Tài liệu đánh giá trên và dưới hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VƯƠNG THỊ MỸ HẠNH ĐÁNH GIÁ TRÊN VÀ DƯỚI HỆ SỐ DẪN NHIỆT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ HỌC KỸ THUẬT Hà Nội-2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VƯƠNG THỊ MỸ HẠNH ĐÁNH GIÁ TRÊN VÀ DƯỚI HỆ SỐ DẪN NHIỆT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG Ngành : Cơ học kỹ thuật Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật Mã số: 60 52 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ HỌC KỸ THUẬT Hà Nội-2012 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ………………………………………………………………. 1 LỜI CẢM ƠN ……………………………………………………………..... 2 LỜI CAM ĐOAN …………………………………………………………… 3 MỤC LỤC …………………………………………………………………... 4 DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ …………………………………… 5 Chương 1. Mở đầu ………………………………………………………….... 6 Chương 2. Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn nhiệt ………………………... 11 2.1. Xây dựng đánh giá trên ………………………………………... 15 2.2. Xây dựng đánh giá dưới ……………………………………….. 20 Chương 3. Áp dụng ………………………………………………………….. 23 3.1. Vật liệu tựa đối xứng …………………………………………… 23 3.2. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha …………………………….. 28 KẾT LUẬN …………………………………………………………………. 35 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ ……………………. 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………... 37 PHỤ LỤC …………………………………………………………………...... 40 5 DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ Trang Hình 3.1: Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha ……………………………….. 23 Bảng 3.1: Đánh giá trên và dưới đối với hệ số dẫn hiệu qủa vật liệu tựa đối xứng ba pha ………………………………………………………….………… 27 Hình 3.2: Đánh giá trên và dưới đối với hệ số dẫn hiệu quả vật liệu tựa đối xứng ba pha ………………………………………...…………………….. 28 Hình 3.3: Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha ……………………………..… 29 Hình 3.4: Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha …………………………..….… 32 Bảng 3.2: Đánh giá trên và dưới đối với hệ sô dẫn hiệu quả cho mô hình quả cầu lồng nhau ba pha …………………………………………….…..…. 33 Hình 3.5: Đánh giá trên và dưới đối với hệ sô dẫn hiệu quả cho mô hình quả cầu lồng nhau ba pha ………………………………………. …………. 34 6 Chương 1. Mở đầu Một số lớn các vật liệu đang sử dụng hiện nay được tạo ra từ nhiều thành phần vật liệu khác nhau nhằm phục vụ cho các đòi hỏi trong nhiều lĩnh vực của đời sống con người. Trong luận văn này ta quan tâm nghiên cứu hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hướng, nó phụ thuộc vào các tính chất của các thành phần cấu thành và tương tác giữa chúng. Việc nghiên cứu các mối quan hệ này là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn vì nó giúp giải thích được mối quan hệ giữa tính chất vĩ mô của vật liệu với tính chất các thành phần cấu thành và hình học vi mô, giúp thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu. Vật liệu tổ hợp được cấu tạo vi mô từ cách thành phần vật liệu khác nhau nhưng về mặt vĩ mô được coi là đồng nhất và các tính chất hữu hiệu ( mô đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, điện,…) nói chung khác với tính chất các thành phần cấu thành. Các cấu trúc vi mô được coi là đủ lớn so với kích thước phan tử để có thể được xem như là môi trường liên tục. Các trường (nội lực, chuyển vị, nhiệt, dòng nhiệt…) là liên tục trên các mặt ngăn cách giữa các pha. Khi các thành phần cấu thành phân bố hỗn độn trong không gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hướng vĩ mô. Ở đây chúng ta cũng giới hạn với giả thiết các vật liệu thành phần là đẳng hướng. Việc xác định cơ lý tính hữu hiệu của vật liệu tổ hợp là một vấn đề cơ bản của khoa học vật liệu. Hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hướng phụ thuộc vào tính chất vi mô của các vật liệu thành phần cấu tạo nên nó như: tỷ lệ thể tích, dạng hình học pha, các hệ số dẫn nhiệt vi mô… Vì hình học pha của vật liệu thường phức tạp và không thể cho trước đầy đủ và chính xác được, nên người ta thường tìm cách xây dựng các đánh giá trên và dưới đối với các tính chất vĩ mô của vật liệu. Trong chương này, chúng tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc về lịch sử vấn đề, tầm quan trọng và ý nghĩa thực tiễn của nó, đồng thời sơ lược qua phương pháp nghiên cứu và các kết quả chính mà luận văn đã đạt được. Việc xác định hệ số dẫn nhiệt hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng được đưa về việc giải bài toán tìm điểm cực tri của phiếm hàm năng lượng. Đó là một bài toàn rất phức tạp tương đương với việc giải các phương trình cân bằng và 7 tương thích trêm miền không đồng nhất V với cấu tạo hình học pha phức tạp, tùy tiện mà trong thực tế người ta cũng khó mà có được thông tin đầy đủ về hình học pha của các vật liệu tổ hợp được sử dụng. Do đó, đường lối biến phân đề nghị một cách tiếp cận khác thực tiễn hơn: trên cơ sở các thông tin hạn chế có được về cấu tạo của miền thể tích đang xét ta tìm trường khả dĩ tốt nhất gần với với điểm cực trị của phiếm hàm năng lượng để từ đó nhận được đánh giá trên và dưới đối với hệ số dẫn nhiệt hiệu quả. Khó khăn chính là ta phải giải các bài toán biến phân trên miền thể tích V với cấu trúc phức tạp mà ta thường không có được đầy đủ các thông tin về nó. Các thông tin chính xác nhất, đơn giản nhất cho mô tả (và cũng là quan trọng nhất) có được thường là tỷ lệ thể tích vα và các tính chất dẫn nhiệt Cα của các thành phần cấu thành. Vào năm 1982, Voight [29] đã đưa ra các công thức trung bình cộng số học để tính xấp xỉ các tính chất hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng: n (1.1) C eff   v C  1 Reuss [26] đã chỉ ra rằng trong một số các trường hợp thì công thức trung bình cộng điều hòa cho được kết quả xấp xỉ tốt hơn: C eff  n     v C1    1  1 (1.2) Xuất phát từ các nguyên lý biến phân đã nói ở trên và chọn các trường khả dĩ hằng số, Hill [13] và Paul [22] đã chứng minh được rằng các tính chất hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù hình học pha như thế nào luôn nằm ở giữa các giá trị (1.1) và (1.2). Cụ thể, đánh giá Hill- Paul có thể được viết như sau: 1 n  n 1  eff   v C C v C        1   1  (1.3) Bước tiến quan trọng tiếp theo được thực hiện bởi Hashin và Strickman [11]; [12]. Đưa vào các trường khả dĩ phân cực (polarization fiels) và có các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau, các ông đã xây dựng thành công đánh giá mới tốt hơn đánh giá Hill- Paul: PC  2Cmin   C eff  PC  2Cmax  8 1  n    v    C* PC  C*     1  C  C*      (1.4) Cmin  min C |   1,..., n , Cmax  max C |   1,..., n Đánh giá Hashin- Strickman đúng cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng bất kỳ (bất kể hình hịc pha như thế nào) với tỷ lệ thể tích vα và tính chất dẫn nhiệt các thành phần Cα được cho trước- và được coi là một trong những thành tựu nổi bật của cơ học các vật liệu tổ hợp. Câu hỏi được đặt ra là liệu có tồn tại đánh giá tốt hơn đánh giá HashinStrickman nếu chỉ có vα và Cα được cho trước? Hoặc nếu các đánh giá là tối ưu thì phải chỉ ra mô hình hình học cho được giá trị hữu hiệu trùng với đánh giá trên (dưới). Hashin- Strickman đã chỉ ra rằng các đánh giá của họ cho hệ số dẫn nhiệt Ceff là tối ưu trong trường hợp vật liệu hai pha bằng cách xây dựng mô hình quả cầu lồng nhau. Milton [18] đã chỉ ra rằng các đánh giá của Hashin- Strickman cho Ceff của vật liệu n pha là tối ưu cho một lớp giới hạn các giá trị của vα, Cα. Bên cạnh những đánh giá cơ bản nói trên, các nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong thời gian qua đề cập tới các lớp vật liệu cụ thể với những thông tin bổ sung về hình học pha. Trong trường hợp vật liệu hai pha với một pha cốt liệu gồm các hạt hình ellipsoid có tỷ lệ thể tích nhỏ phân bố rời rạc xa nhau trong pha thứ hai liên tục, ta có thể nhận được các biểu thức tiệm cận của các hệ số hữu hiệu dựa trên các kết quả cơ bản của Eshelby. Người ta cũng xem xét các mô hình mà tỷ lệ thể tích của pha cốt liệu không nhỏ và tính tới các tương tác giữa hai hạt, ba hạt cốt liệu gần nhau nhất để đưa ra các công thức xấp xỉ (xem [7]). Với các hình học pha đặc biệt: tuần hoàn và đơn giản, có thể áp dụng trực tiếp phương pháp số để giải. Một phương pháp tiếp cận xấp xỉ cũng hay được sử dụng cho tới thời gian gần đây gọi là phương pháp tự tương hợp (self-consistent)- đầu tiên được áp dụng trong [6], [14], [15]- tuy nhiên bị phê bình là thiếu cơ sở toán học chặt chẽ, có khi cho kết quả sai lệch và bởi vậy có ý nghĩa hạn chế. Để có được đánh giá hẹp hơn đánh giá Hashin- Strickman, người ta tìm cách đưa thêm vào các thông tin bổ sung về hình học pha của vật liệu thông qua các hàm ngẫu nhiên ([24], [16], [21], [28], [30], [31]). Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định giữa chúng) rơi vào cùng một pha. Việc đo đạc các hàm ngẫu nhiên này thường rất phức tạp chứ chưa nói đến việc sử dụng 9 chúng như thế nào để tìm các đánh giá tối ưu. Với các phương tiện đo đạc thực nghiệm và máy tính hiện đại nhất hiện nay người ta cũng chỉ mới nhận được các hàm ngẫu nhiên bậc hai và bậc ba cho các trường hợp cụ thể (về mặt lý thuyết người ta có thể có được các hệ số hữu hiệu chính xác chứ không chỉ đánh giá nếu có được tất cả các hàm ngẫu nhiên tới bậc  ). Miller [20] đã xem xét một lớp các vật liệu tổ hợp đẳng hướng- gọi là vật liệu cấu trúc đối xứng (symmetric cell material) với một rang buộc bổ sung lên hình học pha của vật liệu: các pha có cấu trúc hình học vi mô như nhau mặc dù tỷ lệ thể tích có thể khác nhau. Hiển nhiên ràng buộc này không đòi hỏi phải cho trước hình học cụ thể của vật liệu. Miller đã xây dựng thành công đánh giá mới cho Ceff của vật liệu cấu trúc đối xứng hai pha- nằm trong đánh giá HashinStrickman: PC  2Cl   C eff  PC  2Cu   1 Cl  min  v1 C2  v2 C1  ,  v1 C1  v2 C2  1 , (1.5) Cu  max v1 C2  v2 C1 , v1 C1  v2 C2  Các tính chất của loại vật liệu này được nhiều tác giả quan tâm- đáng chú ý nhất là các nghiên cứu gần đây của Bruno ([5]; [7]). Các phương pháp nghiên cứu vật liệu tổ hợp đẳng hướng trong không gian ba chiều cũng được dùng để xem xét vật liệu đẳng hướng trong mặt phẳng và các kết quả tương ứng cũng đã nhận được ([9], [10], [13], [28], [29], [30]). Trong luận văn này, dựa trên nguyên lý năng lượng cực tiểu (và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu) và phương pháp biến phân, chúng tôi đề xuất một cách xây dựng đánh giá mới cho hệ số dẫn nhiệt hiệu quả có tính tới thông tin ngẫu nhiên bậc ba về hình học pha của vật liệu nằm trong đánh giá Hashin-Strickman và áp dụng cho một số vật liệu đối xứng và phi đối xứng. Sử dụng trường thử tổng quát hơn trường khả dĩ Hashin- Strickman, từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu chúng tôi đã nhận được các đánh mới cho hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần tốt hơn các đánh giá được xây dựng trong [1],[4] và [7]. Đánh giá mới chứa đựng các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đã được áp dụng cho lớp vật liệu tựa đối xứng và mô hình quả cầu lồng nhau ba pha. Bố cục của luận văn: Luận văn bao gồm 3 chương: 10 Chương 1. Mở đầu Chương 2. Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn nhiệt Chương 3. Áp dụng. Ngoài 3 chương được nêu trên, luận văn còn gồm các phần: - Kết Luận: nêu các kết quả luận văn đạt được, các ứng dụng và ý nghĩa của luận văn cũng như đề xuất thêm hướng nghiên cứu mới trong thời gian tới. - Danh Mục Công Trình Khoa Học Đã Công Bố - Tài Liệu Tham Khảo 11 Chương 2. Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn nhiệt Trước tiên, ta cần quan tâm đến khái niệm phần tử đặc trưng (RVE) của vật liệu tổ hợp. Khái niệm: Một phần tử được gọi là phần tử đặc trưng của vật liệu nếu nó đủ lớn so với cấu trúc vi mô để có thể được coi thực sự đại diện cho vật liệu được xem xét nhưng phải đủ nhỏ so với các kích thước vĩ mô của vật thể chịu lực (và cả độ dài bước sóng trong trường hợp bài toán động) để các tính chất hữu hiệu thực sự có ý nghĩa. Ta xem xét phần tử đặc trưng V của vật liệu hỗn độn đẳng hướng vĩ mô như một quả cầu có tâm trùng với tâm của hệ tọa độ Decac vuông góc {x}. V được cấu tạo từ n thành phần chiếm các vùng V  V có thể tích vα (α = 1,…,n; thể tích của V được coi là bẳng 1) và hệ số dẫn Cα. Như vậy, hệ số dẫn địa phương có thể biểu diễn như sau: n C ( x )   C I  ( x ) , x  V (2.1) 1 , x  V  I ( x )   0 , x  V \ V (2.2)  1 Trong đó: Hệ số dẫn C(x) chính là hệ số tỷ lệ của quan hệ tuyến tính: J (x)  C (x)E(x) (2.3) Với: J (x) : dòng nhiệt E(x) : Trường gradient nhiệt Dòng J(x) cần thoả mãn phương trình cân bằng:   J ( x)  0 Trong khi đó trường E(x) là gradient: (2.4) 12 E(x)  T (x) (2.5) T: là trường nhiệt độ. Dấu ‘‘ -’’ trong công thức trên là do dòng nhiệt chạy từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi có nhiệt độ thấp. Liên kết giữa các pha là lý tưởng ( T(x) và J  n liên tục trên mặt ngăn cách giữa các pha, n là pháp tuyến trên mặt ngăn cách). Trong luận văn này, để xây dựng đánh giá mới cho hệ số dẫn nhiệt hiệu quả ta dùng nguyên lý năng lượng cực tiểu: C e E 0  E 0  inf 0  CE  Edx , E E (2.6) V và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu: C  e 1 J 0  J 0  inf 0  C 1 J  Jdx J J (2.7) V Trong đó : E : là trường gradient, E0 : là constant vector, E   E(x)dx ; (2.8) V . J : ký hiệu phép lấy trung bình trên V. : Trường cân bằng thỏa mãn (2.4) J 0 : Constant vector Trước khi xây dựng các đánh giá, chúng ta cần định nghĩa các tham số thống kê bậc ba về hình học pha của các vật liệu [17, 24]. Ta có các hàm thế điều hoà:   (x)   1 4  V dy xy (2.9) 2  (x)   , x V (2.10) trong đó   là ký hiệu Krönecker. 0, x  V   ( x)   1, x  V\V (2.11) 13 Với giả thiết đẳng hướng vĩ mô ta có:   ,ij (2.12) dx  A ij V Từ (2.11) và (2.12) ta có A  v v , và A     ij . 3 3 Tương tự :   2 3     ,kl dx  K  ij kl  M    ik jl   il jk   ij kl  , ij V (2.13) Ta cần tìm K và M  Cho i= k, j= l , từ (2.13) ta có:   2 3     ,kl dx  K  ij ij  M    ii ii   ij ij   ij ij  , ij V = 3K  10M  (2.14) Cho i= j, k= l ta nhận được:     2 3    ,kk dx  K   ii kk  M    ik ik   ik ik   ii kk  , ii V      dx  9K  M  .0 V  K  v     9 Thay (2.15) vào (2.14): M  1   v   A       10  3  Thay K và M  vào (2.13) ta được:  V  ,kl dx  ,ij v 1 2       ij  kl    ik  jl   il  jk   ij  kl  9 10  3  (2.15) 14   1 ~  1 2 1 ~  v      A  ij kl   A  v      ik  jl   il jk  (2.16) 15 30  15   10   ,kl dx   ,ij V Trong đó: ~ A    ,ij  ,ij dx V Vậy, từ giả thiết đẳng hướng thống kê của vật liệu hỗn độn dẫn tới: v      ,ij dx  3    ij V (2.17)  ~     1 ~  1      dx   2 v    1 A A  v      ik  jl   il jk       ij kl   V ,ij ,kl 15 30    10  15  Trong đó, chúng ta đã đưa vào các tham số thống kê bậc ba về hình học pha của vật liệu : ~    A     ,ij  ,ij dx  V   1  ij   ,ij   ,ij dx  v V  (2.18) Trong luận văn này tổng quy ước được lấy trên các chỉ số Latin lặp lại, nhưng không phải đối với chỉ số Hylạp. Ta cần có quan hệ sau (Phan & Torquatc, 2003): n ~ A  0   (2.19)  ,   1,..., n 1 Trở lại với các bài toán cực trị (2.6) và (2.7), với các trường khả dĩ E và J thích hợp chúng ta sẽ có thể nhận được các đánh giá trên và dưới tương ứng đối với hệ số dẫn hiệu quả Ceff. 2.1. Xây dựng công thức đánh giá trên Đối với đánh giá trên, ta sử dụng biểu thức năng lượng cực tiểu (6) và chọn trường thử khả dĩ gradient E như sau: n Ei  Ei0   a E j  ,ij i=1,2,3 (2.20) i 1 Trong đó aα là các hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc: n  v a  0  1 (2.21) 15 Với ràng buộc (2.21) dễ dàng kiểm tra trường thử khả dĩ gradient E từ (2.20) thoả mãn ràng buộc E  E0 trong (2.6). n  E  E0  a E     0 j ,ij 1 Ta tính riêng số hạng thứ 2 trong biểu thức trên : n n a E     0 j n    a E 0j  ,ij   a E 0j   ,ij dx ,ij V  1 1  1 V Áp dụng công thức (2.17), ta được : n n 0 j n   E 0j a    ,ij dx a E     ,ij  1 1 n  1 V n   E 0j a  1  1 Ei0  3  n v 3    ij n a v       1 ij 1 n Ei0  ij  a v 3  1 n Do (2.21) nên a E     0 j ,ij  0. 1 Vậy trường thử (2.20) thỏa mãn ràng buộc E  E0 . Trường khả dĩ Hashin – Strickman được sử dụng trong [1], [4] chỉ là trường hợp riêng của (2.20) với 1 hệ số tự do. Bởi vậy trường thử (2.20) tổng quát hơn sẽ có khả năng cho đánh giá trên nhỏ hơn (tốt hơn) so với đánh giá trong [1], [4]. Để tìm đánh giá trên, trước tiên ta đặt trường thử khả dĩ (2.20) vào biểu thức sau inf trong (2.6) ta được : WE  C eff Ei0 Ei0  inf Ei  Ei0  0 i 0 j 1 V Vế trái của biểu thức trên (ký hiệu là VT) : n VT   CEi0 Ei0 dx   CEi0 E 0j  a  ,ij dx  V V  n  n a E    E   a E   dx  C  E        1 ,ij 0 i 0 k 1 ,ik 16 n n n   CEi0 Ek0  a  ,ik dx   CE 0j Ek0  a a  ,ij ,ik dx  1 V  1  1 V (2.22) Ta tính riêng từng số hạng trong (2.22) Số hạng đầu tiên : n 0 0 0 0 0 0  CEi Ei dx  Ei Ei  Cdx Ei Ei  v C V  1 V Số hạng thứ 2 : n n n 0 0  0 0   CEi E j  a  ,ij dx  Ei E j  a  C  ,ij dx  1 V  1 n V  1 n  Ei0 E 0j   a C    ,ij dx  1  1 n V n  Ei0 E 0j  a C  v 3  1  1     ij 1 0 0 n Ei Ei  a v C 3  1 Số hạng thứ 3 : Tính toán tương tự như trên, ta có : n 1 0 0 n 0 0  CE E a  dx  Ei Ei  a v C  , i k  ik  3  1  1 V Số hạng thứ 4 : n n n n 0 0   0 0    CE j Ek  a a ,ij,ik dx  E j Ek  a a  C,ij,ik dx  1  1 V  1  1 n 0 j E E 0 k V n n a a C      dx      ,ij 1 1 1 ,ik V Áp dụng công thức (2.16)  V  1 ~  1 2 1 ~  v      A  ij ik   A  v      ii jk   ik ji  15 30  15   10   ,ik dx   ,ij Trong đó lưu ý rằng :  ij ik   ji ik   jk 17  ii  jk  3 jk  ik  ji   jk Vậy, số hạng thứ 4 của (2.22) : n n 0 0    CE j Ek  a a ,ij,ik dx   1  1 V 1 0 0 n n n ~ E j E j  a a C A 3  1  1  1 Ta đưa thêm vào ký hiệu: A    ij  ij dx V ~ Ta cần biểu diễn A qua A . Ta có :  ij   ,ij    1  ,ij dx v  V   , ij 1    3 ij Tương tự: 1 3  ij   ,ij     ij Thay vào biểu thức của A : 1 1    A     ,ij     ij   ,ij     ij dx 3 3   V  1 1 1       ,ij ,ij     ij ,ij     ij ,ij      dx 3 3 3  v  ~ 1 1 1  A     ij   ,ij dx     ij   ,ij dx      v 3 3 3 v V v v ~ 1 1 1  A     ij     ij     ij     ij      v 3 3 3 3 3 ~ 1 1 1  A  v        v        v 3 3 3 ~ 1  A  v     3 ~ 1  A  A  v     3 18 Vậy : n 0 0  CE j Ek V 1 n a a     dx  E  3   ,ij ,ik 0 j E 0j , 1 1   a a C  A  v      3   1    , , n n 1 1  E 0j E 0j  a a C A  E 0j E 0j  a a C v    3 9  ,  ,  1  ,  ,  1 Cuối cùng ta nhận được biểu thức năng lượng: WE   CEi Ei dx V  1 n 2 n 1 n   Ei0 Ei0 CV   C a a A   v C a   v C a2  3  ,  , 1 3  1 9  1   (2.23) Trong đó: n CV   v C : gọi là trung bình cộng số học Voigt.  1 Chúng ta cực tiểu hoá biểu thức (2.23) trên các biến tự do aα ràng buộc bởi (2.21) bằng cách đưa vào nhân tử Lagrange λ : 2 n F  WE    v a 3  1 Để tìm aα cần giải hệ sau:  F  a  0   F   0   δ = 1,…,n. (2.24) Ta thấy: n F  0   v a  0   1 (2.25) đây là ràng buộc (2.21) và: F  0 với α = 1,…,n a (2.26) n  v C  1 A C a  v C a  v  3   , 1 (2.27) Để giải các phương trình (2.25), (2.27) ta làm như sau:  0 ,   1,..., n 19 Đưa vào các ma trận A, A và vector a, v, vc trong không gian n chiều như sau: n 2 n  2 A    A C  C v   v  9  3  1  , 1 n n  1 A   A c  v C   3   1  ,  1 n n  A   A c    1  , 1 n n a  a  1 , v  v  1 , v c  v C n 1 Khi đó phương trình (2.27) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận: A  a  v c  v  0 và có lời giải: 1 a  A  v  v c  (2.28) Mặt khác nhân (2.27) với C1 và lấy tổng theo α từ 1 tới n, có tính tới ràng buộc (2.21), ta nhận được: 1  c  A  a  C R1  0 (2.29) Trong đó: n  n  c  C1 1 , C R    v C1    1  1   : là trung bình cộng điều hoà Reuss. Cùng với (2.28), (2.29) cho lời giải: 1  v  A  vc (2.30) 1 vA v Lấy tổng của (2.27) theo α từ 1 tới n, và sử dụng (2.12): Cv  1 n  v C a    0 3  1 (2.31) Từ các biểu thức (2.23), (2.27) ràng buộc (2.21) và (2.30) ta nhận được:   1 n WE   C v   v C a  Ei0 Ei0 3  1    Ei0 Ei0 (2.32) 20 Cuối cùng, từ (2.6), (2.20), (2.32) ta nhận được đánh giá trên mới cho Ceff:  n n   C eff  C UA C 1 , v 1 , A n 1 1  v  A  vc (2.33) 1 vA v Tiếp theo, ta xây dựng công thức đánh giá dưới cho hệ số dẫn nhiệt hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng. 2.2. Xây dựng công thức đánh giá dưới Tương tự, để tìm đánh giá dưới cho Ceff , ta áp dụng nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (2.7): C  eff 1 J 0  J 0  inf 0  C 1J  Jdx J J V và sử dụng trường cân bằng như sau: n  J i  J i0   b J i0 ,ij   ij I  , i=1,2,3 (2.34)  1 Trong đó: Dòng nhiệt J (x) phải thỏa mãn phương trình cân bằng (2.4). Kiểm tra:   J  0 hay J i ,i  0 Ta có: n   n  J i ,i  J i0,i   a J 0j ,i ,ij   ij I   a J 0j ,iij   ij I ,i  1   1 n  J i ,i   a J 0j .,iij  1 Mặt khác, ta có tính chất của hàm thế điều hòa: 0    1 x  V x  V \ V Do đó: ,iij  0 (với   1,..., n ), Vậy dòng J (x) trong trường thử (2.34) thỏa mãn phương trình cân bằng (2.4). 21 Ngoài ra, từ ràng buộc J  J 0 trong (2.7) ta tìm được ràng buộc cho các biến tự do b α như sau: n  v b  0 (2.35)  1 Đặt trường thử (2.34) vào biểu thức (2.7) và lấy cực tiểu theo các biến tự do bα, cuối cùng ta thu được đánh giá dưới như sau:    C eff  C AL C 1 , v 1 , A n n n 1 1  v  A  v (2.36) 1 v  A  vc Trong đó: n n 4  A    A C1  v C1   3  1 1  vc  v C1  n 1 (2.37) Các đánh giá (2.33), (2.36) chứa đựng tính chất Cα, tỷ lệ thể tích vα, cũng như thông tin bậc ba A về hình học pha của vật liệu. Trong trường hợp vật liệu hai pha (n = 2) các đánh giá này trùng với các đánh giá đã biết và đánh giá trong [1], [17]. Tuy nhiên với n ≥ 3 đánh giá mới tốt hơn đánh giá trong [1], [17], như chúng ta sẽ thấy trong chương sau.