian câ c§u tróc t÷ìng tü
khæng gian metric; v t¼m c¡c ùng döng cõa chóng. èi vîi v§n · mð
rëng i·u ki»n co cõa ¡nh x¤, chóng ta ¢ bi¸t ÷ñc nhúng lîp ¡nh x¤
co ti¶u biºu ÷ñc kº ¸n nh÷ cõa Pant- Singh-Mishra [3], Popescu [5],
Mot- Perusel [6], Rhoades [7], Singh- Mishra [8], Suzuki [9], ... N«m 1974,
Ciric [1] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co tr¶n
khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. N«m 2015, Kumam- DungSitthithakerngkiet [2] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤
1
tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. K¸t qu£
n y l mð rëng k¸t qu£ cõa Ciric [1]. N«m 2017, Pant [4] ¢ chùng minh
ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian
metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. K¸t qu£ n y l mð rëng c¡c k¸t qu£ cõa
Ciric [1] v Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2].
Möc ½ch cõa luªn v«n l giîi thi»u l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa
c¡c t¡c gi£ Ciric [1], Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] v Pant [4] v·
ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co, tüa co suy rëng v nûa tüa co
suy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o.
Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v
t i li»u tham kh£o.
Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· khæng gian metric v nguy¶n
lþ ¡nh x¤ co Banach. Ngo i ra chóng tæi cán tr¼nh b y mët sè mð rëng ð
d¤ng ìn gi£n cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach.
Ch÷ìng 2 d nh cho vi»c tr¼nh b y kh¡i ni»m khæng gian metric ¦y
õ theo quÿ ¤o v mët sè ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co, tüa
co suy rëng v nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric ¦y õ theo
quÿ ¤o. Ngo i ra, mët ùng döng v o b i to¡n quy ho¤ch ëng công ÷ñc
tr¼nh b y trong ch÷ìng n y.
2
Ch֓ng 1
ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤
co Banach
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· khæng gian
metric v ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian
metric ¦y õ v mët sè bi¸n thº cõa nâ.
1.1. ành ngh¾a v v½ dö
ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l tªp hñp kh¡c réng. H m d : X × X → R
÷ñc gåi l metric tr¶n X n¸u thäa m¢n
(i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
(ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X.
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X.
Khi â c°p (X, d) gåi l khæng gian metric.
V½ dö 1.1.2. Tr¶n C[0,1], x²t h m sè d : C[0,1] × C[0,1] → R bði
1
Z
|x(t) − y(t)|dt,
d(x, y) =
0
vîi måi x, y ∈ C[0,1].
Ta câ
Z
d(x, y) =
1
|x(t) − y(t)|dt ≥ 0,
0
Gi£ sû
Z
d(x, y) =
vîi måi x, y ∈ C[0,1].
1
|x(t) − y(t)|dt = 0.
0
3
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi
x(t) = y(t),
vîi måi t ∈ [0, 1].
i·u n y chùng tä x = y. M°t kh¡c, ta l¤i câ
1
Z
|x(t) − y(t)|dt
d(x, y) =
0
1
Z
|x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|dt
Z 1
Z 1
≤
|x(t) − z(t)|dt +
|z(t) − y(t)|dt
=
0
0
0
= d(x, z) + d(z, y).
vîi måi x, y, z ∈ C[0,1]. Vªy trong (C[0,1], d) l khæng gian metric.
1.2. Sü hëi tö trong khæng gian metric
ành ngh¾a 1.2.1. Cho (X, d) l khæng gian metric, {xn} l mët d¢y c¡c
ph¦n tû cõa X , ta nâi {xn} hëi tö ¸n z ∈ X n¸u
lim d(xn , z) = 0.
n→∞
Ta k½ hi»u n→∞
lim xn = z ho°c xn → z khi n → ∞.
ành lþ 1.2.2. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric. Khi â
(i) Giîi h¤n cõa mët d¢y (n¸u câ) l duy nh§t.
(ii) N¸u n→∞
lim xn = a; lim yn = b th¼ lim d(xn , yn ) = d(a, b).
n→∞
n→∞
Chùng minh.
(i) Trong X gi£ sû n→∞
lim xn = a; lim yn = b . Ta câ
n→∞
d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b)
vîi måi n.
Cho n → ∞ ta thu ÷ñc d(a, b) = 0. i·u n y k²o theo a = b.
(ii) Vîi måi n ta ·u câ
d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b).
4
Suy ra
d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).
T÷ìng tü ta công câ
d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).
K¸t hñp hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc
|d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).
Theo gi£ thi¸t, n→∞
lim d(xn , a) = lim d(yn , b) = 0. Tø â suy ra
n→∞
lim d(xn , yn ) = d(a, b).
n→∞
ành lþ ÷ñc chùng minh.
V½ dö 1.2.3. Cho X = R ho°c C vîi metric d(x, y) = |x − y|, ta câ:
lim xn = a ⇔ lim |xn − a| = 0.
n→∞
n→∞
(k) ∞
n
V½ dö 1.2.4. Cho d¢y {x(k) = (x(k)
1 , ..., xn )}k=1 trong khæng gian R vîi
(0)
kho£ng c¡ch Euclide v x(0) = (x(0)
1 , ..., xn ) ∈ R. Khi â
(k)
lim x
k→∞
=x
(0)
n
X
1
(k)
(0)
⇔ lim (
|xi − xi |2 ) 2 = 0
k→∞
i=1
vîi måi i = 1, ..., n.
Ta th÷íng gåi sü hëi tö trong khæng gian Rn l sü hëi tö theo tåa ë.
(k)
(0)
⇔ lim xi = xi ,
k→∞
L
V½ dö 1.2.5. Trong khæng gian C[a,b]
, d¢y h m sè {xn }∞
n=1 hëi tö ¸n h m
sè x0 ∈ C[a,b] câ ngh¾a l
Zb
d(xn , x0 ) =
|xn (t) − x0 (t)|dt → 0.
a
Sü hëi tö n y gåi l hëi tö trung b¼nh.
5
1.3. Khæng gian metric ¦y õ
ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric. D¢y {xn} c¡c ph¦n
tû cõa X ÷ñc gåi l d¢y Cauchy (cì b£n ) n¸u m,n→∞
lim d(xm , xn ) = 0.
ành ngh¾a 1.3.2. Khæng gian metric X ÷ñc gåi l khæng gian metric
¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy c¡c ph¦n tû cõa X ·u hëi tö trong nâ.
V½ dö 1.3.3. R, C vîi metric tü nhi¶n l c¡c khæng gian metric ¦y õ.
V½ dö 1.3.4. Rn vîi metric Euclide l khæng gian metric ¦y õ.
(k)
Gi£ sû {x(k) = (x(k)
1 , ..., xn )}, k = 1, 2, .... l mët d¢y Cauchy
trong Rn. Khi â m,k→∞
lim d(x(k) , x(m) ) = 0, tùc l
Chùng minh.
v
u n
uX
xi (k) − xi (m) 2 = 0.
lim t
m,k→∞
i=1
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi
(k)
(m)
lim xi − xi = 0
m,k→∞
vîi måi i ∈ {1, 2, ..., n}.
Nh÷ vªy, vîi méi i ∈ {1, 2, ..., n}, d¢y {x(k)
i } l mët d¢y Cauchy trong
(0)
(0)
(0)
R n¶n nâ s³ hëi tö v· mët ph¦n tû xi ∈ R. °t x(0) = (x1 , ..., xn ).
Khi â x(0) ∈ Rn. V¼ sü hëi tö trong Rn l hëi tö theo tåa ë n¶n ta câ
lim x(k) = x(0) . Vªy Rn l ¦y õ.
k→∞
1.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach
ành ngh¾a 1.4.1. iºm x0 ∈ X ÷ñc gåi l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤
T :X→X
n¸u T x0 = x0.
ành lþ d÷îi ¥y ch½nh l nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co
Banach (1922).
6
ành lþ 1.4.2. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric ¦y õ v ¡nh x¤
T :X→X
thäa m¢n i·u ki»n co sau
d(T x, T y) ≤ rd(x, y),
trong â
r ∈ [0, 1) l h¬ng sè. Khi â T
Hìn núa, vîi méi
vîi måi
x, y ∈ X,
câ iºm b§t ëng duy nh§t
x∗ ∈ X.
x ∈ X, lim T n x = x∗ .
n→∞
L§y x0 ∈ X cè ành. Ta x¥y düng d¢y {xn}n≥1 bði cæng
thùc xn = T xn−1 vîi måi n ≥ 1. Ta câ
Chùng minh.
d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) ≤ rd(x0 , x1 ).
d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ rd(x1 , x2 ) ≤ r2 d(x0 , x1 ).
B¬ng quy n¤p, ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc
d(xn , xn+1 ) ≤ rn d(x0 , x1 )
vîi måi n ≥ 1.
X²t
d(xn , xn+p ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+p−1 , xn+p )
≤ rn d(x0 , x1 ) + rn+1 d(x0 , x1 ) + ... + rn+p−1 d(x0 , x1 )
≤ (rn + rn+1 + ... + rn+p−1 )d(x0 , x1 )
rn
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
≤
1−r
Tø â suy ra n→∞
lim d(xn , xn+p ) = 0 vîi måi p.
Vªy d¢y {xn} l d¢y Cauchy trong X . V¼ X ¦y õ n¶n tçn t¤i mët ph¦n
tû x∗ ∈ X sao cho n→∞
lim xn = x∗ . V¼ T li¶n töc n¶n
x∗ = lim xn+1 = lim T xn = T ( lim xn ) = T x∗ .
n→∞
n→∞
n→∞
Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . º k¸t thóc ta s³ chùng minh x∗
l duy nh§t. Thªt vªy, gi£ sû y∗ l mët iºm b§t ëng cõa T . Khi â ta
câ
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ rd(x∗ , y ∗ ).
Suy ra d(x∗, y∗) = 0 hay x∗ = y∗.
7
ành lþ 1.4.3. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric compact v ¡nh x¤
T :X→X
thäa m¢n i·u co sau
d(T x, T y) < d(x, y),
Khi â
T
vîi måi
x, y ∈ X, x 6= y.
x∗ ∈ X.
câ iºm b§t ëng duy nh§t
Vîi méi x0 ∈ X , ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc
vîi måi n ≥ 1. °t dn = d(xn, xn+1). Khi â
Chùng minh.
xn = T n x0 ,
dn+1 = d(xn+1 , xn+2 ) = d(T xn , T xn+1 ) ≤ d(xn , xn+1 ) = dn .
Vªy d¢y {dn} ìn i»u gi£m v bà ch°n d÷îi bði 0 n¶n tçn t¤i d∗ ∈ R sao
cho n→∞
lim dn = d∗ . M°t kh¡c, v¼ X l compact n¶n tçn t¤i d¢y con {xn }
cõa {xn} v x∗ ∈ X sao cho i→∞
lim xn = x∗ . Khi â ta câ
i
i
d(T xni , T x∗ ) ≤ d(xni , x∗ ), i = 1, 2, ....
V¼ i→∞
lim d(xn , x∗ ) = 0 n¶n lim d(T xn , T x∗ ) = 0. i·u n y k²o theo
i→∞
i
i
lim T xni = T x∗
n→∞
v
lim T 2 xni = T 2 x∗ .
n→∞
Tø â suy ra
lim d(T xni , xni ) = d(T x∗ , x∗ ),
i→∞
lim d(T 2 xni , T xni ) = d(T 2 x∗ , T x∗ ).
i→∞
i·u n y chùng tä d(T xn , xn ) = dn → d∗ = d(T x∗, x∗)(i → ∞).
Ta s³ chùng minh r¬ng T x∗ = x∗. Gi£ sû T x∗ 6= x∗. Khi â d∗ 6= 0. Hìn
núa, ta l¤i câ
i
i
i
d∗ = d(T x∗ , x∗ ) > d(T 2 x∗ , T x∗ )
= lim d(T 2 xni , T xni )
i→∞
= lim dni +1
i→∞
∗
=d .
i·u n y m¥u thu¨n. Vªy T x∗ = x∗ v x∗ l iºm b§t ëng cõa T . T½nh
duy nh§t iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l hiºn nhi¶n.
8
ành lþ 1.4.4. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric ¦y õ v ¡nh x¤
T :X→X
thäa m¢n i·u ki»n co sau
d(T x, T y) ≤ r(d(T x, x) + d(T y, y)),
trong â
r ∈ [0, 12 ) l h¬ng sè. Khi â T
Hìn núa, vîi méi
x ∈ X,
ta câ
vîi måi
x, y ∈ X,
câ iºm b§t ëng duy nh§t
x∗ ∈ X .
lim T n x = x∗ .
n→∞
Vîi méi x0 ∈ X , ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc
xn = T n x0 vîi måi n ≥ 1. Khi â ta câ
Chùng minh.
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ r(d(T xn , xn ) + d(T xn−1 , xn−1 ))
= r(d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn−1 )).
Tø â suy ra
d(xn+1 , xn ) ≤
r
d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ),
1−r
ð ¥y h = 1 −r r .
Vîi m > n ta câ
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
≤
1−h
Suy ra n,m→∞
lim d(xn , xm ) = 0. Vªy {xn } l d¢y Cauchy trong X . V¼ X ¦y
õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho n→∞
lim xn = x∗ . M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc
d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ )
≤ r(d(T xn , xn ) + d(T x∗ , x∗ )) + d(xn+1 , x∗ ).
Suy ra
d(T x∗ , x∗ ) ≤
1
(rd(xn+1 , xn ) + d(xn+1 , x∗ )) → 0
1−r
9
khi n → ∞.
i·u n y k²o theo d(T x∗, x∗) = 0. Tùc l T x∗ = x∗. Vªy x∗ l mët iºm
b§t ëng cõa T .
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ X sao cho T y∗ = y∗. Khi â ta câ
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r(d(x∗ , x∗ ) + d(y ∗ , y ∗ )) = 0.
Suy ra x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa duy nh§t cõa T .
ành lþ 1.4.5. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric ¦y õ v ¡nh x¤
T :X→X
thäa m¢n i·u ki»n co sau
d(T x, T y) ≤ r(d(T x, y) + d(T y, x)),
trong â
r ∈ [0, 12 ) l h¬ng sè. Khi â T
Hìn núa vîi méi
x, y ∈ X,
câ iºm b§t ëng duy nh§t
x∗ ∈ X .
x ∈ X , lim T n x = x∗
n→∞
Vîi x0 ∈ X , ta x¥y düng d¢y
vîi måi n ≥ 1. Khi â ta câ
Chùng minh.
xn = T n x0 ,
vîi måi
{xn } ⊆ X
bði cæng thùc
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ r(d(T xn , xn−1 ) + d(T xn−1 , xn ))
= rd(xn+1 , xn−1 )
≤ r(d(xn+1 , xn ) + d(xn−1 , xn ))
Tø â suy ra
d(xn+1 , xn ) ≤
r
d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ),
1−r
ð ¥y h = 1 −r r .
Vîi m > n ta câ
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
≤
1−h
10
Suy ra n,m→∞
lim d(xn , xm ) = 0. Vªy {xn } l d¢y Cauchy trong X . V¼ X l
¦y õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho n→∞
lim xn = x∗ . M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc
d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ )
≤ r(d(T xn , x∗ ) + d(T x∗ , xn )) + d(xn+1 , x∗ )
≤ r(d(xn+1 , x∗ ) + d(T x∗ , xn )) + d(xn+1 , x∗ ).
Suy ra
d(T x∗ , x∗ ) ≤
1
(r(d(T xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ )) + d(xn+1 , x∗ )).
1−r
Cho n → ∞ ta thu ÷ñc d(T x∗, x∗) = 0. Tùc l T x∗ = x∗. Vªy x∗ l mët
iºm b§t ëng cõa T .
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ X sao cho T y∗ = y∗ , khi â ta câ
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ )
≤ r(d(T x∗ , y ∗ ) + d(T y ∗ , x∗ ))
= 2rd(x∗ , y ∗ ).
V¼ r ∈ [0, 21 ) n¶n d(x∗, y∗) = 0. i·u n y k²o theo x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm
b§t ëng duy nh§t cõa T .
ành lþ 1.4.6. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric ¦y õ v ¡nh x¤
T :X→X
thäa m¢n i·u ki»n co sau
d(T x, T y) ≤ r max{d(T x, x); d(T y, y)}
trong â
r ∈ [0, 1) l h¬ng sè. Khi â T
Hìn núa, vîi méi
x ∈ X,
ta câ
vîi måi
x, y ∈ X,
câ iºm b§t ëng duy nh§t
x∗ ∈ X .
lim T n x = x∗ .
n→∞
Vîi méi x0 ∈ X , ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc
xn = T n x0 vîi måi n ≥ 1. N¸u tçn t¤i n ∈ N sao cho xn+1 = xn th¼ xn
ch½nh l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T. Gi£ sû xn+1 6= xn vîi måi n ∈ N.
Chùng minh.
11
Khi â ta câ
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ r max{d(T xn , xn ); d(T xn−1 , xn−1 )}
= r max{d(xn+1 , xn ); d(xn , xn−1 )}
= rd(xn , xn−1 ).
B¬ng quy n¤p ta suy ra
d(xn+1 , xn ) ≤ rn d(x1 , x0 ),
vîi måi n ∈ N.
Vîi m > n ta câ
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (rn + rn+1 + ... + rm−1 )d(x1 , x0 )
rn
≤
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
1−r
Suy ra n,m→∞
lim d(xn , xm ) = 0. Vªy {xn } l d¢y Cauchy trong X . V¼ X ¦y
õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho n→∞
lim xn = x∗ . M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc
d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ )
≤ r max{d(T xn , xn ); d(T x∗ , x∗ )} + d(xn+1 , x∗ )
= r max{d(xn+1 , xn ); d(T x∗ , x∗ )} + d(xn+1 , x∗ ).
Cho n → ∞, ta thu ÷ñc
d(T x∗ , x∗ ) ≤ rd(T x∗ , x∗ )
i·u n y k²o theo d(T x∗, x∗) = 0. Tùc l T x∗ = x∗. Vªy x∗ l mët iºm
b§t ëng cõa T .
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ X sao cho T y∗ = y∗. Khi â ta câ
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r max{d(T x∗ , x∗ ); d(T y ∗ , y ∗ )} = 0.
Suy ra x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa duy nh§t cõa T .
12
ành lþ 1.4.7. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric ¦y õ v ¡nh x¤
T :X→X
thäa m¢n i·u ki»n co sau
d(T x, T y) ≤ r max{d(T x, y); d(T y, x)}
trong â
r ∈ [0, 21 ) l h¬ng sè. Khi â T
Hìn núa vîi méi
x ∈ X,
ta câ
vîi måi
x, y ∈ X,
câ iºm b§t ëng duy nh§t
x∗ ∈ X .
lim T n x = x∗ .
n→∞
Vîi méi x0 ∈ X , ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði cæng thùc
xn = T n x0 vîi måi n ≥ 1. Khi â ta câ
Chùng minh.
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ r max{d(T xn , xn−1 ); d(T xn−1 , xn )}
= rd(xn−1 , xn+1 )
≤ r(d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )).
Tø â suy ra
d(xn+1 , xn ) ≤
r
d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ),
1−r
ð ¥y h = 1 −r r .
B¬ng quy n¤p ta suy ra
d(xn+1 , xn ) ≤ hn d(x1 , x0 ),
vîi måi n ∈ N.
Vîi m > n ta câ
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
≤
1−h
Suy ra n,m→∞
lim d(xn , xm ) = 0. Vªy {xn } l d¢y Cauchy trong X . V¼ X ¦y
õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho n→∞
lim xn = x∗ . M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc
d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ )
≤ r max{d(T xn , x∗ ); d(T x∗ , xn )} + d(xn+1 , x∗ )
= r max{d(xn+1 , x∗ ); d(T x∗ , xn )} + d(xn+1 , x∗ ).
13
Cho n → ∞, ta thu ÷ñc
d(T x∗ , x∗ ) ≤ rd(T x∗ , x∗ )
i·u n y k²o theo d(T x∗, x∗) = 0. Tùc l T x∗ = x∗. Vªy x∗ l mët iºm
b§t ëng cõa T .
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ X sao cho T y∗ = y∗. Khi â ta câ
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r max{d(T x∗ , y ∗ ); d(x∗ , T y ∗ )} = rd(x∗ , y ∗ ).
Suy ra x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa duy nh§t cõa T .
14
- Xem thêm -
.PDF 
41 
11 
95 
