Tài liệu điều kiện karush kuhn tucker trong bài toán tối ưu hàm r lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ GIANG ĐIỀU KIỆN KARUSH-KUHN-TUCKER TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM r-LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ GIANG ĐIỀU KIỆN KARUSH-KUHN-TUCKER TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM r-LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn v Danh sách ký hiệu vi Danh sách hình vẽ 1 Mở đầu 2 1 Các tính chất đặc trưng của hàm r - lồi 4 1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi . . . . . . . . . 4 1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi . . . . . . . . 8 1.2 1.3 2 Đặc trưng hàm r-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Đặc trưng hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Đặc trưng hàm r - lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng khác . . . . 21 Bài toán tối ưu với hàm r-lồi 28 2.1 Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Tối ưu hàm r-lồi 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tối ưu hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ii 2.2.2 2.3 Tối ưu hàm r - lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 Biến đổi được về dạng r-lồi . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.2 Tính đủ của điều kiện Karush-Kuhn-Tucker . . . . . 55 2.3.3 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.4 Ứng dụng và nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Kết luận và Đề nghị 64 Tài liệu tham khảo 65 iii TÓM TẮT NỘI DUNG Mục đích của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-KuhnTucker của bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phương. Đồng thời luận văn cũng trình bày điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker của bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là các hàm r-lồi. Bên cạnh đó luận văn còn trình bày các tính chất và các đặc trưng của hàm r-lồi. Luận văn gồm 2 chương Chương 1: Các tính chất đặc trưng của hàm r-lồi 1.1 Một số tính chất của hàm lồi 1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi Mục này trình bày định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm lồi, có mục đích tham chiếu với định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm r-lồi trong mục sau. 1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi Mục này trình bày định nghĩa, phát biểu và chứng minh các tính chất giải tích và hình học cơ bản của hàm r-lồi. 1.2 Đặc trưng của hàm r-lồi 1.2.1 Đặc trưng của hàm lồi Mục này trình bày đặc trưng cơ bản của hàm lồi, có mục đích tham chiếu với đặc trưng cơ bản của hàm r-lồi trong mục sau. 1.2.2 Đặc trưng của hàm r-lồi iv Mục này trình bày tính chất cơ bản của hàm r-lồi và một số chứng minh. 1.3 Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng khác Mục này trình bày mối liên hệ giữa lớp hàm r-lồi với các lớp hàm lồi suy rộng khác (hàm tựa lồi, hàm lồi bất biến, ...). Chương 2: Bài toán tối ưu với hàm r-lồi 2.1 Tối ưu hàm r-lồi khả vi Mục này trình bày bài toán tối ưu hàm r-lồi khả vi. Chứng minh điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán quy hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm hạn chế là r-lồi khả vi. 2.2 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương Mục này trình bày bài toán tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương. Chứng minh điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker. v Lời cảm ơn Sau một thời gian nghiên cứu đề tài, luận văn của tôi đến nay đã được hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Tạ Duy Phượng đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong bộ môn Toán ứng dụng nói riêng và khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung đã cho tôi những kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho tôi trong thời gian qua. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Thị Giang Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên vi Danh sách ký hiệu Rn Không gian Euclid n-chiều. C1 Tập hợp các hàm khả vi cấp 1. x∈C x thuộc C (x là một phần tử của tập C). x∈ /C x không thuộc C (x không là một phần tử của tập C). ∅ Tập rỗng. C ∩D Giao của hai tập hợp C và D. C ∪D Hợp của hai tập hợp C và D. C⊂D Tập C là tập con của tập D. C⊆D Tập C là tập con (có thể bằng) của tập D. ∇f (x) Véctơ gradient của hàm f tại điểm x. ∇2 f Ma trận Hessian của hàm f tại điểm x. [a, b] Đoạn thẳng nối hai điểm (véctơ) a và b. kzk Chuẩn Euclid của véc tơ z. epif Tập trên đồ thị của hàm f . x1 , x2 , ... Liệt kê các véctơ có cùng số chiều (dùng chỉ số trên). ω1 , ω2 , ... Tọa độ của điểm hay thành phần của véctơ ω (dùng chỉ số dưới). hx, yi, xT y Tích vô hướng của hai véctơ x và y (hai véctơ có cùng số chiều). ∂f (x) Dưới vi phân của hàm f tại điểm x. f 0 (x) Đạo hàm cấp 1 của hàm f tại x. f 00 (x) Đạo hàm cấp 2 của hàm f tại x. coneE Bao nón của tập E. 1 Danh sách hình vẽ 1.1 Một số tập lồi trong R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Một số tập không lồi trong R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Hàm lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục) . . . . . . . . . . . 32 2.2 Đồ thị hàm số φ(x) = x3 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 Mở đầu Giải tích lồi là sự phát triển tiếp theo trong lí thuyết tối ưu khi qui hoạch tuyến tính đã được hoàn thiện. Hàm lồi là mở rộng của hàm tuyến tính và nó cho phép nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu lồi, rộng hơn nhiều và bao hàm lớp bài toán tối ưu tuyến tính. Vì vậy Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng toán học vào các bài toán tối ưu trong thực tế. Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là lồi. Do đó cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi. Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, ... là các nhà toán học có đóng góp lớn trong nghiên cứu các lớp hàm lồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi, ...). Các nhà toán học B. Martos (1966, [11]), M. Avriel (1972-1973, [5], [6]) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp hàm r-lồi, là một dạng mở rộng của lớp hàm lồi và có nhiều tính chất tốt khi áp dụng vào giải tích và bài toán tối ưu. Hàm số f : [a; b] −→ R được gọi là hàm lồi (convex) trên khoảng đóng [a, b] nếu với mọi x1 , x2 ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ). Nếu dấu bất đẳng thức ngược lại thì f được gọi là hàm lõm (concave). Định nghĩa trên có thể mở rộng thành khái niệm r-lồi (xem [5]). Hàm lồi (theo nghĩa thông thường) là hàm 0-lồi (hàm r-lồi với r = 0). Elżbieta Galewska, Marek Galewski (2005, [7]) đã phát biểu điều kiện cần và đủ cực trị Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu với hàm mục tiêu và 3 hàm ràng buộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phương. Đây là kết quả mở rộng trực tiếp của điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán qui hoạch lồi. Năm 2010, Y. X. Zhao, S.Y. Wang và L. Coladas Uria [13] đã chứng minh một số đặc trưng của hàm r-lồi, là mở rộng các đặc trưng của hàm lồi. Mục đích chính của luận văn Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker trong bài toán tối ưu hàm r-lồi là trình bày chứng minh điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là các hàm r-lồi, đồng thời Luận văn cũng trình bày các tính chất và các đặc trưng của hàm r-lồi, chủ yếu dựa theo hai tài liệu [7] và [13]. Khác với [1], nội dung của Luận văn này chủ yếu dựa vào bài báo [7], là bài báo tương đối gần đây, nghiên cứu bài toán tối ưu hàm r-lồi không nhất thiết khả vi (chỉ cần Lipschitz địa phương), trong khi đó [1] chủ yếu trình bày các kết quả của [5] và [6], nghiên cứu bài toán tối ưu với hàm r-lồi khả vi. Hơn nữa, trong [5] và [6] cũng chưa nói tới điều kiện Karush-KuhnTucker như là điều kiện cần và đủ tối ưu cho hàm r-lồi. Ngoài ra, luận văn cũng sẽ khai thác và trình bày định nghĩa và các tính chất về hàm r-lồi trong [12] và trong các tài liệu gần đây, với nội dung phong phú hơn [1] và [2] ([1] chỉ khai thác tài liệu [5] và [6], còn [2] chỉ khai thác chủ yếu tài liệu [13]). Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Giang Học viên Cao học Toán K7Y Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên 4 Chương 1 Các tính chất đặc trưng của hàm r - lồi Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi, tính chất cơ bản của hàm lồi, trình bày khái niệm hàm r-lồi, tính chất cơ bản của hàm r-lồi. Đồng thời cũng chỉ ra đặc trưng của hàm r-lồi, mối quan hệ giữa hàm r-lồi và các hàm lồi suy rộng khác nhằm phục vụ cho việc tìm hiểu các bài toán tối ưu trong Chương 2. 1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi 1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.1. ([4], p. 41) Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)x1 + λx2 (1.1) với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối x1 và x2 , và được kí hiệu là [x1 , x2 ]. Định nghĩa 1.2. ([4], Định nghĩa 2.6, p. 41) Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó tức là với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] . (1.2) 5 Hình 1.1: Một số tập lồi trong R2 Hình 1.2: Một số tập không lồi trong R2 Ví dụ 1.1. Các tập sau đây đều là các tập lồi: a) Các hình cầu đóng B(x0 , r) = {x ∈ Rn :k x − x0 k≤ r} , r > 0. b) Các hình cầu mở B(x0 , r) = {x ∈ Rn :k x − x0 k< r} , r > 0. Định nghĩa 1.3. ([4], Định nghĩa 2.22, p. 63) Cho C ⊆ Rn . Hàm f : C → R được gọi là lồi trên C nếu i) Tập C là tập lồi. 6 ii) Với mọi λ ∈ [0; 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ C. (1.3) Định nghĩa 1.4. ([4], Định nghĩa 2.22, p. 63) Cho C ⊂ Rn . Hàm f : C → R được gọi là lồi chặt trên C nếu i) Tập C là tập lồi. ii) Với mọi λ ∈ (0; 1) ta có f (λx1 +(1−λ)x2 ) < λf (x1 ) +(1−λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ C, x1 6= x2 . (1.4) Định nghĩa 1.5. Cho tập lồi C ⊂ Rn . Hàm f : C → R được gọi là hàm tựa lồi trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C và với mọi λ ∈ [0; 1] ta có f (x1 ) ≤ f (x2 ) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ f (x2 ). (1.5) Điều này tương đương với  f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max f (x1 ), f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] . (1.6) Định nghĩa 1.6. Cho tập lồi C ⊂ Rn . Hàm f : C → R được gọi là hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C, , ∀λ ∈ (0; 1) ta có f (x1 ) < f (x2 ) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < f (x2 ). (1.7) Điều này tương đương với  ∀x1 , x2 ∈ C, f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < max f (x1 ), f (x2 ) , ∀λ ∈ (0; 1) . (1.8) 7 Hình 1.3: Hàm lồi Hình 1.4: Hàm lõm 8 Nhận xét 1.1. . + Hàm f : C → R được gọi là hàm lõm (lõm chặt hay tựa lõm chặt) nếu (−f ) là hàm lồi (lồi chặt hay tựa lồi chặt) trên C. + Hàm tuyến tính f (x) = aT x + b trên R vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm. + Hàm f (x) = c là hàm tuyến tính nhưng không phải là hàm lồi chặt cũng không phải là hàm lõm chặt. Một số tính chất cơ bản của hàm lồi Định lí 1.1. ([4], Định lí 2.19, p. 67) Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và f : Rn → R là một hàm lồi. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục. Tập Argminx∈C f (x) là tập con lồi của C, ở đây Argminx∈C f (x) := {x ∈ C : f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ C}. Hệ quả 1.1. ([4], Hệ quả 2.7, p. 67) Bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm lõm trên một tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục. Tập tất cả các điểm cực đại của một hàm lõm trên một tập lồi là lồi. Định lí 1.2. ([4], Định lí 2.20, p. 67) Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C có nhiều nhất một điểm cực tiểu trên C, nghĩa là tập Argminx∈C f (x) có nhiều nhất một phần tử. Định lí 1.3. ([4], Định lí 2.21, p. 67) Hàm f (x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến số ϕ(λ) ≡ f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mọi x, d ∈ Rn . 1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi Khái niệm tập lồi, hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tuy nhiên, trong các bài toán thực tế ta thường gặp các hàm không nhất thiết là lồi. Vì vậy cần phải mở rộng lớp các hàm lồi. Các lớp hàm lồi suy 9 rộng thường được xây dựng dựa trên cơ sở vẫn giữ nguyên một (một vài) tính chất đặc trưng của hàm lồi. Lớp hàm r-lồi khá rộng và chứa lớp hàm lồi như trường hợp đặc biệt. Dưới đây trình bày khái niệm r-lồi do B. Martos [11] đưa ra và nghiên cứu năm 1966. Độc lập với B. Martos, M. Avriel (xem [5], [6] ) đã nghiên cứu tỉ mỉ các tính chất của hàm r-lồi và áp dụng vào bài toán tối ưu trong các năm 1972, 1973. Ở trên ta đã định nghĩa, hàm f : C → R được gọi là hàm lồi trên tập lồi C ⊂ Rn nếu f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] (1.9) Ta có thể hiểu điểm xλ = λx1 + (1 − λ)x2 là tổ hợp lồi của hai điểm x1 và x2 với các trọng số λ và (1 − λ). Khi ấy hàm lồi có tính chất: giá trị của hàm f tại điểm xλ là f (λx1 + (1 − λ)x2 ) phải nhỏ hơn tổ hợp lồi của f (x1 ) và f (x2 ) với cùng trọng số λ và (1 − λ). Nếu thay thế các trọng số λ và (1 − λ) ở vế phải của bất đẳng thức (1.9) bởi trọng số tổng quát hơn thì ta có khái niệm r-lồi. Khi đó ta được một lớp hàm rộng hơn lớp hàm lồi mà nhiều tính chất của hàm lồi vẫn còn giữ được (trên quan điểm áp dụng vào bài toán quy hoạch toán học). Hàm r-lồi (r-convex function) Giả sử w = (w1 , ..., wm )T ∈ Rm là véctơ m chiều với các thành phần dương và q = (q1 , ..., qm )T ∈ Rm , qi ∈ R (i = 1, m) là các số không âm m P sao cho qi = 1, r là một số thực. i=1 Định nghĩa 1.7. ([5], p. 310) Trọng số r-trung bình của các số w1 , ..., wm là 10 số Mr (w; q) ≡ Mr (w1 , ..., wm ; q) =   1r m P    qi wir , r 6= 0; wiqi , r = 0.    i= 1 m Q i=1 (1.10) Nhận xét 1.2. Nếu m = 2, r = 1 thì Mr (w; q) = q1 w1 + q2 w2 = q1 w1 + (1 − q)w2 (1.11) là tổ hợp lồi của w1 và w2 Định nghĩa 1.8. ([5], p. 310) Hàm thực φ xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn được gọi là hàm r-lồi (r-convex function) nếu với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C, q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1 ta có 1 φ q1 x + q2 x 2
n  o φ(x1 ) φ(x2 ) ≤ log Mr e ,e ;q . Điều này tương đương với  n o1  log q erφ(x1 ) + q erφ(x2 ) r , r 6= 0;
1 2 φ q1 x1 + q2 x2 ≤

 q1 φ x 1 + q 2 φ x 2 , r = 0. (1.12) (1.13) Định nghĩa 1.9. ([6]) Hàm thực φ xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn được gọi là hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C ta có 1 φ q 1 x + q2 x 2
o n  φ(x1 ) φ(x2 ) ≥ log Mr e ,e ;q . Điều này tương đương với  n o1 rφ(x1 ) rφ(x2 ) r 
log q1 e + q2 e , r 6= 0; φ q1 x1 + q2 x2 ≥

 q1 φ x 1 + q 2 φ x 2 , r = 0. (1.14) (1.15) 11 Nhận xét 1.3. ([5], p. 311) + Hàm thực f xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi f là hàm 0-lồi (r = 0). + Hàm thực f xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn là hàm lõm khi và chỉ khi f là hàm 0-lõm (r = 0). + Nếu r < 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi trên (superconvex). + Nếu r > 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi dưới (subconvex). + Nếu r > 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm trên (superconcave). + Nếu r < 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm dưới (subconcave). Định nghĩa 1.10. ([5], p. 311) Trọng số r-trung bình của m véctơ dương w1 , w2 , ..., wm ∈ Rn được định nghĩa là Mr (w1 , ..., wm ; q) = (Mr (w11 , ..., w1m ; q), ..., Mr (wn1 , ..., wnm ; q)). (1.16) Định nghĩa 1.11. ([5], p. 311) Tập con C ⊂ Rn được gọi là tập r-lồi nếu với mọi x1 = (x11 , x12 , ..., x1n )T ∈ C, x2 = (x21 , x22 , ..., x2n )T ∈ C, q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1 ta có i  h i h x11 x21 x1n x2n log Mr (e , e ; q) , ..., log Mr (e , e ; q) ∈ C. (1.17) * Minh họa hình học của tập r-lồi Nếu X ⊂ Rn là tập r-lồi thì với hai điểm bất kỳ x1 ∈ C, x2 ∈ C, đường cong xác định bởi công thức (1.17) sẽ nằm trong tập đó với mọi 0 ≤ q1 ≤ 1. Ta đã biết tập lồi là tập 0-lồi. Ta biết rằng tập X ⊂ Rn là r-lồi với r 6= 0 khi và chỉ khi tập Y cho bởi Y = {y : y ∈ Rn , yj = erxj , j = 1, ..., n; x ∈ X} là tập lồi. Khái niệm hàm r-lồi có thể mở rộng hơn nhờ khái niệm tập r-lồi. (1.18) 12 Định nghĩa 1.12. ([5], p. 312) Hàm thực φ xác định trên tập p-lồi X ⊂ Rn được gọi là hàm (p, r)-lồi nếu với mọi x1 ∈ X, x2 ∈ X, q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1 thì   n  o φ(x1 ) φ(x2 ) φ log Mp (e , e ; q) ≤ log Mr e ,e ;q x1 x2 (1.19) trong đó log và e trong vế trái của bất đẳng thức được hiểu là log và e theo từng thành phần. Mở rộng khái niệm tập r-lồi dẫn đến định nghĩa hàm (p, r)-lồi đưới đây. Định nghĩa 1.13. ([5], p. 312) Cho tập X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm . Tập T = X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } (1.20) được gọi là tập (p, r)-lồi nếu  h  1 2 i h  1 2 i x x log Mp e , e ; q , log Mp ey , ey ; q ∈T (1.21)

với mọi x1 , y 1 ∈ T, x2 , y 2 ∈ T và q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1. Khái niệm tập (p, r)-lồi cho phép mở rộng khái niệm hàm (p, r)-lồi như sau. Định nghĩa 1.14. ([5], p. 311) Hàm thực φ xác định trên tập p-lồi X ⊂ Rn được gọi là hàm (p, r)-lồi nếu epigraph của φ là (p, r)-lồi. Ở đây epigraph của hàm φ được định nghĩa như trong giải tích lồi, tức là epi φ = {(x, µ) : x ∈ X, µ ∈ R, µ ≥ φ(x)} . Trong luận văn này ta chỉ xét các hàm (0, r)-lồi, tức là các hàm r-lồi. Tuy nhiên phần lớn các kết quả có thể dễ dàng mở rộng cho hàm (p, r)-lồi. Ta nhận xét rằng có thể mở rộng khái niệm lồi bằng cách sử dụng trọng số theo cách khác nhau. Thí dụ, ta có định nghĩa dưới đây.