Tài liệu điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––––––––– MẪN THỊ BẮC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Mẫn Thị Bắc i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2020 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục luận văn 2 3 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian metric nhân 3 1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó trong không gian metric nhân 9 Chƣơng . ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong không gian metric nhân 20 2.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó trong không gian metric nhân 24 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như đã biết, tập các số thực dương là không đầy đủ đối với metric thông thường. Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm không gian metric nhân. Năm 2012, Ozavsar [8] và Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ co nhân và chứng minh một vài định lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong không gian metric nhân. Năm 2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân. Một hướng nghiên cứu gần như đồng thời với việc nghiên cứu đã nêu ở trên là việc xét điểm bất động đối với ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh xạ giao hoán và giao hoán yếu. Năm 1995, . J. Cho [2] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về ánh xạ nửa tương thích trong các không gian tôpô. Năm 1996, Jungck [5] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích yếu và đạt được kết quả về điểm bất động của ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric. Năm 2013, Gu [3] và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa về các ánh xạ giao hoán và giao hoán yếu trong một không gian metric nhân và chứng minh một vài định lý về các điểm bất động của những ánh xạ này. Năm 2016, P.Kumar, S. Kumar, S.M. Kang [7] đã đưa ra khái niệm ánh xạ nửa tương thích trong không gian metric nhân và thiết lập định lí điểm bất động chung đối với các ánh xạ đó. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân ”. Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về không gian metric nhân và một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và điểm bất động chung đối với các ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của giải tích hàm. 4. Bố cục luận văn Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [7], gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian metric nhân. Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2 CHƢƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian metric nhân Đ nh ngh a 1.1.1. Cho E là một tập khác r ng. Một metric nhân là một ánh xạ :E E thỏa mãn các điều kiện sau: 1 , u, v E và (u, v) (i) (u, v) (ii) (u, v) (v, u) , u, v (iii) (u, v) (u, w) 1 u v; E; (w, v) , u, v, w E bất đ ng thức tam giác nhân . Khi đó (E, ) được gọi là một không gian metric nhân. Ví dụ 1.1.2. Cho : n n n là tập hợp tất cả các bộ n số thực dương và hàm số được xác định bởi: u, v ở đó u u1, , un , v u1 v1 n v1, , vn 1 Khi đó, n , và a un vn và | . | : khi 1 khi 1. xác định bởi là một không gian metric nhân. Ví dụ 1.1.3. Cho u, v u2 v2 : 1 . Khi đó, thỏa mãn 1, (u, v) a u v , với mọi là một metric nhân và ( , ) là một không gian metric nhân. Ta có thể gọi đó là không gian metric nhân thông thường. Nhận t 1.1.4. Chú ý rằng ví dụ 1.1.2 đúng với các số thực dương và ví dụ 1.1.3 đúng với mọi số thực. Ví dụ 1.1.5. Cho (E, ) là một không gian metric. Cho 3 a là ánh xạ xác định trên E bởi (u, v) a ở đó u, v E và a 1 . Khi đó, 1 khi u a khi u u ,v a v, v, là một metric nhân và E , a a gọi là không gian metric nhân rời rạc. Ví dụ 1.1.6. Cho E trên [a,b ] C [a,b ] là tập tất cả các hàm liên tục nhân giá trị thực . Khi đó, E , (x, y ) Nhận supt là một không gian metric nhân với [a ,b ] x (t ) y(t ) với x, y E tùy ý. t 1.1.7. Metric nhân và metric là độc lập với nhau. Thật vậy, ánh xạ được định nghĩa trong ví dụ 1.1.2 là một metric nhân mà không là metric vì nó không thỏa mãn bất đ ng thức tam giác 1 1 , 3 2 1 ,3 2 3 2 6 M t khác, metric thông thường trên 7.5 1 ,3 . 3 9 không là metric nhân bởi vì nó không thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân 2, 3 3,6 3 4 2,6 . Đ nh ngh a 1.1.8. Cho (E, ) là một không gian metric nhân. Khi đó (1) dãy {un } B (u) n E gọi là hội tụ nhân tới u nếu với m i hình cầu mở nhân v | (u, v) N tức là (un , u) (2) dãy {un } cho (un , um ) , 1 , tồn tại N 1 khi n sao cho un . E gọi là dãy Cauchy nhân nếu mọi với mọi n, m B (u) với mọi N tức là (un , um ) 1 , tồn tại N 1 khi n, m sao . (3) E gọi là không gian metric nhân đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy nhân đều hội tụ nhân đến một phần tử thuộc E . 4 Chú ý 1.1.9. Tập các số thực dương thường. Lấy E và dãy un là không đầy đủ theo metric thông {1 / n} . Hiển nhiên, un là một dãy Cauchy trong E với metric thông thường và E không là không gian metric đầy đủ do 0 a 1/n un n . Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy , ở đó a 1 . Khi đó, un là một dãy Cauchy nhân vì với m, un um un , um a 1/n a 1/m Ta có un 1 khi n a 1 1 m n a 1 m a khi a 1, 1 / a khi a 1. log a , trong đó a log nếu m a 1 1 n m và 1 . Vậy E , là một không gian metric nhân đầy đủ. Năm 2012, Ozavsar và Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ co nhân và đã chứng minh một vài định lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong một không gian metric nhân. Đ nh ngh a 1.1.10. Cho f là ánh xạ từ một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó. Khi đó, f được gọi là một phép co nhân nếu tồn tại một số thực [0,1) sao cho (u, v) với mọi u, v (fu, fv) E. Năm 2015, Kang và các cộng sự [6] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ tương thích trong các không gian metric nhân như sau Đ nh ngh a 1.1.11. Cho f và g là các ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) vào chính nó. Khi đó, lim n fgun , gfun f và g 1 , với mọi dãy un 5 được gọi là tương thích nếu E sao cho lim fun n lim gun n t với t E nào đó. Đ nh ngh a 1.1.12. Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu ft gt với t E thì fgt gft . Năm 1995, Cho và các cộng sự [2] đã đưa ra khái niệm về nửa tương thích trong các không gian topo như sau Đ nh ngh a 1.1.13. [2] Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian topo vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu (1) fv gv kéo theo fgv u và gun (2) fun gfv và u kéo theo fgun gu khi n . ây giờ, ta sẽ định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện 2 chỉ trong phạm vi không gian metric nhân như sau: Đ nh ngh a 1.1.14. Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu lim n fgun , gu 1 , với mọi dãy {un } E sao cho lim fun n lim gun u n với u nào đó thuộc E . Điều này suy ra rằng nếu f và g là nửa tương thích và fv gv thì fgv gfv . Chú ý rằng f và g là nửa tương thích không nhất thiết f và g là tương thích. Hơn nữa, tính nửa tương thích của f và g không kéo theo tính nửa tương thích của g và f . Ví dụ 1.1.15. Cho E (u, v) a u v [1, 3] và , trong đó u, v E và a metric nhân. Lấy các ánh xạ f , g : E fu u khi 1 3 khi 2 u u :E 2, 3, E [1, ) được xác định bởi 1 . Khi đó, (E, ) là một không gian E xác định bởi gu 6 4 3 u khi 1 khi 2 u u 2, 3, ét un 1 . Khi đó, n 2 fun 2 fgun 1 và gun n f 2 1 n 2 1 nên fun n 3 và gfun g 2 2 và gun 1 n 2 2 u. 1 . n Ta có lim d fgun , gfun a n 3 2 a 1. Điều này kéo theo f và g không tương thích. M t khác, ta có lim d fgun , gu a n 3 3 1. o đó, f và g là nửa tương thích và lim d gfun , fu a n 2 3 a 1. Vậy g và f không là nửa tương thích. Tiếp theo, ta chỉ ra nửa tương thích là tương thích yếu. Thật vậy, với u 1,2 fu gu tùy ý, điều này hiển nhiên đúng. Với u 3 và fgu f3 3 , gfu g3 2, 3 tùy ý, ta có 3 . o vậy, f và g là tương thích yếu. Ví dụ 1.1.16. Cho E bởi u, v a u v 0,1 và , ở đó u, v :E E E và a E là các ánh xạ xác định bởi 7 là ánh xạ được xác định 1 . Khi đó, E , metric nhân. Lấy f , g : E 1, là một không gian 1 fu 1 u , gu u khi 0 u 2 khi u 3 1 , 3 1 ,1 3 2 . 3 1 khi u 1 khi u 3 ét un 1 3 1 , 3 2 , 3 1 . Khi đó n fun 2 3 fgun f 1 n 2 3 2 3 u và gun 1 n 2 3 u. Ta có 2 3 1 n 1 3 1 và gfun n 2 3 g 1 n 1. Suy ra f và g không tương thích. Hơn nữa, lim d fgun , gu a 1/3 1/3 lim d gfun , fu a 1 1/3 n n 1 1. o đó f và g là nửa tương thích, nhưng g và f không là nửa tương thích. Tính tương thích yếu không kéo theo tính nửa tương thích. Ở đây, g và f là tương thích yếu vì chúng giao hoán tại điểm trùng của chúng 2 , nhưng 3 không là nửa tương thích. Tính nửa tương thích không nhất thiết kéo theo tương thích vì lim d fgun , gfun 1 trong các ví dụ 1.1.15 và 1.1.16. n Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính tương thích không nhất thiết kéo theo tính nửa tương thích. Ví dụ 1.1.17. Cho E (u, v) [0,1] và a u v :E E , trong đó u, v 8 [1, ) xác định bởi E và a 1. Khi đó, (E, ) là một không gian metric nhân. Lấy f , g : E E là các ánh xạ xác định bởi u khi 0 fu 1 3 ét un 1 khi u 2 1 khi u 2 u , gu 1 3 u 1 , 3 1 . 3 1 . Khi đó n fun 1 3 1 n 1 3 fgun 1 3 1 n 1 và 3 1 3 u và gun 1 3 gfun 1 n 1 n 1 3 u. 1 . 3 Hơn nữa, lim d fgun , gfun n 1. o vậy, f và g là tương thích. Nhưng lim d fgun , gu a n 1 1 3 2 1. Điều này kéo theo f và g không là nửa tương thích. 1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh ạ tƣơng thích và các biến thể của nó trong không gian metric nhân ây giờ, ta sẽ xem xét các định nghĩa về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó trong các không gian metric nhân như sau: Đ nh ngh a 1.2.1. Cho f và g là hai ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) vào chính nó. Khi đó f và g được gọi là (1) tương thích nếu lim n cho lim fun n lim gun n 1 , trong đó {un } fgun , gfun t với t E. 9 E là một dãy sao (2) tương thích kiểu (A) nếu trong đó {un } 1 và lim fgun , ggun lim n n gfun , ffun E là một dãy sao cho lim fun n lim gun n 1, t với t E. (3) tương thích kiểu (B ) nếu fgun , ggun lim n fgun , ft lim n lim n ft, ffun 1 2 và gfun , ffun lim n trong đó {un } gfx n , gt lim n E là một dãy sao cho lim fx n n lim n gt, ggun lim gx n n 1 2 , t với t E. (4) tương thích kiểu (C ) nếu fgun , ggun lim n lim n fgun , ft lim ft, ffun lim gt, ggun n lim n ft, ggun lim gt, ffun 1/3 và lim n lim n trong đó {un } gfun , ffn gfun , gt n E là một dãy sao cho lim fun n (5) tương thích kiểu (P ) nếu lim d ffun , ggun n một dãy sao cho lim fun n lim gun n t với t n lim gun n 1/3 , t với t E. 1 , trong đó {un } E là E. Tiếp theo là một số kết quả về mối liên hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó. Mệnh đề 1.2.2. Cho f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (A) trong f ho c g à i n t c th f và g à tương thích. 10 ếu một h ng minh Vì f và g là tương thích kiểu (A) nên lim fgun , ggun n và lim n 1 , ở đó lim fun gfun , ffun n Giả sử f liên tục. Khi đó lim ffun n lim gun n lim fgun n t với t 1 E nào đó. ft với t nào đó thuộc E . M t khác, ta có (ggun , ft ) 1 (ggun , fgun ). (fgun , ft ) 1. Từ đó suy ra 1 Vậy lim n fgun , gfun fgun , ggun . ggun , ffun . ffun , gfun 1 1 , tức là f và g là các ánh xạ tương thích. fgun , gfun Tương tự, nếu g là liên tục, khi đó f và g là các ánh xạ tương thích. Mệnh đề 1.2.3. i c p ánh xạ tương thích kiểu (A) à tương thích kiểu (B ) . h ng minh Giả sử f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) . Khi đó, ta có 1 lim n fgun , ggun lim fgun , ft lim gfun , ffun lim gfun , gt n n lim ft, ffun lim gt, ggun 1/2 và 1 n n n 1/2 . Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) . Mệnh đề 1.2.4. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B ) th f và g à tương thích kiểu (A) . h ng minh Cho {un } E là một dãy sao cho lim fun n nào đó thuộc E . Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có 11 lim gun n t với t gfun , ggun lim n fgun , ft lim n lim n ft, ffun 1 2 1 và gfun , ffun lim n gfun , gt lim n lim n gt, ggun 1 2 1. o đó, f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) . Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.2.5. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B ) th f nhân (E, ) vào chính nó và g à tương thích. h ng minh Cho {un } E là một dãy sao cho lim fun n lim gun n t với t nào đó thuộc E . Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có lim ffun ft lim gfun gt n lim fgun n và n lim ggun . n Theo bất đ ng thức tam giác nhân, ta có fgun , gfun fgun , ggun ggun , gfun . và chú ý đến giả thiết f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) , Cho n ta có fgun , gfun lim n lim n fgun , ft lim n ft, ffun 1 2 lim n ggun , gfun 1. o đó f và g là các ánh xạ tương thích. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.2.6. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích th f và g à tương thích kiểu (B ) . 12 h ng minh Vì f và g là tương thích nên tồn tại dãy {x n } lim fun n lim gun n t với t E và lim n X sao cho 1 . Vì f và g là các fgun , gfun ánh xạ liên tục, nên ta có lim ffun ft lim gfun gt n lim fgun n và n lim ggun , n do đó lim ffun n lim fgun lim gfun n lim ggun . n n Từ đó ta có lim n fgun , ggun fgun , ft lim n lim n ft, ffun 1 2 và lim n gfun , ffun gfun , gt lim n lim n gt, ggun 1 2 . Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) . Mệnh đề 1.2.7. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó (1) f và g à tương thích hi đó f và g tương thích kiểu (B ) . (2) f và g à tương thích kiểu (A) f và g à tương thích kiểu (B ) . h ng minh (1) Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6. (2) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4. Mệnh đề 1.2.8. Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó fgt h ng minh Giả sử rằng {un } ếu ft fft ggt gt với t E th gft . E là một dãy được xác định bởi un 13 t, n 1,2,... với t E và ft gt . Khi đó, fun , gun . Vì f và ft khi n g là tương thích, nên ta có fgt, gft Từ đó ta có fgt fgun , gfun lim n gt nên fgt ggt . Vì ft fft 1. ggt gft . Ta có điều phải chứng minh. Từ Mệnh đề 1.2.8 ta có Mệnh đề 1.2.9. Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó i ử lim fun n lim gun n t với t E hi đó (a ) lim gfun ft nếu f i n t c tại t . (b) lim fgun gt nếu g i n t c tại t . n n (c) fgt gft và ft gt nếu f và g i n t c tại t . h ng minh a Giả sử rằng f liên tục tại t . Vì lim fun n t E , nên fgun lim gun n t với . Vì f và g là các ánh xạ tương thích, nên ft khi n ta có lim n o đó lim gfun n gfun , ft lim n gfun , fgun lim n fgun , ft ft . Ta được điều phải chứng minh. b Chứng minh tương tự a ta được lim fgun gt . c Giả sử rằng f và g liên tục tại t . Vì gun t khi n n t , nên theo (a), ta có gfun gfun gt . Như vậy ft 1.2.8, ta có fgt 1. ft khi n và f liên tục tại . M t khác, g liên tục tại t , nên gt do tính duy nhất của giới hạn và theo Mệnh đề gft . Mệnh đề 1.2.10. Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu (B ) t 14 không gian ếu ft metric nhân (E, ) vào chính nó fgt fft ggt h ng minh Giả sử rằng {un } n 1,2,... với t E và ft gt với t nào đó thuộc E th gft . E là một dãy xác định bởi un gt . Khi đó, ta có fun , gun t, . ft khi n Vì f và g là tương thích kiểu (B ) , nên ta có fgt, ggt fgun , ggun lim n fgun , fft lim n Suy ra fgt gt , nên fgt ggt . Vì ft lim n fft fft, ffun ggt 1 2 1 gft . Mệnh đề 1.2.11. Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu (B ) t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó. i ử lim fun n lim gun t với t lim gun t với t n E hi đó (a ) lim ggun ft nếu f i n t c tại t . (b) lim ffun gt nếu g i n t c tại t . n n (c) fgt gft và ft gt nếu f và g i n t c tại t . Ch ng minh. (a) Giả sử f liên tục tại t . Vì lim fun n nên ffun , fgun lim (ft, ggun ) lim ( fgun, ggun ) n lim ( fgun , ft ). lim ( ft, ffun ) n n 1/2 n d(ft, ft ) o đó lim ggx n E . Vì f và g tương thích kiểu (B ) , nên ta có ft khi n n n 1. ft . Chú ý 1.2.12. Trong Mệnh đề 1.2.10, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu (C ) ho c kiểu (P ) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B ) , thì kết luận của 15 Mệnh đề 2.10 vẫn đúng. Chú ý 1. .13. Trong Mệnh đề 1.2.11, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu (C ) ho c kiểu (P ) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B ) , thì kết luận của Mệnh đề 1.2.11 vẫn đúng. Chú ý 1.2.14. M i ánh xạ giao hoán yếu là tương thích nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy, vì f và g là các ánh xạ giao hoán yếu nên (fu, gu) với mọi u (fgu, gfu) Giả sử lim fun n fgun , gfun 1 n Ví dụ 1.2.15. ét E ánh xạ f , g : E E . Khi đó (fun , gun ) (fun , t ). (gun , t ) 1 1 , do đó f và g là ánh xạ tương thích. fgun , gfun suy ra lim t với t lim gun n E. [0, e|u ) với metric nhân (u, v) u 3 và gu E xác định bởi fu v| trên E . ét các 2u 3 . Khi đó f và g là các ánh xạ tương thích nhưng không giao hoán yếu. Chú ý 1.2.16. Khái niệm về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó là độc lập với nhau. Ví dụ 1.2.17. Cho E , tập hợp tất cả số thực với metric nhân thông thường . ét các ánh xạ f , g : E fu 1 u4 1 E xác định bởi khi u 0, khi u 0 và gu Khi đó f và g không liên tục tại 0 . n 1,2,... Khi đó fun lim n 1 n4 t 1 u2 1 ét dãy un 0 , gun fgun , gfun lim n 16 khi u 0, khi u 0. E xác định bởi un 1 n2 t n8 n8 1. 0 khi n n, và