Ch
ủ
đề
6
Chủ đề 6:Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC
LƯỢNG GIÁC
Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định
hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để
thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình
lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2. Ngoài ra, kiến thức
chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.
§1. Cung và góc lượng giác
A. Lý thuyết
1. Đơn vị đo góc và cung tròn
a. Độ
Đường tròn bán kính R có độ dài 2 R và có số đo 360° chia đường tròn thành
360 phần, 1 phần có độ dài
2 R R
và có số đo 1 (góc ở tâm chắn cung
360 180
R
).
180
Vậy cung 1 có độ dài
R
a R
; cung a có độ dài
.
180
180
STUDY TIP
Diện tích:
b. Radian
Chu vi:
- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là
1 rad)
- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).
Nhận xét:
+ Cung độ dài R có số đo 1 rad.
+ Đường tròn có độ dài 2 R có số đo 2 rad.
LOVEBOOK.VN | 1
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
+ Cung có số độ dài l có số đo
1
rad.
R
+ Cung có số đo rad có độ dài l .R
c. Liên hệ giữ độ và rad
STUDY TIP
Khi viết góc theo đơn vị
radian ta không viết chữ
rad sau số đo góc đó.
Ví dụ: thay cho rad
360 2 (số đo đường tròn bán kính R)
180
57 17 ' 45''
180 rad 1 rad
1
rad 0, 0175 rad
180
Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:
Độ
30
45
60
90
120
135
150
180
Rad
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính R 10cm . Tìm số đo (rad) của cung có độ
dài là 5cm.
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0,5
Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có:
l
5
0,5 rad
R 10
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho đường tròn O; R ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso
cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:
A. 360 và 2
B. 360 và
C.
1080
và 6
D. 1080 và 6
Lời giải
360
60
ABCDEF là lục giác đều AOB
6
OA OB AOB đều AB OA R Chu vi ABCDEF là 6R
Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad
LOVEBOOK.VN | 2
Chủ đề 6:Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
6 rad 6.
180 1080
Đáp án C.
2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng
a. Đường tròn định hướng
- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là
dương, chiều ngược lại là chiều âm.
- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ
là chiều âm.
b. Cung lượng giác
- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo
một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung
Ð
lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu AB
c. Góc lượng giác
- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc
lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.
Kí hiệu OA, OB .
Ð
- Số đo góc lượng giác OA, OB là số đo của cung lượng giác AB .
Ð
- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB . Nếu OM quay theo chiều dương từ
Ð
OA tới OB tạo ra góc thì cung AB có số đo là k 2 k .
Ð
Kí hiệu: sđ AB .
Vậy:
Ð
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB k 2 k .
Ð
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB k 2 k
d. Đường tròn lượng giác
LOVEBOOK.VN | 3
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O
bán kính R 1 , cắt Ox tại A 1; 0 và A ' 1; 0 ; cắt Oy tại B 0,1 và B ' 0,1 .
Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.
e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
- Để biểu diễn cung , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
Ð
sđ AM .
+ Nếu 2 360 , ta chọn điểm M sao cho AOM (theo chiều
dương).
+ Nếu 2 , ta viết k 2 và ta chọn điểm M sao cho AOM .
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc
Ð
đường tròn sao cho AOM (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo AM có thể
6
là giá trị nào sau đây?
A.
5
6
B.
6
C.
13
6
D.
11
6
Lời giải
Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và AOM 30 nên đây là góc tính theo chiều âm
AOM theo chiều dương là 2 k 2 k
6
11
k 2 k
6
Ð
11
sđ AM
k 2 k
6
Vì k nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với k 2 ).
Đáp án C.
10
Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): ;
;
3
3
5
7
;
. Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là:
3
3
LOVEBOOK.VN | 4
Chủ đề 6:Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
A. và
B. và
C. và
D. và
Lời giải
điểm cuối là M 1 .
3
10 4
2 điểm cuối là M 3 .
3
3
5
2 điểm cuối là M 1 .
3
3
7
2 điểm cuối là M 4
3
3
Đáp án B
Ví dụ 3: Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của là:
7
7
7
7
k
k
k 2
k 2
A.
B.
C.
D.
4
4
4
4
Lời giải
Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là
7
k 2 k .
4
Đáp án D.
. Trong các số sau, số
12
nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác
OA; OB ?
Ví dụ 4: Cho góc lượng giác OA; OB có số đo bằng
A.
13
12
B.
25
12
C.
49
12
D.
19
12
Lời giải
+
13
;
12 12
49
4 ;
12 12
+
25
2 ;
12
12
19 7
.
12 12
LOVEBOOK.VN | 5
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Đáp án C.
B. Các dạng toán điển hình
Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 2,443
B. 1,222
C. 2,943
D. 1,412
Lời giải
Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian
a
70
a
rad 70
rad 1, 222 rad
180
180
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ Radian:
- Sau đó ấn:
Đáp án B.
5
rad .
6
C. 150
Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây:
A. 47 44 '47 ''
B. 37 33'37 ''
D. 30
Lời giải
5
180
5 180
Cách 1: Dùng công thức: a rad = a.
rad=
6
6
Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.
Nhập biểu thức
5.180
vào máy tính, sau đó ấn
6
ta được kết quả là A.
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ:
Sau đó ẩn:
Đáp án A.
Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho AOM 150 . Tính
Ð
diện tích hình giới hạn bởi điểm O và AM có thể là:
LOVEBOOK.VN | 6
Chủ đề 6:Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
A.
5
(đvdt)
3
B.
5
(đvdt)
6
C.
5
(đvdt)
9
D.
5
(đvdt)
12
Lời giải
2
Diện tích hình tròn lượng giác là: S0 R (đvdt)
Ð
sđ
AM
150 k 360
AOM 150
( k )
Ð
sđ AM 360 150 k 360 210 k 360
Ð
150 5
360 12
Ð
210 7
360 12
+ sđ AM 150 Stp
+ sđ AM 210 Stp
Ð
5
Ð
+ sđ AM 360 hoặc sđ AM 360 S
(đvdt)
12
Đáp án D.
Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm M 1 ; M 2 ; M 3 ; M 4 sao cho ngũ
Ð
giác AM 1M 2 M 3 M 4 là ngũ giác đều, sđ AM 3 là:
A. 27
C. 60
B. 144
D. 120
Lời giải
Vì AM 1M 2 M 3 M 4 là ngũ giác đều nên
AOM M
OM M
OM M
OM M
OA 360 72
1
1
2
2
3
3
4
4
5
Ð
OM 144
sđ AM 3 AOM 3 AOM 4 M
3
4
Nếu M 1 , M 2 , M 3 , M 4 sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án không đổi.
Đáp án B.
STUDY TIP
Tập hợp n điểm tạo
thành 1 đa giác đều trên
đường tròn lượng giác là
tập hợp các điểm M thỏa
mãn:
Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm M 1 , M 2 ,..., M n thỏa mãn
n điểm đó tạo thành một đa giác đều là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Lời giải
Để M 1M 2 ...M n là đa giác đều thì
LOVEBOOK.VN | 7
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
OM M
OM M
OM ... M
OM M
OM 2
M
1
2
2
3
3
4
n 1
n
n
1
n
Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn:
Ð
sđ AM k
2
k
n
Vì là góc bất kì nên có vô số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.
Ð
Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo
8,18 . Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy?
A. I
B. II
C. III
D. IV
Lời giải
Ta có: 8,18 2, 6 3 8,18 2,5
4 8,18 1,5 4
M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm và
3
)
2
Ð
Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo . Với
k ta có:
+ M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi k 2
+ M nằm trong góc phần tư thứ hai khi
k 2
2
k 2 k 2
2
+ M nằm trong góc phần tư thứ ba khi k 2
+ M nằm trong góc phần tư thứ tư khi
3
k 2
2
3
k 2 2 k 2
2
Đáp án C.
Ð
Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM . Gọi
M 1 là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt
Ð
đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và AOD 0 . Cung AM
LOVEBOOK.VN | 8
Chủ đề 6:Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Ð
có số đo . Khi đó số đo của cung lượng giác AM 1 là:
A. 2 k 2
B. 2 k 2
C. 2 k 2 D. 2 k 2
Lời giải
Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M 1 đối xứng với M
qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.
STUDY TIP
Với đối xứng với M qua
d. d cắt tại D tung độ
không âm) và ; sđ
Thì số sđ
Gọi giao điểm của d với O là D y D 0
Ð
Ð
Vì M 1 đối xứng với M qua d sđ AM sđ DM 1
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ta có: MD AD AM sđ MD sđ DM 1
Ð
Ð
Ð
Ð
Lại có : AM 1 AD DM 1 sđ AM 1 2
Ð
sđ AM 1 2 k 2
Đây là trường hợp với 0 90 , có giá trị dương. Những trường hợp khác
chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên
Đáp án A.
Ví dụ 8: Chọn điểm A 1; 0 làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn lượng
27
giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo
.
4
A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất
B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba
D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư
Lời giải
Ð
sđ AM
27
3
3
6
AOM
4
4
4
M là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.
Đáp án B.
Ví dụ 9: Một đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường tròn có số
LOVEBOOK.VN | 9
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
đo
(tính gần đúng đến hàng phần trăm).
16
A. 3,92
B. 3,93
C. 24,67
D. 24,68
Lời giải
Cung có số đo 1 rad có độ dài là R 20cm
Cung có số đo
R 3,93cm .
rad có độ dài là:
16
16
Đáp án B.
Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác. Khẳng
định nào dưới đây là sai?
A. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng qua trục tung
B. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ
C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất
D. Cung và cung a k 2 k có cùng điểm biểu diễn
Lời giải
Điểm biểu diễn của cung và cung đối xứng nhau qua trục hoành.
Đáp án B.
Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ
Ox; Ou
5
m2
2
và sđ
n2 m, n . Chọn khẳng định đúng.
2
A. Ou và Ov đối xứng
B. Ou và Ov vuông góc
C. Ou và Ov trùng nhau
D. Ou và Ov tạo với nhau một góc
4
Ox; Ov
Lời giải
Ta có: sđ Ox; Ou
5
m2 2 m2 m 1 2 với m
2
2
2
Vậy n m 1
Do đó Ou và Ov trùng nhau.
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 10
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 268
Ð
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M sao cho AM
2
k 2 . Khi
5
đó diện tích hình quạt OAM là:
A.
5
B.
2 2
C.
5
2
5
D. Không xác định.
3 1
Ð
; . Khi đó số đo cung AM
Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho M
2
2
là:
A.
k 2
3
B.
k 2
3
C.
k 2
6
D.
k 2
6
Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn
3
k 2 . Khi đó gọi
5
Ð
M ', M '' lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi AM
' k 2 ;
Ð
AM '' k 2 0 , 2 . Giá trị là:
A. 2
B.
5
C.
9
5
D.
7
5
Ð
Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn AM
7
k 2 ,
5
Ð
13
k 2 . Gọi M ' là điểm đối xứng của M qua ON.
điểm N thỏa mãn AN
12
Ð
Khi đó số đo AM ' là:
A. 108 k 360
B. 118 k 360
C. 128 k 360
D. 138 k 360
LOVEBOOK.VN | 11
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây không thuộc đường tròn
lượng giác?
A. M 1; 0
5 2 11
;
B. M
7
7
3 4
C. M ;
5 5
1 2
D. M ;
2 2
Câu 6: Tính số đo của góc hình học uOv
, biết góc lượng giác Ou; Ov có đo
bằng 1945 .
A. 145
B. 45
C. 145
D. 235
Câu 7: Tính số đo của góc hình học uOv
, biết góc lượng giác Ou; Ov có đo
bằng 2550 .
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Góc lượng giác Ou; Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu
và tia cuối với nó có số đo dương
B. Góc lượng giác Ou; Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác Ou; Ov
có số đo âm
; u ' Ov ' bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác
C. Hai góc hình học uOv
Ou; Ov
và Ou '; Ov ' sai khác nhau bội nguyên 2
11
13
D. Số đo Ou; Ov
và số đo Ou '; Ov '
thì uOv
u ' Ov '
6
6
Câu 9: Cho đường tròn bán kính R 2m . Khi đó độ dài cung có số đo 30 là:
A.
m
3
B.
2
m
3
C.
m
6
D.
5
m
6
Ð
Câu 10: Trong các hình sau, có bao nhiêu hình có tan AM không xác định?
LOVEBOOK.VN | 12
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 11: Góc 120 có số đo bằng radian là:
A.
2
3
B.
3
Câu 12: Đổi số đo
C.
5
6
D.
6
68
rad thành số đo độ ta được:
5
A. 2484 B. 4896
C. 2448
D. 4243
LOVEBOOK.VN | 13
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
§2. Giá trị lượng giác của một cung.
Công thức lượng giác
A. Lý thuyết và các dạng toán điển hình
I. Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác
1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung AM có sđ AM (còn viết AM
). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x; y
x OH ; y OK .
Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α: sin sin y OK
+ Hoành độ x của M là cosin của góc α: cos cos x OH
+ Với cos 0 , tỉ số
sin
sin
gọi là tang của góc α: tan tan
cos
cos
+ Với sin 0 , tỉ số
cos
cos
gọi là cotang của góc α: cot cot
sin
sin
- sin , cos , tan , cot gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.
2. Hệ quả
a. sin , cos xác định với , ta có:
sin k 2 sin k
cos k 2 cos k
b. Vì 1 OK 1; 1 OH 1 nên ta có:
1 sin 1
1 cos 1
LOVEBOOK.VN | 14
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
c. Với m mà 1 m 1 đều tồn tại và sao cho sin m và
cos m
d. tan xác định với k k
2
cot xác định với k k
e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng
AM trên đường tròn lượng giác
Góc phần tư
I
II
III
IV
0;
2
;
2
3
;
2
3
; 2
2
cos
+
sin
+
+
tan
+
+
cot
+
+
Giá trị
lượng giác
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
1
3
||
3
cot
||
0
1
3
3
1
1
3
1
2
1
3
2
2
3
2
1
1
1
3
3
1
0
||
4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang
a. Ý nghĩa hình học của tang
Kẻ tiếp tuyến t ' At với đường tròn lượng giác tại A.
Gọi T OM t ' At . Khi đó tan AT .
LOVEBOOK.VN | 15
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Trục t ' At gọi là trục tang.
b. Ý nghĩa hình học của cotang
Kẻ tiếp tuyến s ' Bs của đường tròn lượng giác tại B.
Gọi S OM s ' Bs . Khi đó cot BS .
Chú ý: tan k tan k
cot k cot k
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức P sin x với x 420 .
A.
3
2
B.
3
2
C.
1
2
D.
1
2
Lời giải
Ta có 420
7
2
3
3
3
P sin 420 sin 2 sin
3
2
3
Đáp án A.
Ví dụ 2: Giá trị của cot
A.
2
2
81
là:
4
B. 1
C.
2
2
D. 1
Lời giải
Ta có: cot
81
cot 20 cot 1 .
4
4
4
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức P sin x x với x 390 là:
A. 390,5
B. 389,5
C.
13 1
6
2
D.
13 1
6
2
LOVEBOOK.VN | 16
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Lời giải
13
Ta có: 390
(rad)
6
P sin x x sin
13 13
13 1 13
13
sin 2
sin
.
6
6
6
6
6
2
6
6
Đáp án C.
Ví dụ 4: Cho 0
. Tìm số khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
2
(1) sin .cos 0
3
.sin 0
(2) tan
2
(3) tan 3 .cot 3 1
(4) cos 3 0
(5) sin 2 0
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Vì 0
điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất
2
sin 0;cos 0 sin .cos 0 (1) đúng.
0
3
3
(góc phần tư thứ ba)
2
2
2
3
3
tan
0 tan
.sin 0 (2) sai.
2
2
tan 3 tan
cot 3 cot
sin
cos
cos
sin
tan 3 .cot 3 1 (3) đúng.
LOVEBOOK.VN | 17
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
0
3
0 3
(góc phần tư thứ I, II và III)
2
2
Ở góc phần tư thứ I, cos 3 0 (4) sai.
0 2 (góc phần tư thứ I, II) sin 2 0 (5) đúng.
Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng.
Đáp án C.
II. Hệ thức lượng giác cơ bản
1. tan
sin
k , k
cos
2
2. cot
cos
k , k
sin
3. sin 2 cos 2 1
2
4. 1 tan
2
5. 1 cot
1
k , k
2
cos
2
1
k , k
sin 2
6. tan .cot 1 k
2
7. cot
1
k
tan
2
Ví dụ 1: Cho sin
A.
3
5
4
3
và
. Giá trị của cos là:
5
2
B.
3
5
3
C.
5
D.
9
25
Lời giải
4
Ta có sin cos 1 cos 1 sin 1
5
2
2
2
2
2
LOVEBOOK.VN | 18
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
3
cos
9
3
3
5
cos 2
cos
. Vì
.
3
25
2
5
cos
5
Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho tan 2 . Khi đó giá trị sin .cos gần nhất với giá trị nào sau
đây?
A. 2
B. 1
C. 1
D. 2
Lời giải
tan 2
1
1 tan 2 1 4 5
cos
1
4 4
cos 2 sin 2 1 cos 2 1
5
5 5
Mặt khác ta thấy tan 2
sin
nên sin , cos trái dấu
cos
4 2
.
25 5
sin .cos
Đáp án B.
Ví dụ 3: Giá trị sin 6 x cos 6 x bằng giá trị nào sau đây?
A. 1 2 sin 2 x.cos 2 x
C.
B. sin 4 x cos 4 x sin 2 x.cos 2 x
1
1
6
tan x 1 cot x 1
D. 1 3sin 2 x.cos 2 x
6
Lời giải
3
sin 6 x cos 6 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x.cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 3sin 2 x.cos 2 x
STUDY TIP
+) sin 6 x cos 6 x
1 3sin 2 x cos 2 x
+) sin 4 x cos 4 x
6
6
2
2
4
2
2
4
Hay sin x cos x sin x cos x sin x sin x.cos x cos x
sin 4 x cos 4 x sin 2 x.cos 2 x
2
sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos2 x 1 3sin 2 x.cos 2 x .
1 2sin 2 x cos 2 x
LOVEBOOK.VN | 19
Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Thuvienhoclieu.com
Đáp án D.
1 sin 2 a.cos 2 a
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
cos 2 a .
cos 2 a
A. 0
B. 2
C. 1
D. 1
Lời giải
1 sin 2 a.cos 2 a
Ta có: P
cos 2 a (ĐK: cos a 0 )
2
cos a
sin 2 a cos 2 a sin 2 a.cos 2 a
cos 2 a
cos 2 a
sin 2 a
2 1 sin 2 a cos 2 a tan 2 a 0 a thỏa mãn cos a 0
cos a
Dấu “=” xảy ra sin a 0 cos a 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Đáp án A.
Ví dụ 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x?
A. sin 2 x 2 cos 2 x
6
6
4
4
B. 2 sin x cos x 3 sin x cos x
C. tan 2 x cot 2 x 1
D. 2
STUDY TIP
Có thể thử các đáp án
bằng MTCT.
1
sin 2 x
Lời giải
+ sin 2 x 2cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x 1 cos 2 x (loại)
6
6
4
4
+ 2 sin x cos x 3 sin x cos x
2 1 3sin 2 x.cos 2 x 3 1 2sin 2 x.cos 2 x 1 (thỏa mãn).
Đáp án B.
LOVEBOOK.VN | 20
- Xem thêm -
.DOC 
58 
61 
82 
