www.thuvienhoclieu.com
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO
VECTƠ - TÍCH VÔ HƯỚNG
VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ
Câu 1.
Cho tam giác ABC biết AB 3, BC 4, AC 6 , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
x y z
P
y z x
.Gọi x , y, z là các số thực dương thỏa mãn x.IA y.IB z.IC 0 .Tính
3
41
23
2
P
P
P
P
4.
12 .
3.
12 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành
Chọn B
IE ID
IB IE ID
IA
IC
IA
IC
Dựng hình bình hành BDIE như hình vẽ. Khi đó
IE MB BC ID BN AB
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác : IA MA AC , IC NC AC
BC
AB
IB
IA
IC
AC
AC .
Suy ra
x
z
IB .IA .IC
y
y
Từ x.IA y.IB z.IC 0 suy ra
.
Do IA, IC là hai véc tơ không cùng phương suy ra x 4t, y 6t, z 3t với t 0 .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 1
x y z 41
P
y z x 12 .
Vậy
www.thuvienhoclieu.com
Email:
[email protected]
Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Đặt
a AB, b AD . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?
5 2
5
AG a b
AG a b
6
3 .
6
A.
B.
.
5
4
2
AG a b
AG a b
6 .
3
3 .
C.
D.
Câu 2.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet
Chọn A
1 1
1
AI AC AD AB AD
2
2
2
* I là trung điểm của CD nên:
.
1 1
1
AG AB AC AI
3
3
3 , thay AC AB AD và
* G là trọng tâm tam giác BCI nên:
1
1
1 1
5
2
1
AG AB AB AD AB AD AB AD
AI AB AD
3
3
3 2
3
6
2
ta được
.
Email:
[email protected]
Câu 3.
AB = c, BC = a, CA = b
Cho tam giác ABC với các cạnh
. Gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng.
uur
uur
uur
r
uur
uur
uur
r
aI
A
+
bIB
+
cIC
=
0
bIA
+
cI
B
+
aIC
=
0
A.
B.
uur
uur
uur
r
uur
uur
uur
r
cIA
+
bIB
+
aIC
=
0
cIA
+
aIB
+
bIC
=
0
C.
D.
Lời giải
Họ và tên : Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm
Chọn A
Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
uur
uuu
r uuu
r
Ta có IC = IA ' + I B ' (*)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 2
www.thuvienhoclieu.com
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác
trong ta có :
uuu
r
IB
BA1 c
b uur
=
= Þ IB ' = - IB (1)
IB ' CA1 b
c
uuu
r
a uur
IA ' = - IA (2)
c
Tương tự :
Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
uur
uur
uur
uur
r
a uur b uur
IC = - IA - IB Û aIA + bIB + cIC = 0
c
c
Đ/c mail:
[email protected]
Câu 4.
Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, ADC 30 . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu
0
diễn DB theo hai vectơ DA và DC .
b a 3
DB DA
DC.
b
B.
A. DB DA DC .
b a
DB DA
DC.
b
C.
D. DB bDA aDC .
Lời giải
Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh
Kẻ BE // AD , E nằm trên cạnh CD. Ta có:
DE
DE
DB DA DE DA
DC DA
DC
DC
DC
DC 2 KC
b a 3
DA
DC DA
DC
DC
b
.
Vậy đáp án đúng là câu B.
Email:
[email protected]
www.thuvienhoclieu.com
Trang 3
Câu 5.
www.thuvienhoclieu.com
uuuu
r
uur
r
5
AM
+
2
CA
=
0
Cho hình bình hành ABCD , M là điểm thỏa mãn
. Trên các cạnh AB , BC
lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho MP / / BC , MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và
AN
+ CN
CP . Giá trị của tổng AQ
CP bằng:
21
24
A. 19
B. 19
23
C. 19
25
D. 19
Lời giải
FB: Kim Duyên Nguyễn.
uuur
uuur uuur
uuu
r
AN
=
xAQ
,
CN
=
yCP
Đặt
Vì
MQ / / AB, MP / / BC Þ
BQ
AP
AM
2
=
=
=
BC
AB
AC
5
uuur
uuur uuur
uuur 2 uuur
uuur 2 uuur uuur
2 uuur 3 uuur
AQ = AB + BQ = AB + BC = AB + (AC - AB ) = AC + AP
5
5
5
2
Ta có:
uuur
uuur
2 uuur 3 uuur
AN = xAQ = xAC + xAP (1)
5
2
Nên
2
3
10
x x 1 x
N
,
C
,
P
2
19
Do
thẳng hàng nên 5
uuur
uuu
r
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
CN = yCP Û AN - AC = y(AP - AC ) Þ AN = (1 - y)AC + yAP (2)
Mặt khác
AN CN
25
3
15
+
= x +y =
y x
19 . Đáp án D
2
19 . Do đó AQ CP
Từ (1) và (2) suy ra
Câu 6.
Email:
[email protected]
Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức
MA MB MC 3MD xMK . Tìm x :
A.2.
B.6.
C.5.
D.4.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao
Chọn B
3MD
Vì đẳng thức MA MB MC
thỏa mãn với mọi M nên nó đúng khi M
xMK
(1)
trùng với K. Khi đó ta có : KA KB KC 3KD xKK 0 (2).
KA
KB KC 3KG (3).
ABC
Gọi G là trọng tâm
, ta có
www.thuvienhoclieu.com
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
3KG
3KD
0
KG
KD 0 , suy ra K là trung điểm của GD.
Thay (3) vào (2) ta được
Từ (1) ta có:
MK KA MK KB MK KCKB 3MK 3KD (KA KB KC 3KD) 6MK 6MK
Vậy 6MK xMK suy ra x = 6.
Email:
[email protected]
Câu 7.
Facebook: https://www.facebook.com/hoaihappy
Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
AM = 3MC , NC = 2NB . Gọi O là giao điểm của AN và BM . Tính diện tích tam giác
ABC biết diện tích tam giác OBN bằng 1.
A. 24.
B. 20.
C. 30 .
D. 45
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài
Chọn C
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
uuur
BO = xBA + ( 1- x) BN
AO = yAM + ( 1- y) AB
Ta có:
và
.
uuur
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuur r
Þ AB = yAM + ( x - y + 1) AB + ( x - 1) BN Û ( x - y) AB + yAM + ( x - 1) BN = 0
(1)
uuur r r uuuu
r
3 r uuur
1r
uuu
r
u
u
r
r
r
AB = a - b;AM = - b;BN = - a
CB
=
a
,
CA
=
b
4
3
Đặt
ta được
r
Thay vào (1) và thu gọn ta được:
r
r
r
( x - y) a - ( x - y) b = x -3 1a + 43yb
ìï
ì
ïï x - y = x - 1 ïïï x = 1
ï
3 Û ïí
10
uuur
r æ 1 öuuur
í
1 uuu
÷
ïï
ïï
3
2
1
÷
BO
=
BA
+ç
BN
ç1÷
x=
ïï y - x = y
ïï y =
÷
ç
10
10
è
ø
4
5
ï
ï
î
î
10
Suy ra
. Với
ta được
uuur uuur
r uuur
uuur
r
1 uuu
1 uuu
NA
Û BO - BN =
BA - BN Û NO = NA Û
= 10
10
10
NO
(
Vì
)
SONB = 1 Û SNAB = 10 Þ SABC = 30
.
Email:
[email protected]
www.thuvienhoclieu.com
Trang 5
Câu 8.
www.thuvienhoclieu.com
ABC
Cho tam giác
, gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB 3IC . Gọi J , K lần lượt là
AC
,
AB
JA
2
JC
;
KB
3
KA
BC
m
.
AI
n.JK .
những điểm trên cạnh
sao cho
. Khi đó
Tính tổng P m n ?
A. P 34 .
B. P 34 .
C. P 14 .
D. P 14 .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Trân Ngọc cyên Tên FB: Tran Ngoc cyen
Chọn B
3
3
3
1
AI AB BI AB BC AB AC AB AC AB
2
2
2
2
Ta có:
(1)
1
2
JK AK AJ AB AC
4
3
(2)
1
3
AI
AC
AB
AC 6 AI 12 JK
2
2
2
1
JK AC AB
AB 16 AI 36 JK
3
4
Từ (1) và (2) ta có hê ̣ phương trình
BC
AC
AB
10
AI 24 JK m 10; n 24 m n 34 . Chọn đáp án B.
Ta có:
Câu 9.
Email:
[email protected]
Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho
1
1
AM AB, DN DC
BI
mBC
,
AJ
n AI .
3
2
. Gọi I và J là các điểm thỏa mãn
Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu?
1
2
A. 3
B. 3
C. 3
D. 1
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan)
Chọn A
J là trọng tâm tam giác BMN khi và chỉ khi AB AM AN 3 AJ (9)
Ta có
1
AM AB
3
*
1
1
1
AN DN DA DC DC CA AC DC AC AB
2
2
2
*
AJ nAI n AB BI n AB mBC n AB m AC AB n(1 m) AB mn
AC
*
1
1
AB AB AC AB 3n(1 m) AB 3mn AC
3
2
Nên thay vào (9) ta có
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
5
1
3n(1 m) 0
6
mn
5
3n(1 m) AB 1 3mn AC 0
3
1 3mn 0
6
Email:
[email protected]
FB: nguyennga
Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ y điểm M, trên cạnh BC lấ y N sao cho AM=3MB,
NC=2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam
giác ICN bằng 2.
3
33
9
A. 2
B. 2
C. 11
D. 11
Lời giải
Họ và tên: Hứa Nguyễn Tường Vy
Chọn đáp án B
BC
a; BA c .
Đặt
3
2
AC a c ; AM c; CN a
4
3
Suy ra
Do A, I, N thẳng hàng nên CI xCA (1 x) CN
AI
y
AC
(1
y ) AM
Và M, I, C thẳng hàng nên
AC
AI
CI
y
AC
(1
y
)
AM
(
xCA
(1 x ) CN )
Mặt khác
3y x 1 1 y 4x
a
c 0
3
4
3y x 1
0
3
1 y 4 x 0
4
Mà a; c không cùng phương suy ra
9
2
2
2
x CI CA CN NI NA
11
11
11
11
Với
2
x
11
y 3
11
S
NI
2
2
NCI S NCA 11
Hay NA 11 S NCA 11
S ABC BC 3
33
S ABC
2
Mà S ANC NC 2
[email protected]
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
3
MA
2
CM
0
NA
2 NB 0 .
Câu 11. Cho ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn:
,
Chọn mệnh đề đúng.
A. NG 4GM .
B. NG 5GM .
C. NG 6GM .
D. NG 7GM .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Trân Công Sơn, Tên FB: Trân Công Sơn)
Chọn B
.
Gọi E là trung điểm BC. M, N là các điểm như hình vẽ.
2
2 1
5
1
NG AG AN AE 2 AB . AB AC 2 AB AB AC
3
3 2
3
3
Ta có:
.
2 2
2
2 1
1
1
GM AM AG AC AE AC . AB AC AB AC
5
3
5
3 2
3
15
.
Nên
NG
5 1
1
1
AB AC 5 AB AC 5GM
3
3
15
3
.
NG
5GM .
Vậy
Câu 12. (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC . Gọi A', B' ,C' là các điểm
xác định bởi
2018 A ' B 2019 A ' C 0 , 2018 B ' C 2019 B ' A 0 , 2018C ' A 2019C ' B 0 . Khi đó ,
mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ABC và A ' B ' C ' có cùng trọng tâm.
B. ABC A ' B ' C ' .
C. ABC A ' B ' C ' .
D. ABC và A ' B ' C ' có cùng trực tâm.
Lời giải
(Email):
[email protected]
Chọn A
Ta có 2018 A ' B 2019 A ' C 0
2018 A ' A AB 2019 A ' A AC 0
4037 A ' A 2018 AB 2019 AC 0 (1)
Tương tự ta có 4037 B ' B 2018 BC 2019 BA 0 ; 4037C ' C 2018CA 2019CB 0
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
Cộng vế với vế lại ta được
4023 AA ' BB ' CC ' BA AC CB 0 AA ' BB ' CC ' 0
.
Vậy ABC và A ' B ' C ' có cùng trọng tâm
Câu 13. ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M là trung điểm BC . Tính độ
1
AB 2 AC
dài của vec tơ 2
a 21
a 21
A. 3 .
B. 2 .
a 21
C. 4 .
a 21
D. 7 .
Lời giải
Chọn B
Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành
AQPN .
1
AB AN , 2 AC AQ
2
Khi đó ta có
suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có
1
AB 2 AC AN AQ AP
2
Gọi L là hình chiếu của A lên PN
0
Vì MN / / AC ANL MNB CAB 60
Xét tam giác vuông ANL ta có
cos ANL
Ta lại có
sin ANL
AL
a
a 3
AL AN .sin ANL sin 600
AN
2
4
NL
a
a
NL AN .cos ANL
cos 600
AN
2
4
AQ PN PL PN NL AQ NL 2a
a 9a
4 4
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
www.thuvienhoclieu.com
3a 81a 2 21a 2
a 21
AP AL PL
AP
16
16
4
2
1
a 21
AB 2 AC AP
2
Vậy 2
2
2
2
2
Email:
[email protected]
Câu 14. Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm x
HA
HB
HC
xHO .
để
A. x 2.
B. x 2 .
C. x 1.
D. x 3 .
Lời giải
Họ và tên: Trân Quốc An Facebook: Tran Quoc An
A
H
O
B
C
M
A'
Chọn A
Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua O , ta có :
A ' B AB
CH A ' B (1)
CH AB
Tương tự ta chứng minh được BH A ' C (2)
Từ (1) ,(2) suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành .
Do đó M là trung điểm của HA ' .
HB
HC
2 HM HA '
Ta có :
HA HB HC HA HA ' 2 HO x 2.
[email protected]
Câu 15. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL . Giả sử
ngoài ra còn có CM kAL . Biết
A. 18 .
B. 5 .
cos A
a bk 2
c dk 2 . Tính a b c d
C. 26 .
D. 17 .
Lời giải
Bùi Duy Nam sưu tâm. FB: Bùi Duy Nam
www.thuvienhoclieu.com
Trang 10
www.thuvienhoclieu.com
Chọn A
1
AC AM AB
c 2b với b AC , c AB .
2
Ta có ACM cân tại A
c
2
b
AL
AB
AC AM AC
c b
c b
3
Theo đề bài AL là phân giác trong của góc A nên:
.
4
4
8
AL2 AM 2 AC 2 2 AM .AC 2b 2 2b 2 cos A b 2 1 cos A
9
9
9
.
2
2
2
2
2
2
2
2 2b cos A 2b CM CM 2b 1 cos A
Lai có 2 AC. AM AC AM CM
.
Từ
cos A
8
CM kAL 2b 2 1 cos A k 2 . b 2 1 cos A 9 1 cos A 4k 2 1 cos A
9
9 4k 2
9 4k 2 .
Vậy a b c d 18 .
Email:
[email protected]
uuur
uuu
r
uuu
r uuur r AN 1 AC
3
Câu 16. Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P là các điểm lần lượt thỏa mãn MA 3MB 0 ,
,
2 PB 3PC 0 Gọi K là giao điểm của AP và MN . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
đúng?
uur uuu
r r
uur uuu
r r
4
KA
5
KP
0
3
KA
2
KP
0 .
A.
.
B.
uur uuu
r r
uur uuu
r
C. KA KP 0 .
D. KA KP .
Lời giải
Họ và tên: Phạm Thanh My Facebook: Pham Thanh My
Chọn C
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
www.thuvienhoclieu.com
Gọi I là giao điểm của MN và BC .
IB NC MA
1
.
.
1 IB IC
2
PB
3PC 0 P là trung
IC
NA
MB
6
Áp dụng định lý Menelaus ta có
mà
điểm IC .
KA IP MB
. .
1
Áp dụng định lý Menelaus ta có KP IB MA
KA
1 KA KB 0
KP
Email:
[email protected]
Câu 17. Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết
AC BD .
AB CD 20cm. Tìm
A. 40cm. .
B. 20cm. .
C. 30cm. .
D. 10cm. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến
Chọn B
www.thuvienhoclieu.com
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
AC BD BE BD BF DE 20cm.
Mail:
[email protected] Fb:Thanh Lâm Lê
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB 3; AC 4 .Gọi AD là đường phân giác trong của góc A .Biết
AD m AB n AC .Khi đó tổng m n có giá trị là:
1
1
A. 1
B. 1
C. 7
D. 7
Lời giải
Họ và tên tác giả :Lê Thanh Lâm
Chọn A
Theo tính chất đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC ta có:
DB AB 3
3DC 4 DB 3( AC AD ) 4( AB AD)
DC AC 4
4
3
4
3
7 AD 4 AB 3 AC AD AB AC
m ;n
7
7
7
7 .Vậy tổng m n 1 . Chọn A
.Ta có
Câu 19. Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA . H , H '
lần lượt là trực tâm các tam giác ABC , MNP . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
HA
HB
HC
3
HH
'
HA
HB
HC
2 HH ' .
A.
.
B.
C. HA HB HC 0 .
D. HM HN HP 3HH ' .
Lời giải
Chọn B
www.thuvienhoclieu.com
Trang 13
www.thuvienhoclieu.com
H ' là trực tâm tam giác MNP nên H ' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
ABC nên BHCD là hình bình hành suy ra
Gọi AD là đường
kính
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
HA HB HC HA HD 2 HH ' .
Mail :
[email protected]
Câu 20. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là
hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức:
MD ME MF k MO
1
3
k
k
2.
2.
A.
B. k 1 .
C.
D. k 2
Lời giải
Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa
Chọn C
Gọi hình chiếu của M lên cạnh BC là D. Ta có
3S
Sa MD
S
MD a . AA ' a AO
S
AA '
S
2S
.
Sa SMBC
Tương tự cho các đánh giá khác.
Do đó :
3
MD ME MF
S a AO Sb BO Sc CO =
2S
3
S a MO MA Sb MO MB S c MO MC
2S
3
3
3
S a Sb Sc .MO
S a MA Sb MB Sc MC MO
2S
2S
2
Cách Khác: Qua M kẻ các đường thẳng song song v ới các c ạnh BC, CA, AB
Email:
[email protected]
Câu 21. Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân tại B. Người
ta treo vào điểm A một vật nặng 10N. Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C?
(Bỏ qua khối lượng của giá đỡ)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
A. FB 10 2 N , FC 10 N
B. FB 10 N , FC 10 2
C. FB FC 10 N
D. FB 10 N , FC 10 2
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng
Đáp án: B
Hệ chất điểm cân bằng nên
FB FC P 0 F P F P 10 N
FB FB F P 10 N
FC FC F 2 P 2 10 2 N
Tam giác ABC vuông cân tại B suy ra
Email:
[email protected]
Câu 22. Cho ba điểm A , B , C thuộc đường tròn tâm O , thỏa mãn OA OC OB 0 . Tính góc AOB
?
www.thuvienhoclieu.com
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
0
AOB 900
B.
.
C. AOB 150 .
0
A. AOB 120 .
0
D. AOB 30 .
Lời giải
Họ và tên: Trân Gia Chuân
Tên facebook: Trân Gia Chuân
Chọn A
OA
OC OB 0 nên O là trọng tâm tam giác ABC .
Do
0
Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác ABC đều. Vậy góc AOB 120
Email:
[email protected]
1 2
AM . AB . AC
3
3
Câu 23. Cho tam giác ABC . Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn
, khẳng định nào
sau đây là khẳng định đúng ?
MB
2
MC
MC
3MB .
MB
2
MC
MC
2
MB
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Họ và tên: Trân Gia Chuân
Chọn B
Tên facebook: Trân Gia Chuân
BM
k .BC khi đó
Cách 1: Giả sử
Ta có
AM AB BM
AB k .BC
AB k . AC AB
1 k . AB k . AC
1 2
2
AM . AB . AC k
3
3
3 suy ra
Mà
3.BM 2.BC MB 2MC
Cách 2:
1 2
1
1
2
2
AM . AB . AC . AM .MB . AM .MC
3
3
3
3
3
3
1
2
.MB .MC 0
3 3
MB 2.MC 0
MB 2MC
Email:
[email protected]
Câu 24. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M là một điểm tùy ý nằm bên trong tam
giác đã cho; gọi A '; B '; C ' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC ; CA và
k
k MA ' MB ' MC ' l MO , k .l 0,
l là phân số tối
AB . Khi đó ta có đẳng thức vectơ
2
2
giản. Tính 2k l . .
2
2
A. 2k l 1 .
2
2
B. 2k l 1 .
2
2
C. 2k l 14 .
www.thuvienhoclieu.com
2
2
D. 2k l 5 .
Trang 16
www.thuvienhoclieu.com
Lời giải
Họ và tên tác giả : Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung
Chọn B
Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC ; CA; AB và các đường thẳng này cắt các
cạnh của tam giác ABC tại các điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 như hình trên.
Xét tam giác MA1 A2 do tam giác ABC đều và tính chất của góc đồng vị nên góc
0
A MA
MA
1 2
2 A1 60 suy ra tam giác MA1 A2 đều và A ' là trung điểm của A1 A2 từ đó ta có:
1
MA ' MA1 MA2
2
1
1
MB ' MB1 MB2 ; MC ' MC1 MC2
2
2
Chứng minh tương tự ta có
.
1
MA ' MB ' MC ' MA1 MC2 MA2 MB2 MB1 MC1
2
Suy ra
, mặt khác các tứ giác
AB1MC1; BA1MC2 ; CA2 MB2
là
hình
bình
hành
nên
1
3
MA ' MB ' MC ' MA MB MC MO 2 MA ' MB ' MC ' 3MO
2
2
.
2
2
Vậy k 2; l 3 2k l 1 .
Email:
[email protected]
1
1
BE BC ; CF CD
3
2
Câu 25. Cho hình vuông ABCD , E,F thõa mãn
; AE BF I
Ta có AI k AB l AD . Khi đó tỉ số k,l thõa mãn cặp nào sau:
3
2
6
2
5
3
6
1
k ;l
k ;l
k ;l
k ; l
5
5
5
5
6
6
5
3
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Họ tên: Nguyễn Thị Trang
Fb: Trang Nguyen
Chọn B
www.thuvienhoclieu.com
Trang 17
www.thuvienhoclieu.com
EK 1
EI EK 1
CF 3
AI AB 6
Kẻ EK//AB
6
6
6
1
6
2
AI AE ( AB BE ) ( AB BC ) AB BC )
5
5
5
3
5
5
Ta có:
Câu 26. Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho:
AM 3MC , NC 2 NB , gọi O là giao điểm của AN và BM .Tính diện tích ABC biết diện
tích OBN bằng 1.
A. 10 . B. 20 .
C. 25 .
D. 30 .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)
Chọn D
A
A, O, N thẳng hàng nên:
Vì
BO xBA 1 x BN
AO y AM 1 y AB
O
Tương tự:
B
AB y AM ( x y 1) AB ( x 1) BN
N
hay ( x y ) AB y AM ( x 1) BN 0 (1)
CB
a
CA
b
Đặt
,
.
3
1
AB a b; AM b; BN a
4
3
Ta có:
3
1
x y a b yb x y a 0
4
3
Thay vào (1) ta có:
x 1 3y
x y a x y b
a
b
3
4
M
C
1
x 1
x 10
x y 3
y x 3 y
y 2
5
4
Từ đó ta có:
1
1
1
x
BO BA (1 ) BN
10
10
10
Với
www.thuvienhoclieu.com
Trang 18
www.thuvienhoclieu.com
1
1
NA
BO BN
BA BN
NO NA
10
NO
10
10
hay
.
Vì
SONB 1 S NAB 10 S ABC 30
.
Email:
[email protected]
Câu 27. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng
định đúng?
uuur uuu
r uuur
uuur
uuur uuu
r uuur
uuur
HA
+
HB
+
HC
=
4
HO
HA
+
HB
+
HC
=
2
HO
A.
.
B.
.
uuur uuu
r uuur 2 uuur
uuur uuu
r uuur
uuur
HA + HB + HC = HO
HA
+
HB
+
HC
=
3
HO
3
C.
.
D.
.
Lời giải
Họ và tên : Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn
uuur uuu
r uuur
uuur
Dễ thấy: HA + HB + HC = 2 HO nếu tam giác ABC vuông.
Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó:
BH / / DC (vì cùng vuông góc với AC).
BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB).
uuu
r uuur uuur
HB
+ HC = HD (1).
BDCH
Suy ra
là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì
uuur uuur
uuur
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2 HO (2).
uuur uuu
r uuur
uuur
Từ (1) và (2) suy ra . HA + HB + HC = 2 HO .
Tên facebook: NT AG
Câu 28. Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC , O là một điểm trên đoạn AD sao cho
AO 4OD . Gọi E CO AB , F BO AC , M AD EF . Khẳng định nào sau đây
đúng?
1
MO AD
7
A.
2
MO AD
15
B.
1
MO AD
8
C.
2
EM BC
7
D.
Lời giải
Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng
www.thuvienhoclieu.com
Trang 19
www.thuvienhoclieu.com
Chọn B
AC
y AF , ( x, y ) .
AB
x
AE
Đặt:
,
4
2
2
2
2
2
AO AD AB AC x AE AC AB y AF
5
5
5
5
5
5
Theo bài ra ta có
2 2
3
y 1 y
2
Do O, B, F thẳng hàng nên 5 5
2
2
3
x 1 x
5
2
Do C , O, E thẳng hàng nên 5
2
AB AC 3 AD
4
AO AD MO AD
5
15
Từ đó: AE AF 2 AM , lại có
Câu 29. Cho hình thang ABCD có AB //CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BD . Kẻ
NH AD ( H AD) và ME BC ( E BC ) . Gọi I ME NH , kẻ IK DC ( K DC ) .
Khi đó trong tam giác MNK hệ thức nào sau đây đúng?
A. MK .IN NK .IM MN .IK 0
B. IN .tan N IM .tan M IK .tan K 0
C. IN .cot N IM .cot M IK .cot K 0
D. IM IN IK 0
Lời giải
Chọn B
Ta chứng minh ID IC
Kẻ AF BC , BJ AD . Tứ giác
ABFJ nội tiếp
ABF AJF 180O
DCB
AJF 180O
www.thuvienhoclieu.com
Trang 20
.DOCX 
128 
97 
106 
