Tài liệu Điều khiển con lắc ngược bằng phương pháp điều khiển năng lượng swing up

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA CÔNG NGHỆ BỘ MÔN TỰ ĐỘNG HÓA    LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỀ TÀI: ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN NĂNG LƯỢNG SWING-UP Sinh viên thực hiện: Huỳnh Minh Triều 1063925 Nguyễn Thanh Tú 1063929 CẦN THƠ 10/12/2010 Cán bộ hướng dẫn: Trần Trọng Hiếu Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Trang 1 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Trang 2 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược LỜI CẢM ƠN Đề tài được hoàn thành trong sự hổ trợ và động viên rất nhiều từ gia đình người thân thầy cô cũng như bạn bè thân thuộc .Đó là những tình cảm thật đáng trân trọng không sao đền đáp hết ,và thật phấn khởi biết bao khi thấy mọi người luôn bên cạnh mình trong những lúc khó khăn nhất. Dù ở bất kì nơi đâu tôi luôn sẽ nhớ và mãi ghi sâu những tình cảm tốt đẹp này Cảm ơn cha mẹ đã nuôi nấng và luôn bên cạnh đông viên con trong những lúc khó khăn nhất. Đặt biệt cảm ơn thầy Trần Trọng Hiếu đã tạo điều kiện và tân tình hướng dẫn em học tập cũng như nghiên cứu để em hoàn thành được luận văn này. Chân thành cảm ơn những người bạn đã luôn đồng hành và chia sẽ cùng mình trong thời gian học tập ,nghiên cứu. Cảm ơn quý thầy cô trong bộ môn Tự động hóa Khoa Công Nghệ - Trường Đại học Cần Thơ đã luôn tạo điều kiện tốt cho em trong suốt thời gian học tập tại trường. Qua đây em mong nhận được những đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô trong hội đồng bảo vệ luận văn tốt nghiệp. Cuối cùng xin chúc gia đình,người thân,quý thầy cô cùng bạn bè nhiều sức khỏe và thành công trong mọi việc Trang 3 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược MỤC LỤC NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC TÓM TẮT ABSTRACT CHƯƠNG I GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI I.1Nhiệm vụ đề tài I.2 Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG II LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU II.1 Phân tích động lực học mô hình II.2 Thuật toán điều khiển – Kỹ thuật điều khiển hiện đại – Bô điều khiển LQR II.2.1 Thiết kế cổ điển và hiện đại II.2.2 Định lý về khả năng điều khiển II.2.3 Thiết kế gán cực hồi tiếp biến trạng thái đầy đủ II.3 Lọc thích nghi - Bộ lọc Kalman II.3.1 Lý thuyết về lọc Kalman II.3.2 Quy trình ước lượng II.3.3 Bản chất tính toán học của bộ lọc II.3.4 Bản chất xác suất của bộ lọc II.3.5 Thuật toán bộ lọc Kalman gián đoạn II.3.6 So sánh các bộ lọc với bộ lọc Kalman II.3.7 Mô hình lý thuyết động cơ DC CHƯƠNG III MÔ PHỎNG BẰNG MATLAB III.1 Giới thiệu phần mêm matlab và công cụ simulink III.1.1 Giới thiệu chung về matlab III.1.2.Khởi tạo và chuẩn bị thư mục làm việc trong matlab III.1.3 Tìm hiểu công cụ simulink trong matlab III.2 Thiết kế tính toán mô hình con lắc ngược III.2.1 Các thông số dự tính trong mô hình mô phỏng được được xây dựng III.2.2 Tuyến tính hóa và phương trình trạng thái trong vùng điều khiển ổn định cho LQR (bộ điều khiển θ≤200): III.2.3 Điều khiển bật lên từ vị trí ổn định ban đầu (θ=1800) bằng phương pháp năng lượng: III.2 Thiết kế các môđun mô hình con lắc ngược với Matlab Simulink: II.2.1. Thiết kế khối con lắc ngược với các thông số của mô hình và giá trị các trạng thái ban đầu cho trước: III.2.2 Thiết kế bộ điều khiển ở vùng ổn định với bộ ước lượng Kalman và bộ điều khiển LQR: Trang 4 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược III.2.3 Thiết kế bộ điều khiển Swing-up bằng phương pháp năng lượng: III.2.4 Thiết kế bộ chuyển trạng thái Swing-up/LQR: III.3Mô phỏng và kết quả: III.3.1 Đối với bộ điều khiển ổn định LQR ở vị trí ban đầu θ=200: III.3.2 Đối với bộ điều khiển Swing-up ở vị trí ban đầu θ=1800: Trang 5 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược TÓM TẮT Đề tài nghiên cứu việc giữ thăng bằng cho con lắc trên chiếc xe được mô phỏng trên Matlab bằng thuật điều khiển năng lượng Swing-up. Đề tài này được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi nhất là bên lĩnh vực robot hay xe hai bánh tự cân bằng. Việc ứng dụng kỹ thuật điều khiển năng lượng Swing-up vào trong con lắc ngược cũng như một số lĩnh vực khác được phái triển rộng rãi và từ lâu. Trang 6 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược ABSTRACT Trang 7 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược TỔNG QUAN 1.1 Lời nói đầu Mô hình là một chiếc xe có hai bánh được đặt dọc trục với nhau (khác với xe đạp là trục của hai bánh xe song song). Trên mô hình sử dụng các cảm biến để đo góc nghiêng của thân xe, vận tốc quay (lật) của sàn xe quanh trục bánh và vận tốc di chuyển của xe so với mặt đất. Nhờ các cảm biến này, xe sẽ có thể tự giữ thăng bằng và di chuyển. Với cấu trúc này, trọng tâm của mô hình phải luôn nằm trong vùng đỡ của bánh xe (supporting area) để có thể thăng bằng khi di chuyển ở mọi bề mặt từ đơn giản đến phức tạp. Trong hệ thống các cảm biến, để loại trừ các tín hiệu nhiễu từ hệ thống và nhiễu từ tín hiệu đo, sai số của ngõ ra, đồng thời có thể ước lượng chính xác giá trị đo trong tương lai của cảm biến cũng như kết hợp các tín hiệu, bộ lọc Kalman được nghiên cứu và sử dụng nhằm cho một kết quả tối ưu về tình trạng của xe gồm góc nghiêng, vận tốc quay của xe từ mô hình và các cảm biến thành phần. Nói cách khác, hệ thống xử lý tín hiệu và lọc Kalman là công cụ để biến các cảm biến đơn giản, giá rẻ thành tập hợp cảm biến có giá trị trong hệ thống. Từ các tín hiệu đo, thông qua một số đại lượng đặc trưng của mô hình (khối lượng, chiều dài, chiều cao vật, đường kính bánh…) ta sẽ tính được momen quán tính nghiêng (lật của mô hình), từ đó đưa ra các giá trị điều khiển phù hợp cho các bánh xe để giữ cho mô hình luôn đứng vững hoặc di chuyển với một vận tốc ổn định. 1.2 Thế nào là con lắc ngược Cân bằng Trang Bị nghiêng 8 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược Đối với con lắc ngược trên xe cân bằng, việc cân bằng là nhờ các cảm biến góc được đưa tính hiệu vào vi xử lý, từ vi sử lý xuất tính hiệu điều khiển động cơ được gắn trên than xe để điều khiển tốc độ động cơ để con lắc được giữ thăng bằng. Về mặt kỹ thuật, xe được thiết kế khá đơn giản. Con lắc được gắn trên thân xe được cảm biến góc bởi encoder. Bộ điều khiển có nhiệm vụ đọc xung từ encoder để điều khiển tốc độ động cơ để giư con lắc được trạng thái cân bằng. 1.3. Khả năng ứng dụng Ứng dụng thiết kế xe hai bánh tự cân bằng dùng để vận chuyển người hay hàng hóa trong không gian chật hẹp. Hình1 xe hai bánh tự căng bằng Một ứng dụng khác nữa là thiết kế robot gia đình phục vụ cho quét dọn hay chăm sóc người già Trang 9 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược Hình 2 Người máy EMIEW 2 Công ty Hitachi (Nhật Bản) vừa tung ra thị trường robot dạng người mới có tên EMIEW 2. Đây là robot đầu tiên trên thế giới có thể kết hợp di chuyển bằng hai chân và các bánh xe. EM IEW 2 cao 80 cm, nặng chỉ 13 kg. Đây là robot cộng sinh có thể làm nhiệm vụ hỗ trợ, phục vụ con người cũng như có thể sử dụng làm tiếp tân, hướng dẫn viên kết hợp với nhiệm vụ bảo vệ an ninh hoặc có thể mang giấy tờ, nước uống phục vụ con người. EMIEW 2 có thể di chuyển trên hai chân hoặc chuyển đổi sang di chuyển bằng bánh xe với các chế độ khác nhau phù hợp với yêu cầu và tốc độ di chuyển. Với các cảm biến laser gắn ở phía trước và cảm biến hồng ngoại gắn ở dưới chân, EMIEW 2 có khả năng định vị trong môi trường phức tạp cũng như tránh vật cản. Hitachi là một trong những công ty Nhật Bản đang cố gắng nghiên cứu và chế tạo robot dạng người để bù đắp tình trạng thiếu hụt nhân lực trong tương lai của đất nước này. Trang 10 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược CHƯƠNG I GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI I.1Nhiệm vụ đề tài Phương pháp tối ưu việc điều khiển mô hình con lắc ngược trên xe đẩy. Nội dung bao gồm hai vấn đề chính: bật lên và ổn định ở vị trí cao nhất. Sự bật lên của con lắc bằng cách điều khiển chuyển động của xe đẩy (ngõ vào F) để tăng dần năng lượng cho con lắc. Ổn định con lắc bằng bộ điều khiển tối ưu LQR. Trong bài luận văn tốt nghiệp đại học những mục tiêu đề tài được đề ra như sau: - Tiềm hiểu về con lắc ngược, nguyên lý cơ bản về cân bằng. - Tính toán các tham số động học, hàm trạng thái của mô hình. - Xây dựng mô phỏng trên Matlab – Sinmulnk. - Thiết kế mạch điều khiển trung tâm - Thiết kế mạch điện tử kết hợp các cảm biến thực hiện chức năng đo góc ( phần cứng). - Thiết kế mạch công suất cho động cơ. - Xây dựng thuật toán điều khiển cho động cơ. - Lập trình điều khiển. I.2 Phương pháp nghiên cứu − Xây dựng mô hình lý thuyết gồm có: Tiếp cận từ mô hình tương đương - mô hình con lắc ngược đến mô hình thật của đề tài. M  ô phỏng mô hình bằng MatLAB - Sinmulink − Tiếp cận mô hình thực, gồm có: Thiết kế khung sườn cơ khí của mô hình. Mạch cảm biến (góc, vị trí, vận tốc góc và vận tốc dài). B ộ điều khiển trung tâm. Lập trình vi điều khiển Trang 11 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược CHƯƠNG II LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU II.1 Phân tích động lực học mô hình y x O Hình 3 Mô hình động học con lắc Tách riêng từng đối tượng (con lắc và xe đẩy) để phân tích lực. Ta có sơ đồ thể hiện chi các lực tác dụng như hình vẽ. Áp dụng định luật II Newton cho xe đẩy ta có:   F  Ma (1.1) Chiếu phương trình (1.1) lên trục Ox: F  N  bx  Mx (1.2) Con lắc vừa chuyển động tròn tương đối so với xe đẩy đồng thời xe đẩy chuyển động tịnh tiến so với mặt phằng làm việc. Như vậy, trong hệ tọa độ gắn với mặt phẳng làm việc con lắc vừa chuyển động tròn vừa chuyển động tịnh tiến Áp dụng định luật II Newton cho con lắc ta có:   F '  ma ' (1.3) Chiếu phương trình (1.3) lên trục Ox: Trang 12 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược N  mlcos  ml sin   mx 2 (1.4) Cộng vào phương trình ta được (1.2): F  bx  ml cos   ml 2 sin   (M  m) x (1.5) Chiếu phương trình (1.3) theo phương vuông góc với trục của con lắc hướng sang phải: P sin   N cos  mg sin   ml  mxcos (1.6) Để khử P và N trong phương trình trên ta thay phương trình P và N từ phương trình động lực học của con lắc quay quanh trục cố định (khối tâm):  Pl sin   Nl cos  I (1.7) Kết hợp (1.6) và (1.7):  I  mg sin   ml 2  mx cos  ( I  ml 2 )  mgl sin   mlx cos l (1.8) Hệ phương trình trạng thái từ (1.5) và (1.8): ( I  ml 2 )  mgl sin   mlxcos ( M  m) x  F  bx  mlcos  ml 2 sin  (1.9) II.2 Thuật toán điều khiển – Kỹ thuật điều khiển hiện đại – Bô điều khiển LQR II.2.1 Thiết kế cổ điển và hiện đại Hệ thống thiết kế nhằm tự thực thi khi mệnh lệnh như thế nào và tới đâu của hệ thống. Hệ thống điều khiển rất cần thiết vì ta không muốn các hoạt động của qui trình, và bằng cách làm thay đổi các qui trình phù hợp với nhu cầu của ta. Thiết kế hệ thống là thay đổi các tham số hệ thống kiểm soát để phù hợp với mục tiêu ổ định đặc trưng và bền vững. Tham số thiết kế có thể là hằng số không biết trong hàm truyền của bộ điều khiển hoặc ma trận trạng thái đặc trưng. Phương pháp thiết kế cổ điển bao gồm cách thay đổi hàm truyền bộ điều khiển cho đến khi đạt được chu trình đóng. Những dấu hiệu nhận biết cổ điển của khả năng vòng điều khiển khép kín ổn định là đáp ứng tần số, hay vị trí cực của hệ thống điều khiển. Đối với hệ thống bậc cao, bằng cách thay đổi một số ít hằng số trong hàm truyền của bộ điều Trang 13 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược khiển, có thể làm thay đổi phần lớn các vị trí cực điều khiển, dù không phải biến đổi là tất cả. Đây là giới han chính của phương pháp thiết kế điều khiển cổ điển Nguyên tắc kiểm tra hệ thống ổn định bằng hàm trạng thái : tìm nghiệm λ của phương trình | λI - A | = 0, với A là một thành phần của hàm trạng thái, nếu một trong những eigenvalue của A là λ > 0, thì vòng kín của hệ điều khiển không ổn định. Khả năng điều khiển của hệ thống có thể được xác lập khi hệ thống có được bất kỳ trạng thái ban đầu nào (any initial state), x(to), đến trạng thái cuối bất kỳ nào (any final state), x(tf), trong thời gian xác định (finite time), (tf - to), mỗi một giá trị của vector ngõ vào, u(t), to ≤ t ≤ tf . Điều này cực kỳ quan trọng, vì có thể thay đổi hệ thống không điều khiển (uncontrollable) được từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối cùng, hay lấy một lượng thời gian không xác định làm thay đổi hệ thống không điều khiển được, bằng cách dùng vector ngõ vào, u(t). Khả năng điều khiển được của hệ thống dễ dàng được kiểm tra nếu tách riêng ra các phương trình trạng thái của hệ thống. Mỗi phương trình trạng thái vô hướng tách riêng đều tương đương với hệ thống phụ (sub-system). II.2.2 Định lý về khả năng điều khiển Một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian được mô tả bằng phương trình trạng thái ma trận, x(1)(t) = Ax(t) + Bu(t) điều khiển được nếu và chỉ nếu ma trận kiểm tra khả năng điều khiển. P = [B; AB; A2B; A3B; thống. ….; An-1B] có hạng là n, là bậc (rank) của hệ Hạng của ma trận, P, được xác định như là một định thức khác không lớn nhất hình thành ma trận, P. Nếu P là ma trận vuông, định thức lớn nhất hình thành P là |P|. Nếu P không phải là ma trận vuông, thì định thức lớn nhất P được hình thành bằng cách cho tất cả hàng bằng với số cột hoặc là tất cả cột bằng với số hàng của P. Từ đó có hạng của ma trận. Chú ý rằng hệ thống của ngõ vàobậc n với r, ma trận kiểm tra khả năng điều khiển, P, là ma trận (n x nr). Định thức khác không của P có thể là thứ nguyên của n. Do đó, hạng của P có thể là nhỏ hơn hoặc bằng n. Một bằng chứng hiển nhiên của định lý kiểm tra khả năng điều khiển đại số có thể thấy trong định lý Friedland (phần đại số ma trận). Một dạng tương tự của định lý có thể áp dụng cho hệ thống thay đổi theo thời gian. Từ đó có thể tiến hành kiểm tra khả năng điều khiển thay đổi theo thời gian (time-varying). P(t) = [B(t); A(t)B(t); A2(t)B(t); A3(t)B(t); ….; An-1(t)B(t)] (2.1) Và kiểm tra hạng của P(t) đối với tất cả thời điểm, t ≥ to, cho hệ thống tuyến tính biến đổi theo thời gian. Nếu tại bất kỳ t nào, hạng của P(t) nhỏ hơn n, hệ thống không điều Trang 14 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược khiển được. Tuy nhiên, việc dùng ma trận kiểm tra khả năng điều khiển biến đổi thời gian của phương trình (2.1) cần chú ý đến hệ số trạng thái biến đổi nhanh theo thời gian, vì việc kiểm tra có thể thực thi tại các bước thời gian riêng biệt, và trong vài khoảng thời gian (nhỏ hơn bước thời gian), hệ thống vẫn có khả năng điều khiển trong đó. |P| ≥ rank (P) → điều khiển được(controllable) Việc kiểm tra khả năng điều khiển đại số gồm nhận biết hạng của P, kiểm tra xem liệu nó có bằng n không, hình thành định thức có thể của thứ nguyên n của ma trận P bằng cách loại bỏ vài cột (nếu m > 1), và kiểm tra giá trị định thức có khác không. Phần mềm MatLAB cung cấp lệnh rank (P) giúp cho việc nhận biết hạng của ma trận P trở nên dễ dàng. Hơn nữa, công cụ Control System Toolbox của MatLAB (CST) cho phép hình thành trực tiếp ma trận kiểm tra khả năng điều khiển P, bằng cách dùng lệnh ctrb như sau: >>P = ctrb(A,B) hay >>P = ctrb(sys) Trong đó, A và B là ma trận hệ số trạng thái của hệ thống mà hàm truyền (LTI) của nó là sys. Nguyên nhân khiến hệ thống không điều khiển được có thể là do tính chính xác, chẳng hạn cách dùng các giá trị trạng thái thừa (nghĩa là các giá trị trạng thái nhiều hơn bậc của hệ thống). Giá trị trạng thái thừa không ảnh hưởng trực tiếp bởi ngõ vào hệ thống, sẽ không tạo ra không gian trạng thái để điều khiển, cho dù hệ thống có thể điều khiển được về mặt vật lý. Nguyên nhân đôi khi làm mất khả năng điều khiển được là có quá nhiều cực đối xứng trong mô hình toán học của hệ thống. II.2.3 Thiết kế gán cực hồi tiếp biến trạng thái đầy đủ Hệ thống điều khiển chu trình đóng được thiết kế bởi bộ điều khiển để đặt các cực tại vị trí mong muốn sẽ làm thay đổi đặc tính của hệ điều khiển. Phương pháp thiết kế cổ điển dùng hàm chuyển giao bộ điều khiển với một vài tham số thiết kế không đủ đặt vào tất cả các cực của chu trình đóng tại vị trí mong muốn. Phương pháp hàm trạng thái dùng thông tin phản hồi trạng thái đầy đủ cung cấp đủ tham số thiết kế bộ điều khiển để di chuyển các cực chu trình đóng độc lập nhau . Thông tin phản hồi trạng thái đầy đủ được phát ra từ vector ngõ vào của bộ điều khiển, u(t), theo định luật điều khiển như sau: u(t) = K [xd(t) - x(t) - Kdxd(t) - Knxn(t)] (2.2) Trong đó x(t) là vector trạng thái của hệ thống, xd(t) là vector trạng thái mong muốn, xn(t) là vector trạng thái nhiễu và K, Kd và Kn là ma trận gain của bộ điều khiển. Vector trạng thái mong muốn, xd(t), và vector trạng thái nhiễu, xn(t), được tạo ra từ tiến trình ngoài, Trang 15 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược và hoạt động như những ngõ vào hệ thống điều khiển. Nhiệm vụ của bộ điều khiển là thu được vector trạng thái mong muốn ở tình trạng ổn định (steady), trong khi đó vẫn phản ứng chống lại ảnh hưởng của độ nhiễu. Vector ngõ vào, u(t), được tạo bởi phương trình (2.2) ứng dụng cho hệ thống được mô tả bởi phương trình ngõ ra và trạng thái sau: x(1)(t) = Ax(t) + Bu(t) + Fxn(t) (2.3) y(t) = Cx(t) + Du(t) + Exn(t) (2.4) Trong đó, F và E là ma trận hệ số nhiễu trong phương trình ngõ ra và trạng thái. Thiết kế hệ thống điều khiển dùng thông tin phản hồi trạng thái đầy đủ yêu cầu hệ điều khiển được mô tả bằng phương trình (3.1) phải dễ điều khiển, nếu không thì ngõ vào kiểm soát được tạo ra từ phương trình (3.1) sẽ không ảnh hưởng đến tất cả các giá trị trạng thái khác nhau của hệ thống. Hơn nữa, phương trình (3.1) đòi hỏi tất cả giá trị trạng thái khác nhau của hệ thống phải được đo, và có khả năng phản hồi đến bộ điều khiển. Một hệ thống kiếm soát mà vector trạng thái mong muốn là 0 được gọi là hệ thống điều chỉnh. Vì vậy định luật điều chỉnh sẽ là: u(t) = - Kx(t) (2.5) Thay vào phương trình [3-60] được phương trình (2.6) và (2.7), từ đó có phương trình ngõ ra và trạng thái chu trình đóng của hệ thống điều chỉnh như sau: x(1)(t) = (A - BK)x(t) y(t)= (C - DK)x(t) (2.6) (2.7) Phương trình (3.5)và (3.6) cho thấy hệ thống điều chỉnh là hệ thống đồng nhất , được mô tả bởi ma trận hệ số trạng thái chu trình đóng ACL = A - BK, BCL = 0, CCL = C - DK, và DCL = 0. Các cực chu trình đóng là eigenvalue của ACL. Do đó, bằng cách chọn ma trận gain của bộ điều khiển, K, các cực chu trình đóng được đặt tại vị trí mong muốn. Đối với hệ thống của ngõ vào bậc n với r, cỡ của K là (r x n). Từ đó có tổng của tham số thiết kế vô hướng r, n. Đối với hệ thống nhiều ngõ vào (nghĩa là r>1), số lượng tham số thiết kế có nhiều cách chọn vị trí cực n. II.3 Lọc thích nghi - Bộ lọc Kalman II.3.1 Lý thuyết về lọc Kalman Được đề xuất từ năm 1960 bởi giáo sư Kalman để thu thập và kết hợp linh động các thông tin về cảm biến thành phần. Một khi phương trình định hướng và mẫu thống kê nhiễu trên mỏi cảm biến và được xát định, bộ loc Kalman sẽ cho ước lượng giá trị tối ưu ( chính xác do đã loại sai số, nhiễu) như là dang sử dụng một tính hiệu “ tinh khiết” và có độ phân bổ không đổi. Trong hệ thống này, tính hiệu cảm biến và bộ lọc gồm hai tính Trang 16 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược hiệu: từ cảm biến góc và cảm biến vận tốc góc. Tính hiệu ngõ ra của bộ lọc là tính hiệu của cảm biến góc và vận tốc góc đã được loại nhiễu từ nguốn tính hiệu hỗ trợ và xử lý lẫn nhau trong bộ lọc thông qua quan hệ ( vận tốc góc = đạo hàm / vi phân của giá tri góc) Một ví dụ mô phỏng về bộ lọc Kalman cho một máy bay chiến đấu bằng Matlab Hình 4 Tín hiệu thu nhận chưa được lọc Hình 5 Tín hiệu đã qua bộ lọc Kalman Bộ lọc Kalman đơn giản là thuật toán xủ lý dử liệu hồi qui tối ưu. Có nhiều cách xát định tối ưu phụ thuocj tiêu chuẩn lựa chọn trình thông số đánh giá. Nó cho thấy rằng Trang 17 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược bộ lọc Kalman tối ưu đối với chi tiết cụ thể trong bất kỳ tiêu chuẩn nào. Một kía cạnh của sự tối ưu này là bộ lộc Kalman hợp nhất tất cả các thông tin được cung cấp tới nó. Nó xử lý tất cả giá trị sẵn có, ngoại trừ độ sai số, ước lượng gia trị hiện thời của những giá trị quan tâm, với cách sử dụng hiểu biết động học thiết bị gỉ trị và hệ thống, mô tả số liệu thống kê của hệ thống nhiễu, gồm nhiễu ồn, nhiễu đo và sự không chắc chắn trong mô hình động học và những thông tin bất kỳ về điều kiện ban đầu của giá trị quan tâm. II.3.2 Quy trình ước lượng Kalman filter định vị vấn đề chung nhằm ước lượng giá trị x  R n của tiến trình kiểm soát thời gian gián đoạn biểu diễn bằng phương trình tuyến stochastic khác nhau: x k  Axk 1  Bu k 1  wk 1 (2.8) Với giá trị z  R m : (2.9) z k  Hx k  v k Giá trị thay đổi ngẫu nhiên wk và vk trình bày cách xử lý và đo độ nhiễu (theo thứ tự). Chúng tách biệt nhau, đó là nhiễu trắng, và với sự sắp xếp bản chất thông thường: pw ~ N (0, Q  (2.10) pv  ~ N (0, R  (2.11) Trong thực tiễn, ma trận tương quan tiến trình nhiễu Q và tương quan đo độ nhiễu R có lẽ thay đổi với mỗi bước thời gian hay giá trị, tuy nhiên giả thuyết rằng ở đây chúng là hằng số. Ma trận A n x n trong phương trình (2.8) liên hệ với giá trị ở thời điểm trước k-1 đến giá trị ở thời điểm hiện tại k, trong sự thiếu hụt không chỉ ở hàm lái dạng mà còn do nhiễu tiến trình. Chú ý rằng trong thực tế A có lẽ thay đổi tại mỗi thời điểm, nhưng ở đây, ta xem nó là hằng số. Ma trận B n x l liên quan hoạt động kiểm soát tùy ý u  R1 đối với x. Ma trận H m x n trong phương trình (2.9) liên quan với giá trị đo zk. Trong thực tế, H có thể thay đổi tại mỗi thời điểm hay giá trị, nhưng ta xem nó là hằng số. II.3.3 Bản chất tính toán học của bộ lọc ^ Theo định nghĩa x k  R n ( siêu âm) ước lượng trạng thái priori tại bược k đưa ra tiến ^ trình priori tại bước k và x k  R n là lượng trạng thái posteriori tai bước k với giá trị zk. Từ đó có thể xác định sai số ước lượng priori và posterior là:  k ^ e  xk  x k Trang 18 Trường Đại Học Cần Thơ Điều khiển con lắc ngược (2.12) ^ ek  x k  x k Tương quan sai số ước lượng priori là:  Pk  E ek ekT  (2.13) Và tương quan sai số ước lượng posteriori là:   Pk  E ek ekT (2.14) Bắt nguồn từ việc lấy đạo hàm phương trình^ của bộ lọc Kalman, với mục tiêu tìm một phương trình ước lượng trạng thái posteriori x k nhự sự liên kết tính toán ước lượng ^ ^ priori x k vá sự khác biệt đánh giá giưaz các giá trị thực zk và giá trị chuẩn tắc H x k được trình bài ở công ^thức (2.15). ^ ^  x k  x k  K  z k  H x k  (2.15)    ^ Độ lệch z k  H x k được gọi là đại lượng cách tân ^hay đại lượng thặng dư. Giá trị  thặng dư thể hiện sự khác nhau giữa giá trị chuẩn tắc H x k và giá trị thực zk. Giá trị tặng dư A của 0 nghĩa là hai thành phần này hoàn toàn nhất quán nhau. Ma trân K n x m trong công thức(2.15) được gọi là độ lợi hay hệ số pha trôn tối thiểu hóa tương quan sai số posterior (2.14). Sự tối thiểu hóa được thực hiện bằng cách thay thế đầu tiên(2.15) bằng giá trị sát định cho ek , thay thế vào (2.14), trình bài giá trị trông cạy chỉ thị, lấy đạo hàm vết của kết quả đốivới K, thiết lạp kết quả bằng 0 và sau đó giải quyết K. Mộ dạng kết quả K tối thiểu hóa (2.14) được trình bài như sau: Kk = Pk-HT(HPk-hT+R)-1 (2.16) Xem (2.16), thấy rằng tương quan sai số giá trị R tiến tới 0, độ lợi K đánh giá giá trị thặng dư cao hơn. Đặc biệt, lim H k  H 1 Rk 0 (2.17) Hơn nữa, tương quan sai số ước lượng priori Pk- tiến tới 0, độ lợi K đánh giá thặng dư thấp hơn. Đặc biệt Trang 19