Tài liệu Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc của sóng trong trường hợp xấp xỉ sóng dài

Đ ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ V À CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN C ơ HỌC ............. .... .......... ........ NGUYỀN THỊ KHÁNH LINH DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA S ổ N G TRONG TRƯỜNG HỢP XẤP x ỉ SÓNG DÀI LUẬN VĂN THẠC sĩ ■ ■ Hà Nội - 2005 ■ Đ ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÒNG NGHỆ VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN C ơ HỌC NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG TRONG TRƯỜNG HỢP XẤP XỈ SÓNG DÀI chuyên ngành : Mã s ố : c ơ HỌC VẬT THỂ RẮN 60.44.Ì21 LUẬN VĂN THẠC sĩ ■ ■ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. PHẠM CHÍ VĨNH Hà Nội - 2005 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU …………………………………………………………………………..3 Chương 1: Các hệ thức tuyến tính Hóa cơ bản của lý thuyết đàn hồi có biến dạng ban đầu thuần nhất…………………………………………………………9 1.1- Các ký hiệu và các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi phi tuyến ……9 1 .2 . Các hệ thức tuyến tính hoá của lý thuyết đàn hồi với biến dạng ban đầu hữu hạn ………………………………………………………………………….9 1 .3 . Các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi với biến dạng ban đầu là thuần nhất …………………………………..…………………………………………16 Chương 2. SÓNG HAI THÀNH PHAN TRONG MÔI TRƯỜNG VÔ HẠN , KHÔNG NÉN ĐƯỢC , PHÂN LỚP TUẦN HOÀN…………………………20 2.1. Đặt bài toán ………………………………………………………………...20 2.2. Xác định phương trình tán sắc ……………………………………………..25 2.2.1. Biểu diễn nghiệm Y………………………………………………………25 2.2.2. Xác định ……………………………………………………………………28 2.3. Ví dụ bằng số ………………………………………………………………..49 Chương 3. SÓNG LOVE TRONG MÔI TRƯỜNG PHÀN LỚP KHÔNG NÉN ĐƯỢC……………………………………………………………….……………51 3.1. Mở đầu ……………………………………………………………………….51 3.2. Đặt bài toán …………………………………………………………………..51 3.3. Biểu diễn nghiệm …………………………………………………………….54 3.3.1. Nghiệm của phương trình (3.23 )………………………………………….56 3.3.2 . Tìm nghiệm của phương trình ( 3.24 ) ……………………………………60 3.3.3 Điều kiện biên và điều kiện liên tuc………………………………………..61 3.4 . Tính các í ì i ( i = l , n )……………………………………………………..63 3.4.2 . Chứng minh … = 0 ……………………..………………………………...64 3.4 .3 . Tính Q3……………………………………………………………………65 3.4 .4 . Chứn g minh …= 0 ………………………………………………………65 3.4.5 . Tìm ……………………………………………………………………….67 3.4.6 . Chứng minh 2n = 0……………………………………………………….68 3.4.7 . Công thức truy hồi của ÍÌ 2n - i ( n > 1)……………….…………………73 3.5 . Ví dụ bằng số……………………………………………………………….74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……………………………………………………77 LỜI CẢM ƠN T á c giả xin ch ân th à n h cảm ƠI1 các T h ầ y giáo, Cô giáo tro n g B an lãnh dạo V iện C ơ học, các T h ầ y giáo, Cô giáo tổ chức v à giảng d ạ y lớp cao học k h o á 6 c ủ a T ru n g T â m Đào T ạ o sa u dại học tại viện C ơ học, T rư ờ n g Dại học C ông nghệ, dã tạ o nhiều diều kiện th u ậ n lợi tro n g su ố t k h o á học v à q u á trìn h v iết lu ận v ă n tố t nghiệp. T á c giả cũ n g xin bày tỏ lòng b iết ƠI1 sâu sắc dối với PG S. T S. P h ạ m C h í V ĩnh, người dã chì bảo, hư ớ ng d ẫ n v à giúp dỡ n h iệt tìn h dề T á c giả hoàn th à n h bản luận văn này. T á c giả Nguyền Thị Khánh Linh 1 M Ờ DÀU Nghiên cứ u các bài to án truyền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi có ý nghĩa th ự c tế to lớn v à dã dược áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau. T rong Địa chấn học, xung được tạo ra từ phương pháp nổ mìn tro n g các hố khoan, q u á trìn h lan truyền sóng th u dược qua các th iế t bị do. Các số liệu th u dược dem phân tích, so sánh, cho phép t a xác định dược sự phân lớp của các lớp đất đá, xác định dược bề dày c ủ a từ n g lớp. Q u a dó xác định dược địa tầng, khu vực cần nghiên cứu, T rong công việc tìm kiếm và thăm dò khoáng sản, việc phân tích và so sánh phổ của các q u á trìn h truyền sóng cho phép xác định vị trí, các th ầ n quặng nằm sâu trong lòng đất. Q u a dó có thể xác định p h ạm vi p h ân bố củ a mỏ quặng, phục vụ tố t cho công tác diều tra khảo sát. T rong lĩnh vực dộng lực học công trình, nghiên cứu quá trình lan tru y ề n sóng tro n g các kết cấu nhằm p h á t hiện các dị thường (khuyết tậ t) củ a kết cấu bên trong công trình. T ừ dó có các biện ph áp sử lý kịp th ờ i nhằm đảm bảo an to àn cho các công trình trước khi dưa di sử dụng. Trong chế tạo cũng n h ư lắp dặt cấu kiện, bằng phương pháp sóng siêu âm có thể xác định dược chất lượng của mối hàn chịu lực, các k huyết tậ t trong q u á trìn h gia công, chế tạo vv. 2 Trong xây dựng công trình, dế đánh giá chất lượng các công trình, theo truyền thống, người ta thư ờ ng dùng các phương pháp lấy m ẫu của các vật liệu, sau dó dược th ử trong phòng th í nghiệm, hoặc th í nghiệm trự c tiếp tại hiện trư ờ ng. Các phương pháp lấy m ẫu (phương pháp trự c tiếp) tu y có dộ chính xác cao, song phương pháp này thường gây ra sự p h á vỡ kết cấu, làm ảnh hưởng đến sử dụng công trình và rấ t tốn kém. D ựa vào nguyên lý truyền sóng trong các môi trư ờ n g dàn hồi có thể kiểm tr a đánh giá chất lượng các công trình, xác định trạng thái ứng suất trướ c v.v... bằng việc do tốc độ lan truyền của sóng. Phương pháp này hiện dang dược áp dụng rộng rãi trong th ự c tế và dược gọi là phương pháp không p h á huỷ. Trong lĩnh vực nền móng, bằng phương pháp trên có th ể xác định dược chiều sâu của móng, rnô-dun dàn hồi của vật liệu thi công, xác định khả năng chịu tầi củ a móng công trình. N hư vậy, việc nghiên cứu các bài toán truyền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi có nhiều ý nghĩa th ự c tiễn v à rấ t cần dược nghiên cứu. Trong số dó, các bài toán truyền sóng trong các môi trường dàn hồi phân lớp dược các n h à nghiên cứu dặc biệt chú ý, do những ứng dụng to lớn của chúng. C hẳng hạn các công trìn h [1], [3], [6 ], [11], [14] liên quan dến bài to án truyền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi phân lớp không có ứng su ấ t trước. Bài toán truyền sóng trong môi trư ờ ng dàn hồi phân lớp có ứng su ấ t trư ơ c dược nghiên cứu, chẳng hạn trong các công trìn h [5], [7]-[10], [12]. M ột trong những vấn dề quan trọng khi nghiên cứu bài toán truyền sóng là tìm phương trìn h tá n sắc của sóng: ÍO = Lú(k), u là 3 tần số sóng, k là số sóng. Sau khi xác định dược phương trình tán sắc của sóng t a mới xác định dược vận tốc truyền sóng c = £ và các dặc trư n g khác nhau chuyển dịch, ứng su ất, biến dạng của môi trường. Trong số các bài toán truyền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi phân lớp, bài toán truyền sóng trong môi trư ờ n g phân lớp tu ần hoàn dược nhiều tác giả quan tâm , dặc biệt khi các lớp đều mỏng hay khi xấp xỉ sóng dài (tứ c là khi E = k .l ì < < 1, Ả: là số sóng, h là độ dày m ột chu kỳ). Trong các công trình [7], [9], [10], [12], bằng cách sử dụng các khai triển tiệm cận của nghiệm, hay x u ất p h át từ các phương trình của môi trư ờ ng com posite lớp có cấu trú c tu ần hoàn, bằng cách cho £ —» 0, dã thu dược các phương trìn h th u ần n h ấ t hoá. Giải bài toán th u ầ n n h ấ t hóa tác giả th u được vận tốc truyền sóng, tức là tìm dược xấp xỉ “bậc không” (fỉi) trong khai triển sau của phương trìn h tán sắc: 00 2 — = e £ }2 + £2^3 + • • • = fyn+l£m (*) 777=0 Dể tă n g dộ chính xác của phương trình tá n sắc của sóng, việc tìm các xấp xi bậc cao hơn ÍỈ 2 ) ^ 3 )--- trong khai triền (*) là hết sức cần thiết. Trong [6 ] A. Norris và F. Santosa dã nghiên cứu bài toán truyền sóng cắt (sóng m ột th àn h phần) trong môi trư ờ n g phản lớp tuần hoàn vô hạn (không có ứng su ất trư ớ c). Các tác giả dã tìm được công th ứ c tính Q\, ÍỈ 3 và chứng m inh dược ÍỈ 2 = 0. 4 C âu liổi dặt ra là: 1) í^2n = 0 với Vn > 1? 2) Có thể xây dựng dược công th ứ c tru y hồi dể tính các íĩ 2n+i(n > 1) hay không ? 3) Nếu các câu trà lời trên là khẳng định th ì các kết quả trên có thể mờ rộng cho trư ờ ng hợp sóng hai th à n h phần (sóng cắt nén) không? 4) Khi môi trư ờ ng vô hạn, phân lớp tu ầ n hoàn thay bằng môi trường phân lớp hữu hạn thì các khẳng định trên còn đúng không? Mục tiêu của luận văn nhằm tr ả lời các câu hỏi nêu trên. Cụ thể, các kết quả của luận văn khẳng dinh: i) t h n — 0 Vn > 1 dối với sóng hai th àn h phần truyền trong môi trường vô hạn tuần hoàn không nén dược, có biến dạng ban dầu thuần n h ất, và sóng Love (sóng m ột th àn h phần) trong môi trường không nén dược, có biến dạng ban dầu th u ần nhất. ri) Tìm dược công thứ c tính Qi, fỈ 3 v à công th ứ c tru y hồi đổ tính 0 ,2 n+1 (™ > 1) cho hai loại sóng trên. Nhờ công th ứ c này, ta có thể tính toán bằng số các xấp xì bậc cao. Cần nhấn m ạnh rằng, với các mục đích khác nhau, việc xác định các xấp xỉ bậc cao trong phương trìn h tá n sắc (*) là cần th iết dối với môi trư ờ n g có ứng su ất trư ớ c cũng như không có ứng suất trước. Vì môi trư ờ ng không có ứng su ất trư ớ c là m ột trư ờ n g hợp riêng củ a môi trường có ứng su ấ t trư ớ c (khi các ứng suất trước bằng không) nên luận văn sẽ trìn h bày các k ế t q u ả cho môi trường có ứng su ấ t trước. T ừ các kết quả th u dược cho môi trư ờ n g có ứng 5 suất, trước ta sẽ nhận dược các kết q u ả cho môi trư ờ n g không có ứng suất trước. Luận văn gồm 3 chương: * Chương I: Trình bày các hệ th ứ c tuyến tính hoá cơ bản của lý thuyết dàn hồi có biến dạng ban đầu th u ầ n nhất, cần thiết cho chương II và chương III. * Chương II: Nghiên cứu bài toán tru y ền sóng hai thành phần dọc lớp trong môi trư ờ ng vô hạn, phân lớp tu ần hoàn, mỗi chu kỳ gồm N lớp v ật liệu khác nhau không nén dược có biến dạng ban đầu thuần nhất. Dã chứng m inh dược: ỉ) $hn — 0 Vn > 1. li) Tìm dược công th ứ c tính fỉi, ÍỈ 3 . Ui) Xây dựng dược công th ứ c tru y hồi dề tín h n 2n+i (n > 1 ) . * Chương III. Khảo sát sóng Love (sóng m ột th àn h phần) trong môi trư ờ ng gồm N lớp vật liệu khác nhau ( N > 2) dặt trên bán không gian. Môi trư ờ ng dược giả th iế t là không nén dược v à có biến dạng ban đầu thuần nhất. Các kết q u ả chính của chương III là: i) Chứng minh dược 0 ,2,1 — 0 Vn > 1. iỉ) Tìm dược các công th ứ c tính Í23, Q 5. Ui) Xâv dự ng công th ứ c tru y hồi dể tín h ÍỈ 2TĨ+1 (ft > !)• 6 C hương I C Á C H Ệ T H Ứ C T U Y Ế N T ÍN H H O Á c ơ B Ả N C Ủ A LÝ T H U Y Ế T D À N H Õ I C Ó B IE N d ạ n g b a n d â u T H ư Ằ N NHAT Trong chương này, chủ yếu nêu ra m ột số kết q u ả của A. N. Gouz [2]. Đó là các hệ th ứ c tuyến tính cơ bản củ a lý thu y ết dàn hồi với biến dạng ban đầu thuần nhất. Các hệ th ứ c này cần th iết cho việc giải các bài toán ờ các chương sau. 1.1. C á c k ý h iê u v à c á c h ê t h ứ c c ơ b à n c ủ a lý t h u y ế t đ àn hồi p h i tu y ế n G iả sử trong hệ toạ dộ trự c chuẩn Xi (2 = 1, 2, 3) với cơ sở ỹu chuyển dịch của điểm M trong môi trư ờ n g có dạng: ( 1.1) trong dó: XmẨm'- là to ạ độ của điểm M trư ớ c và sau khi biến dạng. Vì giữa toạ dộ của diem M trư ớ c và sau khi biến dạng có sự tư ơ n g ứng dơn trị nên ta có: um{xl ì x 2 , x 3 ì T) = Ẹm( x i , x 2 , x 3 ỉ t ) - x m Ẹ,m ĩ £2?£3?*7") Ujii(£1 ?Ẹ,2i £3?7") ( 1.2 ) u m: là các thành phần của véc tơ chuyển dịch ũ. Đẳng th ứ c (1.2) xác định hai phương p h áp mô tả sự chuyển dộng của môi trường. P hư ơ ng pháp mô tả Lagrăng coi x m (m à dược gọi là to ạ độ Lagrăng) là tham số của chuyển dộng của môi trường. Các to ạ dộ này không thay dổi trong quá trìn h chuyển dộng, vì vậy các dường toạ dộ x m trong môi trường biến dạng là đường cong không trự c giao với hệ cơ sở ĩm. Phương pháp th ứ hai là phương pháp ơ le , coi th a m số chuyền dộng của môi trư ờ n g là Ẹm. Sau dây chúng ta sử dụng phương pháp th ứ n h ất, v à chọn toạ độ Đề-các củ a các chất điểm ở trạn g th ái tự nhiên (chưa bị biến dạng) làm to ạ dộ Lagrăng. Khi dó, ờ trạn g thái tự nhiên ỹm v à ĩm trù n g nhau. T a biển thị dạo hàm theo biến Lagrăng bằng các dấu phầy theo chỉ số, và dạo hàm theo th ờ i gian bằng dấu chấm. Trong hệ to ạ dộ Lagrăng, biến dạng củ a môi trư ờ n g dược xác định bằng tenxơ biến dạng dối xứng Green: 2£ịj = Uịj + UjẠ + Un,i^n,j- (1-3) T rạng thái ứng suất dược mô tả bới tenxơ ứng su ấ t suy rộng được xác định theo công thứ c sau: * _ s*n ơmn ơm n = Q - r Nếu Jm í 1-4) là véctơ dơn vị vuông góc với phần tử diện tích m à trư ớ c biến dạng vuông góc với Irn th ì Sm v à s*n là diện tích của phần tử diện tích này trướ c và sau biến dạng. Ơmn là th àn h phần theo hướng ĩn của véc tơ ứng suất, tác dụng lên phần tử nói trên, 11* ( ,_________ An= —\/r+ 2 e n n (1-5) An là dộ dãn của dl m à trướ c biến dạng theo hướng yn, dl* là dộ dài của dl sau biến dạng. G iả sử môi trường là dàn hồi lý tư ờ ng, tứ c là môi trư ờ n g có th ế nâng dàn hồi. Đối với môi trư ờ n g b ấ t dằng hướng, th ế năng dàn hồi có dạng: 0 = ự>(en, £12,£21, £ 2 2 ,-,£ 33 )- (1-6) Do môi trư ờ n g đàn hồi lý tư ở n g nên: ỗộ = ơ*ijỗ£ij. T ừ (1.7) suy ra dối với vật thề nén dược: ì/ d d (1.7) 8 Đối với v ật thể không nén được, các biến phân của các thành phần tenxơ biến dạng Green phụ thuộc lẫn nhau: ỡ j Ô£ij = 0 G'J = õ (1.9) k ^ trong C.Ó (1.10) Grs = ôrs + 2erSì ký hiệi. [...] biểu thị m a trận. T ừ công th ứ c (1.7), (1.9) t a nhận dược công th ứ c xác định ứng suất suy rộng trong vật th ể không nén dược: ơH ( é + é > +pffJ’ (U1) trong dó: p là hàm vô hướng của x m. Đối vói v ật thể dàn hồi, dẳng hướng, nén dược, th ế dàn hồi dược xác định dướ i dạng như sau: ộ = Ộ(A\. Ã 2, A-i) ( 1 -1 2 ) trong dó / 1 J, /i2, Az là các b ấ t biến dại số của tenxơ biến dạng Green: ^1 = i ^2 = ^3 £mn£rni£in- (1.13) T hế dàn hồi M urnaghan có dạng: ộ = 2 ^ 1 + + 2^1 + bÁ\Á2 + -A 3, (1-14) trong dó: A, ịi là các hằng số Lame; a, ò, c là các hằng số cấp ba, dược xác định bằng phương pháp siêu âm. Đối với v ậ t thể dàn hồi dẳng hướng, không nén dược th ế dàn hồi có dạng: ộ = ộ ự u Ỉ 2 ) = W { A u A 2) (1.15) 9 trong dó /i = 3 + 2 i4 i, /2 = 3 + 4 Ấ! + 2 Ấ? - 2 ẩ 2. ( 1 .1 6 ) T hế dàn hồi của Mooney có dạng: ộ — C\o(Ii — 3) + C 0 1 Ự 2 —3) (1-17) trong dó Cjj = const. G iả sử trên phần m ặt s 1 cho trướ c ứng su ất, trên phần trên m ặt s 2 cho trư ớ c chuyển dịch: Si n s 2 = ộ Si u s2 = s trong dó: 5 - m ặt của vật thể. Khi dó phương trình chuyển dộng v à các diều kiện biên có dạng như sau: W in(àmn + «m,n)]ti + x * n - pủm =0 K n ( ^ n + ^ ,n ) ] ^ |5 l= C ư m \s 2 = f { X u X 2, X 3 ì T) (1.18) (1.19) (1 .2 0 ) ờ dây x*u và p*n: là hình chiếu trên trụ c ỹm của lực thể tích và lực m ặt, tác dụng lên v ật thể trên m ột dơn vị th ể tích, v à trên m ột dơn vị diện tích trước biến dạng. p: là m ật dộ của v ậ t th ể ớ trạng th ái tự nhiên. Nj-. là cosill chỉ phương của véc tơ dơn vị vuông góc với m ặt p hằng củ a vật thể trư ớ c biến dạng. Đối với bài toán biên dộng học, thì cần phải th o ả mãn thêm diều kiện: u m T=0 = 9 m ( x UX 2 ,Xa) 10 um\r=T = g{2 ){xu x 2 , x 3) ( 1.21 ) Còn dối với bài toán biến dộng học hỗn hợp thì thêm diều kiện sau: Um\T=0 = f m ( x 11 * 2 , 2 *) ũm | r = 0 = f £ ]{x 1,$ 2 ,Z 3 ) 1.2. C á c h ệ th ứ c tu y ế n t ín h h o á c ủ a lý t h u y ế t đ àn h ồ i v ớ i b iế n d a n g b a n đâu h ữ u h ạ n Để nghiên cứu sự lan truyền sóng trong v ậ t th ể dàn hồi có biến dạng trư ớ c, ta cần phân biệt ba trạn g th ái của môi trường: trạng th ái tự nhiên khi m à môi trường chưa bị biến dạng, trạn g thái ban đầu (có biến dạng trước) và trạn g thái tại th ờ i điổm dang xét. Các dại lượng dặc trư n g cho trạn g thái ban đầu dược ký hiệu bởi chỉ số “0 ” ỏ- trên (ví dụ uũm , Các dại lượng dặc trư n g cho trạn g th ái tại thời điểm dang xét dược đánh “dấu phẩy” ờ trên (ví dụ u'm, ơ'mn...). Còn các dại lượng nhiễu động (m à chúng gây ra trường sóng) th ì dược giữ nguyên không thêm ký hiệu gì (ví dụ urn,ơ*mn...). Khi dó chúng ta có: úm = u°m + (1.23) C húng t a dã giả th iết rằng trạng thái tại thời điểm dang xét khác rấ t ít trạng th ái ban đầu, tức là nhiễu dộng là rấ t bé so với các dại lượng ờ trạ n g thái ban dầu. Khi dó, bằng phương pháp tuyến tính hoá các đẳng thứ c trong phần 1, chúng ta sẽ th u dược các đẳng thức đối với các nhiễu dộng. Khi tính nhiễu dộng, ví dụ: y = f{x) 11 ta sử dụng cóng thức: 'd_£ dx y = (1.24) X Sử dụng (1.23) và (1.24) tuyến tính hoá (1.8), (1.11), t a có: - Với v ật thể nén dược: (1.25) - Với v ật th ể không nén dược: ơin ~ ụ-ina/3ua,f3 + G q p (1.26) trong đó các thành phần của tenxơ hạng bốn Àinữ0 , HincQ có dạng: d Knạp — I (ồữj + ua,j) ^ + Ỡ£% d 0 de% ì \ de°m (1.27) d£in /c 0 xíl/ 9 ơ \ ( ơ ơ \ , - ( í - + < < ) | j ( g r + á ị .j ■( ^ r + à y * (1.28) - p ữ{ ơ $ c % + G % G t) 0° = ộ { £ n ,e 0l 2 , 4 i i 4 2 , - 1 £3 3 ) dồng thời: 2 4 = u,0ị j + u ị i + U°nẠU°nj (1.29) d cletịơ' GữdG% (1.30) _ 0 trong dó G°ra = ór3 + 2eĩrs Tuyến tính hoá diều kiện không nén được: /3 = 1 , /3 = 2A\ + 2(Áị — Aộ) + —(2 A 3 — 3 A 2 A 1 + j4ị) + 1 ta th u dược dẳng th ứ c sau: G0 (ỗnj + y-na) Un,j = 0 (1.31) 12 Tuyến tính hoá biểu th ứ c (1.20), (1.21), (1.22) ta có: U m \s2 (1.32) = 0 = 0 (1.33) U-m T=0 = 0 (1.34) Um T= 0 = 0 t =T = 0 um lr=0 I T ừ (1.18), (1.23), (1.24), (1.25), (1.26), ta có: - Với vật thể nén dược (^ỉ'ma/3^Q,/?) ị “í- Xrn pu-m 0 (1.35) - Với v ật thể không nén dược \j~ i-ìm a 0 u a , d + {à m n + u m ,n )p \ ị X m — p u m = 0 (1.36) T ương tự , tuyến tính hoá cho điều kiện biên (1.19) ta có: - Với v ậ t thổ nén dược: p in ~ (1.37) íjJim Q 0 u a , 0 ^ ì \ g i - Với v ậ t thể không nén dược (1.38) p*n — [rtima0 Ua,(3 + GỊỹíỏmn + u°m n)p\ Nị trong dó: Uịmaiỉ =-ị (ômn Òmn + Um,n) Ki,n) (ýaj ự a í + UQ,j Uữ,j)J ['J (^TĨT „0 + Qe feÕ~)J x d \ / Ô n w n ộ + ử ) + l ( d 2 ô- ‘( Ậ <9 \ . 0 + Ậ r 7~timaị3 — (àmn + ^m,n) i^inaữ + p Kna/?) H“ + ổ“ 4 ỉ ( 4 + 4 Vma/? dược xác định bời (1.89) trong [4]. ) ^ 0 + p °Go] (U 9) 13 N hư vậy để giải bài toán biên tu y ến tính hoá dộng học của vật thể nén dược, ta phải giải các phương trìn h (1.35), với diều kiện clầii (1.33) và các diều kiện biên (1.32), (1.37). Đối với bài toán hỗn hợp, thì ta phải giải các phương trìn h (1.35) với các điều kiện biên (1.32), (1.37) và điều kiện biên ban dầu (1.34). Dối với vật thề không nén dược, bài toán biên tuyến tính hoá dộng học d ẫn dến việc giải các phương trìn h (1.36) với các diều kiện biên (1.32), (1.38) và diều kiện dầu (1.33). Đối với bài toán biến hỗn hợp, th ì th ay các diều kiện (1.33) bằng diều kiện ban dầu (1.34). 1 .3 . C á c h ê th ứ c c ơ b ả n c ủ a lý t h u y ế t đ àn h ồ i v ớ i b iế n d a n g b a n đ ầu là th u ầ n n h ấ t G iả sử biến dạng ban đầu trong vật th ể là th u ần n h ất tức là: u n — ôin( \ ị l)^ ị Xị = const, (1.40) T ừ (1.3), (1.13), (1.40) ta có: 24 = - 1); (1.41) A ĩ = Ì(A„A„ - 3) P hư ơng trìn h trạn g thái (1.25), có dạng (sử dụng các phương trình (1.27), (1.40), (1.41)) ơ ỉn — ồ ị n & i k ^ k ^ k i k trong dó: (1 ^n ^ ĩiy i) (^* 4 2 ) 14 O-ik — d LcMf+ / \ l - l \ 2 ,, 9 ,> 2 k~ Õ A Ẵ ( x -ỠẤ? M f + (A' _ 1 ) ả + ) ỔA°J 2 X d dA°J +3( V . 0°+ (1.43) ô ik ; 2ả r d a + 3 (A' “ l ) ả (AI + A Ỉ - 2 ) — lỡ/ì°! 0° = ộ { A ịA ịA ị) . ftin 4 ] ự,° a i ã ỉĩ# (1.44) 0 T ừ (1.43), (1.44) dễ dàng chứng m inh rằng: &ik = &ki fj'in = ftni Tương tự , từ (1.8) ta cũng có: ơ d d . / A ? - r 2 d u ld A ° + (Ai ■ 1}ã A l + 3 dAị\ (1.45) ồj i Sử dụng phương trình (1.40), (1.42) v à bỏ q u a lực khối, phương trình chuyển dộng (1.35) viết dưới dạng L'moV'a (1.46) 0 trong dó: Lmct ^imotỹ d2 - pỗma Ế L ỡ r2 dxịdxp (1.47) Mima/3 được xác dịnh như sau: Mirna/3 — \ n ^ o ồ i m ỗ a p & i d "+ ■ ồ i p ồ m p i 1 "t- ồ im ) flfim 1 un ồ im ) ịiị *0 ~t~ ^mo^i0ơ lĩ (1.48) Xét v ật th ể dàn hồi dẳng hướng, không nén dược, từ diều kiện không nén dược /3 = 1 ta có: Ai, A2, A3 = 1 (1.49) 15 T ừ (1.10), (1.40) suy ra: (1.50) t í i = ôij \ ~ 2 T ừ (1.49), (1.50), (1.31) ta có: (1.51) Sử dụng (1.28), (1.40), (1.41), (1.51) từ (1.26) ta có: ®in = ^in^ik^k^k.k “1“ ^ i n ) ,71 ”t" (1 “f~ ồin\ p (1.52) trong dó: ỡ & ik 'dA \\V dA \ L ỡ i4 Ị + ( A f - D Ô r)Wữ + 2<5i*^7ir - 2p0A*4<5l t , dAị dw ° dAị in (1.53) — p°(A í Àí - Af — À^) T ương tự từ (1.11) t a cũng có dược: ơ *0 ij — àịj' d dA\ + (A ?-1)Ỡ dAị w° + A -y (1.54) w° = W(AịAị) T ừ (1.53) ta có: ữịj — ữjì, flịk — fifcj Sử dụng phương trình (1.40), (1.41), (1-49), (1.54) từ phương trình chuyển dộng (1.36) trong trư ờ n g hợp không có lực khối ta có: N /n a U a —0) r a, a = 1, 2, 3, 4 u4 = p (1.55)