Tài liệu Đề án tốt nghiệp-các mô hình vũ trụ

§¹i Häc S­ Ph¹m Hµ Néi Khoa VËt Lý −−−?−−− C¸c m« h×nh Vò trô Chuyªn ngµnh: VËt Lý Thiªn V¨n Lý ThuyÕt Khãa LuËn Tèt NghiÖp Sinh viªn thùc hiÖn: §oµn KiÒu Anh Líp: A K53 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: TS NguyÔn Quúnh Lan Hµ Néi, 5 / 2007 1 C¸c m« h×nh Vò trô Th¸ng 5 - 2007 Lêi c¶m ¬n Em xin ch©n thµnh bµy tá lêi c¶m ¬n tíi c« NguyÔn Quúnh Lan, ng­êi ®· quan t©m, tËn t×nh h­íng dÉn, chØ b¶o, cung cÊp tµi liÖu, ph­¬ng thøc nghiªn cøu cho em trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi khãa luËn tèt nghiÖp. Em xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong khoa VËt lý tr­êng §¹i Häc S­ Ph¹m Hµ Néi, ®Æc biÖt lµ c¸c thÇy c« trong tæ VËt lý §¹i c­¬ng, cïng b¹n bÌ ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì em trong qu¸ tr×nh hoµn thiÖn khãa luËn nµy. Con xin göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c tíi bè mÑ, gia ®×nh vµ ng­êi th©n v× ®· lu«n bªn con, ñng hé con ®Ó con ®¹t ®­îc kÕt qu¶ nh­ ngµy h«m nay. B¶n khãa luËn hoµn thµnh trong sù cè g¾ng, nç lùc cña em, song do ®Æc ®iÓm thiªn v¨n häc ë ViÖt Nam ch­a ph¸t triÓn, tµi liÖu nghiªn cøu kh«ng nhiÒu mµ chñ yÕu lµ tµi liÖu n­íc ngoµi, bªn c¹nh ®ã thêi gian nghiªn cøu, kinh nghiÖm nghiªn cøu khoa häc cßn h¹n chÕ nªn khãa luËn nµy kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy, em kÝnh mong nhËn ®­îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®Ó ®Ò tµi nµy cña em ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Hµ Néi, ngµy10 th¸ng 05 n¨m 2007. Ng­êi thùc hiÖn §oµn KiÒu Anh 1 Môc lôc 1 2 M« h×nh Vò trô de Sitter 6 1.1 Ph­¬ng tr×nh 6 1.2 HÖ sè gi·n në Vò trô (scale factor) . . . . . . . . . . . . . . . 10 M« h×nh Vò trô chuÈn 12 2.1 M« h×nh Big Bang 2.2 Ph­¬ng tr×nh Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 MËt ®é n¨ng l­îng tæng céng 2.4 2.5 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Ph­¬ng tr×nh tr¹ng th¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 XÐt mèi quan hÖ víi hÖ sè gi·n në Vò trô . . . . . . . . 17 2.3.3 Sù gi·n në theo thêi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Quan s¸t sù gi·n në cña Vò trô . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 Vò trô gi·n në 2.4.2 Sè phËn cña Vò trô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3 H¹t ch©n trêi 2.4.4 Kho¶ng c¸ch Vò trô Tuæi cña Vò trô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TÝnh tuæi Vò trô qua scale factor 2.5.2 TÝnh tuæi Vò trô qua ®é dÞch chuyÓn ®á M« h×nh n¨ng l­îng tèi 3.1 3.1.2 . . . . . . . . . . 27 z . . . . . . . . 29 33 B»ng chøng vÒ sù gia tèc cña Vò trô 3.1.1 3.2 a(t) 2.5.1 . . . . . . . . . . . . . . 33 §o kho¶ng c¸ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Th¨m dß sù gi·n në cña Vò trô Giíi thiÖu n¨ng l­îng tèi . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 3.3 M« h×nh vò trô víi qu¸ tr×nh r· vËt chÊt tèi . . . . . . . . . . . 36 Phô lôc · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43 3 Më ®Çu Ngµy nay Vò trô häc c«ng nhËn r»ng Vò trô cña chóng ta b¾t nguån tõ vô næ lín Big Bang. Tõ ®ã Vò trô tiÕn triÓn theo thêi gian cho ®Õn b©y giê. Víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña VËt lý häc, khoa häc lu«n muèn t×m hiÓu c¸c lo¹i t­¬ng t¸c vµ sù thèng nhÊt gi÷a chóng. Vò trô häc vµ Thiªn v¨n vËt lý còng vËy. Vò trô cßn rÊt nhiÒu bÝ mËt ch­a ®­îc kh¸m ph¸, con ng­êi cÇn ph¶i ®i t×m nh÷ng chiÕc ch×a khãa ®Ó më tõng c¸nh cöa nh»m tiÕn s©u h¬n n÷a vµo Vò trô, cè g¾ng gi¶i thÝch nh÷ng ®iÒu k× bÝ n»m trong ®ã. C¸c m« h×nh Vò trô lÇn l­ît ra ®êi. Cã rÊt nhiÒu m« h×nh Vò trô. Tõ xa x­a con ng­êi ®· ®­a ra m« h×nh Vò trô thÇn linh, m« h×nh Vò trô thÇn tho¹i (chÝnh v× thÕ mµ ta míi cã nh÷ng c©u chuyÖn thó vÞ vÒ c¸c v× sao). Råi xa h¬n khi con ng­êi cã nh÷ng nhËn xÐt qua quan s¸t chuyÓn ®éng cña c¸c thiªn thÓ, m« h×nh ®Þa t©m cña Ptoleme vµ m« h×nh nhËt t©m cña Copernic xuÊt hiÖn [1]. Vµ ®©y chÝnh lµ nh÷ng b­íc ®Öm thóc ®Èy, khÝch lÖ loµi ng­êi b­íc ch©n vµo nghiªn cøu Vò trô bao la vµ k× diÖu. C¸c m« h×nh Vò trô ®­îc coi lµ c«ng cô h÷u hiÖu trong qu¸ tr×nh kh¸m ph¸ b¶n chÊt, cÊu tróc còng nh­ n¨ng l­îng cña Vò trô. §ã chÝnh lµ lý do mµ t«i lùa chän ®Ò tµi "C¸c m« h×nh Vò trô". §èi t­îng nghiªn cøu cña ®Ò tµi lµ c¸c m« h×nh Vò trô. B¶n khãa luËn chñ yÕu tËp trung vµo mét sè m« h×nh Vò trô, t×m hiÓu vÒ n¨ng l­îng tèi. Môc ®Ých cña khãa luËn nµy lµ t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè, thµnh phÇn, sù gi·n në cña Vò trô. Qua ®ã ­íc l­îng tuæi cña Vò trô trong mçi m« h×nh, ®èi chiÕu kÕt qu¶ thu ®­îc víi nh÷ng th«ng tin hiÖn nay ta cã thÓ ®¸nh gi¸ nh÷ng g× ®· ®¹t ®­îc vµ ch­a ®¹t ®­îc cña tõng m« h×nh. B¶n khãa luËn còng giíi thiÖu mét c¸ch c¬ b¶n vÒ n¨ng l­îng tèi - mét thµnh phÇn chiÕm tØ lÖ kh«ng nhá trong Vò trô hiÖn nay (chiÕm 73% n¨ng l­îng Vò trô [2]). Tõ môc ®Ých ®ã, t«i lùa chän ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lµ ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch vµ tÝnh sè. Khãa luËn tr×nh bµy víi bè côc ba phÇn: phÇn më ®Çu, phÇn néi dung chÝnh, phÇn kÕt luËn. 4 PhÇn néi dung chÝnh cã 3 ch­¬ng: C¸c m« h×nh Vò trô lµ c¸c gi¶ thuyÕt ®­îc ®­a ra trong qu¸ tr×nh t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Einstein : 1 Rµν − gµν R − Λgµν = 8ΠGTµν 2 Ch­¬ng 1: M« h×nh Vò trô de Sitter M« h×nh ®¬n gi¶n nhÊt , ®ã lµ cho vÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh trªn b»ng kh«ng (coi nh­ kh«ng cã sù ®ãng gãp cña tenx¬ n¨ng xung l­îng Tµν = 0), mét m« h×nh kh«ng vËt chÊt, kh«ng bøc x¹, chØ cã n¨ng l­îng ch©n kh«ng. Ch­¬ng 2: M« h×nh Vò trô chuÈn Giíi thiÖu vÒ m« h×nh Big Bang [3]- m« h×nh gi¶i thÝch nguån gèc Vò trô ®ang ®­îc khoa häc thõa nhËn. Tæng qu¸t h¬n m« h×nh de Sitter, m« h×nh Vò trô chuÈn cã xÐt ®Õn c¶ sù cã mÆt cña vËt chÊt vµ bøc x¹ ngoµi n¨ng l­îng ch©n kh«ng. M« h×nh nµy t×m sù phô thuéc gi÷a c¸c yÕu tè nh­ mËt ®é n¨ng l­îng, hÖ sè gi·n në Vò trô, c¸c th«ng sè Vò trô... vµ sù phô thuéc cña chóng vµo sù gi·n në cña Vò trô. Tõ ®ã tïy thuéc sù ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn mµ Vò trô sÏ thÓ hiÖn mét c¸ch riªng t­¬ng øng. Qua ®ã ta cã thÓ thiÕt lËp ®­îc biÓu thøc tÝnh tuæi cña Vò trô. Sö dông m« h×nh Vò trô chuÈn ®Ó t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè Vò trô, hÖ sè gi·n në, mËt ®é n¨ng l­îng..., vµ sù thay ®æi cña c¸c ®¹i l­îng ®ã khi Vò trô gi·n në. Tõ ®ã ­íc l­îng tuæi Vò trô. Ch­¬ng 3: N¨ng l­îng tèi Giíi thiÖu vÒ n¨ng l­îng tèi vµ c¸c b»ng chøng cho sù tån t¹i cña n¨ng l­îng tèi còng nh­ c¸c m« h×nh cho n¨ng l­îng tèi. 5 Ch­¬ng 1 M« h×nh Vò trô de Sitter M« h×nh Vò trô lµ nh÷ng gi¶ thuyÕt ®­îc x©y dùng trªn nh÷ng lý thuyÕt ®· ®­îc khoa häc c«ng nhËn lµ ®óng. ThuyÕt t­¬ng ®èi réng cña Einstein ra ®êi ®· cung cÊp nÒn t¶ng lý thuyÕt cho Vò trô häc, nguyªn lý t­¬ng ®èi réng ®­îc khoa häc thõa nhËn lµ mét lý thuyÕt tæng qu¸t nhÊt cho mäi vËt. V× thÕ c¸c m« h×nh Vò trô ®Òu ®­îc x©y dùng dùa vµo c¬ së lý thuyÕt v÷ng ch¾c nµy. Ph­¬ng tr×nh Einstein lµ nguån gèc h×nh thµnh cña c¸c m« h×nh Vò trô. 1.1 Ph­¬ng tr×nh Ph­¬ng tr×nh hÊp dÉn Einstein: 1 Rµν − gµν R = 8ΠGTµν 2 (1.1) Tr­íc ®©y cã ý kiÕn cho r»ng Vò trô cña chóng ta lµ tÜnh t¹i. Nh­ng ph­¬ng tr×nh Einstein cho ta thÊy Vò trô lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng h­íng, nã kh«ng tÜnh mµ lu«n gi·n në hoÆc co l¹i. Einstein cho r»ng nhÊt thiÕt sè h¹ng gµν ph¶i cã mÆt trong ph­¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cña «ng (tøc lµ ph¶i cã thµnh phÇn kh«ng gian ë trong ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t). Nh­ thÕ ph­¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cña Einstein lµ: 1 Rµν − gµν R − Λgµν = 8ΠGTµν 2 trong ®ã: Rµν lµ tenx¬ ®é cong Ricci; 6 (1.2) R lµ ®é cong v« h­íng Ricci; gµν lµ tenx¬ metric; Λ lµ h»ng sè Vò trô; G lµ hÖ sè hÊp dÉn Einstein; Tµν lµ tenx¬ n¨ng xung l­îng:  ρΛ 0 0 0   0 −ρΛ 0 0 Tµν =   0 0 −ρΛ 0  0 0 0 −ρΛ víi       (1.3) ρΛ = 3Λ/(8ΠG). C¸c thµnh phÇn cña tenx¬ n¨ng xung l­îng lµ: T ij = pδji , nÕu ρΛ (1.4) d­¬ng th× ¸p suÊt ©m! Trong tr­êng hîp kh«ng cã vËt chÊt hoÆc bøc x¹ (cã nghÜa lµ Tµν = 0), ta cã ph­¬ng tr×nh de Sitter: 1 Rµν − gµν R = Λgµν . 2 (1.5) Nguyªn lý Vò trô cho ta biÕt Vò trô cña chóng ta lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng h­íng. §Ó m« t¶ Vò trô ta sö dông metric Robertson - Walker: dr2 ds = dt − a (t)( + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 ) 2 1 − kr 2 trong (1.5) Rµν 2 2 lµ tenx¬ Ricci: α Rµν = Rµαν , víi: ρ Rσµν = Mµ Γνµσ (1.6) (1.7) ∂ ρ ∂ ρ Γ − Γµσ + Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ . νσ µ ν ∂x ∂x lµ kÝ hiÖu Christoffel: Γλµν g λρ = (gνρ,µ + gµρ,ν − gνµ,ρ ) , 2 7 (1.8) vµ R lµ v« h­íng Ricci: trong ®ã gµν R = g µν Rµν (1.9) 1 , g µν (1.10) lµ tenx¬ metric: gµν =  gµν 1 0 0 0  2 a  0 0 0 − = 1 − kr2  0 −a2 r2 0 0 0 0 0 −a2 r2 sin2 θ        (1.11) Tõ c¸c d÷ kiÖn trªn ta cã thÓ tÝnh ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña kÝ hiÖu Christoffel, cô thÓ: ȧ ȧa Γ101 = Γ202 = Γ303 = ; Γ011 = a 1 − kr2 kr 1 2 3 ; Γ Γ111 = = Γ = 12 13 1 − kr2 r 0 2 1 Γ22 = ȧar ; Γ22 = −r(1 − kr2 ) Γ323 = cot θ; Γ133 = −r(1 − kr2 sin2 θ) Γ233 = − sin θ cos θ. C¸c thµnh phÇn cßn l¹i ®Òu b»ng 0. Tõ ®ã ta t×m ®­îc thµnh phÇn 00,11, 22, 33 cña ph­¬ng tr×nh de Sitter. a) Thµnh phÇn 00: α R00 = R0α0 = ∂Γα00 ∂Γα0α − + Γααλ Γλ00 − Γα0λ Γλα0 . α 0 ∂x ∂x Thay c¸c kÝ hiÖu Christoffel võa tÝnh vµo ta suy ra: ä R00 = −3 . a b) Thµnh phÇn 11: R11 = α R1α1 ∂Γα11 ∂Γα1α = − + Γααλ Γλ11 − Γα1λ Γλα1 . α 1 ∂x ∂x 8 Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra: ä R11 = −3 , a c) thµnh phÇn 22: R22 = α R2α2 ∂Γα22 ∂Γα2α − + Γααλ Γλ22 − Γα2λ Γλα2 = α 2 ∂x ∂x Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra: R22 = (äa + 2ȧ2 + 2k)r2 d) thµnh phÇn 33: R33 = α R3α3 ∂Γα33 ∂Γα3α = − + Γααλ Γλ33 − Γα3λ Γλα3 α 3 ∂x ∂x Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra: R33 = (äa + 2ȧ2 + 2k)r2 sin2 θ Tõ ®ã ta sÏ tÝnh ®­îc v« h­íng Ricci: R= R = g µν Rµν R00 R11 R22 R33 ä ȧ k + + + = −6[ + ( )2 + 2 ] g00 g11 g22 g33 a a a Ph­¬ng tr×nh de Sitter øng víi nh÷ng thµnh phÇn thêi gian vµ kh«ng gian: +) Víi thµnh phÇn 00: Ph­¬ng tr×nh t­¬ng øng lµ: 1 R00 − g00 R = Λg00 2 t­¬ng ®­¬ng: ȧ 3k 3( )2 + 2 = Λ a a (1.12) +) Víi thµnh phÇn 11: 1 R11 − g11 R = Λg11 2 suy ra: ä ȧ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a 9 (1.13) +) Víi thµnh phÇn 22: 1 R22 − g22 R = Λg 2 suy ra t­¬ng tù: ä ȧ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a +) Víi thµnh phÇn 33: Còng thay vµo nh­ trªn: 1 R33 − g33 R = Λg33 2 suy ra: ä ȧ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a Tãm l¹i ta cã 2 mèi quan hÖ cña kh«ng gian vµ h»ng sè Vò trô nh­ (1.12) vµ (1.13). 1.2 HÖ sè gi·n në Vò trô (scale factor) Theo ®Þnh luËt Hubble th×: v = Hr (1.14) mµ ta biÕt: r(t) = a(t)r0 víi r(t) lµ b¸n kÝnh Vò trô, a(t) lµ hÖ sè tØ lÖ (scale factor), cßn r0 ®ång chuyÓn ®éng (comoving coordinate) (th­êng chän r0 lµ to¹ ®é =1). Suy ra ta cã: ṙ = Hr hay: H(t) = Víi ṙ(t) ȧ = r(t) a (1.15) k = 0 vµ Λ > 0 th× tõ (1.12) ta suy ra: ȧ Λ H 2 (t) = ( )2 = a 3 10 (1.16) r hay H(t) = Tõ ȧ a = Λ 3 H(t) ta suy ra: ln a = Ht suy ra: r a(t) = exp(Ht) = exp( Ta thÊy a(t) Λ t). 3 (1.17) t¨ng nhanh theo hµm sè mò cña thêi gian, ®iÒu nµy dïng ®Ó gi¶i thÝch cho sù l¹m ph¸t cña Vò trô, Vò trô gi·n në rÊt nhanh nªn tr«ng nã nh­ mét mÆt ph¼ng (ta gäi lµ Vò trô ph¼ng) [4]. M« h×nh de Sitter ®· dùa trªn ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®èi réng cña Einstein ®i t×m mèi quan hÖ cña hÖ sè gi·n në Vò trô vµo thêi gian. Tuy nhiªn m« h×nh nµy míi chØ xÐt ®Õn Vò trô mét thµnh phÇn, hoµn toµn bá qua sù cã mÆt cña c¸c thµnh phÇn quan träng kh¸c mµ chóng ta ®· biÕt ®Õn. Nªn m« h×nh de Sitter chØ gi¶i quyÕt ®­îc mét phÇn nhá trong sù tiÕn hãa cña Vò trô mµ th«i. Ta cÇn ph¶i t×m mét m« h×nh tæng qu¸t h¬n, ®ã chÝnh lµ m« h×nh Vò trô chuÈn. 11 Ch­¬ng 2 M« h×nh Vò trô chuÈn 2.1 M« h×nh Big Bang C©u chuyÖn vÒ vô næ lín vµ nãng xuÊt hiÖn tõ nh÷ng b­íc tiÕn triÓn cña c¸c ý kiÕn vËt lý vµ quan s¸t Vò trô häc ®Çu thÕ kØ XX. ThÕ kØ XX ®¸nh dÊu sù tiÕn bé v­ît bËc cña VËt lý b»ng c¸c ®ãng gãp vÜ ®¹i cña nhµ b¸c häc Anbert Einstein. ThuyÕt t­¬ng ®èi réng cña Einstein (ra ®êi n¨m 1915) ®· cung cÊp cho c¸c nhµ khoa häc mét c¬ së ®Ó nghiªn cøu s©u h¬n vÒ Vò trô. C¸c m« h×nh Vò trô ®· ®­îc x©y dùng lªn tõ ®ã. Trong n¨m 1922, Friedmann ®· t×m ra mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Einstein, cho r»ng Vò trô lµ kh«ng tÜnh t¹i mµ hoÆc gi·n në hoÆc co sËp l¹i. N¨m 1929 cã mét kh¸m ph¸ vÜ ®¹i cña Hubble, r»ng nh÷ng tinh v©n ë xa lµ nh÷ng thiªn hµ n»m ngoµi Thiªn hµ cña chóng ta. B»ng viÖc quan s¸t sù dÞch chuyÓn vÒ phÝa ®á cña nh÷ng thiªn hµ nµy, Hubble thÊy r»ng Vò trô kh«ng ë tr¹ng th¸i tÜnh mµ nã ®ang gi·n në, sau ®ã «ng kh¸i qu¸t thµnh ®Þnh luËt mang tªn «ng, ®Þnh luËt Hubble: v = Hr N¨m 1946, lµm viÖc trªn lý thuyÕt vÒ sù d­ dËt c¸c yÕu tè nhÑ, Gamov ®Ò xuÊt r»ng Vò trô trong thêi gian ®Çu lµ rÊt nãng vµ ®Ëm ®Æc. TiÕp tôc c«ng viÖc cña Gamov, Alpher vµ Herman ®· viÕt ra mét ch­¬ng tr×nh dù ®o¸n r»ng Vò trô bÞ lÊp ®Çy bëi bøc x¹ v« tuyÕn víi quang phæ vËt ®en ë kho¶ng 5K [5]. 12 TÊt c¶ nh÷ng ý kiÕn nµy dÉn chóng ta tíi mét bøc tranh: mäi thiªn hµ ®Òu b¾t ®Çu tõ mét ®iÓm cùc nãng vµ ®é ®Ëm ®Æc lµ v« cïng, sau ®ã th× gi·n në, dÇn dÇn h¹ nhiÖt ®é khi gi·n në. Kh¸i niÖm ®ã ®­îc gäi lµ "The hot Big Bang" (Vô næ lín nãng). Cã nh÷ng b»ng chøng chøng tá cho m« h×nh "Hot Big Bang", ®ã lµ [6]: +) Sù dÞch chuyÓn ®á cña nh÷ng thiªn hµ xa x«i: lµ chøng cø ®Çu tiªn cña Vò trô ®ang gi·n në. +) Sù tæng hîp h¹t nh©n nguyªn thñy: Nh÷ng dù ®o¸n vÒ sù d­ dËt nguyªn tè nhÑ tõ sù tæng hîp h¹t nh©n trong Big Bang ®· ®­îc ®Ò xuÊt, vµ ®· ®­îc chÊp nhËn víi nh÷ng quan s¸t thiªn v¨n häc. +) ViÖc t×m ra bøc x¹ nÒn Vò trô CMB n¨m 1965 bëi Penziad vµ Wilson. Quang phæ cña CMB rÊt gÇn víi lý thuyÕt dù ®o¸n, nã d­êng nh­ rÊt ®¼ng h­íng trong toµn kh«ng gian víi nhiÖt ®é kho¶ng 2,7K, rÊt gÇn víi tiªn ®o¸n cña Alpher vµ Herman. ViÖc kh¸m ph¸ ra CMB cung cÊp mét b»ng chøng cô thÓ cho lý thuyÕt Big Bang, chèng l¹i lý thuyÕt tr¹ng th¸i tÜnh. ∗ Còng nh­ m« h×nh de Sitter dùa trªn yÕu tè ®­êng d¹ng (1.6) nh­ng m« h×nh chuÈn cña Vò trô tæng qu¸t h¬n v× nã cã chøa nh÷ng d¹ng n¨ng l­îng kh¸c n¨ng l­îng ch©n kh«ng nh­ lµ vËt chÊt vµ bøc x¹. M« h×nh chuÈn cung cÊp nÒn t¶ng cho m« h×nh Big Bang - mét m« h×nh thµnh c«ng trong viÖc gi¶i thÝch nhiÒu ®Æc tÝnh quan träng trong quan s¸t Vò trô. Trong chÊt l­u Vò trô, ta ®­a ra hÖ ®ång chuyÓn ®éng, n¬i mµ chÊt l­u lµ hoµn toµn ®¼ng h­íng. 2.2 Ph­¬ng tr×nh Friedmann Trong m« h×nh Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker ®ång nhÊt vµ ®¼ng h­íng (FLRW), cã yÕu tè ®­êng trong hÖ to¹ ®é ®ång chuyÓn ®éng 13 (xÐt trong hÖ to¹ ®é cÇu) lµ: dr2 ds = dt − a (t)( + r2 d2 θ + r2 sin2 θd2 φ). 2 1 − kr 2 2 2 (2.1) Trong m« h×nh chuÈn ta cã xÐt ®Õn sù cã mÆt cña vËt chÊt, bøc x¹ nghÜa lµ cã sù ®ãng gãp cña tenx¬ n¨ng xung l­îng Tµν tõ vËt chÊt vµ bøc x¹. §èi víi h¹t ®øng yªn trong hÖ to¹ ®é ®ång chuyÓn ®éng th× nã tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh tr¾c ®Þa (ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña h¹t trong kh«ng gian): ν µ d2 xi i dx dx + Γµν =0 (2.2) ds2 ds ds i (ThËt vËy, v× h¹t ®øng yªn nªn dr = dθ = dφ =0 hay dx = 0 víi i = 0 0 dxi i dx dx 1,2,3 nªn ds = dt vµ = 0. Suy ra (2.2) t­¬ng ®­¬ng víi Γ00 = 0 ds ds ds i (®iÒu nµy hoµn toµn ®óng v× Γ00 =0) ). §iÒu ®ã chØ ra r»ng mét h¹t cã mét vËn tèc ®Æc biÖt nµo ®ã liªn quan ®Õn hÖ ®ång chuyÓn ®éng sÏ ®øng yªn khi Vò trô gi·n në. Vò trô lµ ®¼ng h­íng ë mäi ®iÓm trong hÖ ®ång chuyÓn ®éng. Tõ ®ã sÏ dÉn tíi mét ®Æc ®iÓm rÊt thó vÞ cña m« h×nh ®ång nhÊt nh­ m« h×nh FLRW lµ: mäi quan s¸t viªn ®Òu thÊy mét Vò trô ®¼ng h­íng tõ bÊt cø n¬i ®©u (do vËy, mçi ng­êi ®Òu thÊy m×nh lµ trung t©m cña Vò trô), nÕu nh­ hä ®øng yªn trong hÖ ®ång chuyÓn ®éng ®Þa ph­¬ng (r, θ, φ kh«ng ®æi). Nh­ ta ®· biÕt tenx¬ n¨ng xung l­îng: Tµν = (p + ρ)uµ uν − pgµν . trong ®ã (2.3) p lµ ¸p suÊt chÊt l­u; ρ lµ mËt ®é n¨ng l­îng tæng céng; uµ lµ vect¬ vËn tèc 4 chiÒu. §iÒu kiÖn ®¹o hµm hiÖp biÕn: T;µµν = 0. víi: µν µν T;α = T,α + Γµαρ T ρν + Γναρ T ρµ . 14 (2.4) Nh­ vËy ph­¬ng tr×nh Einstein b©y giê lµ: 1 Rµν − gµν = 8ΠGTµν . 2 Gäi (2.5) ρ lµ mËt ®é n¨ng l­îng tæng céng cña vËt chÊt, bøc x¹,n¨ng l­îng ch©n kh«ng th×: ρ = ρm + ρrad + ρvac . (2.6) Trong ch­¬ng tr­íc chóng ta chØ xÐt m« h×nh Vò trô kh«ng cã vËt chÊt hay bøc x¹, cßn ë trong ch­¬ng nµy chóng ta xÐt m« h×nh FLRW cã sù ®ãng gãp cña vËt chÊt vµ bøc x¹. Ta ®Þnh nghÜa mËt ®é n¨ng l­îng ch©n kh«ng lµ: ρvac = Λ . 8πG (2.7) th× ta cã thÓ viÕt l¹i ph­¬ng tr×nh Friedmann lµ: k 8πG ȧ ρ. ( )2 + 2 = a a 3 ä ȧ k 2 + ( )2 + 2 = −8πGp. a a a (2.8) (2.9) Tõ (2.8) ta cã: ρ= 3 ȧ k [( )2 + 2 ] 8πG a a Tõ (2.9) ta cã: 1 ä ȧ k [2 + ( )2 + 2 ] 8πG a a a 2 3 ȧ äa − (ȧ) 2k ȧ 3 aȧä − ȧ3 − k ȧ =⇒ ρ̇ = [2 − 3 ]= 8πG a a2 a 4πG a3 1 2ä ȧ k 3 ȧ k =⇒ 3a2 ȧ(p + ρ) + a3 ρ̇ = 3a2 ȧ[− ( + ( )2 + 2 ) + (( )2 + 2 )] 8πG a a a 8πG a a 3 3 aȧä − (ȧ) − k ȧ +a3 4πG a3 1 ȧ 2 k 3a2 ȧ 2ä 2 3 2 =⇒ 3a ȧ(p + ρ) + a ρ̇ = 3a ȧ (( ) + 2 ) − 4πG a a 8πG a 3 + (aȧä − ȧ3 − k ȧ) 4πG p=− 15 =⇒ 3a2 ȧ(p + ρ) + a3 ρ̇ = 0 d =⇒ [a3 (ρ + p)] = 3a2 ȧ(ρ + p) + a3 (ṗ + ρ̇)= ṗa3 dt Tõ ®ã ta suy ra: ṗa3 = d d d d (pa3 ) + (ρa3 ) = p a3 + ṗa3 + (ρa3 ) dt dt dt dt ⇐⇒ d d (ρa3 ) = −p a3 . dt dt (2.10) (®©y chÝnh lµ ph­¬ng tr×nh liªn tôc cña chÊt khÝ lÝ t­ëng [7]). Qua ph­¬ng tr×nh (2.10) ta thÊy r»ng sù biÕn thiªn mËt ®é n¨ng l­îng da3 tæng céng trong yÕu tè thÓ tÝch dV = 2.3 c©n b»ng víi −p d 3 a. dt MËt ®é n¨ng l­îng tæng céng 2.3.1 Ph­¬ng tr×nh tr¹ng th¸i Ph­¬ng tr×nh tr¹ng th¸i lµ mèi quan hÖ gi÷a ¸p suÊt l­îng tæng céng p vµ mËt ®é n¨ng ρ: p = αρ (2.11) α lµ mét h»ng sè. Trong tõng tr­êng hîp mçi thµnh phÇn ®ãng vai trß chñ ®¹o mèi quan hÖ cña p vµ ρ thÓ hiÖn kh¸c nhau [8]. ρ 1 +) Bøc x¹ chi phèi: α = =⇒ p = . 3 3 +) VËt chÊt phi t­¬ng ®èi tÝnh chi phèi: α = 0 =⇒ p = 0 (®iÒu nµy cã trong ®ã thÓ ®­îc gi¶i thÝch nh­ sau: vËt chÊt phi t­¬ng ®èi tÝnh chuyÓn ®éng víi vËn tèc v << c cã n¨ng l­îng nghØ mc2 , lµ mét gi¸ trÞ rÊt lín khi ®em so s¸nh víi ¸p suÊt, nªn ta cã thÓ coi mét c¸ch gÇn ®óng lµ vËt chÊt phi t­¬ng ®èi tÝnh kh«ng cã ¸p suÊt hay p = 0). +) N¨ng l­îng ch©n kh«ng chi phèi th× α = −1 =⇒ p = −ρ sù l¹m ph¸t, gi¶i thÝch sù gi·n në t¨ng tèc cña Vò trô nguyªn thñy). 16 (g©y ra 2.3.2 XÐt mèi quan hÖ víi hÖ sè gi·n në Vò trô ρ sÏ thay ®æi nh­ thÕ nµo khi Vò trô gi·n në, nghÜa lµ ta ®i t×m mèi quan hÖ gi÷a mËt ®é n¨ng l­îng tæng céng ρ víi hÖ sè gi·n në a(t) (scale factor). MËt ®é n¨ng l­îng Ta thay ph­¬ng tr×nh tr¹ng th¸i vµo ph­¬ng tr×nh (2.11) thu ®­îc: d d (ρa3 ) = −αρ a3 dt dt d ρ̇a3 = −(1 + α)ρ a3 dt ρ̇ 3ȧ ȧ = −(1 + α) = −3(1 + α) ρ a a ⇐⇒ ⇐⇒ TÝch ph©n hai vÕ ta cã: lnρ = −3(1 + α)lna + const ⇐⇒ loga ρ = −3(1 + α) + const. nªn suy ra: ρ = const · a−3(1+α) . Tõ (2.12) ta thÊy øng víi c¸c gi¸ trÞ cña (2.12) α th× ta cã c¸c gi¸ trÞ tØ lÖ kh¸c ρ víi hÖ sè gi·n në a(t). Cô thÓ lµ: 1 +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi bøc x¹, nghÜa lµ: α = th× ta cã: 3 1 ρ∼ 4 a nhau cña mËt ®é n¨ng l­îng (2.13) (viÖc nµy x¶y ra trong vµi tr¨m ngh×n n¨m sau vô næ lín Big Bang). +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi vËt chÊt, nghÜa lµ ρ∼ α = 0 th× ta cã: 1 a3 (2.14) (thùc ra ®iÒu nµy còng kh«ng cã g× khã hiÓu. Khi vËt chÊt æn ®Þnh, kh«ng tù t¨ng lªn hay hñy ®i, th× mËt ®é n¨ng l­îng sÏ tØ lÖ nghÞch víi thÓ tÝch, khi hÖ sè gi·n në Vò trô a(t) ®é n¨ng l­îng tØ lÖ víi t¨ng lªn th× thÓ tÝch sÏ t¨ng lªn b»ng a3 (t) ,nªn mËt a−3 (t)). +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi n¨ng l­îng ch©n kh«ng, ta cã ρ ∼ const 17 α = −1 : (2.15) 2.3.3 Sù gi·n në theo thêi gian HÖ sè gi·n në Vò trô thÓ hiÖn kh¸c nhau øng víi tõng tr­êng hîp Vò trô bÞ chi phèi bëi nh÷ng thµnh phÇn kh¸c nhau. Tõ (2.8) vµ (2.9) ta rót ra ®­îc: ä −4πG = (ρ + 3p) a 3 (2.16) V× a(t) lµ mét hµm phô thuéc vµo thêi gian nªn ®Æt: a ∼ tβ =⇒ ä ∼ tβ−2 =⇒ ä ∼ t−2 a MÆt kh¸c, tõ ph­¬ng tr×nh tr¹ng th¸i (2.11) suy ra: (3p + ρ) = (1 + 3α)ρ ∼ a−3(1+α) ∼ t−3β(1+α) . §ång nhÊt 2 vÕ cña (2.16) ta cã: =⇒ −2 = −3β(1 + α) 2 . =⇒ β = 3(1 + α) Nªn: (2.17) (2.18) 2 a(t) ∼ t 3(1 + α) (2.19) 1 α= . 3 √ a(t) ∼ t +) Khi Vò trô chi phèi bëi bøc x¹: +) Khi Vò trô chi phèi bëi vËt chÊt: (2.20) α=0 a(t) ∼ t2/3 +) Khi Vò trô chi phèi bëi n¨ng l­îng ch©n kh«ng: (2.21) α = −1 Nh­ ta ®· biÕt tõ (1.17) th× hÖ sè gi·n në t¨ng theo hµm e mò: a(t) ∼ eHt (2.22) Qua ®ã ta thÊy r»ng Vò trô víi mét tØ lÖ bÊt k× cña vËt chÊt, bøc x¹, n¨ng l­îng ch©n kh«ng th× lu«n lu«n gi·n në (lu«n tØ lÖ víi thêi gian) nªn kh«ng bao giê tån t¹i ë mét thÓ ®ãng. (Xem h×nh 1 vµ h×nh 2 (tr­íc Phô lôc) thÓ hiÖn sù tiÕn triÓn cña hÖ sè gi·n në Vò trô vµo thêi gian) 18