Tài liệu Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THƠM DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thái Nguyên - 2019 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THƠM DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ Ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học Mã số:8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS Nguyễn Hữu Châu Thái Nguyên - 2019 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019 Tác giả luận văn Phan Thị Thơm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài: “Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ, động viên của các cá nhân và tập thể. Tôi xin được bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc nhất tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Hữu Châu, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu, các GV tổ Toán - Tin trường THCS Trần Đăng Ninh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019 Tác giả Phan Thị Thơm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii MỤC LỤC............................................................................................................iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................... iv DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... iv DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................ vi MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2 3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ..................................................... 2 4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4 1.1. Năng lực........................................................................................................ 4 1.2. Năng lực toán học ......................................................................................... 7 1.3. Năng lực suy luận ......................................................................................... 9 1.3.1. Đặc trưng chung của suy luận ................................................................... 9 1.3.2. Suy luận suy diễn ..................................................................................... 11 1.3.3. Suy luận quy nạp ..................................................................................... 12 1.4. Nguyên lý Dirichlet .................................................................................... 14 1.4.1. Nội dung nguyên lý Dirichlet .................................................................. 14 1.4.2. Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương trình trung học cơ sở .............................................................................. 15 1.4.3. Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại ............................................................................ 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn 1.4.4. Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS......................................................................................................... 18 1.5. Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay ................ 21 1.5.1. Mục đích, mẫu khảo sát ........................................................................... 21 1.5.2. Phương pháp điều tra............................................................................. 21 1.5.3. Phương pháp xử lý số liệu ..................................................................... 22 1.5.4. Kết quả nghiên cứu ................................................................................ 22 1.5.5. Kết luận ................................................................................................. 23 1.6. Kết luận chương 1....................................................................................... 24 Chương 2: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS ............. 26 2.1. Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy .......................... 26 2.2. Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic ............................................ 31 2.3. Rèn luyện cho học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong bài toán............................................................................................................... 33 2.4. Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại ................................................................................ 36 2.4.1. Xây dựng bài toán số học ........................................................................ 36 2.4.2. Xây dựng bài toán hình học..................................................................... 42 2.5. Kết luận chương 2....................................................................................... 50 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 51 3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ........................................................... 51 3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm ..................................... 51 3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 51 3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm .............................................................. 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn 3.2.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ........................................................ 52 3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................... 53 3.3.1. Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................. 53 3.3.2. Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm ............. 54 3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 54 3.4.1. Phân tích định tính ................................................................................... 54 3.4.2. Phân tích định lượng ................................................................................ 55 3.4.3. Kết luận chương 3 ................................................................................... 57 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 60 PHỤ LỤC ............................................................................................................... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh Nxb Nhà xuất bản THCS Trung học cơ sở Tr. Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học ........................................................................................ 22 Bảng 3.1. Kết quả học tập học kỳ I năm học 2018 - 2019 của hai lớp 8A3 và 8A4 trường THCS Trần Đăng Ninh ......................................... 54 Bảng 3.2. Kết quả điểm kiểm tra của HS hai lớp 8A3 và lớp 8A4 trường THCS Trần Đăng Ninh ................................................................. 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1. Các thành phần của năng lực ............................................................... 5 Hình 1.2. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục ............................................. 6 Hình 1.3. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học........................... 8 Hình 1.4 ............................................................................................................. 17 Hình 2.1 ............................................................................................................. 36 Hình 2.2 ............................................................................................................. 42 Hình 2.3 ............................................................................................................. 44 Hình 2.4 ............................................................................................................. 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 tác động đến tất cả các ngành, các lĩnh vực trong xã hội. Nền giáo dục nước nhà cũng đứng trước những cơ hội và thử thách to lớn. Câu hỏi lớn của ngành giáo dục được đặt ra là: cần phải giáo dục và đào tạo ra con người như thế nào để phù hợp với cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 và xu thế phát triển của nhân loại giúp cho đất nước Việt Nam tránh bị tụt hậu, vươn ra ngang tầm với thế giới. Trả lời câu hỏi trên không chỉ là công việc của các cấp lãnh đạo mà còn của từng giáo viên, những người trực tiếp “nhào nặn” những sản phẩm con người của tương lai. Trong khi những lao động chân tay dần được thay thế bởi máy móc thì con người cần được trang bị tốt những năng lực mà máy móc khó có thể thay thế. Một trong những năng lực như thế là năng lực suy luận Toán học. Ngày 17 tháng 9 năm 2017, tại trường quốc tế Châu Á Thái Bình Dương (APC), đã diễn ra ngày hội toán học với tâm điểm là buổi tọa đàm “Học toán để làm gì”. Theo GS Vũ Hà Văn, cơ bản có bốn động cơ học toán. Một là học toán cho cuộc sống hàng ngày, tức là cộng trừ nhân chia, tính chi phí, lãi suất, phần trăm… Hai là toán giải trí, toán thể thao, tức là toán olympic. Loại toán này giúp người giải rèn khả năng vượt qua khó khăn, có cảm giác sung sướng khi giành chiến thắng. Ba là, học toán để thông minh hơn, để rèn luyện tư duy logic. Cuối cùng, học toán để làm việc kiếm tiền. Năng lực suy luận logic là một trong các năng lực mà toán học có thể rèn luyện, một năng lực cần thiết trong thời đại “kết nối”. Trong thực tế, câu hỏi: liệu có tồn tại hay không, liệu vấn đề đấy có xảy ra hay không… khiến cho chúng ta mất thời giờ hơn là câu hỏi: phải làm công việc ấy, phải giải quyết vấn đề ấy như thế nào. Bởi một vấn đề phải có “tồn tại, xảy ra” thì mới có “làm thế nào”. Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần rất nhiều thông tin, dùng các quy luật suy luận để kiểm chứng. Trong phạm vi toán trung Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn học cơ sở, có một nguyên lý được sử dụng để trả lời câu hỏi vấn đề có tồn tại hay không, đó là nguyên lý Dirichlet. Nguyên lý Dirichlet được nhà toán học người Đức Johann Dirichlet đề xuất. Nguyên lý được phát biểu ở dạng đơn giản như sau: “Nếu nhốt ba con thỏ vào hai cái chuồng thì có ít nhất một chuồng nhốt hai con thỏ”. Nhiều bài toán tưởng chừng như đi vào ngõ cụt đối với các phương pháp thông thường thì khi vận dụng nguyên lý Dirichlet ta được lời giải hay và đẹp. Trong kỳ thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ năm 2019 (VMS), có nhiều bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để tìm kiếm lời giải. Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học, nguyên lý Dirichlet đồng thời đề xuất các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại cho HS THCS và góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán trong trường trung học cơ sở. 3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1. Khách thể: Quá trình dạy học môn Toán ở trung học cơ sở. 3.2. Đối tượng: Rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại. 3.3. Phạm vi: Luận văn tập trung đề xuất các biện pháp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS THCS khá, giỏi thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại. 4. Giả thuyết khoa học Nếu áp dụng các biện pháp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS THCS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại thì chất lượng dạy và học môn Toán được nâng cao. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học. Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại ở trường THCS. Tìm hiểu và đề xuất các biện pháp nâng cao năng lực suy luận Toán học cho HS THCS thông qua dạy học nội dung ứn dụng nguyên lý Dirichlet. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS. 6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Đề tài có sử dụng phối hợp các phương pháp: Phân tích, tổng hợp, thu thập thông tin, nghiên cứu tài liệu…về hệ thống các lý luận chung về năng lực toán học, năng lực suy luận toán học. Nghiên cứu tài liệu về lý luận dạy học, nghiên cứu, phân tích các thuật ngữ, ký hiệu toán học, biểu tượng toán học trong chương trình trung học cơ sở. 6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn: Điều tra thực trạng dạy học Toán có vận dụng nguyên lý Dirichlet. Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: nghiên cứu vở viết, bài kiểm tra của học sinh để tìm hiểu năng lực suy luận Toán học của HS. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Năng lực Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh “competentia”. Ngày nay, khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác nhau. Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc.. Năng lực bao gồm các kiến thức, kỹ năng cũng như quan điểm và thái độ mà một cá nhân có để hành động thành công trong các tình huống mới. Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn sàng để giải quyết các tình huống. Theo John Erpenbeck, “năng lực được tri thức làm cơ sở, được sử dụng như khả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và được thực hiện hóa qua ý chí”. Weinert (2001) định nghĩa: “năng lực là những khả năng nhận thức và kỹ năng vốn có hoặc học được của cá thể nhằm giải quyết các vấn đề xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, ý chí, ý thức xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề trong những tình huống thay đổi một cách thành công và có trách nhiệm”. Theo Từ điển Bách khoa Việt nam: “Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo - tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn - một hay một số dạng hoạt động nào đó”. Theo PGS.TS. Hoàng Hòa Bình, năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Hai đặc trưng cơ bản của năng lực là: Được bộc lộ, thể hiện qua hoạt động; Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết quả mong muốn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Như vậy, năng lực là khả năng thực hiện thành công và có trách nhiệm các nhiệm vụ giải quyết các vấn đề trong các tình huống xác định cũng như các tình huống thay đổi trên cơ sở huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính tâm lý khác như động cơ, ý chí, quan niệm, giá trị…, suy nghĩ thấu đáo và sự sẵn sàng hành động. Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng. Cấu trúc chung của năng lực (năng lực hành động) được mô tả là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể. Năng lực chuyên môn Năng lực phương pháp Năng lực hành động Năng lực cá thể Năng lực xã hội Hình 1.1. Các thành phần của năng lực Năng lực chuyên môn: là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn. Nó được tiếp nhận thông qua việc học nội dung chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng nhận thức và tâm lý vận động. Năng lực phương pháp: là khả năng đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chuyên và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức. Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận - giải quyết vấn đề. Năng lực xã hội: là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống giao tiếp, ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp. Năng lực cá thể: là khả năng xác định, đánh giá được cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhận, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử. Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm. Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn mục tiêu giáo dục theo Tổ chức Giáo dục, Khoa học và Văn hóa Liên hợp quốc (UNESCO): Các thành phần năng lực Các mục tiêu giáo dục theo UNESCO Năng lực chuyên môn Học để biết Năng lực phương pháp Học để làm Năng lực xã hội Học để cùng chung sống Năng lực cá thể Học để tự khẳng định Hình 1.2. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện nay của các nước thuộc khối OEDC, người ta sử dụng mô hình đơn giản hơn, phân chia năng lực thành hai nhóm chính: các năng lực chung và các năng lực chuyên môn. Nhóm năng lực chung bao gồm:  Sử dụng một cách tương tác các phương tiện thông tin, giao tiếp và các phương tiện làm việc (ví dụ như ngôn ngữ, công nghệ);  Tương tác trong các nhóm xã hội không đồng nhất; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn  Khả năng hành động tự chủ. Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt. Ví dụ mô hình năng lực trong môn Toán (theo chuẩn của Đức năm 2012) bao gồm các năng lực sau:  Các năng lực toán học chung: lập luận toán học; giải quyết các vấn đề toán; mô hình hóa toán học; sử dụng các cách trình bày biểu đồ, đồ thị, bảng biểu, sử dụng các kí hiệu, công thức, các yếu tố kỹ thuật; giao tiếp toán học.  Các tư tưởng toán học chủ đạo: thuật toán và số học; đo lường; không gian và hình học; quan hệ hàm số; dữ liệu và ngẫu nhiên [3]. 1.2. Năng lực toán học Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán”. Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam). Theo Blohm & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”. Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”. Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học. Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau. Năng lực giải quyết vấn đề toán học Năng lực tư duy toán học Năng lực biểu diễn Năng lực Mô hình hóa toán học Năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức Năng lực suy luận toán học Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học Năng lực giao tiếp toán học Hình 1.3. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học thông qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học; năng lực học tập độc lập và hợp tác” [10]. Một trong những mục tiêu chung của Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) là hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.3. Năng lực suy luận 1.3.1. Đặc trưng chung của suy luận Sự hiểu biết của con người về thời gian khách quan được phản ánh bằng các khái niệm và phán đoán. Con người không những biết kết hợp các khái niệm với nhau để xây dựng phán đoán, mà còn sử dụng các phán đoán để rút ra phán đoán mới. Hầu hết các luận điểm khoa học được phát hiện nhờ hình thức này của tư duy. Dựa vào các tri thức đã biết con người rút ra tri thức mới theo các quy tắc xác định. Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới từ một hay nhiều phán đoán theo các quy tắc logic xác định. Bất kỳ suy luận nào cũng bao gồm tiền đề, lập luận và kết luận. Tiền đề: là một hay một số phán đoán đã được thực tiễn thừa nhận hoặc được khoa học chứng minh là đúng. Trên cơ sở giá trị đúng của các tiền đề có thể rút ra các phán đoán mới, chứa đựng tri thức mới mà bản thân riêng rẽ từng tiền đề không thể có được. Lập luận: là phương pháp logic rút ra kết luận từ các tiền đề. Các phương pháp logic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán thuộc tiền đề mà còn bao gồm cả những quy luật mà những quy tắc logic chi phối trình tự sắp xếp để đưa ra phán đoán mới một cách tất yếu. Kết luận: là phán đoán mới thu được từ các tiền đề thông qua lập luận. Kết luận có nhiều dạng khác nhau, có kết luận phù hợp, có kết luận không phù hợp với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu từ những lập luận logic của các tiền đề. Nếu ký hiệu tiền đề hay tập hợp tiền đề là X1 , X 2 ,..., X n và kết luận là Y , chúng ta có thể viết dưới dạng X1 , X 2 ,..., X n  Y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Nếu X1 , X 2 ,..., X n  Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic. Ký hiệu suy luận logic: X 1 , X 2 ,..., X n Y Trong tiếng Việt, phán đoán đứng trước các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”, “vì vậy”, “suy ra”… và đứng sau các từ “vì”, “bởi vì”, … là tiền đề. Ngược lại, phán đoán đứng sau các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”, “vì vậy”,… và đứng trước các từ “vì”, “bởi vì”,… là kết luận. Nắm vững cách biểu thị đó giúp chúng ta nhận biết nhanh chóng tiền đề và kết luận khi phân tích bất cứ một suy luận nào. Bởi vì, trong thực tế khi nói và viết chúng ta không bao giờ biểu thị thành một suy luận, mà chỉ biểu thị bằng ngôn ngữ tự nhiên dựa trên cơ sở của các từ đã nêu trên. Quan hệ suy diễn logic giữa các tiền đề và kết luận được quy định bởi mối liên hệ giữa các tiền đề về mặt nội dung. Nếu các phán đoán không có liên hệ về mặt nội dung thì không thể lập luận và rút ra kết luận. Tính chân thực của kết luận phân tích và tính chân thực của các tiền đề và tính đúng đắn logic của mối liên hệ nội dung giữa các tiền đề. Trong quá trình lập luận để thu được tri thức chân thực mới cần tuân theo hai điều kiện: Thứ nhất, các tiên đề của suy luận phải chân thực; thứ hai, phải tuân theo các quy tắc logic của lập luận. Suy luận là hình thức phản ánh các sự vật, hiện tượng của thế giới khách quan và các quy luật vận động của chúng vào ý thức chủ quan của con người. Vì các sự vật, hiện tượng nằm trong các mối liên hệ và quan hệ qua lại với nhau, phụ thuộc vào các quy luật, cho nên không những tồn tại khả năng, mà còn tồn tại cả tính tất yếu nhận thức được các sự vật và hiện tượng, các mối liên hệ và quan hệ qua lại có tính quy luật của chúng trên cơ sở hiểu biết các sự vật và hiện tượng khác. Mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng của thế giới bên ngoài, còn tính tất yếu logic lại bị quy định bởi tính tất yếu khách quan. Do đó, mối liên hệ qua lại phổ biến, có tính quy luật giữa các sự vật và hiện tượng của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn