Tài liệu Dãy số và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- LÊ ĐỨC VIỆT DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- LÊ ĐỨC VIỆT DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS .TS . VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, Năm 2014 Lời nói đầu Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT. Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực và quốc tế. Các dạng toán về dãy số rất phong phú và đa dạng nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên đề riêng biệt. Nội dung và mục tiêu của luận văn : “ Dãy số và các bài toán liên quan “ là hệ thống lại một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của dãy số, ứng dụng của dãy số trong việc giải một số bài toán liên quan thông qua các ví dụ minh họa và tổng quát hóa các kết quả đơn giản. Bố cục của luận văn gồm 3 chương Chương I.Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy Chương này trình bày các khái niệm, công thức và tính chất cơ bản về cấp số cộng , cấp số nhân ,công thức tổng quát của dãy, một số dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy sử dụng tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân và một số bài toán liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân. Chương II.Giới hạn dãy Chương này trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về giới hạn dãy số và hệ thống các ví dụ minh họa về chứng minh sự tồn tại của giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số. Một số các phương pháp tìm giới hạn dãy số. Chương III. Các bài toán về số học và dãy Chương này trình bày các bài toán liên quan đến số học và dãy số trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố và Olympic 30/4 thông qua các ví dụ minh họa. 1 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Vũ Đỗ Long. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này. Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và tọa điều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn này được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2014 2 Mục lục Lời nói đầu ............................................................................................................. 0 Lời cảm ơn ............................................................................................................. 2 Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. ................... 4 1.1 Khái niệm cơ bản ........................................................................................... 4 1.1.1 Cấp số cộng ............................................................................................. 4 1.1.2 Cấp số nhân ............................................................................................. 4 1.1.3 Công thức tổng quát của dãy................................................................... 5 1.1.4 Cách xác định dãy số ............................................................................... 5 1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng .............................................................................. 5 1.1.6 Dãy số bị chặn ........................................................................................ 6 1.1.7 Dãy số tuần hoàn .................................................................................... 6 1.1.8 Dãy số dừng ........................................................................................... 6 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt. ....................................................................................... 6 1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân. ................................................... 29 Chương II. Giới hạn dãy ..................................................................................... 44 2.1 Khái niệm cơ bản ......................................................................................... 44 2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy ........................................................ 45 2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn......... 45 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp ..................................................... 56 2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác ..................................................... 62 2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy ......................................................... 68 2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy ........... 74 Chương III. Các dạng bài toán khác về dãy số .................................................. 77 3.1 Bài toán về số học của dãy số ....................................................................... 77 3.2 Ứng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạng .................................... 85 3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm ...................................................... 87 3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số .................................................................. 88 Kết luận ................................................................................................................ 94 Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 95 3 Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. 1.1 Khái niệm cơ bản 1.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d , nghĩa là  u n  là cấp số cộng  n  2, un  un1  d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Định lý 1 : Nếu cấp số cộng  u n  có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức u n  u1   n  1 d , n  2 Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u u uk  k 1 k 1 , k  2 2 Định lý 3: Cho cấp số cộng  u n  , đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó: Sn   u1  un  n 2  2u1   n  1 d  n hay Sn   2 1.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)  u n  là cấp số nhân  n  2, un  un1.q . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức u n  u1.q n 1 , n  2 . Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u k2  u k 1.u k 1 , k  2 (hay uk  uk 1.uk 1 ). 4 Định lý 3: Cho cấp số nhân  u n  với công bội q  1 . Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó Sn  u1 1  q n  1 q Chú ý: Nếu q  1 thì cấp số nhân là u1, u1,..., u1 ,... Khi đó Sn  n.u1 1.1.3 Công thức tổng quát của dãy Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). u: * Kí hiệu: * được gọi n  u n Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là số hạng của dãy số u1  u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu) … u n  u  n  được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy). Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2 ,..., un ,... Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1, 2,..., m với mỗi m * được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 ,..., um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. 1.1.4 Cách xác định dãy số Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. n 1 VD: Cho dãy số  u n  với un  3n  1 Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp). u1  1 un  2un1  1, n  2 VD: Cho dãy số  un  :  1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu un1  un , n  1 . Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu un1  un , n  1 . 5 Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu un1  un , n  1 . Dãy số  u n  được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu un1  un , n  1 . 1.1.6 Dãy số bị chặn Dãy số  u n  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu M  : un  M , n  1 . Dãy số  u n  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu m  : un  m, n  1 . Dãy số  u n  được gọi là dãy số bị chặn nếu M , m  : m  un  M , n  1 1.1.7 Dãy số tuần hoàn Dãy số  u n  được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu unk  un , n  1 1.1.8 Dãy số dừng Dãy số  u n  được gọi là dãy số dừng nếu n0  : un  c, n  n0 ( c là hằng số, gọi là hằng số dừng ). 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt. Ví dụ 1.1 u1  2 Xác định công thức tổng quát của dãy  un  :  un  3un1  1, n  2 Giải: Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy  u n  không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng quát. Nếu không có  1 xuất hiện ở vế trái thì dãy  u n  sẽ là một cấp số nhân với công bội q  3 . Ta sẽ tìm cách làm mất  1 và chuyển dãy  u n  về cấp số nhân. un  k  3 un1  k   un  3un1  k  3k 1 2 1 1   un   3 un1   2 2  5  v  1 Đặt: vn  u n    1 2 2 vn  3vn 1 , n  2  1  k  3k  k  6 Dãy  vn  là một cấp số nhân với công bội q  3 5  vn  v1.q n 1  .3n1 2 1 5 n 1 1 Vậy un  vn   .3  , n  1 2 2 2 Bài toán 1.1 u1  x0 Xác định công thức tổng quát của dãy  un  :   a, b  0 un  a.un1  b, n  2 Giải: Trường hợp 1: a  1 thì dãy  u n  là cấp số cộng có công sai d  b nên u n  u1   n  1 d  x0   n  1 b Trường hợp 2: a  1 Ta đặt un  k  a  un1  k   un  aun1  k  ak b ab b ab b b    1 a a 1 1 a a 1 a 1 b b  ab b   un   a  un1   Khi đó: un  a.un 1   a 1 a 1 a 1 a 1   b  b v1  x0  Đặt: vn  un   a 1 a 1  v  a . v n 1  n b  n1  Dãy  vn  là cấp số nhân có công bội q  a  vn  v1.q n1   x0   .a a 1   b b  n1 b a n1  1  n 1   x0  . a   x . a  b , n  1 Vậy un  vn   0 a 1  a 1 a 1 a 1 Ta phân tích b  k  ak  k  u1  x0 Kết quả 1.1: Dãy  un  :   a, b  0 un  a.un1  b, n  2  x0   n  1 b, a 1  thì có công thức số hạng tổng quát là un   a n1  1 n 1 x . a  b , a 1  0 a 1  u1  2 un  2un1  3n  1, n  2 Ví dụ 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy  un  :  Giải: Để tìm công thức tổng quát của dãy số trên ta tìm cách làm mất 3n1 để chuyển về dãy số là một cấp số nhân. 7 Ta đặt un   an  b   2 un 1  a  n  1  b   un  2un1  an  b  2  a  n  1  b   3n  1  an  b  2 a  n  1  b a  b  2 a  3  Cho n  1, n  2 ta có hệ   b  5  b  5  un  3n  5  2 un1  3  n  1  5 v1  10 Đặt: vn  un  3n  5   vn  2vn1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  2  vn  v1 .q n 1  10.2 n 1 ,  n  2 Vậy công thức tổng quát của u n  10.2 n 1  3n  5, n  1 . u1  2 Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  :  un  un1  2n  1, n  2 Giải: Xét f  n   2 n  1 là đa thức bậc 1 đối với n Đặt un  g  n  un1  g  n  1 suy ra f  n   g  n   g  n  1 , trong đó g  n  là đa thức bậc 2 đối với n có hệ số 2 tự do bằng 0. Từ đó có g  n  an  bn 2  2n  1   an2  bn  a  n 1  b  n 1    a  b  1 a  1   g  n   n2  2n Cho n  0, n  1 ta được hệ:  a  b  3 b  2 2  un   n2  2n  un1   n 1  2  n 1    v1  1 2 Đặt: vn  un   n  2n    vn  vn1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  1  vn  v1 .q n 1  v1  1,  n  2 Vậy công thức tổng quát của u n  n 2  2 n  1,  n  1 . 8 Bài toán 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy u  x  un  :  1 0 un  a.un 1  f  n  , n  2 ,trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n . Giải: Đặt un  g  n   a un1  g  n  1  Ta viết f  n   g  n   ag  n  1 (*) với g  n  cũng là một đa thức theo n . Khi đó un  a.un1  g  n   ag  n  1  un  g  n   a un1  g  n  1  v  u1  g 1  x0  g 1 Đặt: vn  un  g  n    1 vn  a.vn 1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  a  vn  v1.q n1   x0  g 1  .a n1 , n  1 Vậy công thức tổng quát của un   x0  g 1  .a n1  g  n  , n  1 . Như vậy trong lời giải trên ta chỉ cần xác định được đa thức g  n  là bài toán được giải quyết trọn vẹn. Đa thức g  n  được xác định như sau: Nếu a  1 thì g  n   ag  n  1 là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g  n  một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g  n  , mà f  n  là đa thức bậc k nên để có (*) ta chọn g  n  là đa thức bậc k  1 , có hệ số tự do bằng 0. Khi đó ta được hệ gồm k  1 phương trình, giải hệ này ta tìm được g  n  . Nếu a  1 thì g  n   ag  n  1 là đa thức cùng bậc với g  n  nên ta chọn g  n  là đa thức bậc k , trong đẳng thức (*), ta cho k  1 giá trị n bất kì, ta được hệ gồm k  1 phương trình, giải hệ này ta tìm được g  n  . Như vậy ta đi đến kết quả sau đây Kết quả 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy u  x  un  :  1 0 un  a.un 1  f  n  , n  2 ,trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n . Giải: Đặt un  g  n   a un1  g  n  1  9 Ta viết f  n   g  n   ag  n  1 với g  n  cũng là một đa thức theo n . Nếu a  1 thì g  n  là đa thức bậc k  1 , có hệ số tự do bằng 0. Nếu a  1 thì g  n  là đa thức bậc k . Khi đó un  a.un1  g  n   ag  n  1  un  g  n   a un1  g  n  1  v  u1  g 1  x0  g 1 Đặt: vn  un  g  n    1 vn  a.vn 1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  a  vn  v1.q n1   x0  g 1  .a n1 , n  1 Vậy công thức tổng quát của un   x0  g 1  .a n1  g  n  , n  1 . u1  1 Ví dụ 1.4: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  :  n un  3un 1  2 , n  2 Giải: Ta đưa dãy  un  về cấp số nhân công bội q  3 bằng cách viết u n  k .2 n  3  u n 1  k .2 n 1   u n  3u n 1  k .2 n  3k .2 n 1  2n  k.2n  3k.2n1 Cho n  1 thì 2  2k  3k  k  2 . Khi đó u n  2.2 n  3  u n 1  2.2 n 1  v1  5 n Đặt vn  un  2.2   vn  3.vn1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  3  vn  v1 .q n 1  5.3 n 1 ,  n  2 Vậy công thức tổng quát của u n  5.3n 1  2.2 n , n  1 . Bài toán 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy u  x  un  :  1 0 n un  a.un 1  b. , n  2 Giải: n Ta thấy cách giải của bài toán then chốt ở chỗ ta phân tích được biểu thức b. , sau đó chuyển dãy  un  về cấp số nhân là bài toán giải xong. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: a   thì u n   .u n 1  b. n 10 n n n1 Ta phân tích:   n.    n 1 . Khi đó u n   u n 1  bn n  b  n  1  n 1  u n  bn n   u n 1  b  n  1  n 1  v1  x0  b n Đặt: vn  un  bn   vn   vn1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q    vn  v1.qn1   x0  b  . n1, n  2 Vậy công thức tổng quát của un   x0  b  . n1  bn n  x0 n1  b  n 1  n , n  1 . Trường hợp 2: a   Ta phân tích  n  k n  ak n 1    k  ak    k   a   k  n n Khi đó u n  au n 1  b  au n 1  bk  abk n 1 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  a  vn  v1.qn1   x0  bk  an1, n  2 Vậy công thức tổng quát của dãy  un  là: b  n1 b n  un   x0  bk  .a n1  bn n   x0  a   , n  1 .   a   a  Kết quả 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy u  x  un  :  1 0 n un  a.un 1  b , n  2 Ta làm như sau: n n n1 Nếu a   thì ta phân tích   n.    n 1 . , n n n1 Nếu a   thì ta phân tích   k  ak , b  n1 b n  a   , n  1 khi đó un   x0    a   a  11  a  u n  bk  a  u n 1  bk n 1  n v1  x0  bk n Đặt: vn  un  bk   vn  avn1 , n  2 n1 n khi đó un  x0  b  n  1  , n  1  Ví dụ 1.5: Tìm công thức tổng quát của dãy u  2  un  :  1 n n un  5un1  2.3  6.7  12, n  2 Giải: Đặt un  k.3n  l.7 n  a  5 un1  k.3n1  l.7 n1  a       u n  5u n 1   k .3n  l .7 n  a   5  k .3n 1  l .7 n 1  a   u n  5u n 1   k .3n  5k .3n 1    l .7 n  5l .7 n 1    a  5a  Suy ra 12  5a  a  a  3  12  5  3    3   3  5.3 n n n1 2. 3  k.3  5k.3 n n1 6.7  5l.7 . Cho n  1  k  3  l.7 . Cho n  1  l  21 n  u n  3.3n  21.7 n  3  5  u n 1  3.3n 1  21.7 n 1  3  v1  157 vn  5vn1, n  2 n n Đặt vn  un  3.3  21.7  3   Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  5  vn  v1.q n 1  157.5n 1 ,  n  2 Vậy công thức tổng quát của u n  157.5 n 1   3.3n  21.7 n  3  ,  n  1 u1  1 Ví dụ 1.6: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  :  n un  2un 1  3  n, n  2 Giải: Đặt un   k.3n  g  n    2 un1   k.3n1  g  n  1    u n  2u n 1   k .3  2 k .3 n n 1     g  n   2 g  n  1   n  g  n   2 g  n  1 Suy ra  n n 1 n 3  k .3  2k .3 Với  n  g  n   2 g  n  1 , trong đó g  n   an  b  n  an  b  2  a  n  1  b  Cho n  1, n  2 ta được a  b  1  a  1 a  b  2b  1    g n  n  2  b  2 b  2 b  2a  2  a  b   2 n n1 Với 3  k.3  2k.3n . Cho n  1  k  3  3n  2.3.3n1  3.3n 12  u n  3.3n  n  2  2  u n 1  3.3n 1   n  1  2  v1  11 n Đặt vn  un  3.3  n  2   vn  2vn1 , n  2 Dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  2  vn  v1 .q n 1   11.2 n 1 ,  n  2 Vậy công thức tổng quát của u n  11.2 n 1  3.3n  n  2, n  1 Kết quả 1.4: Để xác định công thức tổng quát của dãy u1  x0  un  :  n un  a.un 1  b  f  n  , n  2 n ,trong đó f  n  là đa thức bậc k theo n , ta phân tích  và f  n  như trong Kết quả 1.2 và Kết quả 1.3. u0  1, u1  3 Ví dụ 1.7: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  :  un  5un1  6u n2 , n  2 Giải: Từ giả thiết un  5un1  6un 2  0 n Đặt u n  a  x1   b  x2  n2 Ta có ax1 x 2 1 n  5x1  6  bx2n2  x22  5x2  6  0  x1  2  x2  3 2 Ta chọn x1 , x2 là nghiệm của phương trình x  5x  6  0   n n Suy ra un  a.2  b.3 u  a  b   1  a  6 Mặt khác  0  b  5 u1  2a  3b  3 n n Vậy ta có công thức tổng quát của dãy  un  là un  6.2  5.3 , n  1 Kết quả 1.5: Để tìm công thức tổng quát của dãy u0  a0 , u1  a1 ,trong đó a, b un  a.un1  bun2  0, n  2 như sau:  un  :  13 2 và a  4b  0 thì ta làm 2 Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình: x  ax  b  0 (đây là phương trình đặc trưng của dãy). k  l  u0 Nếu x1  x2 thì u n  kx1n  lx2n , trong đó k, l là nghiệm của hệ  .  x1k  x2l  u1 l   u0 k  l  u1 n1 Nếu x1  x2   thì un   kn  l   , trong đó k, l là nghiệm của hệ  u0  1, u1  2 Ví dụ 1.8: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  :  un1  4un  un1 , n  1 Giải (Ta áp dụng Kết quả 1.5) x  2  5 Xét phương trình đặc trưng: x 2  4 x  1  0   1  u n  kx1n  lx2n  x2  2  5 k  l  1 1 k l  Do u0  1, u1  2 nên k, l là nghiệm của hệ  2  2  5 k  2  5 l  2 n n 1 Vậy u n   2  5  2  5  , n  0 .  2          u0  1, u1  3 Ví dụ 1.9: Tìm công thức tổng quát của dãy  un  :  un1  4un  4un1 , n  1 Giải (Ta áp dụng Kết quả 1.5) n1 Xét phương trình đặc trưng: x 2  4 x  4  0  x1  x2  2  un   kn  l  2 l  2.1 k  1  Do u0  1, u1  2 nên k, l là nghiệm của hệ  k  l  3 l  2 n1 Vậy un   n  2 2 , n  1 . Ví dụ 1.10: Tìm công thức tổng quát của dãy u  1, u1  3  un  :  0 2 un  5un 1  6un 2  2n  2n  1, n  1 Giải Ta phân tích: 2 2 2n2  2n  1   kn2  ln t   5 k  n  1  l  n  1  t   6 k  n  2  l  n 1  t      14 19k  7l  2t  1 k  1   Cho n  0, n  1, n  2 ta có hệ 7k  5l  2t  5  l  8 k  3l  2t  13 t  19    un  5un1  6un2 2 2   n2  8n  19   5  n  1  8  n  1  19  6  n  2   8  n  1  19     2  un   n 2  8 n  19    5 un1   n  1  8  n  1  19       2   6 un 2   n  2   8  n  1  19   0   v0  20, v1  25 2 Đặt vn  un  n  8n  19   vn  5vn1  6vn2  0, n  2    x1  2 2 Xét phương trình đặc trưng: x  5x  6  0    vn   3 n   2 n  x2  3 Do v0  20, v1  25 nên  ,  là nghiệm của hệ     20   15   vn  15.3n  35.2n  3  2  25   35 Vậy u n  15.3n  35.2 n  n 2  8 n  19, n  0 . Bài toán 1.5: Xác định công thức tổng quát của dãy u , u  un  :  0 1 un  aun 1  bun  2  f  n  , n  2 2 ,trong đó f  n  là đa thức bậc k theo n và a  4b  0 , ta làm như sau: Giải: Ta phân tích f  n   g  n   ag  n  1  bg  n  2  Ta đặt vn  u n  g  n  (1) v  u0  g  0  , v1  u1  g 1 Ta có được dãy số  vn  :  0 vn  avn 1  bv n  2  0, n  2 Đây chính là dãy số mà ta xét ở Kết quả 1.5 Do vậy ta xác định được công thức tổng quát của dãy  vn  từ đó xác định được công thức tổng quát của dãy  un  . 15 Vấn đề còn lại là ta xác định được đa thức g  n  ở (1) Vì f  n  là đa thức bậc k nên ta phải chọn g  n  sao cho g  n   ag  n  1  bg  n  2  cũng là một đa thức bậc k theo n . Khi đó ta chỉ cần thay k  1 giá trị bất kì của n vào (1) ta sẽ xác định được g  n  . m m1 Giả sử g  n  amn  am1n  ...  a1n  a0  am  0 là đa thức bậc m . Khi đó hệ m m1 số của x và x trong vế phải của (1) là: am 1  a  b  và    a  2b  mam  1  a  b  am1  Do đó: 2 i) Nếu phương trình: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 1  a  b  0 nên vế phải (1) là một đa thức bậc m . 2 ii) Nếu phương trình: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 thì 1  a  b  0 , khi đó vế phải (1) là một đa thức bậc m  1 . 2 iii) Nếu phương trình: x  ax  b  0 có nghiệm kép x  1 thì a  2, b  1 nên vế phải của (1) là một đa thức bậc m 2 . Vậy để chọn g  n  ta chú ý như sau: i)Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt khác 1, hoặc có nghiệm kép khác 1 thì ta chọn g  n  là đa thức cùng bậc với f  n  . ii) Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g  n   nh  n  , trong đó h  n  là đa thức cùng bậc với f  n  . 2 iii)Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép bằng 1thì ta chọn g  n  n h  n , trong đó h  n  là đa thức cùng bậc với f  n  . Kết quả 1.6: Tìm công thức tổng quát của dãy u , u  un  :  0 1 un  aun 1  bun  2  f  n  , n  2 2 , trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n và a  4b  0 . Ta làm như sau: Xét g  n  là một đa thức bậc k theo n : g  n  ak nk  ak 1nk  ...  a1k  a0 2 Nếu phương trình đặc đặc trưng: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 (hoặc có nghiệm kép khác 1) , ta phân tích: f  n   g  n   ag  n  1  bg  n  2  rồi ta đặt vn  u n  g  n  . 16 2 Nếu phương trình đặc đặc trưng: x  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệttrong đó có một nghiệm bằng 1, ta phân tích: f  n   ng  n   a  n  1 g  n  1  b  n  2  g  n  2  rồi ta đặt vn  u n  ng  n  . 2 Nếu phương trình đặc đặc trưng: x  ax  b  0 có nghiệm kép bằng 1, ta 2 2 phân tích: f  n   n 2 g  n   a  n  1 g  n  1  b  n  2  g  n  2  2 rồi ta đặt vn  un  n g  n . Ví dụ 1.11: Tìm công thức tổng quát của dãy u  1, u1  4  un  :  0 un  3un1  2un2  2n  1, n  1 Giải  x1  1 2 Xét phương trình đặc trưng: x  3x  2  0    x2  2 Ta phân tích: 2n  1  n  kn  l   3  n  1 k  n  1  l   2  n  2   k  n  2   l  5k  l  1 k  1  3k  l  3 l  6 Cho n  0, n  1 ta có hệ   un  3un 1  2un 2  n   n  6   3  n  1    n  1  6   2  n  2    n  2   6     un  n  n  6    5 un 1   n  1  n  1  6     2 un  2   n  2   n  2   6   0 v0  1, v1  11 Đặt vn  un  n  n  6   vn  3vn1  2vn2  0, n  2  vn   2 n   1n Do v0  1, v1  11 nên  ,  là nghiệm của hệ     1   10   vn  10.2n  9  2    11   9 Vậy u n  5.2 n 1  n 2  6 n  9, n  0 . Ví dụ 1.12: Tìm công thức tổng quát của dãy 17 u0  1, u1  3  un  :  n un  4un1  3un 2  5.2 , n  1 Giải n n n1 n2 Ta phân tích: 2  a.2  4a.2  3a.2 Cho n  2 ta được 4  4a  8a  3a  a  4  2n  4.2n  4. 4 .2n1  3. 4 .2n2  un  4un 1  3un  2  5  4.2n  4. 4  .2n1  3.  4  .2n  2    un  5.4.2n   4  un 1  5.4.2n 1   3  un  2  5.4.2n 2   0 v0  19, v1  43 n Đặt vn  un  5.4.2   vn  4vn1  3vn2  0, n  2  x1  1  x2  3 2 Xét phương trình đặc trưng: x  4 x  3  0    v n   .3 n   .1n Do v0  19, v1  43 nên  ,  là nghiệm của hệ     19   12   vn  12.3n  7  4.3n1  7  3    43   7 Vậy u n  4.3n 1  5.2 n  2  7,  n  0 . Bài toán 1.6: Xác định công thức tổng quát của dãy u , u a 2  4b  0   un  :  0 1  n un  a.un1  b.un 2  c. , n  2 Giải: n n n1 n2 Ta phân tích:   k  ak  bk Cho n  2 thay vào (1) ta được k  2  a  b    2  k  (1)  2 , khi    a  b 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng x  ax  b  0 (2) Khi đó, ta đặt vn  u n  k .c n , ta có dãy v  u  kc, v1  u1  kc  vn  p.x1n  q.x2 n , trong đó x1 , x2 là nghiệm của  vn  :  0 0 vn  avn1  bvn2  0 phương trình đặc trưng (2). Từ đó ta có u n  p. x1n  q.x2n  kc. n 2 2 Nếu x   là một nghiệm của phương trình đặc trưng (2), tức là   a  b  0 thì n n n1 n 2 ta sẽ phân tích   kn  ak  n 1   bk  n  2  18