Tài liệu Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi ở trung học phổ thông.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THÀNH TRUNG DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THÀNH TRUNG DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu – người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trường THPT chuyên Bắc Giang, trường THPT Yên Dũng số 2, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thành Trung. Danh mục các kí hiệu, chữ cái viết tắt THPT: Trung học phổ thông GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa NXB: Nhà xuất bản Mục lục Mở đầu 1 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 4 1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . . 4 1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT không chuyên . . . . . . . . . . . . . . 5 Tư duy và vai trò của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Khái niệm về tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Các bước hoạt động của quá trình tư duy . . . . . . . 7 1.2.3 Vai trò của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo 8 1.4.1 Các quan điểm về tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo . . . . . 9 1.4.3 Một số biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển tư duy 1.2 sáng tạo thông qua dạy học môn Toán . . . . . . . . . 1.5 1.6 Thực trạng việc dạy và học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở một số trường trung học phổ thông . . . . . . . . 19 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Dạy học đa thức bậc bốn và một số dạng toán liên quan 2.1 13 23 Các hệ thức lượng giác liên quan đến công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 23 Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn . . . . . 2.1.2 2.2 Các hệ thức đại số liên quan đến công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Phương pháp giải phương trình đa thức bậc bốn . . . . . . . 27 2.2.1 Phương trình đa thức bậc bốn có hai nghiệm “đẹp” . . 28 2.2.2 Phương trình đa thức bậc bốn chỉ có một nghiệm “đẹp” 28 2.2.3 Một số phương trình đa thức bậc bốn có dạng đặc biệt 2.2.4 Phương trình đa thức bậc bốn không có nghiệm “đẹp” và không có dạng đặc biệt 2.3 2.4 33 . . . . . . . . . . . . . . . 37 Một số bài toán liên quan đến đa thức bậc bốn . . . . . . . . 43 2.3.1 Phương pháp giải hệ bậc hai tổng quát . . . . . . . . 43 2.3.2 Một số bài toán liên quan đến định lý Viet của phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 Đa thức bậc bốn với các yếu tố cạnh trong tứ giác . . 64 2.3.4 Một số bất đẳng thức và cực trị theo đa thức đối xứng bốn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 Thực nghiệm sư phạm 92 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm . . . . . . . 92 3.2 Phương pháp thức nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.4 Giáo án thực nghiệm và đề kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.6 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Kết luận 107 Tài liệu tham khảo 109 Danh sách bảng 1 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Toán học là một trong các môn học luôn được ưu tiên và chú trọng phát triển hàng đầu trong mỗi nền giáo dục. Bởi ngoài những ứng dụng thiết thực trong cuộc sống hay khi mang vai trò là công cụ không thể thiếu cho nhiều môn học khác thì Toán học còn là môn học giúp rèn khả năng tư duy cho học sinh. Trong Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tào đã nêu rõ “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh...Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”. Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là trang bị những kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ đó phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học Toán, năng lực tính toán...Qua đó hình thành và phát triển phẩm chất con người mới đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội. Đặc biệt đối với một số học sinh có tố chất về môn Toán, các trường tập hợp quan tâm, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước chuẩn bị cho việc đào tạo nhân tài nhằm học tập, tiếp cận, sáng tạo những công nghệ mới, tiên tiến có giá trị cao trên thế giới. Những học sinh giỏi này là đầu tàu phát triển đất nước trong tương lai. Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực không thể thiếu đó là năng lực sáng tạo. Khi đó cần phải có phương pháp dạy học phù hợp để khơi gợi và phát huy năng lực người học. Cũng trong Hội nghị Trung ương lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương tiếp tục khẳng định “Cần tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách 2 học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang hình thức tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khoá, nghiên cứu khoa học". Chính vì vậy, nhiệm vụ của người dạy là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng và định hướng phát triển đạo đức cho học sinh, chứ không phải làm đầy trí tuệ cho học sinh bằng cách truyền thụ tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợp với các phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hình thực tế cuộc sống. Các bài toán về đa thức bậc bốn và các vấn đề liên quan đến nó là một nội dung cần được khai thác và mở rộng hơn nữa trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THPT. Với mục đích giúp học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản về đa thức; định hướng tư duy trong việc tiếp cận và giải quyết một số bài toán liên quan đến nó đồng thời cũng thông qua việc học chủ đề này giúp người học hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới. Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề tài “Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi ở trung học phổ thông” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh định hướng tư duy trong việc tiếp cận và giải quyết một số bài toán về đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan. Từ đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo ra các bài toán mới. 3 Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu những vấn đề về đến đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan; thực trạng cũng như những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy học chủ đề này. - Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo. Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo của học sinh THPT, đặc biệt là học sinh của các trường THPT không chuyên; sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải quyết vấn đề và sáng tạo các bài toán mới. 3 - Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu - Khách thể nghiên cứu: Giáo viên và học sinh trung học phổ thông. - Đối tượng nghiên cứu: Đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở trung học phổ thông. 5 Phạm vi nghiên cứu Đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở bậc trung học phổ thông trong trường trung học phổ thông. 6 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán. Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài. Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. 7 Giả thuyết khoa học Thông qua hệ thống các bài toán về chủ đề đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan giúp hình thành năng lực tư duy sáng tạo, khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh. Từ đó hình thành năng lực giải giải quyết vấn đề và sáng tạo các bài toán mới. 8 Đóng góp của đề tài Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên và các lớp chọn trong các trường THPT không chuyên. 9 Cấu trúc của luận văn Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phân nội dung và phần kết luận. Nội dung của luận văn gồm ba chương Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2 Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan. Chương 3 Thực nghiệm sư phạm. 4 Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông Thực tế lịch sử phát triển của xã hội loài người nói chung và lịch sử dân tộc Việt Nam nói riêng đã khẳng định được vai trò của người tài. Họ chính là lực lượng khởi đầu cho sự nghiệp phát triển kinh tế xã hội, đem đến cho mỗi quốc gia nền văn minh và những tiến bộ không ngừng của khoa học, kĩ thuật. Ngày nay, trong thời kì công nghiệp hoá – hiện đại hoá đất nước, nhất là trong nền kinh tế tri thức, vai trò của người tài càng tăng lên gấp bội. Chính vì thế, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước và là nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục. 1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi Học sinh giỏi là những học sinh có năng khiếu, tài năng, năng lực tốt ở một hay nhiều môn học hay lĩnh vực nào đó, ngoài ra học sinh giỏi cần có sự sáng tạo, phải thể hiện được động cơ học tập mãnh liệt và đạt được trình độ xuất sắc trong học tập và nghiên cứu khoa học. Bồi dưỡng học sinh giỏi chính là hoạt động nhằm nâng cao trình độ, kiến thức, kỹ năng cho học sinh một cách có hệ thống trong một số môn học nhất định để phục vụ cho việc học tập ở mức cao hơn và phát huy được hết năng lực của học sinh trong lĩnh vực đó. Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra môi trường và những điều kiện thích hợp cho người học có thể phát huy hết năng lực của mình, cùng với việc tiếp nhận một cách thông minh, hiệu quả. Với vai trò quan trọng hàng đầu của 5 người thầy mà cốt lõi phải giúp được cho người học về phương pháp học, cách nghiên cứu, tư duy, biết tự đánh giá, đồng thời biết sử dụng các phương tiện hiện đại để tìm kiếm, thu thập, xử lý thông tin nhằm mục đích tự học và tự bồi dưỡng. 1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT không chuyên Đối với các trường không chuyên, mặc dù công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đã được Ban giám hiệu nhà trường coi trọng, là một trong những mục tiêu mũi nhọn nhưng còn nhiều hạn chế. Những hạn chế này được xuất phát từ các nguyên nhân chủ yếu sau: - Do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, các tài liệu do các giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện giáo viên dạy phải đảm bảo các yêu cầu khác nên còn thiếu tính hệ thống, tính liên thông trong chương trình. - Quy chế ưu tiên cho học sinh giỏi nói chung chưa có. Do đó, học sinh chưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian công sức cho các môn mình có thế mạnh mà đầu tư cho khối thi đại học. - Phần nhiều kiến thức còn xa lạ, nhiều kiến thức không có trong chương trình sách giáo khoa, đặc biệt là các môn thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên. Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn. 1.2 Tư duy và vai trò của tư duy Trong quá trình dạy học nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng thì một nội dung quan trọng bậc nhất đó là hình thành và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Chính vì vậy luận văn “Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá giỏi ở THPT” chủ yếu đi sâu vào phân tích định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi trong việc tiếp cận và giải quyết các bài toán. 6 1.2.1 Khái niệm về tư duy Theo từ điển tiếng Việt (1988), tư duy là: “Giai đoạn cao nhất của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy lý”. Theo tâm lý học đại cương – Nguyễn Quang Uẩn, tư duy là: “Một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết”. Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là quá trình trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”. Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy: - Tư duy là sản phẩm của bộ não người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. - Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. - Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. - Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. - Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. 7 1.2.2 Các bước hoạt động của quá trình tư duy Tư duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơ bản. Cụ thể như sau: - Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy (tức là tìm được câu hỏi cần giải đáp). - Bước 2: Huy động trí tuệ, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi. - Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn. Nếu giả thiết đúng thì thực hiện tiếp bước sau, nếu giả thiết sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới. - Bước 4: Quyết định, đánh giá kết quả, đưa vào sử dụng. 1.2.3 Vai trò của tư duy Tư duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việc tạo ra các liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ được chọn lọc và kích thích chúng hoạt động để thực hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định hướng cho hành vi phù hợp với môi trường sống. Tư duy là sự hoạt động, là sự vận động của vật chất. Tư duy cũng không phải là ý thức bởi ý thức là kết quả của quá trình vận động của vật chất. Cách nhìn nhận trên đây có thể còn chưa trọn vẹn nhưng đã hàm chứa được hai vai trò quan trọng của tư duy và một yêu cầu không thể thiếu trong quá trình tư duy là sự ghi nhớ. Sự ghi nhớ này là kinh nghiệm, là tri thức. Tư duy trong ghi nhớ là trả về cho đối tượng trong sự ghi nhớ các thành phần đúng của nó, bổ sung các thành phần còn thiếu, phân biệt nó với các đối tượng ghi nhớ khác, tìm ra mối liên hệ và ảnh hưởng qua lại của đối tượng với các sự vật, sự việc, đối tượng khác. Đây là quá trình nhận thức lý tính, nhận thức bằng tư duy. Nó phân biệt với nhận thức cảm tính là nhận thức không có tư duy. Nhận thức lý tính giúp cho sự hiểu biết và ghi nhớ về đối tượng nhiều hơn những cái mà đối tượng cung cấp cho sự ghi nhớ của hệ thần kinh, đối tượng được hiểu sâu hơn, được xem xét, đánh giá toàn diện hơn và kỹ càng hơn, được nhận thức đúng đắn hơn. Tư duy bổ sung những cái còn thiếu trong quá trình hệ 8 thần kinh ghi nhớ về đối tượng. Sau khi giúp hệ thần kinh nhận thức đúng về đối tượng, tư duy tiếp tục giúp hệ thần kinh định hướng điều chỉnh hành vi đáp ứng sự tác động của đối tượng nếu cần thiết hoặc có yêu cầu. 1.3 Sáng tạo Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng việt, sáng tạo là: “Tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ)”. Theo bách khoa toàn thư, sáng tạo là: “Hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng là không lặp lại, độc đáo và duy nhất”. Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người. 1.4 Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo 1.4.1 Các quan điểm về tư duy sáng tạo Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm về tư duy sáng tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”. Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt ra mục 9 đích vừa trong việc tìm ra giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”. Trong cuốn: “Sáng tạo Toán học”. G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng ngày càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ hiệu quả”. The định nghĩa thông thường và phổ biến nhất hiện nay của tư duy sáng tạo thì đó là sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới và các phương tiện hoạt động. I.Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo: - Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo. - Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”. - Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. - Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu. - Kỹ năng nhình thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương thức mới). - Kỹ năng kết hợp những phương thức giải đã biết thành một phương thức mới. - Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng phương thức khác (I.Lecne – Dạy học nêu vấn đề - NXBGD – 1977) Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra những ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả trong giải quyết vấn đề. 1.4.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, các nhà khoa học giáo dục. . . về cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có thể thấy được năm 10 thành tố cơ bản sau: Tím mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hoàn thiện. Ngoài năm thành phần cơ bản đó còn có những yếu tố quan trọng như tính chính xác năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại. . . Trong các yếu tố trên thì 3 yếu tố đầu (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu tố đạt sự nhất trí cao trong hầu hết các công trình nghiên cứu về cấu trúc của tư duy sáng tạo. Do đó tác giả cũng xin được đề cập đến ba yếu tố đó của tư duy sáng tạo. a. Tính mềm dẻo Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, diễn dịch, tương tự. - Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới trong đó có nhiều yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những cách suy nghĩ, những phương pháp đã có từ trước. . . - Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh chúng ta có thể cho các em giải một số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy. b. Tính nhuần nhuyễn 11 Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng. Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau đây: - Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều lời giải trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu. - Khả năng xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải nhìn bất phiến, phiến diện, cứng nhắc. c. Tính độc đáo Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi khả năng: - Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới. - Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng như không có sự liên hệ với nhau. - Khả năng tìm ra những giải pháp lạ . Các yếu tố cơ bản nói trên không thể tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên góc độ và tình huống khác nhau, nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc. Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Trong học tập toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá. . . Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho ba tính chất cơ bản đặc trưng nhất của tư duy sáng tạo. 12 Ví dụ 1.1. Giải phương trình p p 2 sin x + 2 − sin x + sin x 2 − sin2 x = 3. (1.1) Phân tích: Đây là phương trình lượng giác đối với một hàm số lượng giác nên học sinh có thể lựa chọn cho mình cách giải là đặt ẩn phụ t = sin x với điều kiện kèm theo của t và chuyển phương trình lượng giác trên về phương trình đại số quen thuộc. Đó chính là biểu hiện của tính nhuần nhuyễn trong quá trình tư duy sáng tạo. Ta có cách giải 1: Đặt t = sin x, với t ∈ [−1; 1]. Khi đó phương trình (1.1) trở thành: p p t + 2 − t2 + t 2 − t2 = 3. (1.2) Học sinh dễ dàng nhận ra dạng tổng quát hay sử dụng với phương trình (1.2) √ bằng cách đặt u = t + 2 − t2 . Hướng 1: Không quan tâm đến điều kiện của u, ta có bước giải tiếp theo như sau. Phương trình (1.2) trở thành: u2 − 2 = 3 ⇔ u2 + 2u − 8 = 0. 2 hay hoặc u = 2 hoặc u = −4. +) Nếu u = −4 thì ta có p p t + 2 − t2 = −4 ⇔ 2 − t2 = −4 − t. u+ hay ( t ≤ −4 2 − t2 = (t + 4)2 . Hệ trên vô nghiệm do điều kiện của t là t ∈ [−1; 1] . √ √ +) Nếu u = 2 thì ta có t + 2 − t2 = 2 ⇔ 2 − t2 = 2 − t hay ( t≤2 2 − t2 = (2 − t)2 . do đó t = 1. Khi đó phương trình có nghiệm x = π + k2π. 2 13 Hướng 2: Nếu học sinh quan tâm đến điều kiện của ẩn phụ u thì ta có thể loại được nghiệm u = −4. Hướng 3: Không cần đặt ẩn phụ u mà tiến hành giải phương trình đại số ẩn t theo phương pháp hàm số ta cũng được nghiệm duy nhất t = 1. Hướng 4: Tính mềm dẻo, tính độc đáo trong tư duy của người làm toán là khả năng nhìn nhận bài toán quen thuộc dưới góc độ mới. Tư việc tư duy đó đẫn đến hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Cụ thể: Trong hệ toạ độ Oxy chọn các vectơ có toạ độ   p   p → − → − 2 2 u = sin x; 1; 2 − sin x , v = 1; 2 − sin x; sin x √ − − Suy ra |→ u | = |→ v | = 3. p p − − − − u | . |→ v | = 3. Ta có → u .→ v = sin x + 2 − sin2 x + sin x 2 − sin2 x;|→ − − − − Phương trình đã cho trở thành → u .→ v = |→ u | . |→ v |. Điềup này xảy ra khi và sin x 1 2 − sin2 x → − → − chỉ khi u và v cùng hướng hay =p >0⇔ = 1 sin x 2 − sin2 x π sin x = 1 ⇔ x = + k2π. 2 Từ nội dung bài toán trên cùng các phương pháp giải quyết đặc trưng giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự sáng tác các bài toán tương tự. 1.4.3 Một số biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học môn Toán 1.2.3.1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp bồi dưỡng các hoạt động trí tuệ khác cho học sinh Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá trong đó hoạt động phân tích tổng hợp đóng vai trò quan trọng. Chẳng hạn, để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên các kỹ năng, kỹ xảo, năng lực, tiến hành phân tích kết hợp với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai