Tài liệu định lí điểm bất động trên không gian kiểu metric

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ------------------------------------------ OUTHONG PHONEPASEUTH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ------------------------------------------ OUTHONG PHONEPASEUTH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU METRIC Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Outhong PHONEPASEUTH i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 06 năm 2018 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục luận văn 2 Chƣơng 1. KHÔNG GIAN KIỂU METRIC 3 1.1. Không gian metric 3 1.2. Không gian kiểu metric 4 1.3. Định lý Banach trong không gian kiểu metric 11 Chƣơng 2. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 17 KIỂU METRIC 2.1. Điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact theo dãy 17 2.2. Điểm bất động trong không gian kiểu metric sắp thứ tự 28 2.3. Điểm bất động trong không gian metric nón 31 2.4. Điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ 33 2.5. Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân 37 40 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như đã biết, nguyên lí về ánh xạ co đã được phát biểu và chứng minh trong công trình của Banach năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích hàm cổ điển. Về sau các nhà toán học đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ trên các không gian khác nhau, đặc biệt là các không gian kiểu metric. Bởi vậy nguyên lý ánh xạ co Banach được xem là khởi nguồn cho các nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong các không gian kiểu metric. Ý nghĩa của nó nằm ở chỗ nó có thể được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học. Các kết quả nghiên cứu về điểm bất động cũng như điểm bất động chung của các ánh xạ thỏa mãn điều kiện co metric đã biết thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong những năm gần đây, một số tác giả đã đạt được nhiều kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung đối với các lớp ánh xạ khác nhau trên các không gian metric tổng quát như Bakhtin, Czerwik, Khamsi, Hussain, Edelstein, Suzuki… Ở đây chúng tôi sẽ tập trung vào một trong những không gian đó. Cụ thể hơn, đó là không gian kiểu metric, hay còn gọi là không gian b metric Do đó tôi chọn đề tài: “Định lý điểm bất động trên không gian kiểu metric “. Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không gian kiểu metric. 1 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả về không gian metric, không gian kiểu metric và một số định lý điểm bất động trên các không gian đó, bao gồm điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động trong không gian kiểu metric được sắp thứ tự, điểm bất động trong không gian metric nón, điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ. Cuối cùng là áp dụng kết quả đạt được vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của giải tích hàm. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4], [8] và [10], gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài kết quả về không gian metric, không gian kiểu metric và một số định lý điểm bất động trên các không gian đó. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của M. Cosentino, P. Salimi và P. Vetro về điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động trong không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động trong không gian metric nón, điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ. Cuối cùng là áp dụng kết quả đạt được vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2 CHƢƠNG 1. KHÔNG GIAN KIỂU METRIC 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp tùy ý. d : X X là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau: a ) d(x, y) 0, x, y X ; d(x, y) b ) d(x, y) d(y, x ), x, y c ) d(x, z ) d(x, y) x 0 y. X. d(y, z ), x, y, z X. Khi đó d được gọi là metric hay khoảng cách trên X . Cặp (X , d ) gọi là không gian metric. Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm, d(x, y ) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y . Sau đây là một vài tính chất của metric: Mệnh đề 1.1.2. a ) Nếu x1, x 2,..., x n X thì d(x1, x n ) b ) Với mọi x1, x 2, y1, y2 d(x1, x 2 ) d(x 2, x 3 ) ... d(x n 1, x n ). X ta có: d(x1, x 2 ) d(y1, y2 ) d(x1, y1) d(x 2, y2 ). Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (X , d ), {x n } là một dãy trong X và x X . Ta nói dãy phần tử {x n } hội tụ về phần tử x nếu lim d(x n , x ) n Khi đó ta viết lim x n n x hay x n d x. Sau đây là một vài tính chất của dãy hội tụ: 3 0. Mệnh đề 1.1.4. a ) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. b ) Nếu {x n } X , lim x n n c ) Nếu lim x n n x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x . a và lim yn n b thì lim d(x n , yn ) d(a,b). n Định nghĩa 1.1.5. Dãy {x n } trong không gian metric X gọi là dãy Cauchy nếu lim d (x m , x n ) m,n 0. Định nghĩa 1.1.6. Không gian metric X gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Côsi trong X đều hội tụ. 1.2. Không gian kiểu metric Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một tập khác rỗng và d : X (X , d ) là không gian đối xứng (còn gọi là E X [0, ). không gian) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: a ) d(x, y) 0 nếu và chỉ nếu x y; b ) d(x, y) d(y, x ) với mọi x, y X. Không gian đối xứng khác không gian metric vì không có bất đẳng thức tam giác. Tuy nhiên, nhiều khái niệm có thể được định nghĩa giống như những khái niệm trong không gian metric. Ví dụ, trong không gian đối xứng (X , d ) điểm giới hạn của dãy {x n } được định nghĩa bởi lim d(x n , x ) n Dãy {x n } 0 nếu và chỉ nếu lim x n n X được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi nguyên dương n( ) sao cho d(x m , x n ) với mọi m, n x. 0 , tồn tại một số n( ) . Không gian đối xứng (X , d ) được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi dãy Cauchy của nó hội tụ về một phần tử x 4 X. Định nghĩa 1.2.2. Cho X là một tập khác rỗng và K Hàm số d : X X 1 là số thực cho trước. [0, ) được gọi là kiểu metric (hay b và chỉ nếu với mọi x, y, z X các điều kiện sau được thỏa mãn: a ) d(x, y) 0 nếu và chỉ nếu x b ) d(x, y) d(y, x ) ; c ) d(x, y) K d(x, z ) metric) nếu y; d(z, y) . Bộ ba (X, d, K ) gọi là không gian kiểu metric hay không gian b metric. 1 , ta có (X, d,1) là không gian metric. Khi K Chú ý rằng không gian kiểu metric bao hàm trong lớp các không gian đối xứng. Vì vậy, các khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy và không gian đầy đủ được định nghĩa như trong không gian đối xứng. Không gian kiểu metric (X, d, K ) gọi là compact theo dãy nếu với mọi dãy {x n } trong X , đều tồn tại dãy con {x n } của {x n } , hội tụ đến một điểm x X. k Sau đây là một vài ví dụ về không gian kiểu metric. [0,1] và d : X Ví dụ 1.2.3. Cho X d(x, y ) (x y )2 , với mọi x, y X [0, ) được xác định bởi X . Khi đó (X, d,2) là một không gian kiểu metric . Ví dụ 1.2.4. Cho Cb (X ) || f || 3 {f : X , || f || d(f , g ) 3 } và x X || f 3 || . Hàm d : Cb (X ) Cb (X ) là kiểu metric với K sup | f (x ) | || f ) xác định bởi [0, g || với mọi f , g Cb (X ) 4 , do đó (Cb (X ), d, 3 4) là không gian kiểu metric. Chú ý rằng nếu a,b là hai số thực không âm, thì (a b)3 4(a 3 b 3 ) và Điều này kéo theo 5 3 a b 3 a 3 b. d(f , g ) Ví dụ 1.2.5. Cho p X Với x, y 3 4(d(f , h) d(h, g )) với mọi f , g, h (0,1) và cho p x ( ): X, tập d(x, y ) {x n } n 1 : n 1 p | xn | x n |p . 1/ p yn | . Khi đó (X , d ) là một 21/ p. không gian kiểu metric với K X, đặt J (x, y) 0, và 1, Ví dụ 1.2.6. Giả sử (X , d ) là không gian metric. Cho 0 , và với x, y Cb (X ) . d(x, y ) . J không phải d(x, y ) metric trên X . Tuy nhiên (X , J ) là một không gian kiểu metric với K 2 1 . Thật vậy, với z J (x, y) X bất kỳ, d(x, y ) d(x, y ) [d(x, z ) d(z, y)] [d(x, z ) d(z, y)] 2 1 [J (x, z ) [d(x, z ) 2 1 d(z, y)] [d(x, z ) d(z, y) ] J (z, y)] . Bổ đề 1.2.7. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric và {x n } là dãy trong X sao cho x n x và x n y . Khi đó x 0 . Khi đó theo giả thiết x n Chứng minh. Giả sử d(x, y) xn y nên n 0 sao cho với mọi n d(x n , x ) y. 2K n0 thì và d(x n , y ) Suy ra 6 2K . x và 0 d(x, y ) K (d(x, x n ) d(x n , y )) K 2K 2K n0 . Điều này mâu thuẫn với d(x, y) với mọi n Nói chung, một hàm kiểu metric d với k 0. 1 không liên tục theo cả hai biến. Sau đây là ví dụ về một hàm kiểu metric, không liên tục. và D : X Ví dụ 1.2.8. Cho X X D(m, n) 0 nếu m D(m, n ) 1 m D(m, n) 5 nếu m, n là các số lẻ và m D(m, n) 2 tại m, n còn lại. Khi đó với mọi m, n, p n, 1 nếu m, n là các số chẵn hoặc m.n n n X , ta có D(m, p) 3(D(m, n) D(n, p)). Do đó, (X , d ) là không gian kiểu metric với k n xác định bởi 3 . Nếu x n 2n , với mỗi , thì D(2n, Nghĩa là, x n ) 1 2n , nhưng D(x 2n ,1) 0 , khi n 2 D( ,1), khi n Nói chung không gian kiểu metric không liên tục, nên ta cần bổ đề đơn giản sau đây về các dãy b hội tụ. Bổ đề 1.2.9. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric và {x k }nk 0 X . Khi đó: d(xn , x 0 ) Kd(x 0, x1) K n 1d(x n 2, x n 1) Chứng minh. Ta có 7 K n 1d(x n 1, x n ) . d(xn , x 0 ) K[d(x 0, x1) d(x1, x 2 )] Kd(x 0, x1) Kd(x1, x n ) Kd(x 0, x1) K 2[d(x1, x 2 ) d(x 2, x n )] Kd(x 0, x1) K 2d(x1, x 2 ) K 2d(x 2, x n ) … K n 1d(x n 2, x n 1) Kd(x 0, x1) K n 1d(x n 1, x n ) . Bổ đề 1.2.10. Cho {yn } là dãy trong không gian kiểu metric (X, d, K ) sao cho d(yn , yn 1) với 0 d(yn 1, yn ) . Khi đó {yn } là dãy Cauchy trong X. 1 / K nào đó và mỗi n Chứng minh. Cho m, n (1.1) n . Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác và m (c) vào bộ ba {ym , ym 1, yn },{ym 1, ym 2, yn },...,{yn 2, yn 1, yn } ta thu được d(ym , yn ) K (d(ym , ym 1) d(ym 1, yn )) Kd(ym , ym 1) K 2(d(ym 1, ym 2 ) ... Kn Kn Bây giờ từ (1.1) và K d(ym , yn ) K 2d(ym 1, ym 2 ) Kd(ym , ym 1) m 1 (d(yn 2, yn 1) Kd(ym , ym 1) d(ym 2, yn )) d(yn 1, yn )) K 2d(ym 1, ym 2 ) m 1 ... ... K n md(yn 1, yn ) . d(yn 2, yn 1) 1 suy ra (K m K2 m 1 8 ... Kn m n 1 )d(y0, y1) (1.2) K m (1 (K ) ... K m d(y0, y1 ) 1 K (K )n m 1 0 khi m )d(y0, y1) (1.3) . Cho nên {yn } là dãy Cauchy. Định nghĩa 1.2.11. Cho X là tập khác rỗng. Nếu (X , d, K ) là không gian kiểu metric và (X, ) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, thì (X, d, K, ) được gọi là không gian kiểu metric sắp thứ tự. Hai phần tử x, y X gọi là so sánh được nếu x y hoặc y x xảy ra. Cho (X , ) là tập sắp thứ tự riêng. Một ánh xạ f được gọi là bị trội hơn nếu x với mọi x fx X và trội nếu x fx với mọi x X. Định nghĩa 1.2.12. Một không gian kiểu metric sắp thứ tự (X, d, K, ) có tính chất so sánh giới hạn theo dãy nếu với mỗi dãy giảm {x n } trong X sao cho xn x X , ta có x xn . Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của không gian metric nón và khái niệm hội tụ [6]. Định nghĩa 1.2.13. Cho E là không gian Banach thực với và P là phần tử không E . Tập con P được gọi là nón sắp thứ tự nếu nó có các tính chất sau: (i ) P khác rỗng, đóng và P (ii ) 0 a,b (iii ) P ( P) và x, y P { }; ax by P; { }. Với nón đã cho P trên E đối với P bởi x E , ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận y nếu và chỉ nếu y 9 x P . Ta viết x y nếu x y và x y , và viết x chuẩn tắc nếu tồn tại K IntP . Nón P được gọi là x 1 sao cho với mọi x, y 0 Số K y nếu y x y || x || E K || y || . (1.3) 1 bé nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là hằng số chuẩn tắc của P . Sau đây ta luôn giả sử E là không gian Banach thực và P là nón sắp thứ tự trong E với IntP là quan hệ sắp thứ tự bộ phận đối với P . và Định nghĩa 1.2.14. Cho X . Giả sử rằng ánh xạ d : X X E thỏa mãn các điều kiện sau đây: d(x, y) với mọi x, y (i ) X , và d(x, y) (ii ) d(x, y) d(y, x ) với mọi x, y (iii ) d(x, y) d(x, z ) x y; X; d(z, y) , với mọi x, y, z X. Khi đó d được gọi là metric nón trên X , và (X , d ) được gọi là không gian metric nón. Định nghĩa 1.2.15. Cho {x n } là dãy trong X và x với c tồn tại n0 sao cho với mọi n {x n } được gọi là hội tụ đến lim x n n x hoặc x n x , khi n n0 ta có d(x nx m ) n0 ta có d(x n , x ) E, c , thì x và x là giới hạn của {x n } và kí hiệu là . Định nghĩa 1.2.16. Nếu với mỗi c mọi n, m X . Nếu với mỗi c E với c tồn tại n0 sao cho với c , thì {x n } được gọi là dãy Cauchy trong X . Nếu mỗi dãy Cauchy đều hội tụ trong X , thì X được gọi là không gian metric nón đầy đủ. Chú ý 1.2.17 ([6]) Cho (X , d ) là không gian metric nón đối với nón chuẩn 10 tắc P . Khi đó (i ) {x n } X hội tụ đến x (ii ) {x n } là dãy Cauchy X khi n d(x n , x ) khi n, m d(x n , x m ) . (iii ) Cho {x n } và {yn } là hai dãy trong X , x, y d(yn , y ) . Khi đó d(x n , yn ) khi n . X và d(x n , x ) d(x, y) khi n , . 1.3. Định lý Banach trong không gian kiểu metric Sau đây là định lí về điểm bất động hay còn gọi là nguyên lí ánh xạ co ([1]). Định lý 1.3.1 Giả sử (X , d ) là không gian metric đầy đủ và f : X X là ánh xạ thỏa mãn d(f (x ), f (y)) với mọi x, y kd(x, y) , k (0,1) (1.4) X sao cho f (x * ) X . Khi đó tồn tại duy nhất x * x* . Nhận xét. Ánh xạ f thỏa mãn điều kiện (1.4) còn gọi là ánh xạ co. Dễ thấy rằng khi đó f là ánh xạ liên tục. Chứng minh. Lấy x 0 Với mọi n X tùy ý . Đặt x1 f (x 0 ),... , x n f (x n 1 ) , ... 1 ta có d(xn , xn 1) d(f (x n 1), f (x n )) k 2d(x n 2, x n 1) kd(x n 1, x n ) , k ... (0,1) . k nd(x 0, x1) . (1.5) Từ đó với mọi p nguyên dương, ta có d(xn , x n p ) (k n k n 1 d(x n , x n 1) ... k ... n p 1 d(x n ) d(x 0, x 1 ) 11 , xn p ) p 1 kn 1 k d(x 0, x 1) 0, khi n . Do đó {x n } là dãy Côsi trong không gian metric đầy đủ X . Suy ra tồn tại x* x* . X sao cho lim x n n Mặt khác, ta viết (1.5) đưới dạng d(x n , f (x n )) k nd(x 0, x1) . và sử dụng tính liên tục của f ta nhận được d(x *, f (x * )) Cho n Do đó f (x * ) x * . Vậy x * là điểm bất động của f . Bây giờ giả sử y * cũng là điểm bất động của f , tức là f (y * ) d(x *, y * ) Suy ra (1 0. d(f (x * ), f (y *)) k ) d(x *, y * ) 0 kd(x *, y *) , k d(x *, y * ) x* 0 y * . Khi đó (0,1) . y * . Vậy tính duy nhất của điểm bất động được chứng minh. Định lý 1.3.2. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric đầy đủ, và f :X 1 , K X là ánh xạ sao cho với , 0 d(fx, fy) với mọi x, y d(x, y) (1.6) X . Khi đó f có điểm bất động duy nhất z , và với mỗi x 0 X, dãy {f nx 0 } hội tụ đến z . Chứng minh. Lấy x 0 X bất kì và kí hiệu yn d(yn , yn 1) với mỗi n d(fyn 1, fyn ) 1,2.... 12 f n x 0 . Khi đó d(yn 1, yn ) (1.7) Theo Bổ đề 1.2.9, {yn } là dãy Cauchy, và vì (X, d, K ) là không gian đầy đủ, nên tồn tại z X sao cho yn d(fz, z ) z khi n . Khi đó K (d(fz, fyn ) d(yn 1, z )) K ( d(z, yn ) 0 (1.8) 0 và z là điểm bất động của f . . Do đó, d(fz, z ) khi n d(yn 1, z )) Nếu z 1 là điểm bất động khác của f , thì ta có d(z, z1) d(fz, fz1) Điều này chỉ có thể xảy ra khi z d(z, z 1) . z1 . Định lý 1.3.3. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric đầy đủ. Cho f :X lim n X là ánh xạ thỏa mãn với mỗi n n tồn tại n (0,1) sao cho 0 và d ( f n x , f ny ) d(x, y) với mọi x, y n X. Khi đó f có điểm bất động duy nhất . Chứng minh. Lấy sao cho 0 tại n0 n sao cho d(x, y) với mọi x, y n0 tùy ý, g d(gx, gy) 0 khi n n , nên tồn n0 . Khi đó với mỗi n d ( f n x , f ny ) Nói cách khác, với m 1 . Vì K X khi n f m thỏa mãn d(x, y) với mọi x, y 13 X. n0 . Định lý 1.3.2 kéo theo g có điểm bất động duy nhất, gọi điểm đó là z . Khi đó f mz g z , kéo theo f m 1z f m (fz ) fz và fz là điểm bất động của f m . Vì điểm bất động của g là duy nhất, nên suy ra fz z và z là điểm bất động của f . Định lý 1.3.4. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric đầy đủ với hằng số K 1 , và giả sử f : X X thỏa mãn d(f (x ), f (y)) với mỗi x, y X , trong đó : [0, ) lim n n (d(x, y)) ) là hàm tăng và thỏa mãn [0, (t ) 0 0 . Khi đó f có điểm bất động duy nhất x * với mỗi t lim f n (x ) n x * với mỗi x X. Chứng minh. Trước tiên ta chú ý rằng giả thiết về lim (t ) t 0 do đó f là hàm liên tục. Bây giờ, cho x n sao cho ( ) 2K . Đặt g m Bây giờ chọn m f n và x m kéo theo 0, X và 0 tùy ý. Chọn n g m (x ) với mỗi m d(g m (gx ), g m (x )) d(xm 1, x m ) Do đó, lim d(x m 1, x m ) X và nm . Khi đó (d(g(x ), x) . 0. sao cho d(x m 1, x m ) 14 2K và lấy u B(x m ; ). Khi đó n d(g(u), g(x m )) (d(u, x m )) n ( ) 2K và d(g(x m ), x m ) d(x m 1, x m ) 2K . Do đó ta có d(g(u), x m ) K[d(g(u), g(x m )) K 2K 2K d(g(x m ), x m )] . B(x m; ) . Từ đó suy ra rằng nếu j, t Vì vậy g : B(x m ; ) d(xt , x j ) K[d(x t , x m ), d(x m, x j )] 2K . Điều này chứng tỏ {x m } là dãy Cauchy, vì vậy tồn tại x * lim x m m m , thì X sao cho x * . Hơn nữa tính liên tục của f kéo theo tính liên tục của g , do đó x* lim x m m lim x m m 1 lim g(x m ) m g(x * ) . Vì d(g(x * ), g(y * ) nếu x * n (d(x *, y * )) d(x *, y * ) y * , nên điều đó suy ra g có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì d(x *, g m (x )) d(g m (x * ), g m (x )) nm (d(x *, x )) 15 0 khi m ,