Tài liệu Dãy số jacobsthal và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 11/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 11/2019 i Mục lục Mở đầu 1 1 Dãy số Jacobsthal 3 1.1 Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Dãy tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal 17 2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Tích của số Jacobsthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số chẵn . . . . . 28 2.5 Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ . . . . . . . 31 2.6 Tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp . . . . . . . 34 3 Một số mở rộng của dãy số Jacobsthal 38 3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 1 Mở đầu Dãy số Jacobsthal {Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } lần lượt được xác định bởi các công thức truy hồi: J0 = 0, J1 = 1, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , j0 = 2, j1 = 1, jn = jn−1 + 2jn−2 , với n > 2 và với n > 2. Khái niệm về hai dãy số này lần đầu tiên được giới thiệu bởi Horadam [3] năm 1988. Sau đó, hai dãy số này được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Năm 1996, Horadam [4] đã công bố thêm một số kết quả về hai dãy số này. Gần đây, năm 2007, Čerin [2] đã công bố một số kết quả nghiên cứu về tổng bình phương của các số Jacobsthal và về tổng các tích của hai số Jacobsthal liên tiếp. Đây là những kết quả khá thú vị về dãy số Jacobsthal. Vừa rồi, năm 2018, Aydin [1] đã công bố một số nghiên cứu về việc mở rộng dãy số Jacobsthal. Đầu tiên, ta thấy rằng dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas có chung công thức truy hồi và chỉ khác nhau về điều kiện ban đầu. Từ hai dãy số này, Aydin đã định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng {Jn } bằng cách cho điều kiện ban đầu tùy ý. Cụ thể, dãy số Jacobsthal suy rộng được xác định bởi J0 = q, J1 = p + q, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , với n ≥ 2, trong đó, p, q là hai số nguyên tùy ý. Bên cạnh đó, Aydin còn định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng phức {Cn } và một số đối tượng khác cũng là các mở rộng 2 từ dãy số Jacobsthal. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số kết quả nói trên về dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal–Lucas và các vấn đề liên quan. Cụ thể, trong Chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas dựa theo hai bài báo [3] và [4] của Horadam. Chương 2 trình bày lại các kết quả của Čerin về tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal. Chương 3 trình bày về khái niệm và một số tính chất của dãy Jacobsthal suy rộng và dãy Jacobsthal suy rộng phức dựa theo bài bái của Aydin [1]. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn Định, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Quang Vinh 3 Chương 1 Dãy số Jacobsthal Mục đích của chương này là trình bày lại khái niệm về dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal - Lucas. Đồng thời chúng tôi trình bày chứng minh các công thức số hạng tổng quát, công thức Simson và một số tính chất thú vị của hai dãy số này. Đặc biệt, chúng tôi trình bày về một số tính chất của hai dãy số tổng riêng của các số hạng đầu tiên của hai dãy số đó. Các nội dung này được tham khảo trong hai bài báo [3] và [4]. Trước đó, chúng tôi trình bày sơ lược về lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất để làm cơ sở cho việc trình bày về hai dãy số nói trên. Nội dung này chúng tôi tham khảo trong cuốn sách [5]. 1.1 Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas và công thức tổng quát của hai dãy số này. Thực chất hai dãy số này chính là nghiệm của một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với điều kiện ban đầu khác nhau. Chính vì vậy, trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt. 4 Định nghĩa 1.1.1. Phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, ..., (1.1) trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = 0. (1.2) Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1). Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân (1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt. Định lý 1.1.2 ([5, Định lý 10.1]). Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β . Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, ..., (1.3) trong đó C1 và C2 là những số bất kì. Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các hằng số C1 và C2 hoàn toàn được xác định. Ví dụ 1.1.3. Tìm nghiệm của phương trình sai phân un+1 = 5un − 6un−1 với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1. Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là λ2 − 5λ + 6 = 0. (1.4) 5 Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là un = C1 2n + C2 3n , n = 0, 1, ... Từ điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 ta có hệ phương trình  C + C = 0, 1 2 2C1 + 3C2 = −1. Giải hệ phương trình này ta được C1 = 1, C2 = −1. Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 là un = 2n − 3n , n = 0, 1, ... Một cách tổng quát, trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β , phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u0 , u1 xác định một dãy số {un }∞ n=0 với aαn − bβ n , un = α−β trong đó a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas dựa trên lý thuyết chung về phương trình sai phân như trên. Định nghĩa 1.1.4. a) Dãy số Jacobsthal {Jn } được xác định bởi J0 = 0, J1 = 1 và Jn+2 = Jn+1 + 2Jn , với n ≥ 0. (1.5) b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } được xác định bởi j0 = 2, j1 = 1 và jn+2 = jn+1 + 2jn , với n ≥ 0. (1.6) 6 Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng các số hạng đầu tiên của các dãy số Jn và jn như sau: n Jn jn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 · · · 2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 1025 · · · Từ các công thức (1.5) và (1.6) ta dễ dàng thấy rằng, với n ≥ 1, tất cả các giá trị của Jn và jn đều là số lẻ. Đây một đặc trưng đầu tiên của hai dãy số này. Từ định nghĩa của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, ta thấy rằng, cả hai dãy số này đều được xác định bởi cùng một phương trình sai phân nhưng khác nhau về điều kiện ban đầu. Phương trình sai phân xác định hai dãy số đó có phương trình đặc trưng là x2 − x − 2 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1. Do vậy, theo Định lý 1.1.2 cả hai dãy có số hạng tổng quát dạng C1 2n + C2 (−1)n , n = 0, 1, 2, ... Với điều kiện ban đầu J0 = 0 và J1 = 1 ta tìm được C1 = 13 , C2 = −1 3 . Do đó công thức tổng quát cho Jn là 1 αn − β n Jn = = (2n − (−1)n ) , với n ≥ 0. 3 3 Tương tự, với điều kiện ban đầu j0 = 2 và j1 = 1 ta thu được C1 = C2 = 1. Do đó, công thức tổng quát cho jn là jn = αn + β n = 2n + (−1)n , với n ≥ 0. Hai công thức tổng quát này còn lần lượt được gọi là công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas. Do vậy, ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.1.5 (Công thức Binet). Với số nguyên n ≥ 0, ta có Jn = 1 n (2 − (−1)n ) và jn = 2n + (−1)n . 3 7 1.2 Một số tính chất cơ bản Ở mục trước ta đã có định nghĩa và công thức Binet xác định số hạng tổng quát của hai dãy số Jn và jn . Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của hai dãy số này. Trước tiên là công thức Simson cho hai dãy số này. Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson). Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có Jn+1 Jn−1 − Jn2 = (−1)n 2n−1 và jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 .
Chứng minh. Theo công thức Binet, ta có Jn = 31 (2n − (−1)n ). Suy ra

1 1 n+1 2 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2 9 9

 1  n+1 = 2 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2 9
1 2n 2 − (−1)n−1 2n+1 − (−1)n+1 2n−1 + 1 − 22n + (−1)n 2n+1 − 1 = 9
1 = (−1)n 2n−1 23 + 1 = (−1)n 2n−1 . 9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 = Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng minh được jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 .
Suy ra jn+1 jn−1 − jn2 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 . Mệnh đề sau đây cho ta tổng của các số hạng đầu của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas. Mệnh đề 1.2.2. a) Với n ≥ 2, ta có n X i=2 Ji = Jn+2 − 3 . 2 (1.7) 8 b) Với n ≥ 1, ta có n X ji = i=1 jn+2 − 5 . 2 (1.8) Chứng minh. Ta chứng minh đẳng thức (1.7) bằng quy nạp theo n. Đẳng thức (1.8) được chứng minh tương tự. Dễ dàng thấy rằng đẳng thức (1.7) đúng với n = 2. Giả sử đẳng thức đúng với n. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n + 1, tức là n+1 X Ji = i=2 Jn+3 − 3 . 2 Thật vậy, ta có n+1 X i=2 Ji = n X Ji + Jn+1 = i=2 Jn+2 − 3 + Jn+1 2 Jn+3 − 3 Jn+2 + 2Jn+1 − 3 = . = 2 2 Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều cần chứng minh. Mệnh đề sau đây cho ta một số đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal {Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn }. Mệnh đề 1.2.3. Các đẳng thức sau đây là đúng: (1.9) jn Jn = J2n , jn = Jn+1 + 2Jn−1 , (1.10) 9Jn = jn+1 + 2jn−1 , (1.11) jn+1 + jn = 3 (Jn+1 + Jn ) = 3.2n , (1.12) jn+1 − jn = 3 (Jn+1 − Jn ) + 4(−1)n+1 = 2n + 2(−1)n+1 , (1.13) jn+1 − 2jn = 3 (2Jn − Jn+1 ) = 3(−1)n+1 , (1.14) 2jn+1 + jn−1 = 3 (2Jn+1 + Jn−1 ) + 6(−1)n+1 , (1.15) jn:r + jn−r = 3 (Jn+r + Jn−r ) + 4(−1)n−r = 2n−r 22r + 1 + 2(−1)n−r , (1.16)
9 jn+r − jn−r = 3 (Jn+r − Jn−r ) = 2n−r 22r − 1 ,
(1.17) jn = 3Jn + 2(−1)n , (1.18) 3Jn + jn = 2n+1 , (1.19) (1.20) Jn + jn = 2Jn+1 ,  lim n→∞ lim n→∞ Jn+1 Jn    jn Jn  = lim n→∞ jn+1 jn  (1.21) = 2, (1.22) = 3. Chứng minh. Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta chỉ cần sử dụng công thức Binet và tính toán đơn giản. Ở đây, chúng tôi trình bày chứng minh cho một vài đẳng thức đầu. Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự. Trước tiên, ta chứng minh đẳng thức (1.9). Sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal và công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta có: jn .Jn = = 1 n (2 + (−1)n ) (2n − (−1)n ) 3
1 2n 2 − (−1)2n = J2n . 3 Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (1.10). Tiếp tục sử dụng các công thức Binet, ta có:
1 1 n+1 2 − (−1)n+1 + 2 3 3 2 n 1 1 = 2 − (−1)n+1 + 2n + 3 3 3 Jn+1 + 2Jn−1 = 2n−1 − (−1)n−1
2 (−1)n 3 = 2n + (−1)n = jn . Thay công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas vào vế trái của đẳng thức (1.11) ta được: jn+1 + 2jn−1 = 2n+1 + (−1)n+1 + 2 2n−1 + (−1)n−1 = 2.2n − (−1)n + 2n − 2.(−1)n = 3.2n − 3.(−1)n
10 1 = 9. (2n − (−1)n ) = 9Jn . 3 Tiếp tục sử dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas để biến đổi vế trái và vế phải của đẳng thức (1.12), ta được: VT = jn+1 + jn = 2n+1 + (−1)n+1 + 2n + (−1)n = 2.2n − (−1)n + 2n + (−1)n = 3.2n và VP = 3. (Jn+1 + Jn ) = 3. 1 2n+1 − (−1)n+1 +
1 n (2 − (−1)n ) 3  3 1 = 3. (2.2n + (−1)n + 2n − (−1)n ) 3 = 3.2n . Suy ra đẳng thức (1.12) là đúng. Các đẳng thức còn lại trong mệnh đề được chứng minh hoàn toàn tương tự. 1.3 Dãy tổng riêng Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về dãy tổng riêng các phần tử đầu tiên của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas. Cụ thể, ta xét hay dãy số được xác định như sau: Tn = n+1 X Ji , T0 = 0, T1 = 1 (1.23) i=2 và ̂n = n X i=1 ji , ̂0 = 0. (1.24) 11 Theo định nghĩa, ta có bảng 10 giá trị đầu của Tn và ̂n như sau: n T jˆn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · 0 1 4 9 20 41 84 169 340 681 1364 · · · 0 1 6 13 30 61 126 253 510 1021 2046 · · · Theo Mệnh đề 1.2.2, ta có n X i=2 Jn+2 − 3 Ji = 2 và Jn+3 − 3 2 và n X ji = i=1 jn+2 − 5 . 2 Suy ra Tn = ̂n = jn+2 − 5 . 2 Từ đó, ta có thể chứng minh được công thức truy hồi xác định các dãy {Tn } và {̂n } như trong mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.3.1. Với n ≥ 0, ta có Tn+2 = Tn+1 + 2Tn + 3 (1.25) ĵn+2 = ĵn+1 + 2ĵn + 5. (1.26) và Chứng minh. Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.25). Đẳng thức (1.26) được chứng minh tương tự. Theo nhận xét ở trên, ta có Tn+2 = Jn+5 − 3 Jn+4 − 3 J −3 , Tn+1 = và Tn = n+3 . 2 2 2 Suy ra Tn+1 + 2Tn + 3 = Jn+4 − 3 Jn+3 − 3 Jn+4 + 2Jn+3 − 3 + 2. +3= . 2 2 2 Theo định nghĩa của dãy Jacobsthal ta lại có Jn+4 + 2Jn+3 = Jn+5 . Do đó, ta có Tn+1 + 2Tn + 3 = Suy ra điều cần chứng minh. Jn+5 − 3 = Tn+2 . 2 12 Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức tổng quát của các dãy số Tn và ĵn . Mệnh đề 1.3.2 (Công thức Binet). Với n ≥ 0, ta có Tn = 2n+3 + (−1)n − 9 , 6 (1.27) ĵn = 2n+2 + (−1)n − 5 . 2 (1.28) và Chứng minh. Để chứng minh các công thức này, chúng ta có thể sử dụng lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. Tuy nhiên, ở đây, ta có thể chứng minh đơn giản hơn bằng cách sử dụng công thức Binet của các dãy Jacobsthal và Jacobsthal–Lucas kết hợp với mối liên hệ giữa các dãy này với các dãy Tn và ĵn . Thật vậy, như ta đã nhận xét ở đầu mục này, ta có Tn = Jn+3 − 3 . 2 Mặt khác, áp dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal ta có Jn+3 =
1 n+3 2 − (−1)n+3 . 3 Do đó, với tính toán đơn giản, ta thu được Tn = Jn+3 − 3 2n+3 + (−1)n − 9 = . 2 6 Nói cách khác, công thức tổng quát (1.27) được chứng minh. Tương tự, ta có ĵn = jn+2 − 5 . 2 Theo công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta lại có jn+2 = 2n+2 + (−1)n+2 . Suy ra ĵn = jn+2 − 5 2n+2 + (−1)n − 5 = . 2 2 Vậy công thức (1.28) được chứng minh. 13 Bây giờ, sử dụng các công thức Binet vừa được chứng minh, ta có thể chứng minh được công thức Simson cho các dãy số Tn và ĵn như trong mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 1.3.3 (Công thức Simson). Với n ≥ 1, ta có  2 n n−1 Tn+1 Tn−1 − Tn = 2 (−1) − 1 + (−1)n  −1 khi n lẻ, = 1 − 2n+1 khi n chẵn (1.29) và ĵn+1 ĵn−1 − ĵn2 = 2n−1 9(−1)n+1 − 5 + 5(−1)n .  (1.30) Chứng minh. Trước tiên ta sử dụng công thức Binet cho Tn để chứng minh (1.29). Cụ thể như sau: 2 2n+3 + (−1)n − 9 2n+4 + (−1)n+1 − 9 2n+2 + (−1)n−1 − 9 . − Tn+1 Tn−1 − Tn2 = 6 6 6   1 = (16.2n − (−1)n − 9) (4.2n − (−1)n − 9) − (8.2n + (−1)n − 9)2 36 1 (−36.2n .(−1)n + 36.(−1)n − 36.2n ) = 36  = −2n .(−1)n − 2n + (−1)n = 2n (−1)n−1 − 1 + (−1)n .   Ta tiếp tục sử dụng công thức Binet cho ĵn ta sẽ chứng minh được (1.30). Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức xác định tổng của n số hạng đầu tiên của các dãy số Tn và ĵn . Mệnh đề 1.3.4. Với n ≥ 1, ta có n X Ti = i=1 Tn+2 − 1 − 3(n + 1) 2 (1.31) ĵn+2 − 1 − 5(n + 1) . 2 (1.32) và n X i=1 ĵi = 14 Chứng minh. Ta chứng minh (1.31) và (1.32) bằng phương pháp quy nạp. Ở đây, chúng tôi chứng minh (1.31), còn lại (1.32) được chứng minh tương tự. Từ bảng giá trị 10 giá trị đầu của Tn và ̂n ta dễ dàng thấy (1.31) đúng với n = 1, n = 2. Giả sử (1.31) đúng với n, ta sẽ chứng minh (1.31) cũng đúng với n + 1. Nghĩa là ta cần chứng minh: n+1 X Ti = i=1 Tn+3 − 1 − 3(n + 2) . 2 Thật vậy ta có: n+1 X Ti = Tn+1 + n X Ti i=1 i=1 Tn+2 − 1 − 3(n + 1) + Tn+1 2 Tn+2 + 2Tn+1 + 3 − 3 (n + 2) − 1 = 2 Tn+3 − 1 − 3(n + 2) = . 2 = Suy ra điều cần phải chứng minh. Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta một số đẳng thức thú vị liên quan đến các dãy số Tn và ĵn . Mệnh đề 1.3.5. Các đẳng thức sau đây là đúng: Tn+1 + 2Tn−1 = ĵn+1 − 2, (1.33) ĵn+1 + 2ĵn−1 = 3 (3Tn−1 + 2) , T2n = 4J2n = 4Jn jn , (1.35) T2n+1 = 4J2n+1 − 3, (1.36) ĵ2n = 2j2n − 4 = 6J2n , (1.37) ĵ2n+1 = 2j2n+1 − 1, Tn+1 + Tn =  ĵ n+1 (1.34) (1.38) n chẵn, ĵn+1 − 1 n lẻ, (1.39) 15 ĵn+1 + ĵn = 3.2n+1 − 5, (1.40) Tn − Tn−1 = Jn+1 , (1.41) ĵn − ĵn−1 = jn , (1.42) Tn − Tn−2 = 2n , (1.43) ĵn − ĵn−2 = 3 · 2n−1 , ĵn+r − ĵn−r = (1.44) 3 (Tn+r − Tn−r ) = 6 (Jn+r − Jn−r ) = 2 (jn+r − jn−r ) , 2 Tn+2 Tn−2 − Tn2 = 2n−1 {(−1)n − 9} , ĵn+2 ĵn−2 − ĵn2 = 2n−2 · 9 {(−1)n − 5} ,  lim n→∞ Tn+1 Tn    = lim n→∞ ĵn+1 ĵn (1.46) (1.47)  = 2, (1.48) 3 = , 2 (1.49)  0 n chẵn, 3Tm − 2ĵn = 1 n lẻ, (1.50) lim n→∞ ĵn Tn  (1.45) 3T2n = 2ĵ2n ,  j − 1 n lẻ, n Tn − Jn = jn − 2 n chẵn, ĵn − Jn = 5 (Jn+1 − 1) , 2  (1.51) (1.52) (1.53) J − 1 n lẻ, n Tn − jn = Jn − 2 n chẵn, (1.54) ĵn − Tn = Jn+1 − 1. (1.55) Chứng minh. Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta chỉ cần sử dụng công thức Binet của các dãy số tương ứng và tính toán đơn giản. Ở đây, chúng tôi trình bày chứng minh cho một vài đẳng thức đầu. Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự. Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (1.33). Sử dụng công thức Binet cho Tn 16 và ĵn ta được: VT = Tn+1 + 2Tn−1 = = = =
2n+4 + (−1)n+1 − 9 + 2. 2n+2 + (−1)n−1 − 96 6 4.2n+2 − (−1)n − 9 + 2.2n+2 − 2.(−1)n − 18 6 n+2 n 6.2 − 3.(−1) − 27 6 2.2n+2 − (−1)n − 9 2 và 2n+3 + (−1)n+1 − 5 −2 2 2.2n+2 − (−1)n − 5 − 4 = 2 n+2 2.2 − (−1)n − 9 . = 2 VP = ĵn+1 − 2 = Vậy VT=VP và (1.33) đã được chứng minh. Bằng cách sử dụng công thức Binet, ta chứng minh được (1.34). Cụ thể như sau 2n+3 + (−1)n+1 − 5 2n+1 + (−1)n−1 − 5 VT = ĵn+1 + 2ĵn−1 = + 2. 2 2 8.2n − (−1)n − 5 = + 2.2n − (−1)n − 5 2 12.2n − 3.(−1)n − 15 =  n+22  2 + (−1)n−1 − 9 VP = 3.(3Tn−1 + 2) = 3. 3. +2 6 4.2n − (−1)n − 9 = 3. +2 2 12.2n − 3.(−1)n − 15 = . 2  Vậy VT=VP và (1.34) đã được chứng minh.  17 Chương 2 Tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal Ở chương trước, luận văn đã trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của dãy số Jacobsthal Jn và dãy số Jacobsthal–Lucas jn . Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kết quả của Čerin [2] về tổng và tổng đan dấu bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn hoặc lẻ, về tổng và tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp. 2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn Nhắc lại rằng dãy số Jacobsthal {Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } lần lượt được xác định bởi các công thức truy hồi J0 = 0, J1 = 1, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , j0 = 2, j1 = 1, jn = jn−1 + 2jn−2 , với n > 2 và với n > 2. Số hạng tổng quát của hai dãy số này lần lượt được xác định bởi các công thức Jn = 2n − (−1)n và jn = 2n + (−1)n . 3